ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਇੱਕ ਲੜੀ (sequence) ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਆਮ ਪਦ (nth term) ਲੱਭਣਾ
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ nn ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਲੱਭਣਾ
ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਲੱਭਣਾ
ਅਸਲ ਸੰਸਾਰ ਵਿੱਚ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਅਤੇ ਲੜੀਆਂ (series) ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 12.7
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ: 2432.2432. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.24 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 12.8
ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ 3434 ⓑ (12)4.(12)4. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.19 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 12.9
ਜੇਕਰ f(x)=4·3x,f(x)=4·3x, ਤਾਂ ⓐ f(1)f(1) ⓑ f(2)f(2) ⓒ f(3).f(3) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 3.49 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਲੜੀ ਦੀ ਦੂਜੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ।
ਇੱਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅਨੁਪਾਤ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਰਹੇ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅਨੁਪਾਤ r ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ n ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ
ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅਨੁਪਾਤ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅਨੁਪਾਤ, anan−1,anan−1, r ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ। n ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਹਨਾਂ ਲੜੀਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.21
ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਜੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਦੱਸੋ।
ⓐ 4,8,16,32,64,128,…4,8,16,32,64,128,…
ⓑ −2,6,−12,36,−72,216,…−2,6,−12,36,−72,216,…
ⓒ 27,9,3,1,13,19,…27,9,3,1,13,19,…
ਹੱਲ
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।
ⓐ
ਕਤਾਰ: ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ। | 4,8,16,32,64,128,…4,8,16,32,64,128,…
ਕਤਾਰ: ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r=2 ਹੈ।r=2.
ⓑ
ਕਤਾਰ: ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ। | −2,6,−12,36,−72,216,…−2,6,−12,36,−72,216,…
ਕਤਾਰ: ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ⓒ
ਕਤਾਰ: 27,9,3,1,13,19,…27,9,3,1,13,19,…
ਕਤਾਰ: ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ। | 9/27, 3/9, 1/3, 13/1, 19/13,…9/27, 3/9, 1/3, 13/1, 19/13,…
ਕਤਾਰ: ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r=1/3 ਹੈ।r=1/3.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.41
ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਦਰਸਾਓ।
ⓐ 7,21,63,189,567,1,701,…7,21,63,189,567,1,701,…
ⓑ 64,16,4,1,14,116,…64,16,4,1,14,116,…
ⓒ 2,4,12,48,240,1,440,…2,4,12,48,240,1,440,…
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.42
ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਦਰਸਾਓ।
ⓐ −150,−30,−15,−5,−52,0,…−150,−30,−15,−5,−52,0,…
ⓑ 5,10,20,40,80,160,…5,10,20,40,80,160,…
ⓒ 8,4,2,1,12,14,…8,4,2,1,12,14,…
ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਪਦ, a1,a1, ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ, r, ਪਤਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਦੇ ਸੀਮਤ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.22
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿੱਥੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 3 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r=−2 ਹੈ।r=−2।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ।
ਲੜੀ 3,−6,12,−24,48,…3,−6,12,−24,48,… ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.43
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿੱਥੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 7 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r=−3 ਹੈ।r=−3।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.44
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿੱਥੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 6 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r=−4 ਹੈ।r=−4।
ਆਮ ਪਦ (n-ਵਾਂ ਪਦ) ਲੱਭੋ ਇੱਕ ਗੁਣਨ ਲੜੀ ਦਾ
ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲੜੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਆਮ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭਿਆ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੁਣਨ ਲੜੀ ਦੇ ਆਮ ਪਦ ਲਈ ਵੀ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਆਓ ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਲਿਖੀਏ ਜਿੱਥੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a1a1 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਉਪਰੋਕਤ ਪੰਜ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰੇਕ ਪਦ a1.a1 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾ ਪਦ, a1,a1, ਕਿਸੇ ਵੀ r ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚ, a1a1 ਨੂੰ r ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤੀਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚ, a1a1 ਨੂੰ r ਦੋ ਵਾਰ (r·rr·r ਜਾਂ r2r2) ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚੌਥੇ ਪਦ ਵਿੱਚ, a1a1 ਨੂੰ r ਤਿੰਨ ਵਾਰ (r·r·rr·r·r ਜਾਂ r3r3) ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪੰਜਵੇਂ ਪਦ ਵਿੱਚ, a1a1 ਨੂੰ r ਚਾਰ ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਪਦ ਵਿੱਚ, ਜਿੰਨੀ ਵਾਰ a1a1 ਨੂੰ r ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਪਦ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਆਮ ਪਦ (n-ਵਾਂ ਪਦ) ਇੱਕ ਗੁਣਨ ਲੜੀ ਦਾ
ਪਹਿਲੇ ਪਦ a1a1 ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ r ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਗੁਣਨ ਲੜੀ ਦਾ ਆਮ ਪਦ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਲੜੀ ਦੇ ਚੌਦਵੇਂ ਪਦ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.23
ਇੱਕ ਲੜੀ ਦਾ ਚੌਦਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭੋ ਜਿੱਥੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 64 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r=12 ਹੈ।r=12।
ਹੱਲ
row: ਚੌਦਵਾਂ ਪਦ, a14,a14, ਲੱਭਣ ਲਈ, a1=64a1=64 ਅਤੇ r=12.r=12 ਦੇ ਨਾਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | an=a1rn−1an=a1rn−1
row: ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | a14=64(12)14−1a14=64(12)14−1
row: ਸਰਲ ਕਰੋ। | a14=64(12)13a14=64(12)13
ਕਤਾਰ: a14=1128
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 12.45
ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਲੜੀ ਦਾ ਤੇਰ੍ਹਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 81 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r=13 ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 12.46
ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਲੜੀ ਦਾ ਬਾਰ੍ਹਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 256 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r=14 ਹੈ।
ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਲੋੜੀਂਦਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.24
ਲੜੀ 3, 6, 12, 24, 48, 96, … ਦਾ ਬਾਰ੍ਹਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭੋ। ਲੜੀ ਲਈ ਆਮ ਪਦ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਬਾਰ੍ਹਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲਾ, an=a1rn−1, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ a1 ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਕਤਾਰ: 3,6,12,24,48,96,…
ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਤਿੰਨ ਹੈ। | a1=3
ਕਤਾਰ: ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੱਭੋ। | 6/3=2, 12/6=2, 24/12=2, 48/24=2, 96/48=2
ਕਤਾਰ: ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r=2 ਹੈ।
ਕਤਾਰ: ਬਾਰ੍ਹਵਾਂ ਪਦ, a12, ਲੱਭਣ ਲਈ, a1=3 ਅਤੇ r=2 ਨਾਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ। | an=a1rn−1
ਕਤਾਰ: ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | a12=3·2^(12−1)
ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | a12=3·2^11
ਕਤਾਰ: a12=6,144
ਕਤਾਰ: ਆਮ ਪਦ ਲੱਭੋ। | an=a1rn−1
ਕਤਾਰ: ਅਸੀਂ a1=3 ਅਤੇ r=2 ਨਾਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ। | an=3(2)^(n−1)
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 12.47
ਲੜੀ 6, 18, 54, 162, 486, 1,458, … ਦਾ ਨੌਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭੋ। ਫਿਰ ਲੜੀ ਲਈ ਆਮ ਪਦ ਲੱਭੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 12.48
ਲੜੀ 7, 14, 28, 56, 112, 224, … ਦਾ ਗਿਆਰ੍ਹਵਾਂ ਪਦ ਲੱਭੋ। ਫਿਰ ਲੜੀ ਲਈ ਆਮ ਪਦ ਲੱਭੋ।
Find the Sum of the First n Terms of a Geometric Sequence
We found the sum of both general sequences and arithmetic sequence. We will now do the same for geometric sequences. The sum,Sn,Sn, of the first n terms of a geometric sequence is written as Sn=a1+a2+a3+...+an.Sn=a1+a2+a3+...+an. We can write this sum by starting with the first term, a1,a1, and keep multiplying by r to get the next term as:
Let’s also multiply both sides of the equation by r.
Next, we subtract these equations. We will see that when we subtract, all but the first term of the top equation and the last term of the bottom equation subtract to zero.
row: Sn=a1+a1r+a1r2+a1r3+…+a1rn−1rSn=a1r+a1r2+a1r3+…+a1rn−1+a1rn____________________________________________________Sn−rSn=a1−a1rnSn=a1+a1r+a1r2+a1r3+…+a1rn−1rSn=a1r+a1r2+a1r3+…+a1rn−1+a1rn____________________________________________________Sn−rSn=a1−a1rn
row: We factor both sides. | Sn(1−r)=a1(1−rn)Sn(1−r)=a1(1−rn)
row: To obtain the formula for Sn,Sn,divide both sides by (1−r).(1−r). | Sn=a1(1−rn)1−rSn=a1(1−rn)1−r
Sum of the First n Terms of a Geometric Series
The sum, Sn,Sn, of the first n terms of a geometric sequence is
where a1a1 is the first term and r is the common ratio, and r is not equal to one.
