ਦੋ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਪਰਖਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਪਰਖਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀਆਂ ਦੁਹਰਾਵਾਂ ਵਜੋਂ ਸੋਚੋ। ਅੱਖਰ 'n' ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਹਰੇਕ ਪਰਖ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ "ਸਫਲਤਾ" ਅਤੇ "ਅਸਫਲਤਾ" ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੱਖਰ 'p' ਇੱਕ ਪਰਖ 'ਤੇ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ 'q' ਇੱਕ ਪਰਖ 'ਤੇ ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। p + q = 1।
'n' ਪਰਖਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ 'n' ਪਰਖਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ, ਇੱਕ ਪਰਖ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੂਜੀ ਪਰਖ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਇਸਨੂੰ ਕਹਿਣ ਦਾ ਇਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਪਰਖ ਲਈ, ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, 'p', ਅਤੇ ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, 'q', ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸੱਚ-ਝੂਠ ਦੇ ਅੰਕੜੇ ਦੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਦੇ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਫਲਤਾ ਸਹੀ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸਫਲਤਾ ਗਲਤ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਜੋਅ ਹਮੇਸ਼ਾ ਅੰਕੜੇ ਦੇ ਸੱਚ-ਝੂਠ ਦੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਸੰਭਾਵਨਾ p = 0.6 ਨਾਲ ਸਹੀ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, q = 0.4। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਸੱਚ-ਝੂਠ ਦੇ ਅੰਕੜੇ ਦੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਲਈ ਜੋਅ ਜਵਾਬ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਦੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ (p = 0.6) ਅਤੇ ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ (q = 0.4) ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
ਦੋ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੋ-ਪਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ X = 'n' ਸੁਤੰਤਰ ਪਰਖਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ।
ਦੋ-ਪਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਲਈ ਮੀਨ, μ, ਅਤੇ ਵੇਰੀਅੰਸ, σ², μ = np ਅਤੇ σ² = npq ਹਨ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ, σ, ਫਿਰ σ = √npq ਹੈ।
ਕੋਈ ਵੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੂਜੀ ਅਤੇ ਤੀਜੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹੋਣ ਅਤੇ ਜਿੱਥੇ n = 1 ਹੋ, ਉਸਨੂੰ ਬਰਨੌਲੀ ਟ੍ਰਾਇਲ (ਜੈਕਬ ਬਰਨੌਲੀ ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸਨੇ, 1600 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਦੇ ਅਖੀਰ ਵਿੱਚ, ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰਪੂਰਵਕ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਰਨੌਲੀ ਟ੍ਰਾਇਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਗਿਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.9
ਏਬੀਸੀ ਕਾਲਜ ਵਿਖੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸ਼ਬਦ ਲਈ ਇੱਕ ਐਲੀਮੈਂਟਰੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਕੋਰਸ ਤੋਂ ਵਾਪਸ ਲੈਣ ਦੀ ਦਰ 30% ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸ਼ਬਦ ਲਈ, 70% ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪੂਰੇ ਸ਼ਬਦ ਲਈ ਕਲਾਸ ਵਿੱਚ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ "ਸਫਲਤਾ" ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੇ ਵਾਪਸ ਲਿਆ। ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ X = ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਐਲੀਮੈਂਟਰੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਕਲਾਸ ਤੋਂ ਵਾਪਸ ਲੈਣ ਵਾਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ।
ਟਰਾਈ ਇਟ 4.9
ਰਾਜ ਸਿਹਤ ਬੋਰਡ ਸਕੂਲੀ ਦੁਪਹਿਰ ਦੇ ਖਾਣੇ ਵਿੱਚ ਫਲਾਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਬਾਰੇ ਚਿੰਤਤ ਹੈ। ਰਾਜ ਵਿੱਚ 48% ਸਕੂਲ ਆਪਣੇ ਦੁਪਹਿਰ ਦੇ ਖਾਣੇ ਵਿੱਚ ਹਰ ਰੋਜ਼ ਫਲ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ 52% ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ "ਸਫਲਤਾ" ਕੀ ਹੋਵੇਗੀ?
