1. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀਆਂ ਚਾਰ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ।
2. ਇੱਕ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਤੱਕ ਇੱਕ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਰਨੌਲੀ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਵਜੋਂ ਸੋਚੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਆਖਰੀ ਸਫਲਤਾ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਪਹਿਲੀ ਸਫਲਤਾ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੀ, ਤੁਸੀਂ ਜੋ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋ ਉਸਨੂੰ ਦੁਹਰਾਉਂਦੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹੋ। ਫਿਰ ਤੁਸੀਂ ਰੁਕ ਜਾਂਦੇ ਹੋ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਤੁਸੀਂ ਬਲੈਕਸਪਾਟ ਨੂੰ ਮਾਰਨ ਤੱਕ ਡਾਰਟ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ। ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਬਲੈਕਸਪਾਟ ਨੂੰ ਮਾਰਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ "ਸਫਲਤਾ" ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਡਾਰਟ ਸੁੱਟਣਾ ਬੰਦ ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਹੋ। ਬਲੈਕਸਪਾਟ ਨੂੰ ਮਾਰਨ ਲਈ ਛੇ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ਾਂ ਲੱਗ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਅਸਫਲਤਾ, ਅਸਫਲਤਾ, ਅਸਫਲਤਾ, ਅਸਫਲਤਾ, ਅਸਫਲਤਾ, ਸਫਲਤਾ, ਰੁਕੋ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਸਿਧਾਂਤਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਲਈ ਜਾਰੀ ਰਹਿ ਸਕਦੀ ਹੈ।
3. ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ।
4. ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, p, ਅਤੇ ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, q, ਹਰੇਕ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਲਈ ਸਮਾਨ ਹੈ। p+q =1 ਅਤੇ q=1-p। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸਾ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਤਿੰਨ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 1/6 ਹੈ। ਇਹ ਸੱਚ ਹੈ ਭਾਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਪਾਸਾ ਕਿੰਨੀ ਵੀ ਵਾਰ ਸੁੱਟੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਪੰਜਵੀਂ ਵਾਰ ਪਹਿਲਾ ਤਿੰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ। ਪਹਿਲੀ ਤੋਂ ਚੌਥੀ ਵਾਰ ਤੱਕ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵਾਲਾ ਚਿਹਰਾ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦਾ। ਹਰੇਕ ਵਾਰ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ q=5/6 ਹੈ, ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ। ਪੰਜਵੀਂ ਵਾਰ ਪਹਿਲਾ ਤਿੰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ (5/6)(5/6)(5/6)(5/6)(1/6) = 0.0804 ਹੈ।
5. ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ X ਪਹਿਲੀ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਭਾਵ, X = ਪਹਿਲੀ ਸਫਲਤਾ ਤੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ।
6. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ:
7. ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਕ ਦੀ ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਾਸਾ ਸੁੱਟਣ ਦੇ ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਸੀ "ਪਹਿਲੀ ਸਫਲਤਾ ਪੰਜਵੀਂ ਵਾਰ ਸੁੱਟਣ 'ਤੇ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?" ਬਦਲਵੇਂ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਇਹ ਪੁੱਛਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ "ਸਫਲਤਾ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚਾਰ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?" ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਪੁੱਛਣ ਦਾ ਹਰ ਤਰੀਕਾ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਬਦਲੇਗਾ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ pdf ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲਨ ਨੂੰ ਬਦਲੇਗਾ।
8. ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਿੱਚ ਇਹ ਗੱਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਕਿ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਥਿਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੀ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਣ ਲਈ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ, ਪਰ ਹੁਨਰ ਦੀ ਲੋੜ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਬੇਸਬਾਲ ਨੂੰ ਮਾਰਨਾ ਜਾਂ ਡਾਰਟ ਸੁੱਟਣਾ, ਕੋਈ ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੌਰਾਨ ਸਿੱਖਣ ਨਾਲ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਬਦਲ ਜਾਵੇਗੀ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ "ਸਿੱਖਣ" ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਫੜ ਸਕਦੀ, ਇਸ ਲਈ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਇਤਿਹਾਸਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਥਿਰ ਮੰਨੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
9. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ "ਯਾਦ ਰਹਿਤ" ਹੈ। ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜੋ "ਯਾਦ ਰਹਿਤ" ਵਜੋਂ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਨਾਲ ਇਕਲੌਤੀ ਹੈ ਜੋ ਯਾਦ ਰਹਿਤ ਹੈ। ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇਤਿਹਾਸਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮੇਜਰ ਲੀਗ ਬੇਸਬਾਲ ਖਿਡਾਰੀ ਜੋਨਸ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਪਹਿਲੇ ਬੇਸ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਬਾਲ ਨੂੰ ਹਿੱਟ ਕਰਨ ਦਾ ਰਿਕਾਰਡ 0.20 ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਾਲ ਹੈ। ਜੋਨਸ ਨੇ ਆਪਣੀਆਂ ਪਿਛਲੀਆਂ 10 ਬੈਟਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਹਿੱਟ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਉਸਦੀ ਤੀਜੀ ਬੈਟ ਵਿੱਚ ਹਿੱਟ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ? ਜਵਾਬ ਉਸਦੀਆਂ 10 ਪਿਛਲੀਆਂ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੌਜੂਦਾ ਸਮੇਂ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਅਪ੍ਰਸੰਗਿਕ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ "ਯਾਦ ਰਹਿਤ" ਮੰਨੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
10. ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ: Px=n+k|x≥k+1=P(x=n), ਜਿੱਥੇ k = ਪਿਛਲੀਆਂ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ।
11. ਜੋਨਸ ਦੀ ਹਿੱਟ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹਰ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਉਹ ਬੈਟਿੰਗ ਲਈ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਨਵੇਂ ਸਿਰੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਦੀ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇੱਕ ਅਜੀਬ ਨਤੀਜੇ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ: ਨਿਰਮਾਣ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਤੋਂ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਖਰਾਬ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਲਈ ਕੱਢਣਾ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਹਰ ਵਾਰ ਇੱਕ ਸਾਫ਼ ਸਲੇਟ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਟੈਸਟ ਪਿਛਲੇ ਟੈਸਟ ਨਤੀਜਿਆਂ 'ਤੇ ਕੋਈ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 4.17
13. ਤੁਸੀਂ ਮੌਕੇ ਦੀ ਇੱਕ ਖੇਡ ਖੇਡਦੇ ਹੋ ਜਿਸਨੂੰ ਤੁਸੀਂ ਜਿੱਤ ਜਾਂ ਹਾਰ ਸਕਦੇ ਹੋ (ਕੋਈ ਹੋਰ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹਨ) ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ ਹਾਰ ਨਹੀਂ ਜਾਂਦੇ। ਹਾਰਨ ਦੀ ਤੁਹਾਡੀ ਸੰਭਾਵਨਾ p = 0.57 ਹੈ। ਪੰਜ ਗੇਮਾਂ ਤੱਕ ਹਾਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ? ਮੰਨ ਲਓ X = ਹਾਰਨ ਤੱਕ ਖੇਡੀਆਂ ਗਈਆਂ ਗੇਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ (ਹਾਰਨ ਵਾਲੀ ਗੇਮ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ)। ਫਿਰ X ਮੁੱਲ 1, 2, 3, ... ਲੈਂਦਾ ਹੈ (ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ)। ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ P(x = 5) ਹੈ।
14. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.17
15. ਤੁਸੀਂ ਕੇਂਦਰੀ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਮਾਰਨ ਤੱਕ ਬੋਰਡ 'ਤੇ ਡਾਰਟ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ। ਕੇਂਦਰੀ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਮਾਰਨ ਦੀ ਤੁਹਾਡੀ ਸੰਭਾਵਨਾ p = 0.17 ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਮਾਰਨ ਤੱਕ ਅੱਠ ਸੁੱਟਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ। X ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ?
16. ਉਦਾਹਰਨ 4.18
17. ਸਮੱਸਿਆ
18. ਇੱਕ ਸੁਰੱਖਿਆ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪਲਾਂਟ ਵਿੱਚ 35% ਸਾਰੇ ਉਦਯੋਗਿਕ ਹਾਦਸੇ ਕਰਮਚਾਰੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਹਦਾਇਤਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਨਾ ਕਰਨ ਕਾਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਹ ਹਾਦਸੇ ਦੀਆਂ ਰਿਪੋਰਟਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਚੁਣੀਆਂ ਗਈਆਂ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਅਤੇ ਪੜ੍ਹਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਢੇਰ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਰੱਖੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ) ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਉਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਰਿਪੋਰਟ ਨਹੀਂ ਲੱਭ ਲੈਂਦਾ ਜੋ ਕਰਮਚਾਰੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਹਦਾਇਤਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਨਾ ਕਰਨ ਕਾਰਨ ਹੋਏ ਹਾਦਸੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਔਸਤਨ, ਸੁਰੱਖਿਆ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਨੂੰ ਕਰਮਚਾਰੀ ਦੀ ਅਸਫਲਤਾ ਕਾਰਨ ਹੋਏ ਹਾਦਸੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਰਿਪੋਰਟ ਲੱਭਣ ਤੱਕ ਕਿੰਨੀਆਂ ਰਿਪੋਰਟਾਂ ਦੇਖਣੀਆਂ ਪੈਣਗੀਆਂ? ਸੁਰੱਖਿਆ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਨੂੰ ਕਰਮਚਾਰੀ ਦੀ ਅਸਫਲਤਾ ਕਾਰਨ ਹੋਏ ਹਾਦਸੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਰਿਪੋਰਟ ਲੱਭਣ ਤੱਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਤਿੰਨ ਰਿਪੋਰਟਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ, ਇਸਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
ਮੰਨ ਲਓ X = ਉਹਨਾਂ ਹਾਦਸਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਸੁਰੱਖਿਆ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਨੂੰ ਜਾਂਚ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਉਹ ਇੱਕ ਰਿਪੋਰਟ ਨਹੀਂ ਲੱਭ ਲੈਂਦਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਰਮਚਾਰੀ ਦੀਆਂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਨਾ ਕਰਨ ਕਾਰਨ ਹਾਦਸਾ ਹੋਇਆ ਹੋਵੇ। X 1, 2, 3, .... ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਤੁਹਾਨੂੰ ਉਮੀਦ ਮੁੱਲ ਜਾਂ ਔਸਤ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਤੁਹਾਨੂੰ P(x ≥ 3) ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ। ("ਘੱਟੋ-ਘੱਟ" ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ "ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ" ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ)।
ਹੱਲ
ਔਸਤਨ, ਸੁਰੱਖਿਆ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀਆਂ ਰਿਪੋਰਟਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਉਹ ਇੱਕ ਰਿਪੋਰਟ ਨਹੀਂ ਲੱਭ ਲੈਂਦਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਦਾਇਤਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਨਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਕਾਰਨ ਕਰਕੇ ਹਾਦਸਾ ਹੋਇਆ ਹੋਵੇ? ਇਹ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਤੁਹਾਨੂੰ ਉਮੀਦ ਮੁੱਲ ਜਾਂ ਔਸਤ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਹਦਾਇਤਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਚੀਜ਼ ਦੀਆਂ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਔਸਤ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਇਸ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਦੇ ਮਾਧਿਅਮ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ: μ = E(x) = 1/p ≈ 2.8। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਮਾਧਿਅਮ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵੱਖਰਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗਿਣਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਸੁਰੱਖਿਆ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਨੂੰ ਕਰਮਚਾਰੀ ਦੀਆਂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਨਾ ਕਰਨ ਕਾਰਨ ਹਾਦਸਾ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਰਿਪੋਰਟ ਲੱਭਣ ਤੱਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਤਿੰਨ ਰਿਪੋਰਟਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ? ਇਸ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਉੱਤਰ ਪਹਿਲਾਂ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ X = ਉਹਨਾਂ ਹਾਦਸਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਸੁਰੱਖਿਆ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਨੂੰ ਜਾਂਚ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਉਹ ਇੱਕ ਰਿਪੋਰਟ ਨਹੀਂ ਲੱਭ ਲੈਂਦਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਰਮਚਾਰੀ ਦੀਆਂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਨਾ ਕਰਨ ਕਾਰਨ ਹਾਦਸਾ ਹੋਇਆ ਹੋਵੇ। X 1, 2, 3, 4, … ∞ ਮੁੱਲ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਟਰਾਇਲਾਂ ਵਾਲੀ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵੰਡ ਦੇ ਉਲਟ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਵਿੱਚ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਟਰਾਇਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਦੂਜਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਤੁਹਾਨੂੰ P(x ≥ 3) ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ। ("ਘੱਟੋ-ਘੱਟ" ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ "ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ" ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ)। ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵੰਡ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ "ਤੋਂ ਵੱਧ" ਜਾਂ "ਤੋਂ ਘੱਟ" ਦੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਦੇਖਿਆ ਸੀ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਤੱਕ ਜੋੜ ਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸੰਬੰਧਤ ਸੰਭਾਵਨਾ "ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ" (≥) ਹੈ ਤਾਂ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਤੱਕ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਘਟਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। Px ≥3 = 1 - P(x<3) ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਪੂਰੀ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਿਕ ਹੱਲ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਿਕ ਜੋੜਾ "ਤੋਂ ਵੱਧ" ਅਤੇ "ਤੋਂ ਘੱਟ" ਪੁੱਛਣ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਹੈ: ਪਹਿਲੀ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ n ਤੋਂ ਵੱਧ ਘਟਨਾਵਾਂ ਲੱਗਣ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ? Px>n = (1-p)n ਪਹਿਲੀ ਸਫਲਤਾ ਲਈ n ਤੋਂ ਘੱਟ ਘਟਨਾਵਾਂ ਲੱਗਣ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ? Px<n = 1 - (1-p)n
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.18
ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ 15% ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਆਪਣੇ ਅੰਤਿਮ ਇਮਤਿਹਾਨ ਵਿੱਚ C ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਹ ਅੰਤਿਮ ਇਮਤਿਹਾਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਅਤੇ ਪੜ੍ਹਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਢੇਰ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ) ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਉਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਲੱਭ ਲੈਂਦਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ C ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰੇਡ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ C ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰੇਡ ਦਿਖਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਲੱਭਣ ਤੱਕ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ ਨੂੰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦਸ ਇਮਤਿਹਾਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ, ਇਸਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਕੀ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 4.19
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੇ ਕਾਲਜ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋ ਜੋ ਤੁਹਾਡੇ ਤੋਂ ਪੰਜ ਮੀਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ 25,000 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ 55% ਤੁਹਾਡੇ ਤੋਂ ਪੰਜ ਮੀਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਕਾਲਜ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨਾਲ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸੰਪਰਕ ਕਰਦੇ ਹੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕੋਈ ਇਹ ਨਹੀਂ ਕਹਿੰਦਾ ਕਿ ਉਹ ਤੁਹਾਡੇ ਤੋਂ ਪੰਜ ਮੀਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਚਾਰ ਲੋਕਾਂ ਨਾਲ ਸੰਪਰਕ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ?
ਇਹ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਆਪਣੀ ਇੱਛਾ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਈ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਨਾਲ ਹੀ, ਜਦੋਂ ਵੀ ਤੁਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਪੁੱਛਦੇ ਹੋ ਕਿ ਕੀ ਉਹ ਪੰਜ ਮੀਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਟਰਾਇਲਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਗਿਣਤੀ ਨਹੀਂ ਹੈ (ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਪੁੱਛਣ ਦੀ ਗਿਣਤੀ)।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਮੰਨ ਲਓ X = ____________ ਉਹਨਾਂ ____________ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪੁੱਛਣਾ ਪਵੇਗਾ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕੋਈ ਹਾਂ ਨਹੀਂ ਕਹਿੰਦਾ।
b. X ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ?
c. p ਅਤੇ q ਕੀ ਹਨ?
d. ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ P(_______) ਹੈ।
ਹੱਲ
a. ਮੰਨ ਲਓ X = ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪੁੱਛਣਾ ਪਵੇਗਾ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕੋਈ ਹਾਂ ਨਹੀਂ ਕਹਿੰਦਾ।
b. X ਕੋਈ ਵੀ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ: 1, 2, 3, 4, …
c. p = 0.55; q = 0.45
d. P(x = 4)
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.19
ਤੁਹਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਦੁਕਾਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਪ੍ਰਿੰਟਰ ਇੰਕ ਰੱਖਦੀ ਹੋਵੇ। ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਪ੍ਰਿੰਟਰ ਇੰਕ ਰੱਖਣ ਵਾਲੀਆਂ ਦੁਕਾਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, 10% ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਇੰਕ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਹਰੇਕ ਦੁਕਾਨ ਨੂੰ ਕਾਲ ਕਰਦੇ ਹੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕੋਈ ਉਹ ਇੰਕ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ ਜਿਸਦੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੋੜ ਹੈ। p ਅਤੇ q ਕੀ ਹਨ?
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲਈ ਸੰਕੇਤ: G = ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ
X ~ G(p)
ਇਸਨੂੰ "X ਇੱਕ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਹੈ" ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹੋ। ਪੈਰਾਮੀਟਰ p ਹੈ; p = ਹਰੇਕ ਟਰਾਇਲ ਲਈ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ।
ਕੇਸ I: ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ X ਪਹਿਲੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਘਟਨਾ ਹੈ
ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪੁੱਛਦੇ ਹਾਂ, “ਸਾਡੀਆਂ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਗਿਣਤੀ x ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਸਫਲਤਾ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ?”
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪੀ.ਡੀ.ਐਫ. ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਘਟਨਾ ਲਈ x ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲਤਾ ਸੁਤੰਤਰ ਟਰਾਇਲਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ, ਹਰ ਇੱਕ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ (1-p)(1-p) ਹੈ। ਜੇਕਰ ਹਰ ਟਰਾਇਲ 'ਤੇ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ p ਹੈ, ਤਾਂ xਵੇਂ ਟਰਾਇਲ (x ਟਰਾਇਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ) ਦੇ ਪਹਿਲੀ ਸਫਲਤਾ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਇਹ ਹੈ:
$P_X=x=(1-p)^{x-1}p$
x=1, 2, 3, ....
