ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਬਦਲਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਮਿਟਾਉਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਨਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.13
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x−3y=−3x+y=5.{x−3y=−3x+y=5. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 4.2 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.14
ਬਦਲਣ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x−4y=−4−3x+4y=0.{x−4y=−4−3x+4y=0. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 4.7 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.15
ਮਿਟਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {3x−4y=−95x+3y=14.{3x−4y=−95x+3y=14. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 4.9 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ, ਬਦਲਣ ਅਤੇ ਮਿਟਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਹੀ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਾਲੇ ਅਨਰੇਖੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਅਨਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਰੇਖੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਅਨਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ।
ਅਨਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ
ਅਨਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਰੇਖੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਨਰੇਖੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਨਰੇਖੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੱਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਅਨਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਚੌਰਾਹੇ ਦਾ ਬਿੰਦੂ ਸੀ। ਅਨਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨਾਲ, ਗ੍ਰਾਫ ਚੱਕਰ, ਪਰਬੋਲਾ ਜਾਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਕਈ ਚੌਰਾਹੇ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਕਈ ਹੱਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਲੈਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਜੋ ਚੌਰਾਹੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਹੱਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਅਨਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨਾਲ ਲਗਭਗ ਉਹੀ ਕਦਮ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਨਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਥੋੜ੍ਹਾ ਸੋਧੇ ਗਏ ਹਨ। ਕਦਮ ਹਵਾਲੇ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਅਨਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਚੌਰਾਹੇ ਲਈ ਸੰਭਵ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
ਕਦਮ 2. ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
3. ਕਾਰਤੇਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਉੱਤੇ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
4. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਕੱਟਦੇ ਹਨ।
5. ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
6. ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੀ ਦੋਵੇਂ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
11.33 ਉਦਾਹਰਨ
ਗ੍ਰਾਫ਼ਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x−y=−2y=x2.{x−y=−2y=x2.
7. ਹੱਲ
8. ਕਤਾਰ: ਹਰੇਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | {x−y=−2 ਰੇਖਾ y=x2 ਪਰਵਾਲਾ{x−y=−2 ਰੇਖਾ y=x2 ਪਰਵਾਲਾ
9. ਕਤਾਰ: ਇੱਕ ਪਰਵਾਲਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਭਾਵੀ ਕੱਟਣ ਦੇ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
10. ਕਤਾਰ: ਰੇਖਾ, x−y=−2.x−y=−2. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਢਲਾਣ-ਅੰਤਰਖੰਡ ਰੂਪ y=x+2.y=x+2. ਪਰਵਾਲਾ, y=x2.y=x2. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
11. ਕਤਾਰ: ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂ (2,4)(2,4) ਅਤੇ (−1,1).(−1,1). ਜਾਪਦੇ ਹਨ।
12. ਕਤਾਰ: ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਹੱਲ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।(2,4)(2,4) x−y=−2y=x22−4=?−24=?22−2=−2✓4=4✓x−y=−2y=x22−4=?−24=?22−2=−2✓4=4✓ (−1,1)(−1,1) x−y=−2y=x2−1−1=?−21=?(−1)2−2=−2✓1=1✓x−y=−2y=x2−1−1=?−21=?(−1)2−2=−2✓1=1✓
13. ਕਤਾਰ: ਹੱਲ (2,4)(2,4) ਅਤੇ (−1,1).(−1,1). ਹਨ।
14. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 11.65
ਗ੍ਰਾਫ਼ਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x+y=4y=x2+2.{x+y=4y=x2+2.
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 11.66
ਗ੍ਰਾਫ਼ਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x−y=−1y=−x2+3.{x−y=−1y=−x2+3.
18. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ x2x2 ਅਤੇ y2y2 ਪਦਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ।
19. 11.34 ਉਦਾਹਰਨ
ਗ੍ਰਾਫ਼ਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {y=−1(x−2)2+(y+3)2=4.{y=−1(x−2)2+(y+3)2=4.
