ਸਤੰਭ: x | P(x)
ਸਤੰਭ: 0 | 0.12
ਸਤੰਭ: 1 | 0.18
ਸਤੰਭ: 2 | 0.30
ਸਤੰਭ: 3 | 0.15
ਸਤੰਭ: 4 | 0.10
ਸਤੰਭ: 5 | 0.10
ਸਤੰਭ: 6 | 0.05
0.10 + 0.05 = 0.15
1
0.35 + 0.40 + 0.10 = 0.85
1(0.15) + 2(0.35) + 3(0.40) + 4(0.10) = 0.15 + 0.70 + 1.20 + 0.40 = 2.45
ਸਤੰਭ: x | P(x)
ਸਤੰਭ: 0 | 0.03
ਸਤੰਭ: 1 | 0.04
ਸਤੰਭ: 2 | 0.08
ਸਤੰਭ: 3 | 0.85
X = ਜੇਵੀਅਰ ਦੁਆਰਾ ਹਰ ਮਹੀਨੇ ਸਵੈ-ਸੇਵਾ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ।
ਸਤੰਭ: x | P(x)
ਸਤੰਭ: 0 | 0.05
ਸਤੰਭ: 1 | 0.05
ਸਤੰਭ: 2 | 0.10
ਸਤੰਭ: 3 | 0.20
ਸਤੰਭ: 4 | 0.25
5 | 0.35
1 – 0.05 = 0.95
0.2 + 1.2 + 2.4 + 1.6 = 5.4
P(x) ਦੇ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਤੱਕ ਜੋੜੇ ਨਹੀਂ ਜਾਂਦੇ।
X = ਉਹਨਾਂ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਜਿੰਨਾਂ ਇੱਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦਾ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪੋਸਟ-ਗ੍ਰੈਜੂਏਟ ਖੋਜ ਵਿੱਚ ਬਿਤਾਏਗਾ।
1 – 0.35 – 0.20 – 0.15 – 0.10 – 0.05 = 0.15
1(0.35) + 2(0.20) + 3(0.15) + 4(0.15) + 5(0.10) + 6(0.05) = 0.35 + 0.40 + 0.45 + 0.60 + 0.50 + 0.30 = 2.6 ਸਾਲ
X = ਉਹਨਾਂ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਜਿੰਨਾਂ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਉਸ ਅਧਿਆਪਕ ਨਾਲ ਬੈਲੇ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
0.10 + 0.05 + 0.10 = 0.25
ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕ ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਹੈ।
−2( 40 52 )+30( 12 52 )=−1.54+6.92=5.38
X = ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਜੋ "ਹਾਂ" ਜਵਾਬ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
5.7
0.4151
X = ਪੜ੍ਹਾਈ ਵਿੱਚੋਂ ਚੁਣੇ ਗਏ ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਇੱਕ ਨੇ ਇਹ ਜਵਾਬ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਕਿ ਸਮਲਿੰਗੀ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਕਾਨੂੰਨੀ ਵਿਆਹੁਤਾ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਅਧਿਕਾਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
1,2,…
1.4
X = ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ ਵਪਾਰਕ ਵਿਸ਼ੇ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ।
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
6.26
0, 1, 2, 3, 4, …
0.0485
0.0214
X = ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਸੜਕੀ ਵਾਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੱਟਾਂ ਕਾਰਨ ਮਰਨ ਵਾਲੇ ਅਮਰੀਕੀ ਕਿਸ਼ੋਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ।
0, 1, 2, 3, 4, ...
ਨਹੀਂ
ਦਿਲਚਸਪੀ ਦਾ ਵੇਰੀਏਬਲ X ਹੈ, ਜਾਂ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਲਾਭ ਜਾਂ ਘਾਟਾ।
ਗੁਲਾਮ, ਰਾਣੀ, ਅਤੇ ਬਾਦਸ਼ਾਹ ਦੇ ਚਿਹਰੇ ਵਾਲੇ ਕਾਰਡ। 12 ਚਿਹਰੇ ਵਾਲੇ ਕਾਰਡ ਹਨ ਅਤੇ 52 – 12 = 40 ਕਾਰਡ ਹਨ ਜੋ ਚਿਹਰੇ ਵਾਲੇ ਕਾਰਡ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ X ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਨਤੀਜੇ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਰਡ ਅਤੇ ਸਿੱਕਾ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕੀਤੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ X ਦੇ ਮੁਦਰਾ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: ਕਾਰਡ ਘਟਨਾ | X ਸ਼ੁੱਧ ਲਾਭ/ਘਾਟਾ | P(X)
ਸਤਰ: ਚਿਹਰੇ ਵਾਲਾ ਕਾਰਡ ਅਤੇ ਹੈੱਡਸ | 6 | ( 12 52 )( 1 2 )=( 6 52 )
ਸਤਰ: ਚਿਹਰੇ ਵਾਲਾ ਕਾਰਡ ਅਤੇ ਟੇਲਸ | 2 | ( 12 52 )( 1 2 )=( 6 52 )
ਸਤਰ: (ਚਿਹਰੇ ਵਾਲਾ ਕਾਰਡ ਨਹੀਂ) ਅਤੇ (H ਜਾਂ T) | –2 | ( 40 52 )( 1 )=( 40 52 )
ਉਮੀਦ ਕੀਤਾ ਮੁੱਲ=(6)( 6 52 )+(2)( 6 52 )+(−2)( 40 52 )=– 32 52
ਉਮੀਦ ਕੀਤਾ ਮੁੱਲ = –$0.62, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਸੈਂਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਖੇਡ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਖੇਡਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਖੇਡਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਲੜੀ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਪ੍ਰਤੀ ਖੇਡ 62 ਸੈਂਟ ਗੁਆਉਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰੋਗੇ, ਔਸਤਨ।
ਤੁਹਾਨੂੰ ਪੈਸਾ ਜਿੱਤਣ ਲਈ ਇਹ ਖੇਡ ਨਹੀਂ ਖੇਡਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਕਿਉਂਕਿ ਉਮੀਦ ਕੀਤਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਔਸਤ ਘਾਟਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
0.1
1.6
ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਕੰਪਨੀ x P(x) 5,000,0000.10 1,000,0000.30 –1,000,0000.60 ਟੇਬਲ 4.42 ਹਾਰਡਵੇਅਰ ਕੰਪਨੀ x P(x) 3,000,0000.20 1,000,0000.40 –1,000,000.40 ਟੇਬਲ 4.43 ਬਾਇਓਟੈਕ ਫਰਮ x P(x) 6,00,0000.10 00.70 –1,000,0000.20 ਟੇਬਲ 4.44
$200,000; $600,000; $400,000
ਤੀਜਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਘਾਟੇ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ
ਪਹਿਲਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਘਾਟੇ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ
ਦੂਜਾ ਨਿਵੇਸ਼
4.85 ਸਾਲ
b
ਮੰਨ ਲਓ X = ਟਿਕਟ 'ਤੇ ਜਿੱਤਣ ਵਾਲੀ ਪੈਸੇ ਦੀ ਰਕਮ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ X ਲਈ PDF ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਪੰਗਤੀ: x | P(x)
ਪੰਗਤੀ: 0 | 0.969
ਪੰਗਤੀ: 5 | 250 10,000 250 10,000 = 0.025
ਪੰਗਤੀ: 25 | 50 10,000 50 10,000 = 0.005
ਪੰਗਤੀ: 100 | 10 10,000 10 10,000 = 0.001
X ਦਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ ਗਿਣੋ।
0(0.969) + 5(0.025) + 25(0.005) + 100(0.001) = 0.35
ਟਿਕਟ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਮੁੱਲ $0.35 ਹੈ। $0.35 ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲਾਟਰੀ ਨੂੰ ਪੈਸਾ ਇਕੱਠਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਬਣਾਵੇਗਾ।
X = ਫਲੂ ਹੋਣ ਦਾ ਦਾਅਵਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਮਰੀਜ਼ਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਫਲੂ ਹੈ।
X = 0, 1, 2, ...25
0.0165
X = ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਹਾਟ ਡਾਗ ਸਟੈਂਡ 'ਤੇ ਕਿੰਨੇ ਹਾਟ ਡਾਗ ਖਾਂਦਾ ਹੈ
0.12
0.11
0.77
d. 4.43
c
X = ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ
X ~ B( 32, 1 3 ) ( 32, 1 3 )
ਅਸੀਂ 32 ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ 75% ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। 32 ਦਾ 75% 24 ਹੈ। ਅਸੀਂ P(x > 24) ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਘਟਨਾ "24 ਤੋਂ ਵੱਧ" "24 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ" ਦਾ ਪੂਰਕ ਹੈ।
ਤੁਹਾਡੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੇ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਮੀਨੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ: 1 – binomcdf( 32, 1 3 , 24 ) ( 32, 1 3 , 24 )
P(x > 24) = 0
ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਵੇਲੇ 32 ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ 75% ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਹੈ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
X = ਉਹਨਾਂ ਕਾਲਜਾਂ ਅਤੇ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜੋ ਆਨਲਾਈਨ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ਾਂ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ।
0, 1, 2, …, 13
X ~ B(13, 0.96)
12.48
0.0135
P(x = 12) = 0.3186 P(x = 13) = 0.5882 13 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਦੀ ਵਧੇਰੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
X = ਉਹਨਾਂ ਤਲਵਾਰਬਾਜ਼ਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜੋ ਆਪਣੀ ਮੁੱਖ ਹਥਿਆਰ ਵਜੋਂ ਫੁਆਇਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ
0, 1, 2, 3,... 25
X ~ B(25,0.40)
10
0.0442
ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਸਾਰੇ 25 ਫੁਆਇਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾ ਕਰਨ, ਲਗਭਗ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਬਹੁਤ ਹੈਰਾਨੀ ਵਾਲੀ ਗੱਲ ਹੋਵੇਗੀ।
X = 20 ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਵਿੱਚ ਆਡਿਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ
0, 1, 2, …, 20
X ~ B(20, 0.02)
0.4
0.6676
0.0071
X = ਮੈਚਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ
0, 1, 2, 3
X ~ B( 3, 1 6 ) ( 3, 1 6 )
ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ: −1, 1, 2, 3
1 2 1 2
PDF ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਹਰੇਕ Y ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ X ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ −0.0787 ਹੈ। ਔਸਤਨ, ਪ੍ਰਤੀ ਗੇਮ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲਗਭਗ ਅੱਠ ਸੈਂਟ ਦਾ ਨੁਕਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਘਰ ਦਾ ਫਾਇਦਾ ਹੈ।
X ~ B(15, 0.281) Figure 4.11
Mean = μ = np = 15(0.281) = 4.215 Standard Deviation = σ = npq npq = 15(0.281)(0.719) 15(0.281)(0.719) = 1.7409
P(x > 5) = 1 – P(x ≤ 5) = 1 – binomcdf(15, 0.281, 5) = 1 – 0.7754 = 0.2246 P(x = 3) = binompdf(15, 0.281, 3) = 0.1927 P(x = 4) = binompdf(15, 0.281, 4) = 0.2259 It is more likely that four people are literate that three people are.
X = the number of adults in America who are surveyed until one says they will watch the Super Bowl.
X ~ G(0.40)
2.5
0.0187
0.2304
X = the number of pages that advertise footwear
X takes on the values 0, 1, 2, ..., 20
X ~ B(20, 2919229192)
3.02
No
0.9997
X = the number of pages we must survey until we find one that advertises footwear. X ~ G(2919229192)
0.3881
6.6207 pages
0, 1, 2, and 3
X ~ G(0.25)
Mean = μ = 1 p 1 p = 1 0.25 1 0.25 = 4 Standard Deviation = σ = 1−p p 2 1−p p 2 = 1−0.25 0.25 2 1−0.25 0.25 2 ≈ 3.4641
P(x = 10) = geometpdf(0.25, 10) = 0.0188
P(x = 20) = geometpdf(0.25, 20) = 0.0011
P(x ≤ 5) = geometcdf(0.25, 5) = 0.7627
X = the number of pages that advertise footwear
0, 1, 2, 3, ..., 20
X ~ H(29, 163, 20); r = 29, b = 163, n = 20
3.03
1.5197
X = the number of Patriots picked
0, 1, 2, 3, 4
X ~ H(4, 8, 9)
Without replacement
X ~ P(5.5); μ = 5.5; σ = 5.5 σ = 5.5 ≈ 2.3452
P(x ≤ 6) = poissoncdf(5.5, 6) ≈ 0.6860
There is a 15.7% probability that the law staff will receive more calls than they can handle.
P(x > 8) = 1 – P(x ≤ 8) = 1 – poissoncdf(5.5, 8) ≈ 1 – 0.8944 = 0.1056
Let X = the number of defective bulbs in a string.
Using the Poisson distribution:
μ = np = 100(0.03) = 3
X ~ P(3)
P(x ≤ 4) = poissoncdf(3, 4) ≈ 0.8153
Using the binomial distribution:
X ~ B(100, 0.03)
P(x ≤ 4) = binomcdf(100, 0.03, 4) ≈ 0.8179
The Poisson approximation is very good—the difference between the probabilities is only 0.0026.
X = the number of children for a Spanish woman
0, 1, 2, 3,...
X ~ P(1.47)
0.2299
0.5679
0.4321
X = ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਕੁਕੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਕਿਸਮਤ ਹੈ
0, 1, 2, 3,... 144
X ~ B(144, 0.03) ਜਾਂ P(4.32)
4.32
0.0124 ਜਾਂ 0.0133
0.6300 ਜਾਂ 0.6264
ਜਿਉਂ ਜਿਉਂ n ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
X = ਇੱਕ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਆਡਿਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ
0, 1, 2, ..., 100
X ~ P(2)
2
0.1353
0.3233
X = ਇੱਕ ਕੇਕ ਵਿੱਚ ਸ਼ੈੱਲ ਦੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ
0, 1, 2, 3,...
X ~ P(1.5)
1.5
0.2231
0.0001
ਹਾਂ
d