ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਅਕਸਰ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਘਟਨਾ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਤੱਕ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਭੂਚਾਲ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਤੱਕ ਦਾ ਸਮਾਂ (ਹੁਣ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ) ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਲੰਬੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਕਾਰੋਬਾਰੀ ਟੈਲੀਫੋਨ ਕਾਲਾਂ ਦੀ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਲੰਬਾਈ, ਅਤੇ ਕਾਰ ਬੈਟਰੀ ਦੇ ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਚੱਲਣ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਹਾਡੀ ਜੇਬ ਜਾਂ ਪਰਸ ਵਿੱਚ ਪੈਸੇ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਲਗਭਗ ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਘਾਤੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਮੁੱਲ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਵੱਡੇ ਮੁੱਲ ਘੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਛੋਟੇ ਮੁੱਲ ਵੱਧ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ ਦੀ ਇੱਕ ਯਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਗਾਹਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਖਰਚੀ ਗਈ ਪੈਸੇ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਛੋਟੀਆਂ ਰਕਮਾਂ ਖਰਚਣ ਵਾਲੇ ਲੋਕ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਵੱਡੀਆਂ ਰਕਮਾਂ ਖਰਚਣ ਵਾਲੇ ਲੋਕ ਘੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਘਾਤੀ ਵੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਭਰੋਸੇਯੋਗਤਾ, ਜਾਂ ਉਤਪਾਦ ਦੇ ਚੱਲਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.7
ਮੰਨ ਲਓ X = ਡਾਕ ਕਰਮਚਾਰੀ ਦੁਆਰਾ ਆਪਣੇ ਗਾਹਕ ਨਾਲ ਬਿਤਾਇਆ ਸਮਾਂ (ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ)। ਇਹ ਸਮਾਂ ਚਾਰ ਮਿੰਟਾਂ ਦੇ ਔਸਤ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਦਾ ਹੋਣਾ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
X ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਮਾਂ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ μ = 4 ਮਿੰਟ। ਕੋਈ ਵੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ m, ਪਤਨ ਪੈਰਾਮੀਟਰ, ਪਤਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
m= 1 μ m= 1 μ. ਇਸ ਲਈ, m= 1 4 =0.25. m= 1 4 =0.25.
ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲਨ, σ, ਔਸਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। μ = σ
ਵੰਡ ਸੰਕੇਤ X ~ Exp(m) ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, X ~ Exp(0.25)।
ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = me-mx ਹੈ। ਸੰਖਿਆ e = 2.71828182846... ਇਹ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਵਿਗਿਆਨਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਕੋਲ "ex" ਕੁੰਜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ x ਲਈ ਇੱਕ ਦਾਖਲ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ e ਦਾ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰੇਗਾ।
ਵਕਰ ਹੈ:
f(x) = 0.25e–0.25x ਜਿੱਥੇ x ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ ਅਤੇ m = 0.25।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(5) = 0.25e(-0.25)(5) = 0.072। ਮੁੱਲ 0.072 ਵਕਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹੈ ਜਦੋਂ x = 5। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਉਦਾਹਰਨ 5.8 ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਪਤਨ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਲੱਭਣਾ ਸਿੱਖੋਗੇ।
ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ:
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਘਟਦਾ ਹੋਇਆ ਵਕਰ ਹੈ। ਜਦੋਂ x = 0,
f(x) = 0.25e(−0.25)(0) = (0.25)(1) = 0.25 = m। y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ m ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.7
ਵਿਆਹ ਦੀ ਵਰ੍ਹੇਗੰਢ ਦੇ ਕਾਰਡਾਂ ਲਈ ਪਤੀ-ਪਤਨੀ ਦੁਆਰਾ ਖਰਚੇ ਗਏ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਅੱਠ ਮਿੰਟਾਂ ਦੇ ਔਸਤ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵੰਡ ਲਿਖੋ, ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੱਸੋ, ਅਤੇ ਵੰਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.8
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਉਦਾਹਰਨ 5.7 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣੇ ਗਏ ਗਾਹਕ ਨਾਲ ਇੱਕ ਕਰਮਚਾਰੀ ਦੁਆਰਾ ਚਾਰ ਤੋਂ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਬਿਤਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
a. P(4 < x < 5) ਲੱਭੋ। ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ (CDF) ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। P(x < x) = 1 – e–mx P(x < 5) = 1 – e(−0.25)(5) = 0.7135 ਅਤੇ P(x < 4) = 1 – e(–0.25)(4) = 0.6321
NOTE
ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਗਣਨਾ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
The probability that a postal clerk spends four to five minutes with a randomly selected customer is P(4 < x < 5) = P(x < 5) – P(x < 4) = 0.7135 − 0.6321 = 0.0814.