ਉਦਾਹਰਨ 4.10
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਖੇਡ ਖੇਡਦੇ ਹੋ ਜਿਸਨੂੰ ਤੁਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਜਿੱਤ ਜਾਂ ਹਾਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਖੇਡ ਨੂੰ ਜਿੱਤਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 55% ਹੈ, ਅਤੇ ਹਾਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 45% ਹੈ। ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਖੇਡੀ ਗਈ ਹਰੇਕ ਖੇਡ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਖੇਡ 20 ਵਾਰ ਖੇਡਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ 20 ਵਿੱਚੋਂ 15 ਵਾਰ ਜਿੱਤਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖੋ। ਇੱਥੇ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ X ਨੂੰ ਜਿੱਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ X 0, 1, 2, 3, ..., 20 ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ p = 0.55 ਹੈ। ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ q = 0.45 ਹੈ। ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n = 20 ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ P(x = 15) ਵਜੋਂ ਦੱਸਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਟਰਾਈ ਇਟ 4.10
ਇੱਕ ਸਿਖਲਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲਾ ਜੰਗਲੀ ਜੀਵਨ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਭੇਜਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਬਚਾਏ ਹੋਏ ਡਾਲਫਿਨ ਨੂੰ ਜੀਵਤ ਮੱਛੀਆਂ ਫੜਨ ਲਈ ਸਿਖਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਡਾਲਫਿਨ ਦੁਆਰਾ ਮੱਛੀ ਨੂੰ ਸਫਲਤਾਪੂਰਵਕ ਫੜਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 35% ਹੈ, ਅਤੇ ਡਾਲਫਿਨ ਦੁਆਰਾ ਮੱਛੀ ਨੂੰ ਸਫਲਤਾਪੂਰਵਕ ਨਾ ਫੜਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 65% ਹੈ। 20 ਕੋਸ਼ਿਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਤੁਸੀਂ 12 ਵਾਰ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੱਸੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.11
ਸਮੱਸਿਆ
ਇੱਕ ਸਿੱਕੇ ਨੂੰ 0.5 ਤੋਂ 0.25 ਤੱਕ ਭਾਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ 5 ਵਾਰ ਉਛਾਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰ ਉਛਾਲ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। 3 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈੱਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ? X = ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕੇ ਦੇ 5 ਉਛਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਹੈੱਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਮੰਨੋ। X 0, 1, 2, 3, 4, 5 ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਿੱਕੇ ਨੂੰ p = 0.25 ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੇਣ ਲਈ ਭਾਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, q 0.75 ਹੈ। ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n = 5 ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੱਸੋ।
ਪਹਿਲਾਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਕਸਿਤ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਸ਼ਨ Px>3Px>3 ਹੈੱਡਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪੜ੍ਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। Px>3=Px=4+Px=5=0.0146+0.0007=0.0153.Px>3=Px=4+Px=5=0.0146+0.0007=0.0153। ਅਸੀਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨਿਯਮ ਕਾਰਨ ਦੋ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.2 ਸਾਨੂੰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਅਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦੀ ਵੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 4.2 ਵਿੱਚ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਅਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਵੀ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 4.2 ਵਿੱਚ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ-ਪਦੀ ਵੰਡ ਦਾ ਸਕਿਊ ਜਦੋਂ p 0.5 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਚਿੱਤਰ 4.2 ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਕਿਊਡ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕਾਰਨ μ=np=1.25μ=np=1.25 ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ p=0.25p=0.25 ਹੈ।
ਟਰਾਈ ਇਟ 4.11
ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦਸ ਵਾਰ ਉਛਾਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਉਛਾਲ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਤਿੰਨ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਇੱਕਾ ਰੋਲ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦੱਸੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.12
ਲਗਭਗ 70% ਅੰਕੜੇ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਸਮੇਂ ਸਿਰ ਆਪਣਾ ਹੋਮਵਰਕ ਕਰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਅਤੇ ਗ੍ਰੇਡ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਹਰੇਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੋਮਵਰਕ ਕਰਦਾ ਹੈ। 50 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅੰਕੜੇ ਦੀ ਕਲਾਸ ਵਿੱਚ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 40 ਲੋਕ ਸਮੇਂ ਸਿਰ ਆਪਣਾ ਹੋਮਵਰਕ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ? ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ-ਪੱਖੀ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਸਫਲਤਾ ਜਾਂ _________ ਹੈ, ਟਰਾਇਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਗਿਣਤੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ ਟਰਾਇਲ ਲਈ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.70 ਹੈ।
b. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਮੇਂ ਸਿਰ ਆਪਣਾ ਹੋਮਵਰਕ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ X ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ?
c. x ਕਿਹੜੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ ਲੈਂਦਾ ਹੈ?
d. ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, "ਅਸਫਲਤਾ" ਕੀ ਹੈ?
e. ਜੇਕਰ p + q = 1 ਹੈ, ਤਾਂ q ਕੀ ਹੈ?
f. "ਘੱਟੋ-ਘੱਟ" ਸ਼ਬਦ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ P(x ____ 40) ਲਈ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਅਸਮਾਨਤਾ ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਹੱਲ
a. ਅਸਫਲਤਾ
b. X = ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜੋ ਸਮੇਂ ਸਿਰ ਆਪਣਾ ਹੋਮਵਰਕ ਕਰਦੇ ਹਨ
c. 0, 1, 2, …, 50
d. ਅਸਫਲਤਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣਾ ਹੋਮਵਰਕ ਸਮੇਂ ਸਿਰ ਪੂਰਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ p = 0.70 ਹੈ। ਟਰਾਇਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n = 50 ਹੈ।
e. q = 0.30
f. ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ (≥) ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ P(x ≥ 40) ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.12
ਪੰਜਾਹ-ਪੰਜਾਹ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਲੋਕ ਪਹਿਲੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ 'ਤੇ ਰਾਜ ਡਰਾਈਵਰਜ਼ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਪਾਸ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਡਰਾਈਵਰਜ਼ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇਣ ਵਾਲੇ 50 ਵਿਅਕਤੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਦੋ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ-ਪੱਖੀ ਸਮੱਸਿਆ ਕਿਉਂ ਹੈ।
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਲਈ ਨੋਟੇਸ਼ਨ: B = ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ
X ~ B(n, p)
ਇਸਨੂੰ "X ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵੰਡ ਹੈ" ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹੋ। ਪੈਰਾਮੀਟਰ n ਅਤੇ p ਹਨ; n = ਟਰਾਇਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, p = ਹਰ ਟਰਾਇਲ 'ਤੇ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.13
ਇਹ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਲਗਭਗ 41% ਬਾਲਗ ਕਾਮਿਆਂ ਕੋਲ ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਡਿਪਲੋਮਾ ਹੈ ਪਰ ਉਹ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਿੱਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ 20 ਬਾਲਗ ਕਾਮਿਆਂ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 12 ਕੋਲ ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਡਿਪਲੋਮਾ ਹੈ ਪਰ ਉਹ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਿੱਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਕਿੰਨੇ ਬਾਲਗ ਕਾਮਿਆਂ ਤੋਂ ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਡਿਪਲੋਮਾ ਹੋਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹੋ ਪਰ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਿੱਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਹੋ?
ਮੰਨ ਲਓ X = ਕਾਮਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਕੋਲ ਹਾਈ ਸਕੂਲ ਡਿਪਲੋਮਾ ਹੈ ਪਰ ਉਹ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਿੱਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਹਨ।
X ਮੁੱਲ 0, 1, 2, ..., 20 ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ n = 20, p = 0.41, ਅਤੇ q = 1 – 0.41 = 0.59। X ~ B(20, 0.41)
Find P(x ≤ 12). P(x ≤ 12) = 0.9738. (calculator or computer)
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
Go into 2nd DISTR. The syntax for the instructions are as follows:
To calculate (x = value): binompdf(n, p, number) if "number" is left out, the result is the binomial probability table. To calculate P(x ≤ value): binomcdf(n, p, number) if "number" is left out, the result is the cumulative binomial probability table. For this problem: After you are in 2nd DISTR, arrow down to binomcdf. Press ENTER. Enter 20,0.41,12). The result is P(x ≤ 12) = 0.9738.
NOTE
If you want to find P(x = 12), use the pdf (binompdf). If you want to find P(x > 12), use 1 - binomcdf(20,0.41,12).
The probability that at most 12 workers have a high school diploma but do not pursue any further education is 0.9738.
The graph of X ~ B(20, 0.41) is as follows:
The y-axis contains the probability of x, where X = the number of workers who have only a high school diploma.
The number of adult workers that you expect to have a high school diploma but not pursue any further education is the mean, μ = np = (20)(0.41) = 8.2.
The formula for the variance is σ2 = npq. The standard deviation is σ = npq npq. σ = ( 20 )( 0.41 )( 0.59 ) ( 20 )( 0.41 )( 0.59 ) = 2.20.
Try It 4.13
About 32% of students participate in a community volunteer program outside of school. If 30 students are selected at random, find the probability that at most 14 of them participate in a community volunteer program outside of school. Use the TI-83+ or TI-84 calculator to find the answer.
Example 4.14
Problem
In the 2013 Jerry’s Artarama art supplies catalog, there are 560 pages. Eight of the pages feature signature artists. Suppose we randomly sample 100 pages. Let X = the number of pages that feature signature artists.
What values does x take on?
What is the probability distribution? Find the following probabilities: the probability that two pages feature signature artists the probability that at most six pages feature signature artists the probability that more than three pages feature signature artists.
Using the formulas, calculate the (i) mean and (ii) standard deviation.
Solution
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
X ~ B( 100, 8 560 ) ( 100, 8 560 ) P(x = 2) = binompdf( 100, 8 560 ,2 ) ( 100, 8 560 ,2 ) = 0.2466 P(x ≤ 6) = binomcdf( 100, 8 560 ,6 ) ( 100, 8 560 ,6 ) = 0.9994 P(x > 3) = 1 – P(x ≤ 3) = 1 – binomcdf( 100, 8 560 ,3 ) ( 100, 8 560 ,3 ) = 1 – 0.9443 = 0.0557
Mean = np = (100)( 8 560 ) ( 8 560 ) = 800 560 800 560 ≈ 1.4286 Standard Deviation = npq npq = (100)( 8 560 )( 552 560 ) (100)( 8 560 )( 552 560 ) ≈ 1.1867
Try It 4.14
According to a Gallup poll, 60% of American adults prefer saving over spending. Let X = the number of American adults out of a random sample of 50 who prefer saving to spending.
X ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਕੀ ਹੈ?
ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ: 25 ਬਾਲਗਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ ਬੱਚਤ ਨੂੰ ਖਰਚਣ ਨਾਲੋਂ ਤਰਜੀਹ ਦੇਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 20 ਬਾਲਗਾਂ ਦੇ ਬੱਚਤ ਨੂੰ ਤਰਜੀਹ ਦੇਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, 30 ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਾਲਗਾਂ ਦੇ ਬੱਚਤ ਨੂੰ ਤਰਜੀਹ ਦੇਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ।
ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, X ਦਾ (i) ਮਾਧਿਅਕ ਅਤੇ (ii) ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.15
ਕੈਂਸਰ ਹੋਣ ਦਾ ਜੀਵਨ ਭਰ ਦਾ ਜੋਖਮ ਲਗਭਗ 67 ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ (1.5%) ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ 200 ਲੋਕਾਂ ਦਾ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। X = ਕੈਂਸਰ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
X ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਕੀ ਹੈ?
ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, X ਦਾ (i) ਮਾਧਿਅਕ ਅਤੇ (ii) ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੈਂਸਰ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੱਠ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕੀ ਪੰਜ ਜਾਂ ਛੇ ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਕੈਂਸਰ ਹੋਣ ਦੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ? ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਾਬਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
X ~ B200,0.015
ਮਾਧਿਅਕ=np=200*0.015 =3 ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ=npq=200*(0.015)*(0.985)=1.719
Px≤8 =0.9965
ਪੰਜ ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਕੈਂਸਰ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.1011 ਹੈ। ਛੇ ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਕੈਂਸਰ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.0500 ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 4.15
ਇੱਕ ਖਾਸ NBA ਸੀਜ਼ਨ ਦੌਰਾਨ, ਲਾਸ ਏਂਜਲਸ ਕਲਿਪਰਜ਼ ਦੇ ਇੱਕ ਖਿਡਾਰੀ ਦਾ ਲੀਗ ਵਿੱਚ ਫੀਲਡ ਗੋਲ ਪੂਰਤੀ ਦਰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੀ। ਇਸ ਖਿਡਾਰੀ ਨੇ ਆਪਣੇ 61.3% ਸ਼ਾਟਾਂ ਨਾਲ ਸਕੋਰ ਕੀਤਾ। ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸੀਜ਼ਨ ਦੌਰਾਨ ਇਸ ਖਿਡਾਰੀ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ 80 ਸ਼ਾਟਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨਾ ਚੁਣਦੇ ਹੋ। X = ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਵਾਲੇ ਸ਼ਾਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।
X ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਕੀ ਹੈ?
ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, X ਦਾ (i) ਮਾਧਿਅਕ ਅਤੇ (ii) ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਖਿਡਾਰੀ ਨੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸ਼ਾਟਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 60 ਨਾਲ ਸਕੋਰ ਕੀਤਾ।
ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਕਿ ਇਸ ਖਿਡਾਰੀ ਨੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸ਼ਾਟਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 50 ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਾਲ ਸਕੋਰ ਕੀਤਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.16
ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਦੋਪਦੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਦੀ ਉਲੰਘਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ABC ਕਾਲਜ ਵਿੱਚ ਦਸ ਸਟਾਫ ਮੈਂਬਰਾਂ ਅਤੇ ਛੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਬਣੀ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਸਲਾਹਕਾਰ ਕਮੇਟੀ ਹੈ। ਕਮੇਟੀ ਇੱਕ ਚੇਅਰਪਰਸਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰਿਕਾਰਡਰ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਚੇਅਰਪਰਸਨ ਅਤੇ ਰਿਕਾਰਡਰ ਦੋਵੇਂ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਹੋਣ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ? ਸਾਰੇ ਕਮੇਟੀ ਮੈਂਬਰਾਂ ਦੇ ਨਾਮ ਇੱਕ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਦੋ ਨਾਮ ਬਿਨਾਂ ਬਦਲ ਦੇ ਖਿੱਚੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਪਹਿਲਾ ਨਾਮ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਚੇਅਰਪਰਸਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਨਾਮ ਰਿਕਾਰਡਰ। ਦੋ ਟਰਾਇਲ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਟਰਾਇਲ ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਿਲੇ ਟਰਾਇਲ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੂਜੇ ਟਰਾਇਲ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲੀ ਡਰਾਅ 'ਤੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 6/16 ਹੈ। ਦੂਜੀ ਡਰਾਅ 'ਤੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 5/15 ਹੈ, ਜਦੋਂ ਪਹਿਲੀ ਡਰਾਅ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ 6/15 ਹੈ, ਜਦੋਂ ਪਹਿਲੀ ਡਰਾਅ ਇੱਕ ਸਟਾਫ ਮੈਂਬਰ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦਾ ਨਾਮ ਖਿੱਚਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹਰੇਕ ਟਰਾਇਲ ਲਈ ਬਦਲਦੀ ਹੈ ਅਤੇ, ਇਸ ਲਈ, ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਦੀ ਉਲੰਘਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 4.16
ਇਹ ਦੋਪਦੀ (binomial) ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਚੋਣ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਬਦਲ (replacement) ਹੈ। ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰੀਖਣ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਪ੍ਰੀਖਣ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਦੋ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਸਫਲਤਾ ਜਾਂ ਅਸਫਲਤਾ)। ਇੱਥੇ, ਤਿੰਨ ਕਪਤਾਨਾਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕੀਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਚੋਣ ਪਿਛਲੀ ਚੋਣ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇਹ ਦੋਪਦੀ ਪ੍ਰੀਖਣ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ।