ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਖੜ੍ਹੀਆਂ ਪਰਵਾਲਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਪਈਆਂ ਪਰਵਾਲਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਪਰਵਾਲਿਆਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਕਾਰਜਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.4
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ: y=−3x2+12x−12। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚ ਗਏ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 9.47 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.5
ਪੂਰਾ ਵਰਗ ਬਣਾ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x2−6x+6=0। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚ ਗਏ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 9.12 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.6
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: y=3x2−6x+5। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚ ਗਏ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 9.59 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਖੜ੍ਹੀਆਂ ਪਰਵਾਲਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਅਗਲਾ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਉਹ ਪਰਵਾਲਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਰਵਾਲੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਫੋਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਵਾਲਾ
ਪਰਵਾਲਾ ਇੱਕ ਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਫੋਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਰੂਪ ਜਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਤੋਂ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖੜ੍ਹੀਆਂ ਪਰਵਾਲਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਸਿੱਖਿਆ ਸੀ। ਉਹ ਵਿਧੀਆਂ ਇੱਥੇ ਵੀ ਕੰਮ ਕਰਨਗੀਆਂ। ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦੇਵਾਂਗੇ।
ਪੰਕਤੀ: ਖੜ੍ਹੀਆਂ ਪਰਵਾਲਿਆਂ
ਪੰਕਤੀ: ਆਮ ਰੂਪ y=ax2+bx+c | ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ y=a(x−h)2+k
ਪੰਕਤੀ: ਸਥਿਤੀ | a>0 ਉੱਪਰ; a<0 ਹੇਠਾਂ | a>0 ਉੱਪਰ; a<0 ਹੇਠਾਂ
ਪੰਕਤੀ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ | x=−b2a | x=h
ਪੰਕਤੀ: ਸਿਖਰ | x=−b2a ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। | (h,k)
ਪੰਕਤੀ: y-ਅੰਤਰਖੰਡ | x=0 ਮੰਨੋ | x=0 ਮੰਨੋ
ਪੰਕਤੀ: x-ਅੰਤਰਖੰਡ | y=0 ਮੰਨੋ | y=0 ਮੰਨੋ
ਗ੍ਰਾਫ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਪਰਬਲੈਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵੇਲੇ ਕਿਹੋ ਜਿਹੇ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। x- ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ।
ਇਹਨਾਂ ਰੂਪਾਂ ਤੋਂ ਪਰਬਲੈਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਲੰਬੇ ਪਰਬਲੈਬੋਲਾ (y=ax2+bx+corf(x)=a(x−h)2+k) ਨੂੰ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਪਰਬਲੈਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਕਦਮ 2. ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਧੁਰਾ ਲੱਭੋ।
ਕਦਮ 3. ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ।
ਕਦਮ 4. y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭੋ। y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਲੱਭੋ।
ਕਦਮ 5. x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭੋ।
ਕਦਮ 6. ਪਰਬਲੈਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਇਸਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਤੋਂ ਪਰਬਲੈਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.12
y=−x2+6x−8 ਨੂੰ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ a, −1 ਹੈ, ਪਰਬਲੈਬੋਲਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਧੁਰਾ ਲੱਭਣ ਲਈ, x=−b2a ਲੱਭੋ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਧੁਰਾ x=3 ਹੈ।
ਸਿਖਰ x=3 ਦੀ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੈ।
x=3 ਮੰਨੋ।
ਸਿਖਰ (3,1) ਹੈ।
y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
x=0 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,−8) ਹੈ।
1. ਕਤਾਰ: ਬਿੰਦੂ (0,−8) ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਬਿੰਦੂ (6,−8) ਹੈ। y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਨਾਲ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ (6,−8) ਹੈ।
2. ਕਤਾਰ: x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ y=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
3. ਕਤਾਰ: ਮੰਨ ਲਓ y=0।
4. ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
5. ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
6. x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
7. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (4,0) ਅਤੇ (2,0) ਹਨ।
8. ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.23
10. ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ y=−x2+5x−6 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.24
12. ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ y=−x2+8x−12 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
13. ਅਗਲਾ ਉਦਾਹਰਨ ਇਸਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ, y=a(x−h)2+k, ਤੋਂ ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 11.13
15. y=3x2−6x+5 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
16. ਹੱਲ
17. ਕਤਾਰ: ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y=a(x−h)2+k ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। y=3x2−6x+5
18. ਕਤਾਰ: y=3(x2−2x)+5
19. ਕਤਾਰ: y=3(x2−2x+1)+5−3
20. ਕਤਾਰ: y=3(x−1)2+2
21. ਕਤਾਰ: ਸਥਿਰਾਂਕ a, h, k ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। a=3, h=1, k=2
22. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ a=3, ਪਰਵਲੈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ।
23. ਕਤਾਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=h ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=1 ਹੈ।
24. ਕਤਾਰ: ਸਿਖਰ (h,k) ਹੈ। ਸਿਖਰ (1,2) ਹੈ।
row: Find the y-intercept by substituting x=0.x=0. | y=3(x−1)2+2y=3(x−1)2+2y=3·02−6·0+5y=3·02−6·0+5
row: y=5y=5
row: y-intercept (0,5)(0,5)
row: Find the point symmetric to (0,5)(0,5) across the axis of symmetry. | (2,5)(2,5)
row: Find the x-intercepts. | y=3(x−1)2+2 0=3(x−1)2+2−2=3(x−1)2−23=(x−1)2±−23=x−1y=3(x−1)2+2 0=3(x−1)2+2−2=3(x−1)2−23=(x−1)2±−23=x−1
row: The square root of a negative numbertells us the solutions are complexnumbers. So there are no x-intercepts.
row: Graph the parabola.
Try It 11.25
ⓐ Write y=2x2+4x+5y=2x2+4x+5 in standard form and ⓑ use properties of standard form to graph the equation.
Try It 11.26
ⓐ Write y=−2x2+8x−7y=−2x2+8x−7 in standard form and ⓑ use properties of standard form to graph the equation.
Graph Horizontal Parabolas
Our work so far has only dealt with parabolas that open up or down. We are now going to look at horizontal parabolas. These parabolas open either to the left or to the right. If we interchange the x and y in our previous equations for parabolas, we get the equations for the parabolas that open to the left or to the right.
row: Horizontal Parabolas
row: General formx=ay2+by+cx=ay2+by+c | Standard formx=a(y−k)2+hx=a(y−k)2+h
row: Orientation | a>0a>0 right; a<0a<0 left | a>0a>0 right; a<0a<0 left
row: Axis of symmetry | y=−b2ay=−b2a | y=ky=k
row: Vertex | Substitute y=−b2ay=−b2a andsolve for x. | (h,k)(h,k)
row: y-intercepts | Let x=0x=0 | Let x=0x=0
row: x-intercept | Let y=0y=0 | Let y=0y=0
The graphs show what the parabolas look like when they to the left or to the right. Their position in relation to the x- or y-axis is merely an example.
Looking at these parabolas, do their graphs represent a function? Since both graphs would fail the vertical line test, they do not represent a function.
To graph a parabola that opens to the left or to the right is basically the same as what we did for parabolas that open up or down, with the reversal of the x and y variables.
How To
1. ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖਿਤਿਜੀ ਪਰਵਾਲੇ (x=ay2+by+corx=a(y−k)2+h) ਬਣਾਓ।
2. ਕਦਮ 1. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਪਰਵਾਲਾ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ।
3. ਕਦਮ 2. ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲੱਭੋ।
4. ਕਦਮ 3. ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ।
5. ਕਦਮ 4. x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭੋ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਪਾਰ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ।
6. ਕਦਮ 5. y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭੋ।
7. ਕਦਮ 6. ਪਰਵਾਲਾ ਬਣਾਓ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 11.14
9. ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x=2y2 ਨੂੰ ਬਣਾਓ।
10. ਹੱਲ
11. ਸੱਜੇ: ਕਿਉਂਕਿ a=2, ਪਰਵਾਲਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ।
12. ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, y=−b2a ਲੱਭੋ।
13. ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ y=0 ਹੈ।
14. ਸਿਖਰ y=0 ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਹੈ।
15. y=0 ਮੰਨੋ।
16. ਸਿਖਰ (0,0) ਹੈ।
17. ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਖਰ (0,0) ਹੈ, x- ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੋਵੇਂ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਹਨ। ਪਰਵਾਲਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, y ਦੇ ਮੁੱਲ ਚੁਣਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੈ।
18. ਅਸੀਂ y-ਧੁਰੀ ਦੇ ਪਾਰ (2,1) ਅਤੇ (8,2) ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂਆਂ (2,−1) ਅਤੇ (8,−2) ਨੂੰ ਵੀ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
19. ਪਰਵਾਲਾ ਬਣਾਓ।
20. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.27
21. ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x=y2 ਬਣਾਓ।
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.28
23. ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x=−y2 ਬਣਾਓ।
24. ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਸਿਖਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
1. ਮਿਸਾਲ 11.15
2. ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ x=−y2+2y+8 ਬਣਾਓ।
3. ਹੱਲ
4. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ a=−1, ਪਰਬਲਯ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ।
5. ਕਤਾਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, y=−b2a ਲੱਭੋ।
6. ਕਤਾਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ y=1 ਹੈ।
7. ਕਤਾਰ: ਸਿਖਰ ਧੁਰੀ y=1 ਉੱਤੇ ਹੈ।
8. ਕਤਾਰ: y=1 ਮੰਨੋ।
9. ਕਤਾਰ: ਸਿਖਰ (9,1) ਹੈ।
10. ਕਤਾਰ: x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ y=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
11. ਕਤਾਰ: x-ਅੰਤਰਖੰਡ (8,0) ਹੈ।
12. ਕਤਾਰ: ਬਿੰਦੂ (8,0) ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਹੇਠਾਂ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਉੱਪਰ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ (8,2) ਹੈ। ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ (8,2) ਹੈ।
13. ਕਤਾਰ: y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
14. ਕਤਾਰ: x=0 ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
15. ਕਤਾਰ: ਹੱਲ ਕਰੋ।
16. ਕਤਾਰ: y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,4) ਅਤੇ (0,−2) ਹਨ।
17. ਕਤਾਰ: ਪਰਬਲਯ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
18. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.29
19. ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ x=−y2−4y+12 ਬਣਾਓ।
20. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.30
21. ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ x=−y2+2y−3 ਬਣਾਓ।
22. ਸਾਰਣੀ 11.1 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਪਰਬਲਯ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ ਬਾਕਸ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x=a(y−k)2+h ਵਿੱਚ ਪਰਬਲਯ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਦੇ ਕਦਮਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅਗਲੀ ਮਿਸਾਲ ਵਿੱਚ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
23. ਮਿਸਾਲ 11.16
24. ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ x=2(y−2)2+1 ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਸਥਿਰਾਂਕ a, h, k ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | a=2,a=2,h=1,h=1,k=2k=2
ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ a=2,a=2, ਪਰਵਾਲਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ y=k.y=k ਹੈ। | ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ y=2.y=2 ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸਿਖਰ (h,k).(h,k) ਹੈ। | ਸਿਖਰ (1,2).(1,2) ਹੈ।
ਸਤਰ: y=0.y=0 ਦਾ ਮੁੱਲ ਰੱਖ ਕੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ। | x=2(y−2)2+1 x=2(0−2)2+1 x=9x=2(y−2)2+1 x=2(0−2)2+1 x=9
ਸਤਰ: x-ਅੰਤਰਖੰਡ (9,0).(9,0) ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਪਾਰ (9,0)(9,0) ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ ਪਤਾ ਕਰੋ। | (9,4)(9,4)
ਸਤਰ: y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ। x=0.x=0 ਮੰਨੋ। | x=2(y−2)2+1 0=2(y−2)2+1 −1=2(y−2)2x=2(y−2)2+1 0=2(y−2)2+1 −1=2(y−2)2
ਸਤਰ: ਇੱਕ ਵਰਗ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ ਅਸਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਸਤਰ: ਪਰਵਾਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 11.31
ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x=3(y−1)2+2x=3(y−1)2+2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 11.32
ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x=2(y−3)2+2x=2(y−3)2+2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ a ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਪਰਵਾਲਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.17
ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x=−4(y+1)2+4x=−4(y+1)2+4 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਸਥਿਰਾਂਕ a, h, k ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | a=−4,a=−4,h=4,h=4,k=−1k=−1
ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ a=−4,a=−4, ਪਰਵਾਲਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ y=k.y=k ਹੈ। | ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ y=−1.y=−1 ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸਿਖਰ (h,k).(h,k) ਹੈ। | ਸਿਖਰ (4,−1).(4,−1) ਹੈ।
ਸਤਰ: y=0.y=0 ਦਾ ਮੁੱਲ ਰੱਖ ਕੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ। | x=−4(y+1)2+4 x=−4(0+1)2+4 x=0x=−4(y+1)2+4 x=−4(0+1)2
ਸਤਰ: x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,0) ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਪਾਰ (0,0) ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ। | (0,−2)
ਸਤਰ: y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। | x=−4(y+1)2+4
ਮੰਨ ਲਓ x=0। | 0=−4(y+1)2+4 −4=−4(y+1)2 1=(y+1)2 y+1=±1
y=−1+1, y=−1−1
y=0, y=−2
y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,0) ਅਤੇ (0,−2) ਹਨ।
ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 11.33
ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x=−4(y+2)2+4 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 11.34
ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x=−2(y+3)2+2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾਉਣ ਅਤੇ ਫਿਰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.18
x=2y2+12y+17 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ x=a(y−k)2+h ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਸਥਿਰਾਂਕ a, h, k ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | a=2,h=−1,k=−3
ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ a=2, ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ y=k ਹੈ। | ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ y=−3 ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸਿਖਰ (h,k) ਹੈ। | ਸਿਖਰ (−1,−3) ਹੈ।
ਸਤਰ: y=0 ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। | x=2(y+3)2−1 x=2(0+3)2−1 x=17
ਸਤਰ: x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (17,0) ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਪਾਰ (17,0) ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ। | (17,−6)
1. ਕਤਾਰ: y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। x=0 ਮੰਨੋ। x=2(y+3)²−10 0=2(y+3)²−10 10=2(y+3)² 5=(y+3)² y+3=±√5 y=−3±√5
1. ਕਤਾਰ: y = -3 + 22y = -3 - 22y = -3 + 22y = -3 - 22
1. ਕਤਾਰ: y≈−2.3y≈−3.7y≈−2.3y≈−3.7
1. ਕਤਾਰ: y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,−3+22),(0,−3−22) ਹਨ।
1. ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
1. ਇਸ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 11.35
੧. ⓐ x = 3y² + 6y + 7 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ⓑ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
1. ਇਸ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 11.36
੧. ⓐ ਸਮੀਕਰਨ x=−4y2−16y−12 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ⓑ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਪਰਵਾਲਿਆਂ ਨਾਲ ਅਰਜ਼ੀਆਂ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰਲ ਡਿਜ਼ਾਈਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਵਾਲੇ (parabolas) ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਕੋਈ ਅਸਾਧਾਰਨ ਗੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਪੁਲਾਂ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਪਰਵਾਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦੇਖਾਂਗੇ।
1. ਅਨੁਭਵ ਦੀ ਅੰਤਿਮ ਸਥਿਤੀ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਭੇਦ ਖਤਮ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਉਹ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸਾਰੇ ਵੱਖਰੇ-ਵੱਖਰੇ ਤੱਤ ਏਕਤਾ ਵਿੱਚ ਮਿਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਪੁਲ ਦੀ ਨੀਂਹ ਵਿੱਚ ਬਣੇ ਪਰਵਲਯਾਕਾਰ (parabolic) ਕਮਾਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਪਰਵਾਲੇਖ (parabola) ਬਣਾਵਾਂਗੇ। ਗ੍ਰਾਫ ਸਾਨੂੰ ਉਹ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੇਵੇਗਾ ਜਿਸਦੀ ਸਾਨੂੰ ਲੋੜ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ y=a(x−h)2+k ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕੀਏ।
1. ਪੁਲ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਗ੍ਰਿਡ ਦਾ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਮੰਨੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਧਾਰ 20 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਹੈ, ਬਿੰਦੂ (20,0) ਹੇਠਲੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਪੁਲ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ 10 ਫੁੱਟ ਉੱਚਾ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਬਿੰਦੂ ਪਰਵਲੈਅ (parabola) ਦਾ ਸਿਖਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਖਰ ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ 10 ਹੋਵੇਗਾ। ਕਿਉਂਕਿ ਪੁਲ ਸਮਮਿਤੀ (symmetric) ਹੈ, ਸਿਖਰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਿੰਦੂ (20,0) ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਵਿਚਕਾਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਖਰ ਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਵੀ 10 ਹੋਵੇਗਾ।
1. ਕਤਾਰ: ਸਿਖਰ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ, (h,k).(h,k) | (h,k)=(10,10)(h,k)=(10,10)
1. ਕਤਾਰ: ਉਚਾਈ=10, ਚੌੜਾਈ=10
1. ਸਤਰ: ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। 'a' ਦਾ ਮੁੱਲ ਅਜੇ ਵੀ ਅਣਜਾਣ ਹੈ। 'a' ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪਰਬਲੈ ਦੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। y=a(x−h)2+k y=a(x−10)2+10 (x,y)=(0,0)