We apply this formula in the next example where the first few terms of the sequence are given. Notice the sum of a geometric sequence typically gets very large when the common ratio is greater than one.
Example 12.25
Find the sum of the first 20 terms of the geometric sequence 7, 14, 28, 56, 112, 224, …
Solution
To find the sum, we will use the formula Sn=a1(1−rn)1−r.Sn=a1(1−rn)1−r. We know a1=7,a1=7,r=2,r=2, and n=20.n=20.
row: Knowing a1=7,r=2,a1=7,r=2, and n=20,n=20,use the sum formula. | Sn=a1(1−rn)1−rSn=a1(1−rn)1−r
row: Substitute in the values. | S20=7(1−220)1−2S20=7(1−220)1−2
row: Simplify. | S20=7,340,025S20=7,340,025
Try It 12.49
Find the sum of the first 20 terms of the geometric sequence 3, 6, 12, 24, 48, 96, …
Try It 12.50
Find the sum of the first 20 terms of the geometric sequence 6, 18, 54, 162, 486, 1,458, …
In the next example, we are given the sum in summation notation. While adding all the terms might be possible, most often it is easiest to use the formula to find the sum of the first n terms.
To use the formula, we need r. We can find it by writing out the first few terms of the sequence and find their ratio. Another option is to realize that in summation notation, a sequence is written in the form ∑i=1ka(r)i,∑i=1ka(r)i, where r is the common ratio.
1. ਉਦਾਹਰਨ 12.26
2. ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ: ∑i=1152(3)i.
3. ਹੱਲ
4. ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸੂਤਰ Sn=a1(1−rn)1−r, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਲਈ a1 ਅਤੇ r ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਲੋੜੀਂਦੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਪਦ ਲਿਖਾਂਗੇ।
5. ਕਤਾਰ: ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਲਿਖੋ।
6. ਕਤਾਰ: a1 ਪਛਾਣੋ।
7. ਕਤਾਰ: ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. a1=6, r=3, ਅਤੇ n=15 ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ, ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
9. ਕਤਾਰ: ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
10. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 12.51
12. ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ: ∑i=1156(2)i.
13. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 12.52
14. ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ: ∑i=1105(2)i.
15. ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ
16. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜੋੜ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a1 ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
17. ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ
18. ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜੋੜ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a1 ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
19. ਅਸੀਂ ਸੂਤਰ, Sn=a1(1−rn)1−r, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਪਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜੋੜ ਦਾ ਜੋੜ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ?
20. ਆਓ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ 3+6+12+24+48+96+…. ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਹਰ ਪਦ ਵੱਡਾ ਅਤੇ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸਮਝ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਨੰਤ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਇਸ ਲੜੀ ਲਈ ਕੁਝ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਅਸੀਂ a1=3 ਅਤੇ r=2 ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
21. ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ n ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋੜ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਸੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ |r|≥1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਨੂੰ ਅਭਿਸਾਰੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ |r|≥1 ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਨਹੀਂ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ।
22. ਆਓ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ ਜਿਸਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਇੱਕ ਤੋਂ ਘੱਟ ਭਿੰਨ ਹੈ, 12+14+18+116+132+164+…. ਇੱਥੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਘੱਟਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ n ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਇਸ ਲੜੀ ਲਈ ਕੁਝ ਸੀਮਤ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਅਸੀਂ a1=12 ਅਤੇ r=12 ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
23. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੋੜ ਵੱਡਾ ਅਤੇ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਇੱਕ ਦੇ ਨੇੜੇ ਅਤੇ ਨੇੜੇ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ |r|<1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਦ rn ਛੋਟਾ ਅਤੇ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਨੂੰ ਅਭਿਸਾਰੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ n ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ (ਅਨੰਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ), rn ਸਿਫਰ ਦੇ ਨੇੜੇ ਅਤੇ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ rn ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਨਾਲ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਾਨੂੰ |r|<1 ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ, S, ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
24. ਇਹ ਸੂਤਰ ਸਾਨੂੰ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ S ਵਿੱਚ Sn ਵਾਂਗ ਸਬਸਕ੍ਰਿਪਟ n ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਸੀਮਤ ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਜੋੜ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਅਨੰਤ ਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ
ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਗਣਿਤ ਲੜੀ ਲਈ ਜਿਸਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a1a1 ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ r ਹੈ,
ਜੇਕਰ |r|<1, ਤਾਂ ਜੋੜ ਹੈ
ਜੇਕਰ |r|≥1, ਤਾਂ ਅਨੰਤ ਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਕੋਈ ਜੋੜ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੜੀ ਅਭਿਸਾਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.27
ਅਨੰਤ ਗਣਿਤ ਲੜੀ 54+18+6+2+2/3+2/9+… ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਹੱਲ
ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ ਕਿ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ |r|<1 ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਦੇ ਸੂਤਰ S=a1/(1−r) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ। | r=18/54, r=6/18…
ਸਤਰ: r=1/3 |r|<1
a1 ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | a1=54
ਇਹ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ ਕਿ a1=54, r=1/3, ਜੋੜ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | S=a1/(1−r)
ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | S=54/(1−1/3)
ਸਰਲ ਕਰੋ। | S=81
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.53
ਅਨੰਤ ਗਣਿਤ ਲੜੀ 48+24+12+6+3+3/2+… ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 12.54
ਅਨੰਤ ਗਣਿਤ ਲੜੀ 64+16+4+1+1/4+1/16+… ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਅਨੰਤ ਗਣਿਤ ਲੜੀ ਦਾ ਇੱਕ ਦਿਲਚਸਪ ਉਪਯੋਗ ਦਸ਼ਮਲਵ ਨੂੰ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 12.28
ਦਸ਼ਮਲਵ 0.5¯¯¯¯¯¯¯¯ ਨੂੰ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: 0.5¯¯¯¯¯¯¯¯ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਪੰਜ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 0.5555555555555…
ਸਤਰ: ਇਸਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ ਸਥਾਨ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | 0.5+0.05+0.005+0.0005+...
row: This is an infinite geometric series.
row: Find the common ratio. | r=0.050.5r=0.0050.05…r=0.050.5r=0.0050.05…
row: r=0.1r=0.1|r|<1r=0.1r=0.1|r|<1
row: Identify a1.a1. | a1=0.5a1=0.5
row: Knowing a1=0.5,r=0.1,a1=0.5,r=0.1,use the sum formula. | S=a11−rS=a11−r
row: Substitute in the values. | S=0.51−0.1S=0.51−0.1
row: Simplify. | S=0.50.9S=0.50.9
row: Multiply numerator and denominator by 10. | S=59S=59
row: We are asked to find the fraction form. | 0.5–=590.5–=59
Try It 12.55
Write the repeating decimal 0.4–0.4– as a fraction.
Try It 12.56
Write the repeating decimal 0.8–0.8– as a fraction.
Apply Geometric Sequences and Series in the Real World
One application of geometric sequences has to do with consumer spending. If a tax rebate is given to each household, the effect on the economy is many times the amount of the individual rebate.
Example 12.29
The government has decided to give a $1,000 tax rebate to each household in order to stimulate the economy. The government statistics say that each household will spend 80% of the rebate in goods and services. The businesses and individuals who benefitted from that 80% will then spend 80% of what they received and so on. The result is called the multiplier effect. What is the total effect of the rebate on the economy?
Solution
Every time money goes into the economy, 80% of it is spent and is then in the economy to be spent. Again, 80% of this money is spent in the economy again. This situation continues and so leads us to an infinite geometric series.
Here the first term is 1,000, a1=1000.a1=1000. The common ratio is 0.8,0.8,r=0.8.r=0.8. We can evaluate this sum since 0.8<1.0.8<1. We use the formula for the sum on an infinite geometric series.
row: S=a11−rS=a11−r
row: Substitute in the values, a1=1,000a1=1,000 and r=0.8.r=0.8. | S=1,0001−0.8S=1,0001−0.8
row: Evaluate. | S=5,000S=5,000
The total effect of the $1,000 received by each household will be a $5,000 growth in the economy.
Try It 12.57
What is the total effect on the economy of a government tax rebate of $1,000 to each household in order to stimulate the economy if each household will spend 90% of the rebate in goods and services?