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
On the home screen, enter (1 – e^(–0.25*5))–(1–e^(–0.25*4)) or enter e^(–0.25*4) – e^(–0.25*5).
Problem
b. Half of all customers are finished within how long? (Find the 50th percentile)
Solution
b. Find the 50th percentile.
P(x < k) = 0.50, k = 2.8 minutes (calculator or computer)
Half of all customers are finished within 2.8 minutes.
You can also do the calculation as follows:
P(x < k) = 0.50 and P(x < k) = 1 –e–0.25k
Therefore, 0.50 = 1 − e−0.25k and e−0.25k = 1 − 0.50 = 0.5
Take natural logs: ln(e–0.25k) = ln(0.50). So, –0.25k = ln(0.50)
Solve for k:k= ln(0.50) -0.25 =2.8 k= ln(0.50) -0.25 =2.8 minutes. The calculator simplifies the calculation for percentile k. See the following two notes.
NOTE
A formula for the percentile k is k= ln(1−AreaToTheLeft) −m k= ln(1−AreaToTheLeft) −m where ln is the natural log.
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
On the home screen, enter ln(1 – 0.50)/–0.25. Press the (-) for the negative.
Problem
c. Which is larger, the mean or the median?
Solution
c. From part b, the median or 50th percentile is 2.8 minutes. The theoretical mean is four minutes. The mean is larger.
Try It 5.8
The number of days ahead travelers purchase their airline tickets can be modeled by an exponential distribution with the average amount of time equal to 15 days. Find the probability that a traveler will purchase a ticket fewer than ten days in advance. How many days do half of all travelers wait?
Collaborative Exercise
ਹਰੇਕ ਜਮਾਤ ਦੇ ਮੈਂਬਰ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਜੇਬ ਜਾਂ ਪਰਸ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨ ਦਿਓ। ਤੁਹਾਡਾ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਡਾਲਰਾਂ ਅਤੇ ਸੈਂਟਾਂ ਵਿੱਚ ਰਕਮਾਂ ਦਰਜ ਕਰੇਗਾ। ਜਮਾਤ ਦੁਆਰਾ ਲਏ ਗਏ ਡਾਟਾ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਬਣਾਓ। ਪੰਜ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਬਾਰਾਂ ਦੇ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਲਗਭਗ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਔਸਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਮੰਨ ਲਓ X = ਤੁਹਾਡੀ ਜਮਾਤ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਜੇਬ ਜਾਂ ਪਰਸ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਪੈਸੇ ਦੀ ਰਕਮ।
X ਲਈ ਵੰਡ ਲਗਭਗ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਔਸਤ, μ = _______ ਅਤੇ m = _______. ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ, σ = ________.
ਉਚਿਤ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਤੁਹਾਨੂੰ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ, ਘਾਤ ਦਰ, ਅਤੇ ਔਸਤ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸ਼ੇਡ ਕਰੋ ਜੋ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਜੇਬ ਜਾਂ ਪਰਸ ਵਿੱਚ $.40 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ। (P(x < 0.40) ਨੂੰ ਸ਼ੇਡ ਕਰੋ)।
ਉਦਾਹਰਨ 5.9
ਔਸਤਨ, ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ ਦਸ ਸਾਲ ਤੱਕ ਚੱਲਦਾ ਹੈ। ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ ਦੇ ਚੱਲਣ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਵੰਡੀ ਗਈ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ 7 ਸਾਲ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚੱਲੇ?
ਹੱਲ
a. ਮੰਨ ਲਓ x = ਸਮਾਂ (ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ) ਜਿਸ ਤੱਕ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ ਚੱਲਦਾ ਹੈ। μ = 10 ਇਸ ਲਈ m= 1 μ = 1 10 =0.1 m= 1 μ = 1 10 =0.1 P(x > 7) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। P(x > 7) = 1 – P(x < 7)। ਕਿਉਂਕਿ P(X < x) = 1 –e–mx ਹੈ, ਇਸ ਲਈ P(X > x) = 1 –(1 –e–mx) = e-mx P(x > 7) = e(–0.1)(7) = 0.4966। ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ ਸੱਤ ਸਾਲ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚੱਲੇ, 0.4966 ਹੈ।
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
ਹੋਮ ਸਕ੍ਰੀਨ 'ਤੇ, e^(-.1*7) ਦਰਜ ਕਰੋ।
ਸਮੱਸਿਆ
b. ਔਸਤਨ, ਪੰਜ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ ਕਿੰਨਾ ਚਿਰ ਚੱਲਣਗੇ ਜੇਕਰ ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਾਅਦ ਵਰਤੇ ਜਾਣ?
ਹੱਲ
b. ਔਸਤਨ, ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ ਦਸ ਸਾਲ ਚੱਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪੰਜ ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗ, ਜੇਕਰ ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਬਾਅਦ ਵਰਤੇ ਜਾਣ, ਤਾਂ ਔਸਤਨ (5)(10) = 50 ਸਾਲ ਚੱਲਣਗੇ।
ਸਮੱਸਿਆ
c. ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗਾਂ ਦਾ ਅੱਸੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਿੰਨਾ ਚਿਰ ਚੱਲਦਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
c. 80ਵੀਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਮੰਨ ਲਓ k = 80ਵੀਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ।
k ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ: k= ln(1–0.80) –0.1 =16.1 k= ln(1–0.80) –0.1 =16.1 ਸਾਲ
ਕੰਪਿਊਟਰ ਭਾਗਾਂ ਦਾ ਅੱਸੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 16.1 ਸਾਲ ਚੱਲਦਾ ਹੈ।
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
ਹੋਮ ਸਕ੍ਰੀਨ 'ਤੇ, ln(1–0.80) –0.1 ln(1–0.80) –0.1 ਦਰਜ ਕਰੋ।
ਸਮੱਸਿਆ
d. ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦਾ ਕੋਈ ਭਾਗ ਨੌਂ ਅਤੇ ਗਿਆਰਾਂ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰਹੇ?
ਹੱਲ
d. P(9 < x < 11) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
P(9 < x < 11) = P(x < 11) – P(x < 9) = (1 – e(–0.1)(11)) – (1 – e(–0.1)(9)) = 0.6671 – 0.5934 = 0.0737। ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੇ ਭਾਗ ਦੇ ਨੌਂ ਅਤੇ ਗਿਆਰਾਂ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰਹਿਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.0737 ਹੈ।
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
ਹੋਮ ਸਕ੍ਰੀਨ 'ਤੇ, e^(–0.1*9) – e^(–0.1*11) ਦਰਜ ਕਰੋ।
ਟਰਾਈ ਇਟ 5.9
ਔਸਤਨ, ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ 'ਤੇ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਜੁੱਤੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ 18 ਮਹੀਨੇ ਤੱਕ ਚੱਲ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਜੁੱਤੀਆਂ ਦੇ ਚੱਲਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਵੰਡਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਜੁੱਤੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ 15 ਮਹੀਨਿਆਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚੱਲੇ? ਔਸਤਨ, ਜੇਕਰ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਜੁੱਤੀਆਂ ਦੇ ਛੇ ਜੋੜੇ ਕਿੰਨਾ ਚਿਰ ਚੱਲਣਗੇ? ਜੇਕਰ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਜੁੱਤੀਆਂ ਦਾ ਅੱਸੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚੱਲਦਾ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 5.10
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਫ਼ੋਨ ਕਾਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, 1/12 ਦੇ ਘਾਤ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨਾਲ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੇ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕੋਈ ਹੋਰ ਵਿਅਕਤੀ ਇੱਕ ਜਨਤਕ ਟੈਲੀਫੋਨ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੰਜ ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ X = ਫ਼ੋਨ ਕਾਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ।
ਸਮੱਸਿਆ
m, μ, ਅਤੇ σ ਕੀ ਹਨ? ਪੰਜ ਮਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ _______ ਹੈ।
ਹੱਲ
m = 1/12
μ = 12
σ = 12
P(x > 5) = 0.6592
ਟਰਾਈ ਇਟ 5.10
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੰਮ 'ਤੇ ਜਾਣ ਲਈ ਲੋਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਦੂਰੀ, ਮੀਲਾਂ ਵਿੱਚ, 1/20 ਦੇ ਘਾਤ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨਾਲ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ X = ਮੀਲਾਂ ਵਿੱਚ ਲੋਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਕੰਮ 'ਤੇ ਜਾਣ ਲਈ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਦੂਰੀ। m, μ, ਅਤੇ σ ਕੀ ਹਨ? ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ 25 ਮੀਲਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 5.11
ਘਟਨਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਿਤਾਇਆ ਸਮਾਂ ਅਕਸਰ ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸਟੋਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਔਸਤਨ 30 ਗਾਹਕ ਆਉਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਆਗਮਨ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਸਮਾਂ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
ਔਸਤਨ, ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਆਗਮਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕਿੰਨੇ ਮਿੰਟ ਬੀਤਦੇ ਹਨ?
When the store first opens, how long on average does it take for three customers to arrive?
After a customer arrives, find the probability that it takes less than one minute for the next customer to arrive.
After a customer arrives, find the probability that it takes more than five minutes for the next customer to arrive.
Seventy percent of the customers arrive within how many minutes of the previous customer?
Is an exponential distribution reasonable for this situation?
Solution
Since we expect 30 customers to arrive per hour (60 minutes), we expect on average one customer to arrive every two minutes on average.
Since one customer arrives every two minutes on average, it will take six minutes on average for three customers to arrive.
Let X = the time between arrivals, in minutes. By part a, μ = 2, so m = 1 2 1 2 = 0.5. Therefore, X ∼ Exp(0.5). The cumulative distribution function is P(X < x) = 1 – e(-0.5)(x). Therefore P(X < 1) = 1 – e(–0.5)(1) ≈ 0.3935. Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator 1 - e^(–0.5) ≈ 0.3935 Figure 5.28
P(X > 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – (1 – e(-0.50)(5)) = e–2.5 ≈ 0.0821. Figure 5.29 Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator 1 – (1 – e^((-0.50)(5))) or e^( – 5*0.5)
We want to solve 0.70 = P(X < x) for x. Substituting in the cumulative distribution function gives 0.70 = 1 – e–0.5x, so that e–0.5x = 0.30. Converting this to logarithmic form gives –0.5x = ln(0.30), or x= ln( 0.30 ) –0.5 ≈2.41 x= ln( 0.30 ) –0.5 ≈2.41 minutes. Thus, seventy percent of customers arrive within 2.41 minutes of the previous customer. You are finding the 70th percentile k so you can use the formula k = ln(1–Area_To_The_Left_Of_k) (–m) ln(1–Area_To_The_Left_Of_k) (–m) k = ln(1–0.70) (–0.5) ≈2.41 ln(1–0.70) (–0.5) ≈2.41 minutes Figure 5.30
This model assumes that a single customer arrives at a time, which may not be reasonable since people might shop in groups, leading to several customers arriving at the same time. It also assumes that the flow of customers does not change throughout the day, which is not valid if some times of the day are busier than others.
Try It 5.11
Suppose that on a certain stretch of highway, cars pass at an average rate of five cars per minute. Assume that the duration of time between successive cars follows the exponential distribution.
On average, how many seconds elapse between two successive cars?
After a car passes by, how long on average will it take for another seven cars to pass by?
Find the probability that after a car passes by, the next car will pass within the next 20 seconds.
Find the probability that after a car passes by, the next car will not pass for at least another 15 seconds.
Memorylessness of the Exponential Distribution
In Example 5.7 recall that the amount of time between customers is exponentially distributed with a mean of two minutes (X ~ Exp (0.5)). Suppose that five minutes have elapsed since the last customer arrived. Since an unusually long amount of time has now elapsed, it would seem to be more likely for a customer to arrive within the next minute. With the exponential distribution, this is not the case–the additional time spent waiting for the next customer does not depend on how much time has already elapsed since the last customer. This is referred to as the memoryless property. Specifically, the memoryless property says that
P (X > r + t | X > r) = P (X > t) for all r ≥ 0 and t ≥ 0
For example, if five minutes have elapsed since the last customer arrived, then the probability that more than one minute will elapse before the next customer arrives is computed by using r = 5 and t = 1 in the foregoing equation.
P(X > 5 + 1 | X > 5) = P(X > 1) = e ( –0.5 )( 1 ) e ( –0.5 )( 1 ) ≈ 0.6065.
This is the same probability as that of waiting more than one minute for a customer to arrive after the previous arrival.
The exponential distribution is often used to model the longevity of an electrical or mechanical device. In Example 5.9, the lifetime of a certain computer part has the exponential distribution with a mean of ten years (X ~ Exp(0.1)). The memoryless property says that knowledge of what has occurred in the past has no effect on future probabilities. In this case it means that an old part is not any more likely to break down at any particular time than a brand new part. In other words, the part stays as good as new until it suddenly breaks. For example, if the part has already lasted ten years, then the probability that it lasts another seven years is P(X > 17|X > 10) = P(X > 7) = 0.4966.
Example 5.12
Refer to Example 5.7 where the time a postal clerk spends with a customer has an exponential distribution with a mean of four minutes. Suppose a customer has spent four minutes with a postal clerk. What is the probability that the customer will spend at least an additional three minutes with the postal clerk?
The decay parameter of X is m = 1 4 1 4 = 0.25, so X ∼ Exp(0.25).
The cumulative distribution function is P(X < x) = 1 – e–0.25x.
We want to find P(X > 7|X > 4). The memoryless property says that P(X > 7|X > 4) = P (X > 3), so we just need to find the probability that a customer spends more than three minutes with a postal clerk.
This is P(X > 3) = 1 – P (X < 3) = 1 – (1 – e–0.25⋅3) = e–0.75 ≈ 0.4724.
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
1–(1–e^(–0.25*3)) = e^(–0.25*3).
Try It 5.12
Suppose that the longevity of a light bulb is exponential with a mean lifetime of eight years. If a bulb has already lasted 12 years, find the probability that it will last a total of over 19 years.
Relationship between the Poisson and the Exponential Distribution
There is an interesting relationship between the exponential distribution and the Poisson distribution. Suppose that the time that elapses between two successive events follows the exponential distribution with a mean of μ units of time. Also assume that these times are independent, meaning that the time between events is not affected by the times between previous events. If these assumptions hold, then the number of events per unit time follows a Poisson distribution with mean λ = 1/μ. Recall from the chapter on Discrete Random Variables that if X has the Poisson distribution with mean λ, then P(X=k)= λ k e −λ k! P(X=k)= λ k e −λ k!. Conversely, if the number of events per unit time follows a Poisson distribution, then the amount of time between events follows the exponential distribution. (k! = k*(k–1*)(k–2)*(k–3)*…3*2*1)
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
Suppose X has the Poisson distribution with mean λ. Compute P(X = k) by entering 2nd, VARS(DISTR), C: poissonpdf(λ, k). To compute P(X ≤ k), enter 2nd, VARS (DISTR), D:poissoncdf(λ, k).
Example 5.13
At a police station in a large city, calls come in at an average rate of four calls per minute. Assume that the time that elapses from one call to the next has the exponential distribution. Take note that we are concerned only with the rate at which calls come in, and we are ignoring the time spent on the phone. We must also assume that the times spent between calls are independent. This means that a particularly long delay between two calls does not mean that there will be a shorter waiting period for the next call. We may then deduce that the total number of calls received during a time period has the Poisson distribution.
Problem
Find the average time between two successive calls.
Find the probability that after a call is received, the next call occurs in less than ten seconds.
Find the probability that exactly five calls occur within a minute.
Find the probability that less than five calls occur within a minute.
Find the probability that more than 40 calls occur in an eight-minute period.
Solution
ਔਸਤਨ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਚਾਰ ਕਾਲਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਲਗਾਤਾਰ ਕਾਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ 15 ਸਕਿੰਟ, ਜਾਂ 15 60 15 60 = 0.25 ਮਿੰਟ ਦਾ ਸਮਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ T = ਕਾਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬੀਤਿਆ ਸਮਾਂ। ਭਾਗ (a) ਤੋਂ, μ = 0.25, ਇਸ ਲਈ m = 1 0.25 1 0.25 = 4। ਇਸ ਲਈ, T ∼ Exp(4)। ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ P(T < t) = 1 – e–4t ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ ਅਗਲੀ ਕਾਲ ਦਸ ਸਕਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਘੱਟ (ਦਸ ਸਕਿੰਟ = 1/6 ਮਿੰਟ) ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ P( T < 1 6 )=1– e (–4)( 1 6 ) ≈0.4866। P( T < 1 6 )=1– e (–4)( 1 6 ) ≈0.4866। ਚਿੱਤਰ 5.32
ਮੰਨ ਲਓ X = ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਕਾਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਕਾਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਪੋਇਸਨ ਵੰਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਚਾਰ ਕਾਲਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, X ∼ Poisson(4), ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ P(X = 5) = 4 5 e −4 5! 4 5 e −4 5! ≈ 0.1563। (5! = (5)(4)(3)(2)(1)) TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ poissonpdf(4, 5) = 0.1563 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।
ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ X ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ P(X < 5) = P(X ≤ 4)। ਇਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ P(X ≤ 4) = 0.6288। TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ poisssoncdf(4, 4) = 0.6288 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।
ਮੰਨ ਲਓ Y = ਅੱਠ ਮਿੰਟ ਦੀ ਮਿਆਦ ਦੌਰਾਨ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਕਾਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ। ਕਿਉਂਕਿ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਔਸਤਨ ਚਾਰ ਕਾਲਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਹਰੇਕ ਅੱਠ ਮਿੰਟ ਦੀ ਮਿਆਦ ਦੌਰਾਨ ਔਸਤਨ (8)(4) = 32 ਕਾਲਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, Y ∼ Poisson(32)। ਇਸ ਲਈ, P(Y > 40) = 1 – P (Y ≤ 40) = 1 – 0.9294 = 0.0707। TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 1 – poissoncdf(32, 40) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ। = 0.0707
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.13
ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਸ਼ਹਿਰ ਵਿੱਚ, ਆਟੋਮੋਬਾਈਲ ਹਾਦਸਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ ਔਸਤਨ ਤਿੰਨ ਦੇ ਪੋਇਸਨ ਵੰਡ ਨਾਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ 2 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹਾਦਸੇ ਨਾ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਕਿਸੇ ਵੀ 2 ਹਾਦਸਿਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਹਫ਼ਤੇ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?