21. ਹੱਲ
22. ਕਤਾਰ: ਹਰੇਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | {y=−1 ਰੇਖਾ (x−2)2+(y+3)2=4 ਚੱਕਰ{y=−1 ਰੇਖਾ (x−2)2+(y+3)2=4 ਚੱਕਰ
23. ਕਤਾਰ: ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਭਾਵੀ ਕੱਟਣ ਦੇ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
24. ਕਤਾਰ: ਚੱਕਰ, (x−2)2+(y+3)2=4(x−2)2+(y+3)2=4 ਕੇਂਦਰ: (2,−3)(2,−3) ਅਰਧ ਵਿਆਸ: 2 ਰੇਖਾ, y=−1.y=−1. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਇਹ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੈ।
1. ਕਾਟ-ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | ਕਾਟ-ਬਿੰਦੂ (2,−1) ਹੈ।
2. ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਹੱਲ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਚਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। (2,−1) (x−2)2+(y+3)2=4y=−1(2−2)2+(−1+3)2=?4−1=−1✓(0)2+(2)2=?44=4✓(x−2)2+(y+3)2=4y=−1(2−2)2+(−1+3)2=?4−1=−1✓(0)2+(2)2=?44=4✓
3. ਹੱਲ (2,−1) ਹੈ।
4. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.67
5. ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x=−6(x+3)2+(y−1)2=9.{x=−6(x+3)2+(y−1)2=9.
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.68
7. ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {y=4(x−2)2+(y+3)2=4.{y=4(x−2)2+(y+3)2=4.
8. ਅਲੋਪਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ (substitution) ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰੋ।
9. ਗ੍ਰਾਫ ਵਿਧੀ ਉਦੋਂ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਾਟ-ਬਿੰਦੂ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪੜ੍ਹੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਪਰ ਅਕਸਰ ਕਾਟ-ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪੜ੍ਹਨਾ ਔਖਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਵਿਧੀ ਹੈ ਜੋ ਕਈ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰੇਗੀ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੋਵੇ।
10. ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ, ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਈ ਵਰਤੀ ਗਈ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਵਿਧੀ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਦਰਭ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
11. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
12. ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੁਆਰਾ ਅਲੋਪਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
13. ਕਦਮ 1. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਕਾਟ ਦੇ ਸੰਭਵ ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
14. ਕਦਮ 2. ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
15. ਕਦਮ 3. ਕਦਮ 2 ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
16. ਕਦਮ 4. ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
17. ਕਦਮ 5. ਕਦਮ 4 ਦੇ ਹਰੇਕ ਹੱਲ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
18. ਕਦਮ 6. ਹਰੇਕ ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ (ordered pair) ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
19. ਕਦਮ 7. ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਦੋਵੇਂ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 11.35
21. ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {9x2+y2=9y=3x−3.{9x2+y2=9y=3x−3.
22. ਹੱਲ
23. ਕਾਟ-ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | {9x2+y2=9 ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse)y=3x−3 ਰੇਖਾ{9x2+y2=9 ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse)y=3x−3 ਰੇਖਾ
24. ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਕਾਟ ਦੇ ਸੰਭਵ ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
y=3x−3 ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y ਦੀ ਥਾਂ 3x−3 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
y ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ y=3x−3 ਵਿੱਚ x=0 ਅਤੇ x=1 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ (0,−3), (1,0) ਹਨ।
ਦੋਵੇਂ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਖੋ। (0,−3) 9x2+y2=9 y=3x−3 9·02+(−3)2=?9 −3=?3·0−3 0+9=?9 −3=?0−3 9=9✓ −3=−3✓ (1,0) 9x2+y2=9 y=3x−3 9·12+02=?9 0=?3·1−3 9+0=?9 0=?3−3 9=9✓ 0=0✓
ਹੱਲ (0,−3), (1,0) ਹਨ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 11.69
ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x2+9y2=9 y=13x−3.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 11.70
ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {4x2+y2=4 y=x+2.
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਨਲਾਈਨਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਹਰੇਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਹੱਲ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਅਗਲਾ ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਕਲਪ ਦਿਖਾਏਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 11.36
ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x2−y=0 y=x−2.
ਹੱਲ
ਹਰੇਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | {x2−y=0 ਪੈਰਾਬੋਲਾ y=x−2 ਰੇਖਾ
ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਗਮ ਦੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
y=x−2 ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y ਦੀ ਥਾਂ x−2 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇਹ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਬਣਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
b2−4ac (−1)2−4·1·2−7 | ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ ਅਸਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 11.71
ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x2−y=0 y=2x−3.
