ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.1
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਕਰਣ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਲੰਬ 12 ਅਤੇ 16 ਇੰਚ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.34 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.2
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: x2−18x+81.x2−18x+81। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 6.24 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.3
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਬਣਾ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x2−12x−12=0.x2−12x−12=0। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 9.22 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਸ਼ੰਕੂ ਉਹ ਵਕਰ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਸ਼ੰਕੂ—ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਦੋ ਸ਼ੰਕੂਆਂ—ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਨਾਲ ਬਣਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੱਧੇ ਨੂੰ ਨੈਪ (nappe) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਹਨ—ਚੱਕਰ, ਪਰਵਲਯ, ਅੰਡਾਕਾਰ, ਅਤੇ ਅਤਿ ਪਰਵਲਯ। ਅਗਲੀ ਚਿੱਤਰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਦੋਹਰੇ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਵਾਲਾ ਸਮਤਲ ਹਰੇਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਹਰੇਕ ਵਕਰ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ ਜੋ ਤੁਹਾਡੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜੀਵਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤੁਹਾਡੇ ਸੈੱਲ ਫ਼ੋਨ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਧੁਨੀ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਨੈਵੀਗੇਸ਼ਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਤੱਕ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ।
ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਦੂਰੀਆਂ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਦੁਬਾਰਾ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਅਤੇ ਅਲਜਬਰਾ—ਜੋ ਉਪਯੋਗ ਲਈ ਮੌਕਿਆਂ ਦੀ ਦੁਨੀਆ ਖੋਲ੍ਹਦਾ ਹੈ—ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਬੰਧ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀਆਂ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾਵਾਂਗੇ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਕਦਮ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਵਧਾਵਾਂਗੇ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਕਰਣ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ—ਜੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.1
ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (6,4)(6,4) ਅਤੇ (2,1).(2,1) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਤਾਰ: ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਨਾਲ ਜੋੜੋ। ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾਓ ਜਿਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋ।
ਕਤਾਰ: ਹਰੇਕ ਲੱਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
row: Use the Pythagorean Theorem to find d, thedistance between the two points. | a2+b2=c2a2+b2=c2
row: Substitute in the values. | 32+42=d232+42=d2
row: Simplify. | 9+16=d29+16=d2
row: 25=d225=d2
row: Use the Square Root Property. | d=5d=−5d=5d=−5
row: Since distance, d is positive, we can eliminated=−5.d=−5. | The distance between the points (6,4)(6,4) and(2,1)(2,1) is 5.
Try It 11.1
Use the rectangular coordinate system to find the distance between the points (6,1)(6,1) and (2,−2).(2,−2).
Try It 11.2
Use the rectangular coordinate system to find the distance between the points (5,3)(5,3) and (−3,−3).(−3,−3).
The method we used in the last example leads us to the formula to find the distance between the two points (x1,y1)(x1,y1) and (x2,y2).(x2,y2).
When we found the length of the horizontal leg we subtracted 6−26−2 which is x2−x1.x2−x1.
When we found the length of the vertical leg we subtracted 4−14−1 which is y2−y1.y2−y1.
If the triangle had been in a different position, we may have subtracted x1−x2x1−x2 or y1−y2.y1−y2. The expressions x2−x1x2−x1 and x1−x2x1−x2 vary only in the sign of the resulting number. To get the positive value-since distance is positive- we can use absolute value. So to generalize we will say |x2−x1||x2−x1| and |y2−y1|.|y2−y1|.
In the Pythagorean Theorem, we substitute the general expressions |x2−x1||x2−x1| and |y2−y1||y2−y1| rather than the numbers.
row: a2+b2=c2a2+b2=c2
row: Substitute in the values. | (|x2−x1|)2+(|y2−y1|)2=d2(|x2−x1|)2+(|y2−y1|)2=d2
row: Squaring the expressions makes them positive, so we eliminate the absolute value bars. | (x2−x1)2+(y2−y1)2=d2(x2−x1)2+(y2−y1)2=d2
row: Use the Square Root Property. | d=±(x2−x1)2+(y2−y1)2d=±(x2−x1)2+(y2−y1)2
row: Distance is positive, so eliminate the negative value. | d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
This is the Distance Formula we use to find the distance d between the two points (x1,y1)(x1,y1) and (x2,y2).(x2,y2).
Distance Formula
The distance d between the two points (x1,y1)(x1,y1) and (x2,y2)(x2,y2) is
Example 11.2
ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (−5,−3) ਅਤੇ (7,2) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
row: ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ। | d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
row: ਬਿੰਦੂਆਂ (−5,−3x1,y1),(7,2x2,y2) ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। | d=(7−(−5))2+(2−(−3))2
row: ਸਰਲ ਕਰੋ। | d=122+52
row: d=144+25
row: d=169
row: d=13
Try It 11.3
ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (−4,−5) ਅਤੇ (5,7) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
Try It 11.4
ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (−2,−5) ਅਤੇ (−14,−10) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
Example 11.3
ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (10,−4) ਅਤੇ (−1,5) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਅਨੁਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
row: ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ। | d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
row: ਬਿੰਦੂਆਂ (10,−4x1,y1),(−1,5x2,y2) ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। | d=(−1−10)2+(5−(−4))2
row: ਸਰਲ ਕਰੋ। | d=(−11)2+92
row: d=121+81
row: d=202
row: ਕਿਉਂਕਿ 202 ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਛੱਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਦਸ਼ਮਲਵ ਅਨੁਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। | d=202ord≈14.2
Try It 11.5
ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (−4,−5) ਅਤੇ (3,4) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਅਨੁਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
Try It 11.6
ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (−2,−5) ਅਤੇ (−3,−4) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਅਨੁਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਤੱਕ।
ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਇਹ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਭਾਗ ਦੇ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਵਿਆਸ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹਨ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜੋ ਵਿਆਸ ਦਾ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਭਾਗ ਦੇ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦਾ ਔਸਤ ਅਤੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦਾ ਔਸਤ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ
ਰੇਖਾ ਭਾਗ ਦਾ ਮੱਧਬਿੰਦੂ, ਜਿਸਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੋ ਬਿੰਦੂ (x1,y1) ਅਤੇ (x2,y2) ਹਨ, ਉਹ ਹੈ
ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਭਾਗ ਦੇ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦਾ ਔਸਤ ਅਤੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦਾ ਔਸਤ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.4
ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖਾ ਭਾਗ ਦਾ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (−5,−4) ਅਤੇ (7,2) ਹਨ। ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਉੱਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
row: ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ। | (x1+x22,y1+y22)
row: ਬਿੰਦੂਆਂ, (−5,−4x1,y1),(7,2x2,y2)ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਥਾਨਾਪੰਨ ਕਰੋ। | (−5+72,−4+22)
row: ਸਰਲ ਕਰੋ। | (22,−22)
row: (1,−1)ਭਾਗ ਦਾ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਬਿੰਦੂ (1,−1) ਹੈ।
row: ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
Try It 11.7
ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖਾ ਭਾਗ ਦਾ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (−3,−5) ਅਤੇ (5,7) ਹਨ। ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਉੱਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
Try It 11.8
ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖਾ ਭਾਗ ਦਾ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (−2,−5) ਅਤੇ (6,−1) ਹਨ। ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਉੱਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਅਤੇ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਦੋਵੇਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ, (x1,y1) ਅਤੇ (x2,y2) ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੀ ਲੋੜ ਵਾਲੇ ਸੂਤਰਾਂ ਨੂੰ ਉਲਝਾਉਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਯਾਦ ਰੱਖੀਏ ਕਿ ਸੂਤਰ ਕਿੱਥੋਂ ਆਉਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਸੂਤਰਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਆਸਾਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਸਾਡਾ ਟੀਚਾ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾ ਨਾਲ ਜੋੜਨਾ ਹੈ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਤਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦੂਰੀ ਉੱਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ, (h,k), ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚੱਕਰ
ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਇੱਕ ਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦੂਰੀ ਉੱਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰ, (h,k), ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪੰਕਤੀ: ਅਸੀਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਕੇਂਦਰ, (h,k),(h,k), ਤੋਂ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ, (x,y).(x,y), ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ।
ਪੰਕਤੀ: ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ (h,k),(h,k), (x,y)(x,y) ਅਤੇ ਦੂਰੀ, r, ਨਾਲ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। | d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
ਪੰਕਤੀ: ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | r=(x−h)2+(y−k)2r=(x−h)2+(y−k)2
ਪੰਕਤੀ: ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰੋ। | r2=(x−h)2+(y−k)2r2=(x−h)2+(y−k)2
ਇਹ ਕੇਂਦਰ, (h,k),(h,k), ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ।
ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ
ਕੇਂਦਰ, (h,k),(h,k), ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 11.5
ਅਰਧ ਵਿਆਸ 3 ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ (0,0).(0,0) ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਪੰਕਤੀ: ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਰਤੋ | (x−h)2+(y−k)2=r2(x−h)2+(y−k)2=r2
ਪੰਕਤੀ: r=3,h=0,r=3,h=0, ਅਤੇ k=0.k=0. ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | (x−0)2+(y−0)2=32(x−0)2+(y−0)2=32
ਪੰਕਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | x2+y2=9x2+y2=9
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 11.9
ਅਰਧ ਵਿਆਸ 6 ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ (0,0).(0,0) ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 11.10
ਅਰਧ ਵਿਆਸ 8 ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ (0,0).(0,0) ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।
ਪਿਛਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਕੇਂਦਰ (0,0).(0,0) ਸੀ। ਦੇਖੋ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੀ ਹੋਇਆ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਕੇਂਦਰ (0,0).(0,0) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x2+y2=r2.x2+y2=r2 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.6
ਅਰਧ ਵਿਆਸ 2 ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ (−1,3).(−1,3) ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਪੰਕਤੀ: ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਰਤੋ। | (x−h)2+(y−k)2=r2(x−h)2+(y−k)2=r2
ਪੰਕਤੀ: ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | (x−(−1))2+(y−3)2=22(x−(−1))2+(y−3)2=22
ਪੰਕਤੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | (x+1)2+(y−3)2=4(x+1)2+(y−3)2=4
1. ਯਤਨ ਕਰੋ 11.11
2. 7 ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ (2,−4) ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।
3. ਯਤਨ ਕਰੋ 11.12
4. 9 ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ (−3,−5) ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।
5. ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
6. ਉਦਾਹਰਨ 11.7
7. ਕੇਂਦਰ (2,4) ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (−2,1) ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।
8. ਹੱਲ
9. ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕੇਂਦਰ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ (2,4) ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (−2,1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
10. ਕਤਾਰ: ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | r=(x2−x1)2+(y2−y1)2
11. ਕਤਾਰ: ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। (2,4x1,y1),(−2,1x2,y2) | r=(−2−2)2+(1−4)2
12. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | r=(−4)2+(−3)2
13. ਕਤਾਰ: r=16+9
14. ਕਤਾਰ: r=25
15. ਕਤਾਰ: r=5
16. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ, r=5, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ, (2,4), ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
17. ਕਤਾਰ: ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਰਤੋ। | (x−h)2+(y−k)2=r2
18. ਕਤਾਰ: ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | (x−2)2+(y−4)2=52
19. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | (x−2)2+(y−4)2=25
20. ਯਤਨ ਕਰੋ 11.13
21. ਕੇਂਦਰ (2,1) ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (−2,−2) ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।
22. ਯਤਨ ਕਰੋ 11.14
23. ਕੇਂਦਰ (7,1) ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (−1,−5) ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।
24. ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
(x−h)2+(y−k)2=r2(x−h)2+(y−k)2=r2 ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕੇਂਦਰ (h,k),(h,k) ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y ਤੋਂ ਘਟਾਓ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x+2,x+2 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦੇ ਘਟਾਓ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.8
ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ: (x+2)2+(y−1)2=9.(x+2)2+(y−1)2=9.
ਹੱਲ
row: ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਰਤੋ। ਕੇਂਦਰ, (h,k)(h,k) ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ, r ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
row: ਕੇਂਦਰ: (−2,1)(−2,1) ਅਰਧ-ਵਿਆਸ: 3
row: ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.15
ⓐ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ⓑ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ: (x−3)2+(y+4)2=4.(x−3)2+(y+4)2=4.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.16
ⓐ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ⓑ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ: (x−3)2+(y−1)2=16.(x−3)2+(y−1)2=16.
ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ x2,y2x2,y2 ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਣਾਉਣਾ ਪਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.9
ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, 4x2+4y2=64.4x2+4y2=64.
ਹੱਲ
row: ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ 4 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ।
row: ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਰਤੋ। ਕੇਂਦਰ, (h,k)(h,k) ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ, r ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
row: ਕੇਂਦਰ: (0,0)(0,0) ਅਰਧ-ਵਿਆਸ: 4
row: ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.17
ⓐ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ⓑ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ: 3x2+3y2=273x2+3y2=27
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.18
ⓐ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ⓑ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ: 5x2+5y2=1255x2+5y2=125
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ 11.8, (x+2)2+(y−1)2=9, ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਬਹੁਤ ਵੱਖਰਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
row: (x+2)2+(y−1)2=9
row: ਦੋਪਦੀਆਂ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ। | x2+4x+4+y2−2y+1=9
row: ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਟਦੇ ਘਾਤ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ | x2+y2+4x−2y−4=0
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇਸ ਰੂਪ ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ
ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਹੈ
ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ x ਅਤੇ y ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਗਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.10
ⓐ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ⓑ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ: x2+y2−4x−6y+4=0.
ਹੱਲ
ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
row: x-ਪਦਾਂ ਅਤੇ y-ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਤ ਕਰੋ। ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਇਕੱਠਾ ਕਰੋ।
row: ਵਰਗਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰੋ।
row: ਦੋਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
row: ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | ਕੇਂਦਰ: (2,3) ਅਰਧ ਵਿਆਸ: 3
row: ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 11.19
ⓐ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ⓑ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ: x2+y2−6x−8y+9=0.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 11.20
ⓐ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ⓑ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ: x2+y2+6x−2y+1=0.
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ y-ਪਦ ਅਤੇ ਇੱਕ y2-ਪਦ ਹੈ। ਪਰ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਕੋਈ x-ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ x2-ਪਦ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ h 0 ਹੈ। ਸਾਨੂੰ y ਪਦਾਂ ਲਈ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ, ਪਰ x ਪਦਾਂ ਲਈ ਨਹੀਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.11
ⓐ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ⓑ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ: x2+y2+8y=0.
1. ਹੱਲ
2. ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
3. ਕਤਾਰ: x-ਪਦਾਂ ਅਤੇ y-ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਤ ਕਰੋ।
4. ਕਤਾਰ: ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਇਕੱਠੇ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਈ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਹੀਂ ਹਨ।
5. ਕਤਾਰ: y2+8y ਲਈ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰੋ। y2+8y।
6. ਕਤਾਰ: ਦੋ-ਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
7. ਕਤਾਰ: ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਪਛਾਣੋ। | ਕੇਂਦਰ: (0,−4) ਅਰਧ-ਵਿਆਸ: 4
8. ਕਤਾਰ: ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.21
10. ⓐ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਫਿਰ ⓑ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ: x2+y2−2x−3=0।
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.22
12. ⓐ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਫਿਰ ⓑ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ: x2+y2−12y+11=0।
13. ਮੀਡੀਆ
14. ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਅਤੇ ਚੱਕਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
15. ਦੂਰੀ-ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਅਤੇ ਚੱਕਰ
16. ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਣਾ
17. ਚੱਕਰ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨਾ
18. ਅਭਿਆਸ ਪਰਫੈਕਟ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ
19. ਦੂਰੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
20. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਅਨੁਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
21. (2,0) ਅਤੇ (5,4)
22. (−4,−3) ਅਤੇ (2,5)
23. (−4,−3) ਅਤੇ (8,2)
24. (−7,−3) ਅਤੇ (8,5)
(−1,4) ਅਤੇ (2,0)
(−1,3) ਅਤੇ (5,−5)
(1,−4) ਅਤੇ (6,8)
(−8,−2) ਅਤੇ (7,6)
(−3,−5) ਅਤੇ (0,1)
(−1,−2) ਅਤੇ (−3,4)
(3,−1) ਅਤੇ (1,7)
(−4,−5) ਅਤੇ (7,4)
ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ⓐ ਉਹਨਾਂ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੇ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਅਤੇ ⓑ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਉੱਤੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
(0,−5) ਅਤੇ (4,−3)
(−2,−6) ਅਤੇ (6,−2)
(3,−1) ਅਤੇ (4,−2)
(−3,−3) ਅਤੇ (6,−1)
ਵਰਤੋਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।
ਅਰਧ ਵਿਆਸ: 7
ਅਰਧ ਵਿਆਸ: 9
ਅਰਧ ਵਿਆਸ: 22
ਅਰਧ ਵਿਆਸ: 55
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲਿਖੋ
ਅਰਧ ਵਿਆਸ: 1, ਕੇਂਦਰ: (3,5)
ਅਰਧ ਵਿਆਸ: 10, ਕੇਂਦਰ: (−2,6)
ਅਰਧ ਵਿਆਸ: 2.5, ਕੇਂਦਰ: (1.5,−3.5)
1. ਅਰਧ ਵਿਆਸ: 1.5,1.5, ਕੇਂਦਰ: (−5.5,−6.5)(−5.5,−6.5)
2. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।
3. ਕੇਂਦਰ (3,−2)(3,−2) ਬਿੰਦੂ (3,6)(3,6) ਨਾਲ
4. ਕੇਂਦਰ (6,−6)(6,−6) ਬਿੰਦੂ (2,−3)(2,−3) ਨਾਲ
5. ਕੇਂਦਰ (4,4)(4,4) ਬਿੰਦੂ (2,2)(2,2) ਨਾਲ
6. ਕੇਂਦਰ (−5,6)(−5,6) ਬਿੰਦੂ (−2,3)(−2,3) ਨਾਲ
7. ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
8. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ⓐ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ⓑ ਹਰੇਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
9. ( x + 5 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 1
10. ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 9
11. ( x − 4 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 16
12. ( x + 2 ) 2 + ( y − 5 ) 2 = 4
13. x 2 + ( y + 2 ) 2 = 25
14. ( x − 1 ) 2 + y 2 = 36
15. ( x − 1.5 ) 2 + ( y + 2.5 ) 2 = 0.25
16. ( x − 1 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 9 4
17. x 2 + y 2 = 64
18. x 2 + y 2 = 49
19. 2 x 2 + 2 y 2 = 8
20. 6 x 2 + 6 y 2 = 216
21. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ⓐ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਛਾਣੋ ਅਤੇ ⓑ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
22. x 2 + y 2 + 2 x + 6 y + 9 = 0
23. x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0
24. x 2 + y 2 − 4 x + 10 y − 7 = 0
x² + y² + 12x − 14y + 21 = 0
x² + y² + 6y + 5 = 0
x² + y² − 10y = 0
x² + y² + 4x = 0
x² + y² − 14x + 13 = 0
ਲਿਖਤੀ ਅਭਿਆਸ
ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਕੀ ਚੱਕਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ? ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ।
ਆਪਣੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਚੱਕਰ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੱਸੋ।
ਆਪਣੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਚੱਕਰ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੇ ਕਦਮ ਚੁੱਕੋਗੇ, ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਜਾਂਚਾਂ ਸਨ:
…ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਨਾਲ। ਵਧਾਈਆਂ! ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਉਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਜੋ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲ ਵਰਤੇ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਰਹੋ। ਇਹਨਾਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਦੀ ਆਪਣੀ ਯੋਗਤਾ ਬਾਰੇ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਕੀਤਾ? ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਣੋ।
…ਕੁਝ ਮਦਦ ਨਾਲ। ਇਸ ਨੂੰ ਜਲਦੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਿਹੜੇ ਵਿਸ਼ੇ ਤੁਸੀਂ ਮਾਸਟਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਉਹ ਤੁਹਾਡੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੜਕ 'ਤੇ ਟੋਏ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਹਰ ਵਿਸ਼ਾ ਪਿਛਲੇ ਕੰਮ 'ਤੇ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਨੀਂਹ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਮਦਦ ਲਈ ਕਿਸਨੂੰ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਹਾਡੇ ਸਾਥੀ ਜਮਾਤੀ ਅਤੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਚੰਗੇ ਸਰੋਤ ਹਨ। ਕੀ ਕੈਂਪਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਜਗ੍ਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗਣਿਤ ਟਿਊਟਰ ਉਪਲਬਧ ਹਨ? ਕੀ ਤੁਹਾਡੇ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲ ਵਿੱਚ ਸੁਧਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
…ਨਹੀਂ - ਮੈਨੂੰ ਇਹ ਸਮਝ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ! ਇਹ ਇੱਕ ਚੇਤਾਵਨੀ ਸੰਕੇਤ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਤੁਰੰਤ ਮਦਦ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਹਾਵੀ ਹੋ ਜਾਵੋਗੇ। ਆਪਣੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿੰਨੀ ਜਲਦੀ ਹੋ ਸਕੇ ਆਪਣੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਨੂੰ ਮਿਲੋ। ਇਕੱਠੇ ਤੁਸੀਂ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਦਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ।