Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
Use Pascal’s Triangle to expand a binomial
Evaluate a binomial coefficient
Use the Binomial Theorem to expand a binomial
Be Prepared 12.10
Before you get started, take this readiness quiz.
Simplify: 7·6·5·44·3·2·1.7·6·5·44·3·2·1. If you missed this problem, review Example 1.25.
Be Prepared 12.11
Expand: (3x+5)2.(3x+5)2. If you missed this problem, review Example 5.32.
Be Prepared 12.12
Expand: (x−y)2.(x−y)2. If you missed this problem, review Example 5.32.
Use Pascal’s Triangle to Expand a Binomial
In our previous work, we have squared binomials either by using FOIL or by using the Binomial Squares Pattern. We can also say that we expanded (a+b)2.(a+b)2.
To expand (a+b)3,(a+b)3, we recognize that this is (a+b)2(a+b)(a+b)2(a+b) and multiply.
To find a method that is less tedious that will work for higher expansions like (a+b)7,(a+b)7, we again look for patterns in some expansions.
row: Number of terms | First term | Last term
row: (a+b)1=a+b(a+b)1=a+b | 2 | a1a1 | b1b1
row: (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2 | 3 | a2a2 | b2b2
row: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 | 4 | a3a3 | b3b3
row: (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 | 5 | a4a4 | b4b4
row: (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 | 6 | a5a5 | b5b5
row: (a+b)n(a+b)n | +1+1 | anan | bnbn
Notice the first and last terms show only one variable. Recall that a0=1,a0=1, so we could rewrite the first and last terms to include both variables. For example, we could expand (a+b)3(a+b)3 to show each term with both variables.
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਸਿਫ਼ਰ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ, ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ 1x ਦੀ ਬਜਾਏ x ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
(a + b)n ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਪੈਟਰਨ (a + b)n
ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n+1 ਹੈ।n+1।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ anan ਹੈ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ bn ਹੈ।bn।
a 'ਤੇ ਘਾਤ ਹਰ ਪਦ ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਘੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
b 'ਤੇ ਘਾਤ ਹਰ ਪਦ ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵੱਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਵਿੱਚ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ n ਹੈ।
ਆਓ ਆਖਰੀ ਤਿੰਨ ਪੈਟਰਨਾਂ ਨੂੰ ਉਜਾਗਰ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵੇਖੀਏ।
ਅਸੀਂ ਪਛਾਣੇ ਗਏ ਪੈਟਰਨਾਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ (a+b)n,(a+b)n, ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ,
ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਵਿਸਥਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਗੁਣਾਂਕਾਂ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਅਰੇ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਅਰੇ ਪਾਸਕਲ ਦਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਰੇ ਵਿੱਚ ਹਰ ਸੰਖਿਆ ਉਪਰਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਦੋ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਅਤੇ ਅੰਤ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਦੋ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਅਗਲੀ ਕਤਾਰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਨ ਵੇਲੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਪਾਸਕਲ ਦਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣ
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਪਛਾਣੇ ਗਏ ਪੈਟਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.31
(x+y)6 ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।(x+y)6।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਵਿਸਥਾਰ ਲਈ ਵੇਰੀਏਬਲ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਪਛਾਣੇ ਗਏ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਨਗੇ। x ਦੀਆਂ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਘਾਤਾਂ ਛੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਕੇ ਇੱਕ ਤੱਕ ਘੱਟ ਜਾਣਗੀਆਂ। y ਦੀਆਂ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਘਾਤਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਕੇ ਛੇ ਤੱਕ ਵੱਧ ਜਾਣਗੀਆਂ। ਹਰ ਪਦ ਵਿੱਚ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਛੇ ਹੋਵੇਗਾ। ਸਾਡੇ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ, a=xa=x ਅਤੇ b=y.b=y।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.61
(x+y)5 ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।(x+y)5।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.62
(p+q)7 ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।(p+q)7।
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਵਾਲੀ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ a ਅਤੇ b ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.32
ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (x+3)5 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪੈਟਰਨ ਦੇ a ਅਤੇ b ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਡੇ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ, a=x ਅਤੇ b=3 ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਵਿਸਤਾਰ ਲਈ ਵੇਰੀਏਬਲ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਪਛਾਣੇ ਗਏ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਨਗੇ। ਹਰੇਕ ਪਦ ਵਿੱਚ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪੰਜ ਹੋਵੇਗਾ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.63
ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (x+2)4 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.64
ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (x+1)6 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਦੋਪਦੀ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਗੁਣਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੈਟਰਨ ਦੇ a ਅਤੇ b ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਫਿਰ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.33
ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (3x−2)4 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪੈਟਰਨ ਦੇ a ਅਤੇ b ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਡੇ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ, a=3x ਅਤੇ b=−2 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.65
ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (2x−3)4 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.66
ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (2x−1)6 ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਜਦੋਂ ਕਿ ਪਾਸਕਲ ਦਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਵੀ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਸ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚੀਏ, ਸਾਨੂੰ ਕੁਝ ਹੋਰ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਹ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਅਤੇ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ (n r) ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ (n r) ਨੂੰ "n ਚੁਣੋ r" ਜਾਂ "n ਨੂੰ r ਸਮੇਂ ਲਿਆ ਗਿਆ" ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ (n r)
ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ (n r), ਜਿੱਥੇ r ਅਤੇ n ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ ਅਤੇ 0≤r≤n, ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਅਸੀਂ (nr) ਨੂੰ “n ਚੁਣੋ r” ਜਾਂ “n ਵਿੱਚੋਂ r ਲਏ ਗਏ” ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.34
ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ (51)(51) ⓑ (77)(77) ⓒ (40)(40) ⓓ (85).(85).
ਹੱਲ
ⓐ ਅਸੀਂ ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ, (nr)=n!r!(n−r)!.
ਸਤਰ: (51)(51)
ਸਤਰ: ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, (nr)=n!r!(n−r)!, ਜਿੱਥੇ n=5, r=1 ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: 5! ਨੂੰ 5·4! ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: (51)=5
ⓑ
ਸਤਰ: (77)(77)
ਸਤਰ: ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, (nr)=n!r!(n−r)!, ਜਿੱਥੇ n=7, r=7 ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ 0!=1।
ਸਤਰ: (77)=1
ⓒ
ਸਤਰ: (40)(40)
ਸਤਰ: ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, (nr)=n!r!(n−r)!, ਜਿੱਥੇ n=4, r=0 ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: (40)=1
ⓓ
row: (85)(85)
row: Use the definition, (nr)=n!r!(n−r)!,(nr)=n!r!(n−r)!, wheren=8,r=5.n=8,r=5. | 8!5!(8−5)!8!5!(8−5)!
row: Simplify. | 8!5!(3)!8!5!(3)!
row: Rewrite 8!as8·7·6·5!8!as8·7·6·5! and remove common factors. | 8·7·6·5!5!·3·2·18·7·6·5!5!·3·2·1
row: Simplify. | 5656
row: (85)=56(85)=56
Try It 12.67
Evaluate each binomial coefficient:
ⓐ (61)(61) ⓑ (88)(88) ⓒ (50)(50) ⓓ (73).(73).
Try It 12.68
Evaluate each binomial coefficient:
ⓐ (21)(21) ⓑ (1111)(1111) ⓒ (90)(90) ⓓ (65).(65).
In the previous example, parts (a), (b), (c) demonstrate some special properties of binomial coefficients.
Properties of Binomial Coefficients
Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial
We are now ready to use the alternate method of expanding binomials. The Binomial Theorem uses the same pattern for the variables, but uses the binomial coefficient for the coefficient of each term.
Binomial Theorem
For any real numbers a and b, and positive integer n,
Example 12.35
Use the Binomial Theorem to expand (p+q)4.(p+q)4.
Solution
We identify the a and b of the pattern.
In our pattern, a=pa=p and b=q.b=q.
ਅਸੀਂ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ (Binomial Theorem) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
a=p, b=q ਅਤੇ n=4 ਦੇ ਮੁੱਲ ਬਦਲੋ।
ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, (n1)=n, (nn)=1, (n0)=1।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.69
ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ (Binomial Theorem) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (x+y)5 ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.70
ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ (Binomial Theorem) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (m+n)6 ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ (p+q)4 ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕੀਤਾ, ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ (Binomial Theorem) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਉਹੀ ਗੁਣਾਂਕ ਮਿਲੇ ਜੋ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤਿਕੋਣ (Pascal’s Triangle) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ।
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਦੋਪਦੀ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਦੋਪਦੀ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.36
ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ (Binomial Theorem) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (x−2)5 ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪੈਟਰਨ ਦੇ a ਅਤੇ b ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਡੇ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ, a=x ਅਤੇ b=−2 ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ (Binomial Theorem) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
a=x, b=−2, ਅਤੇ n=5 ਦੇ ਮੁੱਲ ਬਦਲੋ।
ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, (n1)=n, (nn)=1, (n0)=1।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.71
ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ (Binomial Theorem) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (x−3)5 ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.72
ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ (Binomial Theorem) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (y−1)6 ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ ਦੋਵੇਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਚੱਲ (variable) ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਗੱਲਾਂ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.37
Use the Binomial Theorem to expand (2x−3y)4.(2x−3y)4.
Solution
We identify the a and b of the pattern.
In our pattern, a=2xa=2x and b=−3y.b=−3y.
We use the Binomial Theorem.
Substitute in the values a=2x,a=2x,b=−3yb=−3y and n=4.n=4.
Simplify the exponents.
Evaluate the coefficients. Remember, (n1)=n,(nn)=1,(n0)=1.(n1)=n,(nn)=1,(n0)=1.
( 2 x − 3 y ) 4 = 1 ( 2 x ) 4 + 4 ( 2 x ) 3 ( −3 y ) 1 + 4 ! 2 ! ( 2 ) ! ( 2 x ) 2 ( −3 y ) 2 + 4 ! 3 ! ( 4 − 3 ) ! ( 2 x ) 1 ( −3 y ) 3 + 1 ( −3 y ) 4 ( 2 x − 3 y ) 4 = 1 ( 2 x ) 4 + 4 ( 2 x ) 3 ( −3 y ) 1 + 4 ! 2 ! ( 2 ) ! ( 2 x ) 2 ( −3 y ) 2 + 4 ! 3 ! ( 4 − 3 ) ! ( 2 x ) 1 ( −3 y ) 3 + 1 ( −3 y ) 4
( 2 x − 3 y ) 4 = 16 x 4 + 4 · 8 x 3 ( −3 y ) + 6 ( 4 x 2 ) ( 9 y 2 ) + 4 ( 2 x ) ( −27 y 3 ) + 81 y 4 ( 2 x − 3 y ) 4 = 16 x 4 + 4 · 8 x 3 ( −3 y ) + 6 ( 4 x 2 ) ( 9 y 2 ) + 4 ( 2 x ) ( −27 y 3 ) + 81 y 4
( 2 x − 3 y ) 4 = 16 x 4 − 96 x 3 y + 21 6 x 2 y 2 − 216 x y 3 + 81 y 4 ( 2 x − 3 y ) 4 = 16 x 4 − 96 x 3 y + 21 6 x 2 y 2 − 216 x y 3 + 81 y 4
Try It 12.73
Use the Binomial Theorem to expand (3x−2y)5.(3x−2y)5.
Try It 12.74
Use the Binomial Theorem to expand (4x−3y)4.(4x−3y)4.
The real beauty of the Binomial Theorem is that it gives a formula for any particular term of the expansion without having to compute the whole sum. Let’s look for a pattern in the Binomial Theorem.
Notice, that in each case the exponent on the b is one less than the number of the term. The (r+1)st(r+1)st term is the term where the exponent of b is r. So we can use the format of the (r+1)st(r+1)st term to find the value of a specific term.
Find a Specific Term in a Binomial Expansion
The (r+1)st(r+1)st term in the expansion of (a+b)n(a+b)n is
Example 12.38
Find the fourth term of (x+y)7.(x+y)7.
Solution
row: In our pattern, n=7,a=xn=7,a=x and b=y.b=y.
row: We are looking for the fourth term.Sincer+1=4,thenr=3.Sincer+1=4,thenr=3.
1. ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
2. ਮੁੱਲ ਭਰੋ, n=7,r=3,a=x, ਅਤੇ b=y.
3. ਸਰਲ ਕਰੋ।
4. ਸਰਲ ਕਰੋ।
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 12.75
6. (x+y)6 ਦਾ ਤੀਜਾ ਪਦ ਲੱਭੋ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 12.76
8. (a+b)8 ਦਾ ਪੰਜਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭੋ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 12.39
10. (x+3)9 ਦੇ x6 ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭੋ।
11. ਹੱਲ
12. ਸਾਡੇ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ, ਫਿਰ n=9,a=x, ਅਤੇ b=3।
13. ਅਸੀਂ x6 ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ a=x, ਅਤੇ x9−r=x6, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ r=3।
14. ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
15. ਮੁੱਲ ਭਰੋ, n=9,r=3,a=x, ਅਤੇ b=3।
16. ਸਰਲ ਕਰੋ।
17. ਸਰਲ ਕਰੋ।
18. ਸਰਲ ਕਰੋ।
19. x6 ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ 2268 ਹੈ।
20. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 12.77
21. (x+4)8 ਦੇ x5 ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭੋ।
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 12.78
23. (x+2)7 ਦੇ x4 ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭੋ।
24. ਮੀਡੀਆ
1. ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਕ੍ਰਮਾਂ ਬਾਰੇ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
2. ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ
3. ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ
4. ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
5. ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ
6. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
7. ( x + y ) 4
8. ( a + b ) 8
9. ( m + n ) 10
10. ( p + q ) 9
11. ( x − y ) 5
12. ( a − b ) 6
13. ( x + 4 ) 4
14. ( x + 5 ) 3
15. ( y + 2 ) 5
16. ( y + 1 ) 7
17. ( z − 3 ) 5
18. ( z − 2 ) 6
19. ( 4 x − 1 ) 3
20. ( 3 x − 1 ) 5
21. ( 3 x − 4 ) 4
22. ( 3 x − 5 ) 3
23. ( 2 x + 3 y ) 3
24. ( 3 x + 5 y ) 3
1. ਦੋ-ਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ
2. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
3. ⓐ (81)(81) ⓑ (1010)(1010) ⓒ (60)(60) ⓓ (93)(93)
4. ⓐ (71)(71) ⓑ (44)(44) ⓒ (30)(30) ⓓ (108)(108)
5. ⓐ (31)(31) ⓑ (99)(99) ⓒ (70)(70) ⓓ (53)(53)
6. ⓐ (41)(41) ⓑ (55)(55) ⓒ (80)(80) ⓓ (119)(119)
7. ਦੋ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ
8. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
9. ( x + y ) 3 ( x + y ) 3
10. ( m + n ) 5 ( m + n ) 5
11. ( a + b ) 6 ( a + b ) 6
12. ( s + t ) 7 ( s + t ) 7
13. ( x − 2 ) 4 ( x − 2 ) 4
14. ( y − 3 ) 4 ( y − 3 ) 4
15. ( p − 1 ) 5 ( p − 1 ) 5
16. ( q − 4 ) 3 ( q − 4 ) 3
17. ( 3 x − y ) 5 ( 3 x − y ) 5
18. ( 5 x − 2 y ) 4 ( 5 x − 2 y ) 4
19. ( 2 x + 5 y ) 4 ( 2 x + 5 y ) 4
20. ( 3 x + 4 y ) 5 ( 3 x + 4 y ) 5
21. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋ-ਪਦੀ ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
22. (x+y)10(x+y)10 ਦਾ ਛੇਵਾਂ ਪਦ
23. (a+b)9(a+b)9 ਦਾ ਪੰਜਵਾਂ ਪਦ
24. (x−y)8(x−y)8 ਦਾ ਚੌਥਾ ਪਦ
Seventh term of (x−y)11(x−y)11
In the following exercises, find the coefficient of the indicated term in the expansion of the binomial.
y3y3 term of (y+5)4(y+5)4
x6x6 term of (x+2)8(x+2)8
x5x5 term of (x−4)6(x−4)6
x7x7 term of (x−3)9(x−3)9
a4b2a4b2 term of (2a+b)6(2a+b)6
p5q4p5q4 term of (3p+q)9(3p+q)9
Writing Exercises
In your own words explain how to find the rows of the Pascal’s Triangle. Write the first five rows of Pascal’s Triangle.
In your own words, explain the pattern of exponents for each variable in the expansion of.
In your own words, explain the difference between (a+b)n(a+b)n and (a−b)n.(a−b)n.
In your own words, explain how to find a specific term in the expansion of a binomial without expanding the whole thing. Use an example to help explain.
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ On a scale of 1-10, how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?