1. ਚਿੱਤਰ 5.1: ਇਹਨਾਂ ਮੂਲੀਆਂ ਦੇ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਨਿਰੰਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹਨ। (ਸਰੋਤ: ਸਕਾਟ ਨੇਲਸਨ/ਫਲਿੱਕਰ ਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ, ਜਨਤਕ ਡੋਮੇਨ)
2. ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
3. ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:
4. ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਅਤੇ ਸਮਝਣਾ।
5. ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਉਚਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ।
6. ਘਾਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਉਚਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ।
7. ਨਿਰੰਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਕਈ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਬੇਸਬਾਲ ਬੈਟਿੰਗ ਔਸਤ, IQ ਸਕੋਰ, ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਟੈਲੀਫੋਨ ਕਾਲ ਦਾ ਸਮਾਂ, ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਕੋਲ ਪੈਸੇ ਦੀ ਮਾਤਰਾ, ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਚਿੱਪ ਦਾ ਜੀਵਨਕਾਲ, ਅਤੇ SAT ਸਕੋਰ ਕੁਝ ਕੁ ਹਨ। ਭਰੋਸੇਯੋਗਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
NOTE
8. ਅਸੰਤਤ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਅਸਪਸ਼ਟ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ X ਕੰਮ 'ਤੇ ਜਾਣ ਲਈ ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਚਲਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਮੀਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ (ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਮੀਲ ਤੱਕ) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ X ਇੱਕ ਅਸੰਤਤ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਮੀਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਜੇਕਰ X ਕੰਮ 'ਤੇ ਜਾਣ ਲਈ ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਚਲਾਈ ਗਈ ਦੂਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ X ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਮਾਪਦੇ ਹੋ ਅਤੇ X ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ। ਦੂਜੀ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ X ਇੱਕ ਬੈਕਪੈਕ ਵਿੱਚ ਕਿਤਾਬਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ X ਇੱਕ ਅਸੰਤਤ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ X ਇੱਕ ਕਿਤਾਬ ਦਾ ਭਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ X ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਭਾਰ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਇਹ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।
9. ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣ
10. ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਵਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
11. ਵਕਰ ਨੂੰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ pdf) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀਕ f(x) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। f(x) ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ; ਅਸੀਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
12. ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ cdf) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
13. ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਗਿਣਿਆ ਨਹੀਂ, ਸਗੋਂ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
14. ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ ਸਾਰਾ ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
15. ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਵਿਅਕਤੀਗਤ x ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਬਜਾਏ x ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਲਈ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
16. P(c < x < d) ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ X, c ਅਤੇ d ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹੈ। P(c < x < d) ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ, x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ, c ਦੇ ਸੱਜੇ ਅਤੇ d ਦੇ ਖੱਬੇ ਖੇਤਰ ਹੈ।
17. P(x = c) = 0 ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ x ਕੋਈ ਵੀ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ, ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ, x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ, ਅਤੇ x = c ਅਤੇ x = c ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਕੋਈ ਚੌੜਾਈ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ ਖੇਤਰ ਨਹੀਂ (ਖੇਤਰ = 0)। ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਭਾਵਨਾ ਖੇਤਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੀ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ।
18. P(c < x < d) P(c ≤ x ≤ d) ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਭਾਵਨਾ ਖੇਤਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
19. ਅਸੀਂ ਜਿਓਮੈਟਰੀ, ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ, ਤਕਨਾਲੋਜੀ, ਜਾਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਟੇਬਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਲੱਭਾਂਗੇ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਪਾਠ ਪੁਸਤਕ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭੇ ਗਏ ਸਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਕੋਰਸ ਨੂੰ ਲੈਣ ਵਾਲੇ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਪਾਠ ਪੁਸਤਕ ਵਿੱਚ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਹੀਂ ਕਰਾਂਗੇ।
20. ਕਈ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡਾਂ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਰਤੀ ਗਈ ਵੰਡ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਅਤੇ ਫਿੱਟ ਕਰਨ ਲਈ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
21. ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਅਤੇ ਅਗਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਵੰਡ, ਘਾਤੀ ਵੰਡ, ਅਤੇ ਆਮ ਵੰਡ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਇਹਨਾਂ ਵੰਡਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।
22. ਚਿੱਤਰ 5.2: ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ x = 3 ਅਤੇ x = 6 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ X ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਤਿੰਨ ਅਤੇ ਛੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸ਼ੇਡ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
23. ਚਿੱਤਰ 5.3: ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ x = 2 ਅਤੇ x = 4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ X ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਦੋ ਅਤੇ ਚਾਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸ਼ੇਡ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
24. ਚਿੱਤਰ 5.4: ਗ੍ਰਾਫ ਸਟੈਂਡਰਡ ਨੋਰਮਲ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ x = 1 ਅਤੇ x = 2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ X ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਇੱਕ ਅਤੇ ਦੋ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸ਼ੇਡ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।