ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
(0,0) ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
(h,k) ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਕੋਨਿਕ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.10
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਹੱਲ ਕਰੋ: x²=12। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 9.1 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.11
ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ: (x−4)²। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.32 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 11.12
y=−2/3x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 3.4 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਕੇਂਦਰ (0, 0) ਵਾਲੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉ
ਆਖਰੀ ਕੋਨਿਕ ਭਾਗ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਉਸਨੂੰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਰਗਾ ਹੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਸਿਰਫ ਇਹ ਜੋੜ ਦੀ ਬਜਾਏ ਅੰਤਰ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਅੰਡਾਕਾਰ ਅਤੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਹੁਤ ਵੱਖਰੇ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਤਲ ਦੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਫੋਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਤਲ ਦੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਫੋਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਫੋਕੀ ਤੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਐਕਸਿਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਜਿੱਥੇ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਐਕਸਿਸ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਹਰ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਵਰਟੈਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫੋਕੀ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਸੈਗਮੈਂਟ ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਜੋ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਸੰਯੁਕਤ ਐਕਸਿਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਹਰੇਕ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ਾਖਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੁਬਾਰਾ ਸਾਡਾ ਟੀਚਾ ਇੱਕ ਕੋਨਿਕ ਦੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾ ਨਾਲ ਜੋੜਨਾ ਹੈ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ ਰੱਖਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਮੌਕਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਫੋਕੀ ((−c,0),(c,0)) x-ਐਕਸਿਸ 'ਤੇ ਹੋਣ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਹੋਵੇ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਫੋਕੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਾ ਅੰਤਰ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ |d₁−d₂| ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ 2a ਕਹਾਂਗੇ, ਇਸ ਲਈ |d₁−d₂|=2a। ਅਸੀਂ ਦੂਰੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਅਲਜਬਰਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ।
|d₁−d₂|=2a ਦੂਰੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ d₁,d₂|(x−(−c))²+(y−0)²−(x−c)²+(y−0)²|=2a ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ c²−a²=b² ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। x²/a²+y²/c²−a²=1 ਇਸ ਲਈ, ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ: x²/a²−y²/b²=1 |d₁−d₂|=2a ਦੂਰੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ d₁,d₂|(x−(−c))²+(y−0)²−(x−c)²+(y−0)²|=2a ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ c²−a²=b² ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। x²/a²+y²/c²−a²=1 ਇਸ ਲਈ, ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ: x²/a²−y²/b²=1
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਬਾਰੇ ਜਾਣਨਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਾਂਗੇ।
x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ x²/a²−y²/b²=1 x²/a²−y²/b²=1 y=0 ਮੰਨੋ। x²/a²−0²/b²=1 x=0 ਮੰਨੋ। 0²/a²−y²/b²=1 x²/a²=1 −y²/b²=1 x²=a² y²=−b² x=±a y=±−b² x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (a,0) ਅਤੇ (−a,0) ਹਨ। ਕੋਈ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਨਹੀਂ ਹਨ। x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ x²/a²−y²/b²=1 x²/a²−y²/b²=1 y=0 ਮੰਨੋ। x²/a²−0²/b²=1 x=0 ਮੰਨੋ। 0²/a²−y²/b²=1 x²/a²=1 −y²/b²=1 x²=a² y²=−b² x=±a y=±−b² x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (a,0) ਅਤੇ (−a,0) ਹਨ। ਕੋਈ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ a, b ਮੁੱਲ ਸਾਨੂੰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਅਸਮਤੋਟ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਵੀ ਮਦਦ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਸਮਤੋਟ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਿੱਧੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵੱਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ ਪਰ ਕਦੇ ਵੀ ਕੱਟਦੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x, y ਮੁੱਲ ਵੱਡੇ ਅਤੇ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
To find the asymptotes, we sketch a rectangle whose sides intersect the x-axis at the vertices (−a,0),(−a,0), (a,0)(a,0) and intersect the y-axis at (0,−b),(0,−b), (0,b).(0,b). The lines containing the diagonals of this rectangle are the asymptotes of the hyperbola. The rectangle and asymptotes are not part of the hyperbola, but they help us graph the hyperbola.
The asymptotes pass through the origin and we can evaluate their slope using the rectangle we sketched. They have equations y=baxy=bax and y=−bax.y=−bax.
There are two equations for hyperbolas, depending whether the transverse axis is vertical or horizontal. We can tell whether the transverse axis is horizontal by looking at the equation. When the equation is in standard form, if the x2-term is positive, the transverse axis is horizontal. When the equation is in standard form, if the y2-term is positive, the transverse axis is vertical.
The second equations could be derived similarly to what we have done. We will summarize the results here.
Standard Form of the Equation a Hyperbola with Center ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )
The standard form of the equation of a hyperbola with center (0,0),(0,0), is
Notice that, unlike the equation of an ellipse, the denominator of x2x2 is not always a2a2 and the denominator of y2y2 is not always b2.b2.
Notice that when the x2x2-term is positive, the transverse axis is on the x-axis. When the y2y2-term is positive, the transverse axis is on the y-axis.
row: Standard Forms of the Equation a Hyperbola with Center (0,0)(0,0)
row: x2a2−y2b2=1x2a2−y2b2=1 | y2a2−x2b2=1y2a2−x2b2=1
row: Orientation | Transverse axis on the x-axis.Opens left and right | Transverse axis on the y-axis.Opens up and down
row: Vertices | (−a,0),(−a,0), (a,0)(a,0) | (0,−a),(0,−a), (0,a)(0,a)
row: x-intercepts | (−a,0),(−a,0), (a,0)(a,0) | none
row: y-intercepts | none | (0,−a),(0,−a), (0,a)(0,a)
row: Rectangle | Use (±a,0)(±a,0) (0,±b)(0,±b) | Use (0,±a)(0,±a) (±b,0)(±b,0)
row: asymptotes | y=bax,y=bax, y=−baxy=−bax | y=abx,y=abx, y=−abxy=−abx
We will use these properties to graph hyperbolas.
Example 11.27
How to Graph a Hyperbola with Center (0,0)(0,0)
Graph x225−y24=1.x225−y24=1.
Solution
Try It 11.53
Graph x216−y24=1.x216−y24=1.
Try It 11.54
1. x29−y216=1.x29−y216=1.
2. ਅਸੀਂ ਸੰਦਰਭ ਲਈ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
3. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
4. (0,0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।(0,0).
5. ਕਦਮ 1. ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
6. ਕਦਮ 2. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਧੁਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਹੈ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ।
7. ਕਦਮ 3. ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ।
8. ਕਦਮ 4. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ ਜੋ ਇੱਕ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ±a±a ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ±b 'ਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ।±b.
9. ਕਦਮ 5. ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ—ਆਇਤ ਦੇ ਵਿਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ।
10. ਕਦਮ 6. ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਦੋ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਬਣਾਓ।
11. ਕਈ ਵਾਰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 11.28
13. 4y2−16x2=64.4y2−16x2=64 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
14. ਹੱਲ
15. ਕਤਾਰ: 4y2−16x2=644y2−16x2=64
16. ਕਤਾਰ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 1 ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ 64 ਨਾਲ ਵੰਡੋ। | 4y264−16x264=64644y264−16x264=6464
17. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਬਣਾਓ। | y216−x24=1y216−x24=1
18. ਕਤਾਰ: ਕਿਉਂਕਿ y2-ਪਦ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਧੁਰਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ a2=16a2=16 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ a=±4.a=±4.
19. ਕਤਾਰ: ਸਿਖਰ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹਨ, (0,−a),(0,−a), (0,a).(0,a). ਕਿਉਂਕਿ b2=4b2=4 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ b=±2.b=±2. | (0,−4),(0,−4), (0,4)(0,4)
20. ਕਤਾਰ: x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ (−2,0),(−2,0), (2,0)(2,0) ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ 'ਤੇ ਮਿਲਣ ਵਾਲੀ ਆਇਤ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ। ਆਇਤ ਦੇ ਵਿਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀਆਂ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਦੋ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਬਣਾਓ।
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.55
22. 4y2−25x2=100.4y2−25x2=100 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
23. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 11.56
24. 25y2−9x2=225.25y2−9x2=225 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
Graph a Hyperbola with Center at (h,k)(h,k)
Hyperbolas are not always centered at the origin. When a hyperbola is centered at (h,k)(h,k) the equations changes a bit as reflected in the table.
row: Standard Forms of the Equation a Hyperbola with Center (h,k)(h,k)
row: (x−h)2a2−(y−k)2b2=1(x−h)2a2−(y−k)2b2=1 | (y−k)2a2−(x−h)2b2=1(y−k)2a2−(x−h)2b2=1
row: Orientation | Transverse axis is horizontal.Opens left and right | Transverse axis is vertical.Opens up and down
row: Center | (h,k)(h,k) | (h,k)(h,k)
row: Vertices | a units to the left and right of the center | a units above and below the center
row: Rectangle | Use a units left/right of centerb units above/ below the center | Use a units above/below the centerb units left/right of center
Example 11.29
How to Graph a Hyperbola with Center (h,k)(h,k)
Graph (x−1)29−(y−2)216=1(x−1)29−(y−2)216=1
Solution
Try It 11.57
Graph (x−3)225−(y−1)29=1.(x−3)225−(y−1)29=1.
Try It 11.58
Graph (x−2)24−(y−2)29=1.(x−2)24−(y−2)29=1.
We summarize the steps for easy reference.
How To
Graph a hyperbola centered at (h,k).(h,k).
Step 1. Write the equation in standard form.
Step 2. Determine whether the transverse axis is horizontal or vertical.
Step 3. Find the center and a, b.
Step 4. Sketch the rectangle centered at (h,k)(h,k) using a, b.
Step 5. Sketch the asymptotes—the lines through the diagonals of the rectangle. Mark the vertices.
6. ਦੋ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚੋ।
2. ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹੋ। ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x−hx−h ਅਤੇ y−ky−k ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (h,k).(h,k) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
11.30 ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ
(y+2)29−(x+1)24=1.(y+2)29−(x+1)24=1. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ y2-y2-ਪਦ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਕੇਂਦਰ, (h,k).(h,k) ਲੱਭੋ। | ਕੇਂਦਰ: (−1,−2)(−1,−2)
ਸਤਰ: a, b ਲੱਭੋ। | a=3a=3 b=2b=2
ਸਤਰ: ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 3 ਯੂਨਿਟ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 2 ਯੂਨਿਟ ਖੱਬੇ/ਸੱਜੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਆਇਤ ਨੂੰ ਖਿੱਚੋ। ਆਸਮਤੋਟਸ ਖਿੱਚੋ—ਆਇਤ ਦੇ ਵਿਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ। ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰੋ। ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
11.59 ਅਜ਼ਮਾਓ
(y+3)216−(x+2)29=1.(y+3)216−(x+2)29=1. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
11.60 ਅਜ਼ਮਾਓ
(y+2)29−(x+2)29=1.(y+2)29−(x+2)29=1. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਦੁਬਾਰਾ, ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਵਜੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ।
11.31 ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ 4x2−9y2−24x−36y−36=0.4x2−9y2−24x−36y−36=0. ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ, ਵਰਗ ਪੂਰੇ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਅਚੱਲ ਨੂੰ 1 ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ 36 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ।
ਸਤਰ: ਕਿਉਂਕਿ x2-x2-ਪਦ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਕੇਂਦਰ, (h,k).(h,k) ਲੱਭੋ। | ਕੇਂਦਰ: (3,−2)(3,−2)
ਸਤਰ: a, b ਲੱਭੋ। | a=3b=4a=3b=4
ਸਤਰ: ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 3 ਯੂਨਿਟ ਖੱਬੇ/ਸੱਜੇ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 2 ਯੂਨਿਟ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਆਇਤ ਨੂੰ ਖਿੱਚੋ। ਆਸਮਤੋਟਸ ਖਿੱਚੋ—ਆਇਤ ਦੇ ਵਿਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ। ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰੋ। ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
11.61 ਅਜ਼ਮਾਓ
੧. (ੳ) ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ (ਅ) 9x²−16y²+18x+64y−199=0 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ
੧. ⓐ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ⓑ 16x²−25y²+96x−50y−281=0 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
1. ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਛਾਣੋ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਪੂਰਾ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮੀਕਰਨਾਂ 'ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਕੁਝ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਪਛਾਣਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਾਂਗੇ। ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੋਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਜਾਣ ਸਕੀਏ ਕਿ ਅਗਲੇ ਕਦਮ ਕੀ ਚੁੱਕਣੇ ਹਨ।
ਸੰਕੂ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਪਛਾਣਨ ਲਈ, ਇਹ ਸੌਖਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਚੱਲ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਅਚੱਲ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਰੱਖੀਏ।
1. ਸਤਰ: ਸ਼ੰਕੂ | x²-x²- ਅਤੇ y²-y²- ਪਦਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ | ਉਦਾਹਰਨ
1. ਕਤਾਰ: ਪਰਬੋਲਾ | ਜਾਂ ਤਾਂ x^2x^2 ਜਾਂ y^2y^2। ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਰਗ ਹੈ। | x=3y^2−2y+1x=3y^2−2y+1
1. ਪੰਕਤੀ: ਚੱਕਰ | x2-x2- ਅਤੇ y2-y2- ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਸਮਾਨ ਹਨ | x2+y2=49x2+y2=49
1. ਅੰਡਾਕਾਰ: x2-x2- ਅਤੇ y2-y2- ਪਦਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਪਰ ਗੁਣਾਂਕ ਭਿੰਨ ਹਨ | 4x2+25y2=1004x2+25y2=100
1. ਪਰਵਲਯ | x²-x²- ਅਤੇ y²-y²- ਪਦਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵੱਖਰੇ, ਗੁਣਾਂਕ ਵੱਖਰੇ | 25y²−4x²=100
1. ਉਦਾਹਰਨ ੧੧.੩੨
1. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਚੱਕਰ, ਪਰਵਲੈ, ਅੰਡਾਕਾਰ, ਜਾਂ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ।
੧. ੯x² + ੪y² + ੫੬y + ੧੬੦ = ੦ ੯x² - ੧੬y² + ੧੮x + ੬੪y - ੧੯੯ = ੦ x² + y² - ੬x - ੮y = ੦ y = -੨x² - ੪x - ੫
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਏਹ ਸਭ ਕੁਝ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਅਨੁਭਵ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਭ੍ਰਮ ਹੈ।
9x^2 + 4y^2 + 56y + 160 = 0
1. ਕਤਾਰ: x2x2- ਅਤੇ y2y2-ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂਕ ਭਿੰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। | ਅੰਡਾਕਾਰ
1. ⓑ
9x2−16y2+18x+64y−199=0
1. ਕਤਾਰ: x2x2- ਅਤੇ y2y2- ਪਦਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵੱਖਰੇ ਹਨ। | ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ
1. ਛੋਟਾ ਜਿਹਾ।
x2+y2−6x−8y=0
1. ਸਤਰ: x2x2 ਅਤੇ y2y2 ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਸਮਾਨ ਹਨ। | ਚੱਕਰ
ⓓ
row: y=−2x2−4x−5y=−2x2−4x−5
row: Only one variable, xx, is squared. | Parabola
Try It 11.63
Identify the graph of each equation as a circle, parabola, ellipse, or hyperbola.
ⓐ x2+y2−8x−6y=0x2+y2−8x−6y=0 ⓑ 4x2+25y2=1004x2+25y2=100 ⓒ y=6x2+2x−1y=6x2+2x−1 ⓓ 16y2−9x2=14416y2−9x2=144
Try It 11.64
Identify the graph of each equation as a circle, parabola, ellipse, or hyperbola.
ⓐ 16x2+9y2=14416x2+9y2=144 ⓑ y=2x2+4x+6y=2x2+4x+6 ⓒ x2+y2+2x+6y+9=0x2+y2+2x+6y+9=0 ⓓ 4x2−16y2=644x2−16y2=64
Media
Access these online resources for additional instructions and practice with hyperbolas.
Graph a Hyperbola with Center at the Origin
Graph a Hyperbola with Center not at the Origin
Graph a Hyperbola in General Form
Identifying Conic Sections in General Form
Practice Makes Perfect
Graph a Hyperbola with Center at (0,0)(0,0)
In the following exercises, graph.
x 2 9 − y 2 4 = 1 x 2 9 − y 2 4 = 1
x 2 25 − y 2 9 = 1 x 2 25 − y 2 9 = 1
x 2 16 − y 2 25 = 1 x 2 16 − y 2 25 = 1
x 2 9 − y 2 36 = 1 x 2 9 − y 2 36 = 1
y 2 25 − x 2 4 = 1 y 2 25 − x 2 4 = 1
y 2 36 − x 2 16 = 1 y 2 36 − x 2 16 = 1
16 y 2 − 9 x 2 = 144
25 y 2 − 9 x 2 = 225
4 y 2 − 9 x 2 = 36
16 y 2 − 25 x 2 = 400
4 x 2 − 16 y 2 = 64
9 x 2 − 4 y 2 = 36
ਕੇਂਦਰ (h,k) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਅਤਿਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
( x − 1 ) 2 16 − ( y − 3 ) 2 4 = 1
( x − 2 ) 2 4 − ( y − 3 ) 2 16 = 1
( y − 4 ) 2 9 − ( x − 2 ) 2 25 = 1
( y − 1 ) 2 25 − ( x − 4 ) 2 16 = 1
( y + 4 ) 2 25 − ( x + 1 ) 2 36 = 1
( y + 1 ) 2 16 − ( x + 1 ) 2 4 = 1
( y − 4 ) 2 16 − ( x + 1 ) 2 25 = 1
( y + 3 ) 2 16 − ( x − 3 ) 2 36 = 1
( x − 3 ) 2 25 − ( y + 2 ) 2 9 = 1
( x + 2 ) 2 4 − ( y − 1 ) 2 9 = 1
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ⓐ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ⓑ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
9 x 2 − 4 y 2 − 18 x + 8 y − 31 = 0
16 x 2 − 4 y 2 + 64 x − 24 y − 36 = 0
y 2 − x 2 − 4 y + 2 x − 6 = 0
4 y 2 − 16 x 2 − 24 y + 96 x − 172 = 0
9 y 2 − x 2 + 18 y − 4 x − 4 = 0
Identify the Graph of each Equation as a Circle, Parabola, Ellipse, or Hyperbola
In the following exercises, identify the type of graph.
ⓐ x=−y2−2y+3x=−y2−2y+3 ⓑ 9y2−x2+18y−4x−4=09y2−x2+18y−4x−4=0 ⓒ 9x2+25y2=2259x2+25y2=225 ⓓ x2+y2−4x+10y−7=0x2+y2−4x+10y−7=0
ⓐ x=−2y2−12y−16x=−2y2−12y−16 ⓑ x2+y2=9x2+y2=9 ⓒ 16x2−4y2+64x−24y−36=016x2−4y2+64x−24y−36=0 ⓓ 16x2+36y2=57616x2+36y2=576
Mixed Practice
In the following exercises, graph each equation.
( y − 3 ) 2 9 − ( x + 2 ) 2 16 = 1 ( y − 3 ) 2 9 − ( x + 2 ) 2 16 = 1
x 2 + y 2 − 4 x + 10 y − 7 = 0 x 2 + y 2 − 4 x + 10 y − 7 = 0
y = ( x − 1 ) 2 + 2 y = ( x − 1 ) 2 + 2
x 2 9 + y 2 25 = 1 x 2 9 + y 2 25 = 1
( x + 2 ) 2 + ( y − 5 ) 2 = 4 ( x + 2 ) 2 + ( y − 5 ) 2 = 4
y 2 − x 2 − 4 y + 2 x − 6 = 0 y 2 − x 2 − 4 y + 2 x − 6 = 0
x = − y 2 − 2 y + 3 x = − y 2 − 2 y + 3
16 x 2 + 9 y 2 = 144 16 x 2 + 9 y 2 = 144
Writing Exercises
In your own words, define a hyperbola and write the equation of a hyperbola centered at the origin in standard form. Draw a sketch of the hyperbola labeling the center, vertices, and asymptotes.
Explain in your own words how to create and use the rectangle that helps graph a hyperbola.
Compare and contrast the graphs of the equations x24−y29=1x24−y29=1 and y29−x24=1.y29−x24=1.
Explain in your own words, how to distinguish the equation of an ellipse with the equation of a hyperbola.
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ On a scale of 1-10, how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?