Try It 12.58
What is the total effect on the economy of a government tax rebate of $500 to each household in order to stimulate the economy if each household will spend 85% of the rebate in goods and services?
We have looked at a compound interest formula where a principal, P, is invested at an interest rate, r, for t years. The new balance, A, is A=P(1+rn)ntA=P(1+rn)nt when interest is compounded n times a year. This formula applies when a lump sum was invested upfront and tells us the value after a certain time period.
An annuity is an investment that is a sequence of equal periodic deposits. We will be looking at annuities that pay the interest at the time of the deposits. As we develop the formula for the value of an annuity, we are going to let n=1.n=1. That means there is one deposit per year.
row: A=P(1+rn)ntA=P(1+rn)nt
row: Let n=1.n=1. | A=P(1+r1)1tA=P(1+r1)1t
row: Simplify. | A=P(1+r)tA=P(1+r)t
Suppose P dollars is invested at the end of each year. One year later that deposit is worth P(1+r)1P(1+r)1 dollars, and another year later it is worth P(1+r)2P(1+r)2 dollars. After t years, it will be worth A=P(1+r)tA=P(1+r)t dollars.
row: End of year 1 | End of year 2 | End of year 3
row: First Deposit P@ end of year 1 | P | Amount 1 year laterP(1+r)1P(1+r)1 | Amount 2 years later P(1+r)2P(1+r)2
row: 2nd Deposit P@ end of year 2 | P | Amount 1 year laterP(1+r)1P(1+r)1
row: 3rd Deposit P@ end of year 3 | P
After three years, the value of the annuity is
This a sum of the terms of a geometric sequence where the first term is P and the common ratio is 1+r.1+r. We substitute these values into the sum formula. Be careful, we have two different uses of r. The r in the sum formula is the common ratio of the sequence. In this case, that is 1+r1+r where r is the interest rate.
row: St=a1(1−rt)1−rSt=a1(1−rt)1−r
row: Substitute in the values. | St=P(1−(1+r)t)1−(1+r)St=P(1−(1+r)t)1−(1+r)
row: Simplify. | St=P(1−(1+r)t)−rSt=P(1−(1+r)t)−r
row: St=P((1+r)t−1)rSt=P((1+r)t−1)r
Remember our premise was that one deposit was made at the end of each year.
We can adapt this formula for n deposits made per year and the interest is compounded n times a year.
Value of an Annuity with Interest Compounded n n Times a Year
For a principal, P, invested at the end of a compounding period, with an interest rate, r, which is compounded n times a year, the new balance, A, after t years, is
1. ਉਦਾਹਰਨ 12.30
2. ਨਵੇਂ ਮਾਪੇ ਆਪਣੀ ਧੀ ਲਈ ਹਰ ਮਹੀਨੇ 100 ਡਾਲਰ ਦੀ ਐਨੂਇਟੀ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਖਾਤੇ 'ਤੇ ਸਾਲਾਨਾ 5% ਵਿਆਜ ਮਿਲੇਗਾ ਜੋ ਕਿ ਮਾਸਿਕ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਅਠਾਰ੍ਹਵੇਂ ਜਨਮਦਿਨ 'ਤੇ ਬੱਚੀ ਦੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਹੋਵੇਗੀ?
3. ਹੱਲ
4. ਐਨੂਇਟੀ ਫਾਰਮੂਲਾ, At=P((1+rn)nt−1)rn, ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ P, r, n, ਅਤੇ t ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
5. ਕਤਾਰ: P, ਹਰ ਮਹੀਨੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | P=100
6. ਕਤਾਰ: r, ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ, ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | r=0.05
7. ਕਤਾਰ: n, ਜਿੰਨੀ ਵਾਰ ਜਮ੍ਹਾਂ ਰਕਮ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇਗੀ ਅਤੇ ਵਿਆਜ ਸਾਲਾਨਾ ਜੋੜਿਆ ਜਾਵੇਗਾ, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | n=12
8. ਕਤਾਰ: t, ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | t=18
9. ਕਤਾਰ: P=100, r=0.05, n=12 ਅਤੇ t=18 ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ, ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ। | At=P((1+rn)nt−1)rn
10. ਕਤਾਰ: ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। | At=100((1+0.0512)12·18−1)0.0512
11. ਕਤਾਰ: ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ। | At=34,920.20
12. ਕਤਾਰ: ਜਦੋਂ ਬੱਚੀ 18 ਸਾਲ ਦੀ ਹੋਵੇਗੀ ਤਾਂ ਉਸਦੇ ਕੋਲ $34,920.20 ਹੋਣਗੇ।
13. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 12.59
14. ਨਵੇਂ ਦਾਦਾ-ਦਾਦੀ ਆਪਣੇ ਪੋਤੇ ਲਈ ਹਰ ਮਹੀਨੇ 200 ਡਾਲਰ ਦੀ ਐਨੂਇਟੀ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਖਾਤੇ 'ਤੇ ਸਾਲਾਨਾ 5% ਵਿਆਜ ਮਿਲੇਗਾ ਜੋ ਕਿ ਮਾਸਿਕ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਇਕੀ ਸਾਲ ਦੇ ਜਨਮਦਿਨ 'ਤੇ ਬੱਚੇ ਦੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਹੋਵੇਗੀ?
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 12.60
16. ਆਰਟੂਰੋ ਨੇ ਕਾਲਜ ਤੋਂ 27 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰੈਜੂਏਸ਼ਨ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਆਪਣੀ ਪਹਿਲੀ ਪੂਰਨ-ਕਾਲੀਨ ਨੌਕਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ। ਉਸਨੇ ਇੱਕ IRA (ਇੱਕ ਐਨੂਇਟੀ) ਵਿੱਚ ਹਰ ਮਹੀਨੇ 200 ਡਾਲਰ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕੀਤਾ। ਐਨੂਇਟੀ 'ਤੇ ਵਿਆਜ 8% ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਮਾਸਿਕ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਹ 67 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਰਿਟਾਇਰ ਹੋਵੇਗਾ ਤਾਂ ਆਰਟੂਰੋ ਦੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਹੋਵੇਗੀ?
17. ਮੀਡੀਆ
18. ਕ੍ਰਮਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
19. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਕ੍ਰਮ
20. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ
21. ਭਵਿੱਖੀ ਮੁੱਲ ਐਨੂਇਟੀ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ
22. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਉਪਯੋਗ: ਟੈਕਸ ਰੀਬੇਟ
23. ਅਭਿਆਸ ਪਰਫੈਕਟ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ
24. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਕ੍ਰਮ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਦੱਸੋ।
3 , 12 , 48 , 192 , 768 , 3072 , … 3 , 12 , 48 , 192 , 768 , 3072 , …
2 , 10 , 50 , 250 , 1250 , 6250 , … 2 , 10 , 50 , 250 , 1250 , 6250 , …
72 , 36 , 18 , 9 , 9 2 , 9 4 , … 72 , 36 , 18 , 9 , 9 2 , 9 4 , …
54 , 18 , 6 , 2 , 2 3 , 2 9 , … 54 , 18 , 6 , 2 , 2 3 , 2 9 , …
−3 , 6 , −12 , 24 , −48 , 96 , … −3 , 6 , −12 , 24 , −48 , 96 , …
2 , −6 , 18 , −54 , 162 , −486 , … 2 , −6 , 18 , −54 , 162 , −486 , …
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਅਰਥਮੈਟਿਕ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਜਾਂ ਕੋਈ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜੇ ਅਰਥਮੈਟਿਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਦੱਸੋ। ਜੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਦੱਸੋ।
48 , 24 , 12 , 6 , 3 , 3 2 , … 48 , 24 , 12 , 6 , 3 , 3 2 , …
12 , 6 , 0 , −6 , −12 , −18 , … 12 , 6 , 0 , −6 , −12 , −18 , …
−7 , −2 , 3 , 8 , 13 , 18 , … −7 , −2 , 3 , 8 , 13 , 18 , …
5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , … 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , …
1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , 1 64 , … 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , 1 64 , …
4 , 8 , 12 , 24 , 48 , 96 , … 4 , 8 , 12 , 24 , 48 , 96 , …
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਾਲੀ ਹਰੇਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲਿਖੋ।
a1=4a1=4 ਅਤੇ r=3r=3
a1=9a1=9 ਅਤੇ r=2r=2
a1=−4a1=−4 ਅਤੇ r=−2r=−2
a1=−5a1=−5 ਅਤੇ r=−3r=−3
a1=27a1=27 ਅਤੇ r=13r=13
a1=64a1=64 ਅਤੇ r=14r=14
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦਾ ਜਨਰਲ ਪਦ (nth ਪਦ) ਲੱਭੋ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਲੜੀ ਦਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਪਦ ਲੱਭੋ ਜਿੱਥੇ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
a11a11 ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ a1=8a1=8 ਅਤੇ r=3.r=3.
a13a13 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਦੋਂ a1=7 ਅਤੇ r=2।
a10a10 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਦੋਂ a1=−6 ਅਤੇ r=−2।
a15a15 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਦੋਂ a1=−4 ਅਤੇ r=−3।
a10a10 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਦੋਂ a1=100,000 ਅਤੇ r=0.1।
a8a8 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਦੋਂ a1=1,000,000 ਅਤੇ r=0.01।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਲੜੀ ਦਾ ਦਰਜਾ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਲੜੀ ਲਈ ਆਮ ਪਦ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਲੜੀ, 9,18,36,72,144,288,… ਦਾ a9a9 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਲੜੀ, 5,15,45,135,405,1215,… ਦਾ a12a12 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਲੜੀ, −486,162,−54,18,−6,2,… ਦਾ a15a15 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਲੜੀ, 224,−112,56,−28,14,−7,… ਦਾ a16a16 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਲੜੀ, 1,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,… ਦਾ a10a10 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਲੜੀ, 1000,100,10,1,0.1,0.01,… ਦਾ a9a9 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਗਿਣਤੀ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ n ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਗਿਣਤੀ ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਦਰਾਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8 , 24 , 72 , 216 , 648 , 1944 , …
7 , 14 , 28 , 56 , 112 , 224 , …
−6 , 12 , −24 , 48 , −96 , 192 , …
−4 , 12 , −36 , 108 , −324 , 972 , …
81 , 27 , 9 , 3 , 1 , 1 3 , …
256 , 64 , 16 , 4 , 1 , 1 4 , 1 16 , …
ਗਿਣਤੀ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
∑ i = 1 15 ( 2 ) i
∑ i = 1 10 ( 3 ) i
∑ i = 1 9 4 ( 2 ) i
∑_{i=1}^{85} (3i) ∑_{i=1}^{85} (3i)
∑_{i=1}^{109} (13i) ∑_{i=1}^{109} (13i)
∑_{i=1}^{154} (12i) ∑_{i=1}^{154} (12i)
ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + 1/729 + … 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + 1/729 + …
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + … 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + …
6 − 2 + 2/3 − 2/9 + 2/27 − 2/81 + … 6 − 2 + 2/3 − 2/9 + 2/27 − 2/81 + …
−4 + 2 − 1 + 1/2 − 1/4 + 1/8 − … −4 + 2 − 1 + 1/2 − 1/4 + 1/8 − …
6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + … 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + …
5 + 15 + 45 + 135 + 405 + 1215 + … 5 + 15 + 45 + 135 + 405 + 1215 + …
1,024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + … 1,024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + …
6,561 + 2187 + 729 + 243 + 81 + 27 + … 6,561 + 2187 + 729 + 243 + 81 + 27 + …
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
0. 3 – 0. 3 –
0. 6 – 0. 6 –
0. 7 – 0. 7 –
0. 2 – 0. 2 –
0. 45 — 0. 45 —
0. 27 — 0. 27 —
ਅਸਲ ਸੰਸਾਰ ਵਿੱਚ ਗਿਣਤੀ ਲੜੀਆਂ ਅਤੇ ਲੜੀਵਾਰਤਾ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਪਰਿਵਾਰ ਨੂੰ ਸਰਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹਰੇਕ ਟੈਕਸ ਛੋਟ ਦਾ ਅਰਥਚਾਰੇ ਉੱਤੇ ਕੁੱਲ ਪ੍ਰਭਾਵ ਪਤਾ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਅਰਥਚਾਰੇ ਨੂੰ ਉਤਸ਼ਾਹਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਪਰਿਵਾਰ ਛੋਟ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਸਤਾਂ ਅਤੇ ਸੇਵਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਖਰਚ ਕਰੇਗਾ।
row: ਹਰੇਕ ਪਰਿਵਾਰ ਨੂੰ ਟੈਕਸ ਛੋਟ | ਵਸਤਾਂ ਅਤੇ ਸੇਵਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਖਰਚਿਆ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ | ਅਰਥਚਾਰੇ ਉੱਤੇ ਕੁੱਲ ਪ੍ਰਭਾਵ
1. ⓐ | $1,000$1,000 | 85%85%
2. ⓑ | $1,000$1,000 | 75%75%
3. ⓒ | $1,500$1,500 | 90%90%
4. ⓓ | $1,500$1,500 | 80%80%
5. ਨਵੇਂ ਦਾਦਾ-ਦਾਦੀ ਆਪਣੇ ਪੋਤੇ/ਪੋਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਐਨੂਇਟੀ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ $100$100 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਖਾਤਾ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 6%6% ਵਿਆਜ ਦਾ ਭੁਗਤਾਨ ਕਰੇਗਾ ਜੋ ਕਿ ਮਾਸਿਕ (ਸਾਲ ਵਿੱਚ 12 ਵਾਰ) ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬੱਚੇ ਦੇ ਇਕੀਵੀਂ ਜਨਮਦਿਨ 'ਤੇ ਉਸਦੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਹੋਵੇਗੀ?
6. ਬੇਰਨਿਸ ਨੇ 30 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਕਾਲਜ ਤੋਂ ਗ੍ਰੈਜੂਏਟ ਹੋਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਆਪਣੀ ਪਹਿਲੀ ਪੂਰਨ-ਸਮੇਂ ਦੀ ਨੌਕਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਉਸਨੇ IRA (ਇੱਕ ਐਨੂਇਟੀ) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਤਿਮਾਹੀ $500$500 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕੀਤਾ। ਐਨੂਇਟੀ 'ਤੇ ਵਿਆਜ 7%7% ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਤਿਮਾਹੀ (ਸਾਲ ਵਿੱਚ 4 ਵਾਰ) ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਹ 65 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਸੇਵਾਮੁਕਤ ਹੋਵੇਗੀ ਤਾਂ ਬੇਰਨਿਸ ਦੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਹੋਵੇਗੀ?
7. ਐਲਿਸ ਲਗਭਗ ਪੰਜ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਰ ਖਰੀਦਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਇੱਕ ਐਨੂਇਟੀ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ $500$500 ਜਮ੍ਹਾਂ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 5%5% ਕਮਾਉਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਜੋ ਮਾਸਿਕ (ਸਾਲ ਵਿੱਚ 12 ਵਾਰ) ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪੰਜ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਐਲਿਸ ਕੋਲ ਡਾਊਨ ਪੇਮੈਂਟ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਹੋਵੇਗੀ?
8. ਮਾਇਰਾ ਨੇ ਕਾਲਜ ਤੋਂ ਗ੍ਰੈਜੂਏਟ ਹੋਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਆਪਣੀ ਪਹਿਲੀ ਪੂਰਨ-ਸਮੇਂ ਦੀ ਨੌਕਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਉਹ ਮਾਸਟਰ ਡਿਗਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਰਹੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਆਪਣੇ ਸਾਲਾਨਾ ਬੋਨਸ ਵਿੱਚੋਂ $2,500$2,500 ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਇੱਕ ਐਨੂਇਟੀ ਵਿੱਚ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ। ਐਨੂਇਟੀ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 6.5%6.5% ਵਿਆਜ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਲਾਨਾ ਜੋੜੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਆਪਣੀ ਮਾਸਟਰ ਡਿਗਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪੰਜ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਉਸਨੇ ਕਿੰਨੀ ਬਚਤ ਕੀਤੀ ਹੋਵੇਗੀ?
9. ਲਿਖਤੀ ਅਭਿਆਸ
10. ਆਪਣੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੱਸੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਕ੍ਰਮ (sequence) ਨੂੰ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ (geometric) ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
11. ਆਪਣੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੱਸੋ ਕਿ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਕ੍ਰਮ (geometric sequence) ਦਾ ਆਮ ਪਦ (general term) ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
12. ਆਪਣੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਕ੍ਰਮ (geometric sequence) ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ (geometric series) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਦੱਸੋ।
13. ਆਪਣੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੱਸੋ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਨੰਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ (infinite geometric series) ਦਾ ਜੋੜ (sum) ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
14. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
15. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
16. ⓑ ਇਹ ਚੈਕਲਿਸਟ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮੁਹਾਰਤ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦੀ ਹੈ? ਸੁਧਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੇ ਕਦਮ ਚੁੱਕੋਗੇ?