1. ਕਤਾਰ: ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। | y=a(x−10)2+10 0=a(0−10)2+10y=a(x−10)2+10 0=a(0−10)2+10
1. ਕਤਾਰ: a ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। | 0=a(0−10)2+10 −10=a(−10)2−10=100a−10100=aa=−1100=a(0−10)2+10 −10=a(−10)2−10=100a−10100=aa=−110
y=a(x−10)2+10
1. y = -110(x - 10)² + 10 ਵਿੱਚ 'a' ਦਾ ਮੁੱਲ ਬਦਲੋ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.37
ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਪੁਲ ਦੀ ਨੀਂਹ ਵਿੱਚ ਬਣੇ ਪਰਵਲਿਆਕਾਰ ਕਮਾਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 11.38
ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਪੁਲ ਦੀ ਨੀਂਹ ਵਿੱਚ ਬਣੇ ਪਰਵਲਿਆਕਾਰ ਕਮਾਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਕਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਇਕਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਕੋਨਿਕਸ ਅਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਦਾ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ
ਅਭਿਆਸ ਪਰਫੈਕਟ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ
ਵਰਟੀਕਲ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
y = − x 2 + 4 x − 3 y = − x 2 + 4 x − 3
y = − x 2 + 8 x − 15 y = − x 2 + 8 x − 15
y = 6 x 2 + 2 x − 1 y = 6 x 2 + 2 x − 1
y = 8 x 2 − 10 x + 3 y = 8 x 2 − 10 x + 3
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ⓐ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ⓑ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
y = − x 2 + 2 x − 4 y = − x 2 + 2 x − 4
y = 2 x 2 + 4 x + 6 y = 2 x 2 + 4 x + 6
y = −2 x 2 − 4 x − 5 y = −2 x 2 − 4 x − 5
y = 3 x 2 − 12 x + 7 y = 3 x 2 − 12 x + 7
ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
x = −2 y 2 x = −2 y 2
x = 3 y 2 x = 3 y 2
x = 4 y 2 x = 4 y 2
x = −4y^2
x = −y^2 − 2y + 3
x = −y^2 − 4y + 5
x = y^2 + 6y + 8
x = y^2 − 4y − 12
x = (y − 2)^2 + 3
x = (y − 1)^2 + 4
x = −(y − 1)^2 + 2
x = −(y − 4)^2 + 3
x = (y + 2)^2 + 1
x = (y + 1)^2 + 2
x = −(y + 3)^2 + 2
x = −(y + 4)^2 + 3
x = −3(y − 2)^2 + 3
x = −2(y − 1)^2 + 2
x = 4(y + 1)^2 − 4
x = 2(y + 4)^2 − 2
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ⓐ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ⓑ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
x = y^2 + 4y − 5
x = y^2 + 2y − 3
x = −2y^2 − 12y − 16
x = −3y^2 − 6y − 5
ਮਿਸ਼ਰਤ ਅਭਿਆਸ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਾਲ ਮੇਲ ਕਰੋ: ⓐ x^2 + y^2 = 64 ⓑ x^2 + y^2 = 49 ⓒ (x + 5)^2 + (y + 2)^2 = 4 ⓓ (x − 2)^2 + (y − 3)^2 = 9 ⓔ y = −x^2 + 8x − 15 ⓕ y = 6x^2 + 2x − 1
1. ਪਰਵਾਲਿਆਂ ਨਾਲ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਹੱਲ ਕਰੋ
2. ਪੁਲ ਦੀ ਨੀਂਹ ਵਿੱਚ ਬਣੇ ਪਰਵਾਲਾਕਾਰ ਮਹਿਰਾਬ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
3. ਪੁਲ ਦੀ ਨੀਂਹ ਵਿੱਚ ਬਣੇ ਪਰਵਾਲਾਕਾਰ ਮਹਿਰਾਬ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
4. ਪੁਲ ਦੀ ਨੀਂਹ ਵਿੱਚ ਬਣੇ ਪਰਵਾਲਾਕਾਰ ਮਹਿਰਾਬ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
5. ਪੁਲ ਦੀ ਨੀਂਹ ਵਿੱਚ ਬਣੇ ਪਰਵਾਲਾਕਾਰ ਮਹਿਰਾਬ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
6. ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
7. ਆਪਣੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਪਰਵਾਲੇ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
8. ਕੀ ਪਰਵਾਲਾ y=x2y=x2 ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ? ਕੀ ਪਰਵਾਲਾ x=y2x=y2 ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ।
9. ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵਾਲੇ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵਾਲੇ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਹਰੇਕ ਲਈ ਪਰਵਾਲੇ ਦਾ ਇੱਕ ਸਕੈਚ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੋ, ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
10. ਆਪਣੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਝਾਓ, ਤੁਸੀਂ ਇਸਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਪਰਵਾਲਾ ਉੱਪਰ, ਹੇਠਾਂ, ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
11. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
12. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
13. ⓑ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀ ਕਰੋਗੇ?