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.72
2. ਬਦਲਵੀਂ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {y2−x=0y=3x−2.{y2−x=0y=3x−2.
3. ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਅਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
4. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ। ਅਸੀਂ ਅਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋਵੇਂ ਚੱਲ ਵਰਗ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹੋਣ। ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚੱਲ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੀਏ, ਤਾਂ ਉਹ ਚੱਲ ਖਤਮ ਹੋ ਜਾਵੇ।
5. ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਵਿਧੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਲਈ ਵਰਤੀ ਗਈ ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਬਹੁਤ ਮਿਲਦੀ-ਜੁਲਦੀ ਹੈ। ਕਦਮ ਹਵਾਲੇ ਲਈ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
6. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
7. ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
8. ਕਦਮ 1. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਕੱਟਣ ਦੇ ਸੰਭਾਵੀ ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
9. ਕਦਮ 2. ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
10. ਕਦਮ 3. ਇੱਕ ਚੱਲ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾਓ। ਫੈਸਲਾ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜਾ ਚੱਲ ਖਤਮ ਕਰੋਗੇ। ਉਸ ਚੱਲ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਰੋਧੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
11. ਕਦਮ 4. ਇੱਕ ਚੱਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਕਦਮ 3 ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
12. ਕਦਮ 5. ਬਾਕੀ ਚੱਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
13. ਕਦਮ 6. ਕਦਮ 5 ਤੋਂ ਹਰੇਕ ਹੱਲ ਨੂੰ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਦੂਜੇ ਚੱਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
14. ਕਦਮ 7. ਹਰੇਕ ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
15. ਕਦਮ 8. ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਦੋਵੇਂ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 11.37
17. ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x2+y2=4x2−y=4.{x2+y2=4x2−y=4.
18. ਹੱਲ
19. ਕਤਾਰ: ਹਰੇਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
20. ਕਤਾਰ: ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਕੱਟਣ ਦੇ ਸੰਭਾਵੀ ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
21. ਕਤਾਰ: ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ।
22. ਕਤਾਰ: x2 ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਗੁਣਾਂਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ।
23. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
24. ਕਤਾਰ: x2 ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
row: Solve for y.
row: Substitute y=0y=0 and y=−1y=−1 into one ofthe original equations. Then solve for x.
row: Write each solution as an ordered pair. | The ordered pairs are(−2,0)(−2,0) (2,0).(2,0).(3,−1)(−3,−1)(3,−1)(−3,−1)
row: Check that each ordered pair is asolution to both original equations.
row: We will leave the checks for each ofthe four solutions to you. | The solutions are (−2,0),(−2,0), (2,0),(2,0), (3,−1),(3,−1), and(−3,−1).(−3,−1).
Try It 11.73
Solve the system by elimination: {x2+y2=9x2−y=9.{x2+y2=9x2−y=9.
Try It 11.74
Solve the system by elimination: {x2+y2=1−x+y2=1.{x2+y2=1−x+y2=1.
There are also four options when we consider a circle and a hyperbola.
Example 11.38
Solve the system by elimination: {x2+y2=7x2−y2=1.{x2+y2=7x2−y2=1.
Solution
row: Identify each graph. | {x2+y2=7circlex2−y2=1hyperbola{x2+y2=7circlex2−y2=1hyperbola
row: Sketch the possible options for intersectionof a circle and hyperbola.
row: Both equations are in standard form. | {x2+y2=7x2−y2=1{x2+y2=7x2−y2=1
row: The coefficients of y2y2 are opposite, so wewill add the equations. | {x2+y2=7x2−y2=1__________2x2=8{x2+y2=7x2−y2=1__________2x2=8
row: Simplify. | x2=4x=±2x2=4x=±2x=2x=−2x=2x=−2
row: Substitute x=2x=2 and x=−2x=−2 into one of theoriginal equations. Then solve for y. | x2+y2=7x2+y2=722+y2=7(−2)2+y2=74+y2=74+y2=7y2=3y2=3y=±3y=±3x2+y2=7x2+y2=722+y2=7(−2)2+y2=74+y2=74+y2=7y2=3y2=3y=±3y=±3
row: Write each solution as an ordered pair. | The ordered pairs are (−2,3),(−2,3), (−2,−3),(−2,−3),(2,3),(2,3), and (2,−3).(2,−3).
row: Check that the ordered pair is a solution toboth original equations.
row: We will leave the checks for each of the foursolutions to you. | The solutions are (−2,3),(−2,3), (−2,−3),(−2,−3), (2,3),(2,3),and (2,−3).(2,−3).
Try It 11.75
Solve the system by elimination: {x2+y2=25y2−x2=7.{x2+y2=25y2−x2=7.
1. 11.76 ਅਜ਼ਮਾਓ
2. ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: {x2+y2=4x2−y2=4.{x2+y2=4x2−y2=4.
3. ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
4. ਅਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 11.39
6. ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 15 ਹੈ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 5 ਹੈ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭੋ।
7. ਹੱਲ
8. ਕਤਾਰ: ਅਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਪਛਾਣੋ। | ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ।
9. ਕਤਾਰ: ਵੇਰੀਏਬਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। | x=x= ਪਹਿਲੀ ਸੰਖਿਆ y=y= ਦੂਜੀ ਸੰਖਿਆ
10. ਕਤਾਰ: ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ।
11. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲਾ ਵਾਕ। | ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 15 ਹੈ।
12. ਕਤਾਰ: ਦੂਜਾ ਵਾਕ। | ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 5 ਹੈ।
13. ਕਤਾਰ: ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ
14. ਕਤਾਰ: ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
15. ਕਤਾਰ: x ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
16. ਕਤਾਰ: ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
17. ਕਤਾਰ: y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
18. ਕਤਾਰ: ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲੋ।
19. ਕਤਾਰ: ਸੰਖਿਆਵਾਂ 1 ਅਤੇ 4 ਹਨ।
20. 11.77 ਅਜ਼ਮਾਓ
21. ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ −20 ਹੈ।−20. ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 10 ਹੈ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭੋ।
22. 11.78 ਅਜ਼ਮਾਓ
23. ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 35 ਹੈ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ −1 ਹੈ।−1. ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭੋ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 11.40
ਮਾਇਰਾ ਨੇ ਆਪਣੀ ਰਸੋਈ ਲਈ 25 ਇੰਚ ਦਾ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਟੀਵੀ ਖਰੀਦਿਆ। ਟੀਵੀ ਦਾ ਆਕਾਰ ਸਕਰੀਨ ਦੇ ਵਿਕਰਨ (diagonal) 'ਤੇ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਕਰੀਨ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 300 ਵਰਗ ਇੰਚ ਹੈ। ਟੀਵੀ ਸਕਰੀਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
row: ਅਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ
row: ਵੇਰੀਏਬਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। | ਮੰਨ ਲਓ x = ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ, y = ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
row: ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਓ।
row: ਖੇਤਰਫਲ 300 ਵਰਗ ਇੰਚ ਹੈ।
row: ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। | ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਵਿਕਰਨ 25 ਇੰਚ ਹੈ।
row: ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 300 ਵਰਗ ਇੰਚ ਹੈ।
row: ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ (substitution) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
row: ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
row: x ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ।
row: ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
row: ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣ ਲਈ y² ਨੂੰ y² ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
row: ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਓ।
row: ਗੁਣਨਖੰਡਨ (factoring) ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰੋ।
row: ਕਿਉਂਕਿ y ਆਇਤ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
row: ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ।
row: ਜੇ ਲੰਬਾਈ 15 ਇੰਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਚੌੜਾਈ 20 ਇੰਚ ਹੈ।
row: ਜੇ ਲੰਬਾਈ 20 ਇੰਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਚੌੜਾਈ 15 ਇੰਚ ਹੈ।
ਟਰਾਈ ਇਟ 11.79
ਐਡਗਰ ਨੇ ਆਪਣੇ ਗੈਰਾਜ ਲਈ 20 ਇੰਚ ਦਾ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਟੀਵੀ ਖਰੀਦਿਆ। ਟੀਵੀ ਦਾ ਆਕਾਰ ਸਕਰੀਨ ਦੇ ਵਿਕਰਨ 'ਤੇ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਕਰੀਨ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 192 ਵਰਗ ਇੰਚ ਹੈ। ਟੀਵੀ ਸਕਰੀਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ਟਰਾਈ ਇਟ 11.80
ਹਾਰਪਰ ਪਰਿਵਾਰ ਨੇ ਆਪਣੇ ਪਰਿਵਾਰਕ ਕਮਰੇ ਲਈ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਮਾਈਕ੍ਰੋਵੇਵ ਖਰੀਦਿਆ। ਦਰਵਾਜ਼ੇ ਦਾ ਵਿਕਰਨ 15 ਇੰਚ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਦਰਵਾਜ਼ੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 108 ਵਰਗ ਇੰਚ ਹੈ। ਮਾਈਕ੍ਰੋਵੇਵ ਦਰਵਾਜ਼ੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ਮੀਡੀਆ
Access these online resources for additional instructions and practice with solving nonlinear equations.
Nonlinear Systems of Equations
Solve a System of Nonlinear Equations
Solve a System of Nonlinear Equations by Elimination
System of Nonlinear Equations – Area and Perimeter Application
Practice Makes Perfect
Solve a System of Nonlinear Equations Using Graphing
In the following exercises, solve the system of equations by using graphing.
{ y = 2 x + 2 y = − x 2 + 2 { y = 2 x + 2 y = − x 2 + 2
{ y = 6 x − 4 y = 2 x 2 { y = 6 x − 4 y = 2 x 2
{ x + y = 2 x = y 2 { x + y = 2 x = y 2
{ x − y = −2 x = y 2 { x − y = −2 x = y 2
{ y = 3 2 x + 3 y = − x 2 + 2 { y = 3 2 x + 3 y = − x 2 + 2
{ y = x − 1 y = x 2 + 1 { y = x − 1 y = x 2 + 1
{ x = −2 x 2 + y 2 = 4 { x = −2 x 2 + y 2 = 4
{ y = −4 x 2 + y 2 = 16 { y = −4 x 2 + y 2 = 16
{ x = 2 ( x + 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16 { x = 2 ( x + 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16
{ y = −1 ( x − 2 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 25 { y = −1 ( x − 2 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 25
{ y = −2 x + 4 y = x + 1 { y = −2 x + 4 y = x + 1
{ y = − 1 2 x + 2 y = x − 2 { y = − 1 2 x + 2 y = x − 2
Solve a System of Nonlinear Equations Using Substitution
In the following exercises, solve the system of equations by using substitution.
{ x 2 + 4 y 2 = 4 y = 1 2 x − 1 { x 2 + 4 y 2 = 4 y = 1 2 x − 1
{ 9 x 2 + y 2 = 9 y = 3 x + 3 { 9 x 2 + y 2 = 9 y = 3 x + 3
{ 9 x 2 + y 2 = 9 y = x + 3 { 9 x 2 + y 2 = 9 y = x + 3
{ 9 x 2 + 4 y 2 = 36 x = 2 { 9 x 2 + 4 y 2 = 36 x = 2
{ 4 x 2 + y 2 = 4 y = 4 { 4 x 2 + y 2 = 4 y = 4
{ x 2 + y 2 = 169 x = 12 { x 2 + y 2 = 169 x = 12
{ 3 x 2 − y = 0 y = 2 x − 1 { 3 x 2 − y = 0 y = 2 x − 1
{ 2 y 2 − x = 0 y = x + 1 { 2 y 2 − x = 0 y = x + 1
{ y = x 2 + 3 y = x + 3 { y = x 2 + 3 y = x + 3
{ y = x 2 − 4 y = x − 4 { y = x 2 − 4 y = x − 4
{ x 2 + y 2 = 25 x − y = 1 { x 2 + y 2 = 25 x − y = 1
{ x 2 + y 2 = 25 2 x + y = 10 { x 2 + y 2 = 25 2 x + y = 10
Solve a System of Nonlinear Equations Using Elimination
In the following exercises, solve the system of equations by using elimination.
{ x 2 + y 2 = 16 x 2 − 2 y = 8 { x 2 + y 2 = 16 x 2 − 2 y = 8
{ x 2 + y 2 = 16 x 2 − y = 4 { x 2 + y 2 = 16 x 2 − y = 4
{ x 2 + y 2 = 4 x 2 + 2 y = 1 { x 2 + y 2 = 4 x 2 + 2 y = 1
{ x 2 + y 2 = 4 x 2 − y = 2 { x 2 + y 2 = 4 x 2 − y = 2
{ x 2 + y 2 = 9 x 2 − y = 3 { x 2 + y 2 = 9 x 2 − y = 3
{ x 2 + y 2 = 4 y 2 − x = 2 { x 2 + y 2 = 4 y 2 − x = 2
{ x 2 + y 2 = 25 2 x 2 − 3 y 2 = 5 { x 2 + y 2 = 25 2 x 2 − 3 y 2 = 5
{ x 2 + y 2 = 20 x 2 − y 2 = −12 { x 2 + y 2 = 20 x 2 − y 2 = −12
{ x 2 + y 2 = 13 x 2 − y 2 = 5 { x 2 + y 2 = 13 x 2 − y 2 = 5
{ x 2 + y 2 = 16 x 2 − y 2 = 16 { x 2 + y 2 = 16 x 2 − y 2 = 16
{ 4 x 2 + 9 y 2 = 36 2 x 2 − 9 y 2 = 18 { 4 x 2 + 9 y 2 = 36 2 x 2 − 9 y 2 = 18
{ x 2 − y 2 = 3 2 x 2 + y 2 = 6 { x 2 − y 2 = 3 2 x 2 + y 2 = 6
{ 4 x 2 − y 2 = 4 4 x 2 + y 2 = 4 { 4 x 2 − y 2 = 4 4 x 2 + y 2 = 4
{ x 2 − y 2 = −5 3 x 2 + 2 y 2 = 30 { x 2 − y 2 = −5 3 x 2 + 2 y 2 = 30
{ x 2 − y 2 = 1 x 2 − 2 y = 4 { x 2 − y 2 = 1 x 2 − 2 y = 4
{ 2 x 2 + y 2 = 11 x 2 + 3 y 2 = 28 { 2 x 2 + y 2 = 11 x 2 + 3 y 2 = 28
Use a System of Nonlinear Equations to Solve Applications
In the following exercises, solve the problem using a system of equations.
The sum of two numbers is −6−6 and the product is 8. Find the numbers.
The sum of two numbers is 11 and the product is −42.−42. Find the numbers.
The sum of the squares of two numbers is 65. The difference of the numbers is 3. Find the numbers.
The sum of the squares of two numbers is 113. The difference of the numbers is 1. Find the numbers.
The difference of the squares of two numbers is 15. The difference of twice the square of the first number and the square of the second number is 30. Find the numbers.
The difference of the squares of two numbers is 20. The difference of the square of the first number and twice the square of the second number is 4. Find the numbers.
The perimeter of a rectangle is 32 inches and its area is 63 square inches. Find the length and width of the rectangle.
The perimeter of a rectangle is 52 cm and its area is 165 cm2.cm2. Find the length and width of the rectangle.
Dion purchased a new microwave. The diagonal of the door measures 17 inches. The door also has an area of 120 square inches. What are the length and width of the microwave door?
Jules purchased a microwave for his kitchen. The diagonal of the front of the microwave measures 26 inches. The front also has an area of 240 square inches. What are the length and width of the microwave?
Roman found a widescreen TV on sale, but isn’t sure if it will fit his entertainment center. The TV is 60”. The size of a TV is measured on the diagonal of the screen and a widescreen has a length that is larger than the width. The screen also has an area of 1728 square inches. His entertainment center has an insert for the TV with a length of 50 inches and width of 40 inches. What are the length and width of the TV screen and will it fit Roman’s entertainment center?
Donnette found a widescreen TV at a garage sale, but isn’t sure if it will fit her entertainment center. The TV is 50”. The size of a TV is measured on the diagonal of the screen and a widescreen has a length that is larger than the width. The screen also has an area of 1200 square inches. Her entertainment center has an insert for the TV with a length of 38 inches and width of 27 inches. What are the length and width of the TV screen and will it fit Donnette’s entertainment center?
Writing Exercises
In your own words, explain the advantages and disadvantages of solving a system of equations by graphing.
Explain in your own words how to solve a system of equations using substitution.
Explain in your own words how to solve a system of equations using elimination.
A circle and a parabola can intersect in ways that would result in 0, 1, 2, 3, or 4 solutions. Draw a sketch of each of the possibilities.
Self Check
ⓐ ਅਭਿਆਸ ਮੁਕੰਮਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਚੈਕਲਿਸਟ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤਿਆਰ ਹੋ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?