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਵੰਡ ਵਾਂਗ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਵਿੱਚ ਮੀਨ ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। X ਦਾ ਉਮੀਦ ਕੀਤਾ ਮੁੱਲ, ਕੇਸ I ਲਈ ਮੀਨ, $\mu = \frac{1}{p}$ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੀ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਤੱਕ ਕਿੰਨੀਆਂ ਅਸਫਲ ਟਰਾਇਲਾਂ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਇਸ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਸਫਲਤਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਵਾਲੀ ਟਰਾਇਲ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਦਾ ਉਪਰੋਕਤ ਰੂਪ ਪਹਿਲੀ ਸਫਲਤਾ ਤੱਕ ਟਰਾਇਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਟਰਾਇਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਸਫਲਤਾ ਵਾਲੀ ਟਰਾਇਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ: x = ਸਫਲਤਾ ਸਮੇਤ ਸਾਰੀਆਂ ਟਰਾਇਲਾਂ। ਇਹ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇ X = ਸਫਲਤਾ ਸਮੇਤ ਟਰਾਇਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, $(1-p)$ ਨੂੰ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਜੋ ਕਿ x-1 ਹੈ, ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਦੇ ਕੇਸ I ਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਹੈ:
ਕੇਸ II: ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ X ਇੱਕ ਸਫਲਤਾ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ
ਕੇਸ I ਦੇ ਉਲਟ, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਦਾ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆ ਰੂਪ ਜੋ ਪਹਿਲੀ ਸਫਲਤਾ ਤੱਕ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਇਹ ਹੈ:
$P_X=x=(1-p)^x p$
x=0, 1, 2, 3, ....
ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਸਫਲਤਾ ਵਾਲੀ ਟਰਾਇਲ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਟਰਾਇਲ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਗਿਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: x = ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ। ਇਸ ਵੰਡ ਦਾ ਉਮੀਦ ਕੀਤਾ ਮੁੱਲ, ਮੀਨ, $\mu = \frac{1-p}{p}$ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਫਲਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿੰਨੀਆਂ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ, ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਕ੍ਰਮ ਹੈ। ਕੇਸ II ਵਿੱਚ, ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਹੈ: $\sigma = \sqrt{\frac{1-p}{p^2}}$।
ਚਿੱਤਰ 4.4 ਵਿੱਚ y-ਧੁਰਾ x ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ x-ਧੁਰਾ ਜਾਂਚੇ ਗਏ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨੰਬਰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, x=1 'ਤੇ ਇਸ ਦੀ ਖਰਾਬ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.0196 ਹੈ। ਦੋ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਦੂਜੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਦੇ ਖਰਾਬ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ x=2 'ਤੇ 0.0196 ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਤੀਜੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਦੇ ਖਰਾਬ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲਈ ਅਸੀਂ $P_X=3=0.019208$ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। (ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋ ਗੋਲਾਈ ਵਿੱਚ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕਾਰਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹਨ।)
ਚਿੱਤਰ 4.4 'ਤੇ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਦਲਾਅ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਕਦਮ ਨਾਲ ਘਟਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਆਮ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਲਈ ਵਿਲੱਖਣ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਆਮ ਅਨੁਪਾਤ, ਜਿਸਨੂੰ r ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $\frac{P(x=5)}{P(x=4)}=\frac{0.018447}{0.018823}=0.98$।
ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਡਾਟਾ ਸੈੱਟ ਲਈ, ਆਮ ਅਨੁਪਾਤ 0.98 ਹੈ। ਆਮ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਅਗਲੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਛੇਵੇਂ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.018078 ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਕੇਸ I ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਚੈੱਕ ਕਰੋ। ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ $P_x=6$ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਅਤੇ ਆਮ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ ਅਸੀਂ ਸਧਾਰਨ ਗੁਣਾ ਦੁਆਰਾ $P_x=7$ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: $P_x=7=0.018078 \times 0.98=0.017716$, ਉਹੀ ਮੁੱਲ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਸੀ। ਇਹ ਆਮ ਅਨੁਪਾਤ ਵਾਧਾ ਹਰ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਗਤੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਨਾਮ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਆਮ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਈ ਵੀ $P_x=x$ ਜਿਸਨੂੰ ਕੋਈ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪਹਿਲੇ ਖਰਾਬ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਤੱਕ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਉਹ ਮੀਨ, $\mu=50$ ਹੈ, ਖਰਾਬ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੇ ਇਸ ਕੇਸ ਲਈ। ਪਹਿਲੀ ਸਫਲਤਾ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਦੇ ਮੀਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ $\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.02}=50$ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.20 ਵੇਖੋ ਜਿੱਥੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਸਫਲਤਾ ਤੱਕ ਟਰਾਇਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵੰਡ ਲਈ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਉਮੀਦ ਕੀਤਾ ਮੁੱਲ ਵੰਡ ਦੇ ਇਸ ਸੰਸਕਰਣ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਕੇਸ II ਦਾ ਵੀ ਇੱਕ ਵੇਰੀਅੰਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਕੇਸ I ਫਾਰਮੂਲੇ ਤੋਂ ਬਦਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਵੇਰੀਅੰਸ ਲਈ ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ:
$P_X=x=(1-p)^{x-1}p$
x = 1, 2, 3, ....
ਉਦਾਹਰਨ 4.20
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਖਰਾਬ ਕੰਪਿਊਟਰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.02 ਹੈ। ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਨੁਕਸ ਦੇ ਸੱਤਵੇਂ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਦੁਆਰਾ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭੋ। ਇੱਕ ਖਰਾਬ ਲੱਭਣ ਤੱਕ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਦੀ ਉਮੀਦ ਹੈ?
ਮੰਨ ਲਓ X = ਪਹਿਲਾ ਨੁਕਸ ਲੱਭਣ ਤੱਕ ਟੈਸਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਪਿਊਟਰ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।
X ਮੁੱਲ 1, 2, 3, ... ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ p = 0.02 ਹੈ।
$P(x = 7)$ ਲੱਭੋ। $P(x = 7) = 0.0177$।
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
To find the probability that x = 7,
Enter 2nd, DISTR
Scroll down and select geometpdf(
Press ENTER
Enter 0.02, 7); press ENTER to see the result: P(x = 7) = 0.0177
To find the probability that x ≤ 7, follow the same instructions EXCEPT select E:geometcdf(as the distribution function.
The probability that the seventh component is the first defect is 0.0177.
The formula for the variance is σ2 = ( 1 p )( 1 p −1 ) ( 1 p )( 1 p −1 ) = ( 1 0.02 )( 1 0.02 −1 ) ( 1 0.02 )( 1 0.02 −1 ) = 2,450
The standard deviation is σ = ( 1 p )( 1 p −1 ) ( 1 p )( 1 p −1 ) = ( 1 0.02 )( 1 0.02 −1 ) ( 1 0.02 )( 1 0.02 −1 ) = 49.5
Try It 4.20
The probability of a defective steel rod is 0.01. Steel rods are selected at random. Find the probability that the first defect occurs on the ninth steel rod. Use the TI-83+ or TI-84 calculator to find the answer.
Example 4.21
Problem
The lifetime risk of developing cancer is about one in 67 (1.5%). Let X = the number of people you ask until one says they have cancer. Then X is a discrete random variable with a geometric distribution: X~G167X~G167 or X~G(0.015)X~G(0.015)
What is the probability of that you ask ten people before one says they have cancer?
What is the probability that you must ask 20 people?
Find the (i) mean and (ii) standard deviation of X.
Solution
P(x=10)=geometricpdf (0.015,10)=0.0131P(x=10)=geometricpdf (0.015,10)=0.0131
P(x=20)=geometricpdf (0.015,20)=0.0113P(x=20)=geometricpdf (0.015,20)=0.0113
Mean=μ=1p=10.015=66.67Mean=μ=1p=10.015=66.67Standard Deviation=σ=1-pp2=1-0.015[0.015]2=66.16Standard Deviation=σ=1-pp2=1-0.015[0.015]2=66.16
Try It 4.21
The literacy rate for a nation measures the proportion of people age 15 and over who can read and write. The literacy rate for women in Afghanistan is 12%. Let X = the number of Afghani women you ask until one says that she is literate.
What is the probability distribution of X?
What is the probability that you ask five women before one says she is literate?
What is the probability that you must ask ten women?
Find the (i) mean and (ii) standard deviation of X.