Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
Write the first few terms of a sequence
Find a formula for the general term (nth term) of a sequence
Use factorial notation
Find the partial sum
Use summation notation to write a sum
Be Prepared 12.1
Before you get started, take this readiness quiz.
Evaluate 2n+32n+3 for the integers 1, 2, 3, and 4. If you missed this problem, review Example 1.6.
Be Prepared 12.2
Evaluate (−1)n(−1)n for the integers 1, 2, 3, and 4. If you missed this problem, review Example 1.19.
Be Prepared 12.3
If f(n)=n2+2,f(n)=n2+2, find f(1)+f(2)+f(3).f(1)+f(2)+f(3). If you missed this problem, review Example 3.49.
Write the First Few Terms of a Sequence
Let’s look at the function f(x)=2xf(x)=2x and evaluate it for just the counting numbers.
row: f(x)=2xf(x)=2x
row: xx | 2x2x
row: 1 | 2
row: 2 | 4
row: 3 | 6
row: 4 | 8
row: 5 | 10
row: … | …
ਜੇ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ 2, 4, 6, 8, ਅਤੇ 10 ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰੀਏ, … ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਲੜੀ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਲੜੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਲੜੀ
ਲੜੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਲੜੀ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਸੂਚੀ ਵਜੋਂ ਵੀ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਪਦ ਹੈ। ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੀ ਅਨੰਤ ਸੰਖਿਆ ਜਾਂ ਸੀਮਤ ਸੰਖਿਆ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਸਾਡੀ ਲੜੀ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ (ਡਾਟ) ਹਨ ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਸੂਚੀ ਕਦੇ ਖਤਮ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਜੇ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਤਾਂ ਲੜੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੈ ਅਤੇ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਅਨੰਤ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਜੇ ਅਸੀਂ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਸੰਖਿਆ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਲੜੀ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਲੜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਪਹਿਲੀਆਂ ਚਾਰ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, 1, 2, 3, 4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਸਾਡੀ ਲੜੀ ਸੀਮਤ ਲੜੀ ਹੋਵੇਗੀ,
ਅਕਸਰ ਲੜੀਆਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਪਦ ਲਿਖਣਾ ਨਹੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸੰਖੇਪ ਤਰੀਕਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰੇਕ ਪਦ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ f(x)=2x ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 2x ਸਮੀਕਰਨ ਉਹ ਨਿਯਮ ਸੀ ਜੋ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਸੀ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਲੜੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ f(x)=2x ਲਿਖਣ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ an=2n ਲਿਖਾਂਗੇ। an ਲੜੀ ਦਾ n-ਵਾਂ ਪਦ ਹੈ, n-ਵੇਂ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਪਦ ਜਿੱਥੇ n ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਹੈ। n-ਵੇਂ ਪਦ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲੜੀ ਦਾ ਆਮ ਪਦ ਜਾਂ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਲੜੀ ਦਾ ਆਮ ਪਦ
ਲੜੀ ਦਾ ਆਮ ਪਦ, ਲੜੀ ਦੇ n-ਵੇਂ ਪਦ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਤੋਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਲੜੀ ਦਾ n-ਵਾਂ ਪਦ, an, n-ਵੇਂ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਪਦ ਹੈ ਜਿੱਥੇ n ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਲੜੀ ਦਾ ਆਮ ਪਦ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ n ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਪਦ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। an=2n ਲਈ,
ਕਤਾਰ: n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | an
ਕਤਾਰ: an | 2·1 | 2·2 | 2·3 | 2·4 | 2·5 | 2n
ਲੜੀ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਦੇ ਆਮ ਪਦ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.1
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=4n−3 ਹੈ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ, an=4n−3, ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ 1, 2, 3, 4, ਅਤੇ 5 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ 1, 5, 9, 13, ਅਤੇ 17 ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.1
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=3n−4 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.2
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=2n−5 ਹੈ।
ਕੁਝ ਲੜੀਆਂ ਲਈ, ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.2
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=2n+1 ਹੈ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਮੁੱਲ 1, 2, 3, 4, ਅਤੇ 5 ਨੂੰ ਸੂਤਰ, an=2n+1, an=2n+1, ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਮ ਅਨੁਸਾਰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ 3, 5, 9, 17, ਅਤੇ 33 ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.3
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=3n+4. an=3n+4 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.4
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=2n−5. an=2n−5 ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਲੜੀ ਦੇ ਆਮ ਪਦ ਵਿੱਚ (−1)n(−1)n ਜਾਂ (−1)n+1(−1)n+1 ਦੇ ਪਦ ਵੇਖਣਾ ਅਸਾਧਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਕੁਝ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਗਿਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਪਦ ਪਦਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: nn | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
ਸਾਰਣੀ: (−1)n(−1)n | (−1)1−1(−1)1−1 | (−1)21(−1)21 | (−1)3−1(−1)3−1 | (−1)41(−1)41 | (−1)5−1(−1)5−1
ਸਾਰਣੀ: (−1)n+1(−1)n+1 | (−1)1+11(−1)1+11 | (−1)2+1−1(−1)2+1−1 | (−1)3+11(−1)3+11 | (−1)4+1−1(−1)4+1−1 | (−1)5+11(−1)5+11
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਪਦ −1 ਦੇ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਣਗੇ।−1.
ਉਦਾਹਰਨ 12.3
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=(−1)nn3. an=(−1)nn3 ਹੈ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਮੁੱਲ 1, 2, 3, 4, ਅਤੇ 5 ਨੂੰ ਸੂਤਰ, an=(−1)nn3, an=(−1)nn3, ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਮ ਅਨੁਸਾਰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ −1,8,−27,64,−1,8,−27,64, ਅਤੇ −125. −125 ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.5
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=(−1)nn2. an=(−1)nn2 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.6
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=(−1)n+1n3. an=(−1)n+1n3 ਹੈ।
ਆਮ ਪਦ (nth ਪਦ) ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਲੱਭੋ
ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਲੜੀ ਦੇ ਕੁਝ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹ ਆਮ ਪਦ ਜਾਂ nth ਪਦ ਨੂੰ ਜਾਣਨਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਆਮ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਅਕਸਰ ਪੈਟਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾਂ ਜਾਂ ਘਾਤਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.4
ਉਹਨਾਂ ਲੜੀ ਦੇ ਆਮ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਹੱਲ
ਪੰਕਤੀ: ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਪੰਕਤੀ: ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸਾਰੀਆਂ 4 ਦੇ ਗੁਣਜ ਹਨ।
ਪੰਕਤੀ: ਲੜੀ ਦਾ ਆਮ ਪਦ an=4n ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.7
ਉਹਨਾਂ ਲੜੀ ਦੇ ਆਮ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
3, 6, 9, 12, 15,...
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.8
ਉਹਨਾਂ ਲੜੀ ਦੇ ਆਮ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
5, 10, 15, 20, 25,...
ਉਦਾਹਰਨ 12.5
ਉਹਨਾਂ ਲੜੀ ਦੇ ਆਮ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਹੱਲ
ਪੰਕਤੀ: ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਪੰਕਤੀ: ਸੰਖਿਆਵਾਂ 2 ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਹਨ। ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਰਹੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਮ n ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
ਪੰਕਤੀ: ਲੜੀ ਦਾ ਆਮ ਪਦ an=(−1)n+12n ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.9
ਉਹਨਾਂ ਲੜੀ ਦੇ ਆਮ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
−3, 9, −27, 81, −243,...
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.10
ਉਹਨਾਂ ਲੜੀ ਦੇ ਆਮ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
1, −4, 9, −16, 25,...
ਉਦਾਹਰਨ 12.6
ਉਸ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਪਦ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਹੱਲ
ਪੰਗਤੀ: ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਪੰਗਤੀ: ਅੰਸ਼ ਸਾਰੇ 1 ਹਨ।
ਪੰਗਤੀ: ਹਰ (ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ) 3 ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਹਨ। ਆਮ ਪਦ ਲੜੀ an=13n ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.11
ਉਸ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਪਦ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32,...
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.12
ਉਸ ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਪਦ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
1/1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25,...
ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਲੜੀਆਂ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਅਜਿਹੇ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 5!, ਜਿਸਨੂੰ 5 ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦਾ ਮਤਲਬ 5·4·3·2·1 ਹੈ। ਵਿਸਮਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਇੱਥੇ ਵਿਰਾਮ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਹ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
ਜੇਕਰ n ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਤਾਂ n!
ਅਸੀਂ 0! ਨੂੰ 1 ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ 0!=1।
ਪਹਿਲੇ 5 ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਲਈ n! ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.7
ਉਸ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=1n! ਹੈ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ, an=1n!, ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 1, 2, 3, 4, 5 ਦੇ ਮੁੱਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ 1, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120 ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.13
ਉਸ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=2n! ਹੈ।
1. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.14
2. ਉਸ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=3n! ਹੈ।
3. ਜਦੋਂ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਇਕੱਠੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
4. ਉਦਾਹਰਨ 12.8
5. ਉਸ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=(n+1)!(n−1)! ਹੈ।
6. ਹੱਲ
7. ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ, 1, 2, 3, 4, 5 ਦੇ ਮੁੱਲ, an=(n+1)!(n−1)! ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
8. ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ 2, 6, 12, 20, ਅਤੇ 30 ਹਨ।
9. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.15
10. ਉਸ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=(n−1)!(n+1)! ਹੈ।
11. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.16
12. ਉਸ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ an=n!(n+1)! ਹੈ।
13. ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ
14. ਕਈ ਵਾਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਿਰਫ਼ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਲੜੀ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਸਾਡੇ ਲਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਿਰਫ਼ ਪਲੱਸ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, a1+a2+a3+a4+a5 ਨੂੰ ∑i=15ai ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ "i ਬਰਾਬਰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਪੰਜ ਤੱਕ a ਸਬ i ਦਾ ਜੋੜ" ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ। ∑ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਮਤਲਬ ਜੋੜਨਾ ਹੈ ਅਤੇ i ਜੋੜ ਦਾ ਸੂਚਕਾਂਕ ਹੈ। 1 ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿੱਥੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਹੈ (ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ) ਅਤੇ 5 ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿੱਥੇ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਹੈ (ਅੰਤਿਮ ਮੁੱਲ)।
16. ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
17. ਉਸ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਜਿਸਦਾ nth ਪਦ an ਹੈ, ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
18. i ਜੋੜ ਦਾ ਸੂਚਕਾਂਕ ਹੈ ਅਤੇ 1 ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿੱਥੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਹੈ ਅਤੇ n ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿੱਥੇ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਹੈ।
19. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸੀਮਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 12.9
21. ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ∑i=152i।
22. ਹੱਲ
23. ∑i=152i
24. ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 1, 2, 3, 4, 5 ਦੇ ਮੁੱਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। | 2·1+2·2+2·3+2·4+2·5
ਸਾਰਣੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 2+4+6+8+102+4+6+8+10
ਸਾਰਣੀ: ਜੋੜੋ। | 3030
∑i=152i=30∑i=152i=30
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 12.17
ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ∑i=153i.∑i=153i.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 12.18
ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ∑i=154i.∑i=154i.
ਸੂਚਕਾਂਕ ਹਮੇਸ਼ਾ i ਨਹੀਂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ, ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਵੀ ਅੱਖਰ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ i ਅਤੇ k ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਸੂਚਕਾਂਕ 1 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ—ਇਹ ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਅਤੇ ਖਤਮ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.10
ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ∑k=031k!.∑k=031k!.
ਹੱਲ
ਸਾਰਣੀ: ∑k=031k!∑k=031k!
ਸਾਰਣੀ: ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 0, 1, 2, 3 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। | 10!+11!+12!+13!10!+11!+12!+13!
ਸਾਰਣੀ: ਗੁਣਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। | 11+11+12+1611+11+12+16
ਸਾਰਣੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 1+1+36+161+1+36+16
ਸਾਰਣੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 166166
ਸਾਰਣੀ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 8383
ਸਾਰਣੀ: ∑k=031k!=83∑k=031k!=83
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 12.19
ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ∑k=032k!.∑k=032k!.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 12.20
ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ∑k=033k!.∑k=033k!.
ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਜੋੜ ਲਿਖੋ
ਆਖਰੀ ਦੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਜੋੜ ਲਿਖਣ ਤੱਕ ਗਏ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜੋੜ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਂਗੇ। ਇਹ ਕਿਸੇ ਲੜੀ ਦਾ ਆਮ ਪਦ ਲੱਭਣ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣਾ ਪਵੇਗਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਅਕਸਰ ਪੈਟਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਕ ਜਾਂ ਘਾਤ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
12.11 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਸੰਖੇਪ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਲਿਖੋ: 1+12+13+14+15.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: 1+12+13+14+15
ਸਤਰ: n:1,2,3,4,5
ਸਤਰ: ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। | ਪਦ: 1,12,13,14,15
ਸਤਰ: ਅੰਸ਼ ਸਾਰੇ ਇੱਕ ਹਨ। | ਪੈਟਰਨ: 11,12,13,14,15,…1n
ਸਤਰ: ਹਰ (denominator) ਇੱਕ ਤੋਂ ਪੰਜ ਤੱਕ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਅੰਕ ਹਨ। | ਸੰਖੇਪ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜੋੜ ਹੈ
1+12+13+14+15=∑n=151n.
12.21 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਸੰਖੇਪ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਲਿਖੋ: 12+14+18+116+132.
12.22 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਸੰਖੇਪ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਲਿਖੋ: 1+14+19+116+125.
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਜੋੜ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਨੈਗੇਟਿਵ ਗੁਣਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦਾ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
12.12 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਸੰਖੇਪ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਲਿਖੋ: −1+8−27+64−125.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: ਪਦਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਟਾਂਕ ਪਦ ਨੈਗੇਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸਤਰ: ਅੰਕ ਇੱਕ ਤੋਂ ਪੰਜ ਤੱਕ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਘਣ (cubes) ਹਨ।
ਸਤਰ: ਸੰਖੇਪ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜੋੜ ਹੈ
−1+8−27+64−125=∑n=15(−1)n⋅n3
12.23 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਹਰੇਕ ਜੋੜ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: 1−4+9−16+25.
1. ਪਰਖੋ 12.24
2. ਹਰੇਕ ਜੋੜ ਨੂੰ ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: −2+4−6+8−10.
3. ਮੀਡੀਆ
4. ਕ੍ਰਮਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
5. ਲੜੀ ਅਤੇ ਕ੍ਰਮ - ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਣਾ
6. ਅਭਿਆਸ ਸਿੱਧੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ
7. ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਲਿਖੋ
8. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਸ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
9. a n = 2 n − 7
10. a n = 5 n − 1
11. a n = 3 n + 1
12. a n = 4 n + 2
13. a n = 2 n + 3
14. a n = 3 n − 1
15. a n = 3 n − 2 n
16. a n = 2 n − 3 n
17. a n = 2 n n 2
18. a n = 3 n n 3
19. a n = 4 n − 2 2 n
20. a n = 3 n + 3 3 n
21. a n = ( −1 ) n · 2 n
22. a n = ( −1 ) n · 3 n
23. a n = ( −1 ) n + 1 n 2
24. a n = ( −1 ) n + 1 n 4
a n = ( −1 ) n + 1 n 2
a n = ( −1 ) n + 1 2 n
ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਆਮ ਪਦ (n-ਵੇਂ ਪਦ) ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਲੱਭੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਸ ਕ੍ਰਮ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਪਦ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
8 , 16 , 24 , 32 , 40 , …
7 , 14 , 21 , 28 , 35 , …
6 , 7 , 8 , 9 , 10 , …
−3 , −2 , −1 , 0 , 1 , …
e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , e 7 , …
1 e 2 , 1 e , 1 , e , e 2 , …
−5 , 10 , −15 , 20 , −25 , …
−6 , 11 , −16 , 21 , −26 , …
−1 , 8 , −27 , 64 , −125 , …
2 , −5 , 10 , −17 , 26 , …
−2 , 4 , −6 , 8 , −10 , …
1 , −3 , 5 , −7 , 9 , …
1 4 , 1 16 , 1 64 , 1 256 , 1 1,024 , …
1 1 , 1 8 , 1 27 , 1 64 , 1 125 , …
− 1 2 , − 2 3 , − 3 4 , − 4 5 , − 5 6 , …
−2 , − 3 2 , − 4 3 , − 5 4 , − 6 5 , …
− 5 2 , − 5 4 , − 5 8 , − 5 16 , − 5 32 , …
4 , 1 2 , 4 27 , 4 64 , 4 125 , …
ਗੁਣਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਉਸ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਪਦ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
a n = 4 n ! a n = 4 n !
a n = 5 n ! a n = 5 n !
a n = 3 n ! a n = 3 n !
a n = 2 n ! a n = 2 n !
a n = ( 2 n ) ! a n = ( 2 n ) !
a n = ( 3 n ) ! a n = ( 3 n ) !
a n = ( n − 1 ) ! ( n ) ! a n = ( n − 1 ) ! ( n ) !
a n = n ! ( n + 1 ) ! a n = n ! ( n + 1 ) !
a n = n ! n 2 a n = n ! n 2
a n = n 2 n ! a n = n 2 n !
a n = ( n + 1 ) ! n 2 a n = ( n + 1 ) ! n 2
a n = ( n + 1 ) ! 2 n a n = ( n + 1 ) ! 2 n
Find the Partial Sum
In the following exercises, expand the partial sum and find its value.
∑ i = 1 5 i 2 ∑ i = 1 5 i 2
∑ i = 1 5 i 3 ∑ i = 1 5 i 3
∑ i = 1 6 ( 2 i + 3 ) ∑ i = 1 6 ( 2 i + 3 )
∑ i = 1 6 ( 3 i − 2 ) ∑ i = 1 6 ( 3 i − 2 )
∑ i = 1 4 2 i ∑ i = 1 4 2 i
∑ i = 1 4 3 i ∑ i = 1 4 3 i
∑ k = 0 3 4 k ! ∑ k = 0 3 4 k !
∑ k = 0 4 − 1 k ! ∑ k = 0 4 − 1 k !
∑ k = 1 5 k ( k + 1 ) ∑ k = 1 5 k ( k + 1 )
∑ k = 1 5 k ( 2 k − 3 ) ∑ k = 1 5 k ( 2 k − 3 )
1. ∑_{n=1}^{5} \frac{n}{n+1}
2. ∑_{n=1}^{4} \frac{n}{n+2}
3. ∑_{i=1}^{k} a_i
4. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਜੋੜ ਨੂੰ ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
5. ∑_{n=1}^{5} \frac{1}{3^n}
6. ∑_{n=1}^{4} \frac{1}{4^n}
7. ∑_{n=1}^{5} \frac{1}{n^3}
8. ∑_{n=1}^{4} \frac{1}{5^n}
9. ∑_{n=1}^{5} \frac{n+1}{n+2}
10. ∑_{n=1}^{5} \frac{3n+1}{n+2}
11. ∑_{n=1}^{5} (-1)^{n+1} 3n
12. ∑_{n=1}^{5} (-1)^n 5n
13. ∑_{n=1}^{10} (-1)^n 2n
14. ∑_{n=1}^{11} (-1)^{n+1} (2n-1)
15. ∑_{n=1}^{7} (2n+12)
16. ∑_{n=1}^{7} (2n+7)
17. ਲਿਖਣ ਦੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ
18. ਆਪਣੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੋਈ ਸੂਤਰ ਪਤਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ ਕਿਵੇਂ ਲਿਖਣੇ ਹਨ। ਆਪਣੀ ਵਿਆਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਖਾਓ।
19. ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਪਦ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ ਜਦੋਂ ਕ੍ਰਮ ਦਾ n-ਵਾਂ ਪਦ a_n = (-1)^n (n+2) ਹੈ?
20. ਆਪਣੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਮਝਾਓ ਕਿ n! ਤੋਂ ਕੀ ਭਾਵ ਹੈ। ਆਪਣੀ ਵਿਆਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦਿਖਾਓ।
21. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ∑_{k=1}^{12} 2k ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦਾ ਹਰੇਕ ਹਿੱਸਾ ਕੀ ਅਰਥ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
22. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
23. ⓐ ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
24. ⓑ ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਜਾਂਚਾਂ ਸਨ:
1. …ਨਿਸ਼ਚੇ ਹੀ। ਵਧਾਈਆਂ! ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ। ਉਹਨਾਂ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਵਰਤੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖ ਸਕੋ। ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਦੀ ਆਪਣੀ ਯੋਗਤਾ ਬਾਰੇ ਨਿਸ਼ਚੇ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ? ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਦੱਸੋ।
2. …ਕੁਝ ਮਦਦ ਨਾਲ। ਇਸ ਮੁੱਦੇ ਨੂੰ ਜਲਦੀ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਿਹੜੇ ਵਿਸ਼ੇ ਤੁਸੀਂ ਮਾਸਟਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਉਹ ਤੁਹਾਡੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੜਕ ਵਿੱਚ ਖੱਡੇ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਵਿਸ਼ਾ ਪਿਛਲੇ ਕੰਮ 'ਤੇ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਤੁਹਾਡਾ ਮਜ਼ਬੂਤ ਨੀਂਹ ਹੋਵੇ। ਤੁਸੀਂ ਮਦਦ ਲਈ ਕਿਸ ਨੂੰ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਹਾਡੇ ਸਾਥੀ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਅਤੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਚੰਗੇ ਸਰੋਤ ਹਨ। ਕੀ ਕੈਂਪਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਜਗ੍ਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਟਿਊਟਰ ਉਪਲਬਧ ਹਨ? ਕੀ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸੁਧਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
3. …ਨਹੀਂ - ਮੈਨੂੰ ਸਮਝ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ! ਇਹ ਇੱਕ ਚੇਤਾਵਨੀ ਸੰਕੇਤ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਤੁਰੰਤ ਮਦਦ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਤੁਸੀਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਹਾਵੀ ਹੋ ਜਾਵੋਗੇ। ਆਪਣੀ ਸਥਿਤੀ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿੰਨੀ ਜਲਦੀ ਹੋ ਸਕੇ ਆਪਣੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਨੂੰ ਮਿਲੋ। ਇਕੱਠੇ ਮਿਲ ਕੇ ਤੁਸੀਂ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਦਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ।