ਇਕ ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਸਮਾਨ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਕ ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ ਕਿ ਡਾਟਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਬਾਹਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.2
ਸਾਰਣੀ 5.1 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਡਾਟਾ 55 ਮੁਸਕਰਾਉਣ ਦੇ ਸਮੇਂ (ਸੈਕਿੰਡਾਂ ਵਿੱਚ) ਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਅੱਠ ਹਫ਼ਤੇ ਦੇ ਬੱਚੇ ਦਾ ਹੈ।
ਰੋ: 10.4 | 19.6 | 18.8 | 13.9 | 17.8 | 16.8 | 21.6 | 17.9 | 12.5 | 11.1 | 4.9
ਰੋ: 12.8 | 14.8 | 22.8 | 20.0 | 15.9 | 16.3 | 13.4 | 17.1 | 14.5 | 19.0 | 22.8
ਰੋ: 1.3 | 0.7 | 8.9 | 11.9 | 10.9 | 7.3 | 5.9 | 3.7 | 17.9 | 19.2 | 9.8
ਰੋ: 5.8 | 6.9 | 2.6 | 5.8 | 21.7 | 11.8 | 3.4 | 2.1 | 4.5 | 6.3 | 10.7
ਰੋ: 8.9 | 9.4 | 9.4 | 7.6 | 10.0 | 3.3 | 6.7 | 7.8 | 11.6 | 13.8 | 18.6
ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਕ = 11.65 ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ = 6.08 ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਹ ਮੰਨਾਂਗੇ ਕਿ ਮੁਸਕਰਾਉਣ ਦਾ ਸਮਾਂ, ਸੈਕਿੰਡਾਂ ਵਿੱਚ, ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ 23 ਸੈਕਿੰਡਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇਕ ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋਵੇਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ 23 ਸੈਕਿੰਡਾਂ ਤੱਕ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁਸਕਰਾਉਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਹੈ। ਜੋ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਨਮੂਨੇ ਤੋਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਇੱਕ ਅਨੁਭਵੀ ਵੰਡ ਹੈ ਜੋ ਸਿਧਾਂਤਕ ਇਕ ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਨਾਲ ਨੇੜਿਓਂ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ X = ਅੱਠ ਹਫ਼ਤੇ ਦੇ ਬੱਚੇ ਦੀ ਮੁਸਕਰਾਹਟ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਸੈਕਿੰਡਾਂ ਵਿੱਚ।
ਇਕ ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਲਈ ਸੰਕੇਤ ਹੈ
X ~ U(a, b) ਜਿੱਥੇ a = x ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲਾ ਮੁੱਲ ਅਤੇ b = x ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲਾ ਮੁੱਲ ਹੈ।
ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 1/(b−a) ਹੈ, ਜਦੋਂ a ≤ x ≤ b।
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, x ~ U(0, 23) ਅਤੇ f(x) = 1/(23−0) ਹੈ, ਜਦੋਂ 0 ≤ X ≤ 23।
ਸਿਧਾਂਤਕ ਮਾਧਿਅਕ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹਨ
μ = (a+b)/2 ਅਤੇ σ = (b−a)/√12
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ, ਸਿਧਾਂਤਕ ਮਾਧਿਅਕ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਹਨ
μ = (0 + 23)/2 = 11.50 ਸੈਕਿੰਡ ਅਤੇ σ = (23 − 0)/√12 = 6.64 ਸੈਕਿੰਡ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਿਧਾਂਤਕ ਮਾਧਿਅਕ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਕ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹਨ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 5.2
ਅੱਗੇ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਡਾਟਾ ਇੱਕ ਗਰਮੀਆਂ ਦੇ ਦਿਨ 35 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਚਾਰਟਰ ਫਿਸ਼ਿੰਗ ਕਿਸ਼ਤੀਆਂ ਦੇ ਯਾਤਰੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਫੜੀ ਗਈ ਮੱਛੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਭਾਰ (ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੌਂਡ ਤੱਕ) ਨੂੰ ਦਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਕ = 7.9 ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ = 4.33 ਹੈ। ਡਾਟਾ ਇੱਕ ਇਕ ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ 14 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅਤੇ ਸ਼ਾਮਲ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਹਨ। a ਅਤੇ b ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੱਸੋ। ਵੰਡ ਨੂੰ ਸਹੀ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਸਿਧਾਂਤਕ ਮਾਧਿਅਕ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਰੋ: 1 | 12 | 4 | 10 | 4 | 14 | 11
ਰੋ: 7 | 11 | 4 | 13 | 2 | 4 | 6
1. ਕਤਾਰ: 3 | 10 | 0 | 12 | 6 | 9 | 10
1. ਕਤਾਰ: 5 | 13 | 4 | 10 | 14 | 12 | 11
1. ਕਤਾਰ: 6 | 10 | 11 | 0 | 11 | 13 | 2
5.3. The world is a stage, and all the men and women merely players. They have their exits and their entrances; and one man in his time plays many parts. ਦੁਨੀਆ ਇੱਕ ਰੰਗਮੰਚ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਮਰਦ ਤੇ ਔਰਤਾਂ ਕੇਵਲ ਖਿਡਾਰੀ ਹਨ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਕਲਣ ਅਤੇ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੇ ਥਾਂ ਹਨ; ਅਤੇ ਇੱਕ ਮਨੁੱਖ ਆਪਣੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕਿਰਦਾਰ ਨਿਭਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
1. 5.2 ਉਦਾਹਰਨ ਵੇਖੋ। ਦੋ ਅਤੇ 18 ਸੈਕਿੰਡ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਅੱਠ ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਦੇ ਬੱਚੇ ਦੇ ਮੁਸਕਰਾਉਣ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ?
1. ਨਿਰਣਾ
P(2 < x < 18) = (ਆਧਾਰ)(ਉਚਾਈ) = (18 – 2)( 1 23 ) ( 1 23 ) = 16 23 16 23.
1. ਸਮੱਸਿਆ
b. ਅੱਠ ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਦੇ ਬੱਚੇ ਦੇ ਮੁਸਕਰਾਉਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦਾ 90ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਲੱਭੋ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
੯੦ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮੁਸਕਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਪਲ ੯੦ਵੇਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਆਉਂਦੇ ਹਨ, k, ਇਸ ਲਈ P(x < k) = 0.90।
P(x<k)=0.90 P(x<k)=0.90
(ਆਧਾਰ)(ਉਚਾਈ)=0.90(ਆਧਾਰ)(ਉਚਾਈ)=0.90
(k−0)( 1 23 )=0.90
1. ਇਹ ਸਭ ਕੁਝ ਮੇਰੇ ਅੰਦਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੈਂ ਇਸ ਸਭ ਕੁਝ ਵਿੱਚ ਹਾਂ।
1. ਸਮੱਸਿਆ
1. ਅੱਠ ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਬੱਚੇ ਦੇ 12 ਸਕਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁਸਕਰਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਇਹ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਬੱਚਾ 8 ਸਕਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁਸਕਰਾਉਂਦਾ ਹੈ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤੀਆ ਹੈ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਅੱਠ ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਦਾ ਬੱਚਾ 12 ਸੈਕਿੰਡ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁਸਕਰਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਪਤਾ ਹੈ ਕਿ ਬੱਚਾ ਅੱਠ ਸੈਕਿੰਡ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁਸਕਰਾਇਆ ਹੈ।
1. P(x > 12|x > 8) ਨੂੰ ਲੱਭੋ। ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਦੋ ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਪਹਿਲੇ ਤਰੀਕੇ ਲਈ, ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤੀਆ ਹੈ ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਨਵੇਂ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਬੱਚੇ ਨੇ ਅੱਠ ਸਕਿੰਟਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮਾਂ ਮੁਸਕੁਰਾਇਆ।
1. f(x) = 1 23 − 8 1 23 − 8 = 1 15 1 15, ਜਦੋਂ ਕਿ 8 < x < 23
P(x > 12|x > 8) = (23 − 12)( 1 15 ) ( 1 15 ) = 11 15 11 15
1. ਦੂਜੇ ਢੰਗ ਲਈ, ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿਸ਼ਿਆਂ (Probability Topics) ਤੋਂ ਸ਼ਰਤੀਆ ਸੂਤਰ (conditional formula) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਵੰਡ (original distribution) X ~ U (0, 23) ਹੈ:
P(A|B) = P(A AND B) P(B) P(A AND B) P(B)
For this problem, A is (x > 12) and B is (x > 8).
So, P(x > 12|x > 8) = P(x>12 AND x>8) P(x>8) = P(x>12) P(x>8) = 11 23 15 23 = 11 15 P(x>12 AND x>8) P(x>8) = P(x>12) P(x>8) = 11 23 15 23 = 11 15
Figure 5.14: Darker shaded area represents P(x > 12). Entire shaded area shows P(x > 8).
Try It 5.3
A distribution is given as X ~ U (0, 20). What is P(2 < x < 18)? Find the 90th percentile.
Example 5.4
The amount of time, in minutes, that a person must wait for a bus is uniformly distributed between zero and 15 minutes, inclusive.
Problem
a. What is the probability that a person waits fewer than 12.5 minutes?
b. On the average, how long must a person wait? Find the mean, μ, and the standard deviation, σ.
c. Ninety percent of the time, the time a person must wait falls below what value?
Solution
a. Let X = the number of minutes a person must wait for a bus. a = 0 and b = 15. X ~ U(0, 15). Write the probability density function. f (x) = 1 15 − 0 1 15 − 0 = 1 15 1 15 for 0 ≤ x ≤ 15.
Find P (x < 12.5). Draw a graph.
P(x<k)=(base)(height)=(12.5-0)( 1 15 )=0.8333 P(x<k)=(base)(height)=(12.5-0)( 1 15 )=0.8333
The probability a person waits less than 12.5 minutes is 0.8333.
b. μ = a + b 2 a + b 2 = 15 + 0 2 15 + 0 2 = 7.5. On the average, a person must wait 7.5 minutes. σ = (b-a)2 12 = (15-0)2 12 (b-a)2 12= (15-0)2 12 = 4.3. The Standard deviation is 4.3 minutes.
c. Find the 90th percentile. Draw a graph. Let k = the 90th percentile. P(x<k)=(base)(height)=(k−0)( 1 15 ) P(x<k)=(base)(height)=(k−0)( 1 15 ) 0.90=( k )( 1 15 ) 0.90=( k )( 1 15 ) k=(0.90)(15)=13.5 k=(0.90)(15)=13.5 k is sometimes called a critical value. The 90th percentile is 13.5 minutes. Ninety percent of the time, a person must wait at most 13.5 minutes.
Try It 5.4
The total duration of baseball games in the major league in a typical season is uniformly distributed between 447 hours and 521 hours inclusive.
Find a and b and describe what they represent.
Write the distribution.
Find the mean and the standard deviation.
What is the probability that the duration of games for a team for a single season is between 480 and 500 hours?
What is the 65th percentile for the duration of games for a team in a single season?
Example 5.5
Suppose the time it takes a nine-year old to eat a donut is between 0.5 and 4 minutes, inclusive. Let X = the time, in minutes, it takes a nine-year old child to eat a donut. Then X ~ U (0.5, 4).
Problem
a. The probability that a randomly selected nine-year old child eats a donut in at least two minutes is _______.
b. Find the probability that a different nine-year old child eats a donut in more than two minutes given that the child has already been eating the donut for more than 1.5 minutes.
The second question has a conditional probability. You are asked to find the probability that a nine-year old child eats a donut in more than two minutes given that the child has already been eating the donut for more than 1.5 minutes. Solve the problem two different ways (see Example 5.3). You must reduce the sample space. First way: Since you know the child has already been eating the donut for more than 1.5 minutes, you are no longer starting at a = 0.5 minutes. Your starting point is 1.5 minutes.
Write a new f(x):
f(x) = 1 4−1.5 1 4−1.5 = 2 5 2 5 for 1.5 ≤ x ≤ 4.
Find P(x > 2|x > 1.5). Draw a graph.
P(x > 2|x > 1.5) = (base)(new height) = (4 − 2)( 2 5 ) =45 ( 2 5 ) =45
Solution
a. 0.5714
b. 4545
The probability that a nine-year old child eats a donut in more than two minutes given that the child has already been eating the donut for more than 1.5 minutes is 4545.
Second way: Draw the original graph for X ~ U (0.5, 4). Use the conditional formula
P(x > 2|x > 1.5) = P(x>2 AND x>1.5) P(x>1.5) = P(x>2) P(x>1.5) = 2 3.5 2.5 3.5 =0.8= 4 5 P(x>2 AND x>1.5) P(x>1.5) = P(x>2) P(x>1.5) = 2 3.5 2.5 3.5 =0.8= 4 5
Try It 5.5
Suppose the time it takes a student to finish a quiz is uniformly distributed between six and 15 minutes, inclusive. Let X = the time, in minutes, it takes a student to finish a quiz. Then X ~ U (6, 15).
Find the probability that a randomly selected student needs at least eight minutes to complete the quiz. Then find the probability that a different student needs at least eight minutes to finish the quiz given that she has already taken more than seven minutes.
Example 5.6
Ace Heating and Air Conditioning Service finds that the amount of time a repair tech needs to fix a furnace is uniformly distributed between 1.5 and four hours. Let x = the time needed to fix a furnace. Then x ~ U (1.5, 4).
Problem
Find the probability that a randomly selected furnace repair requires more than two hours.
Find the probability that a randomly selected furnace repair requires less than three hours.
Find the 30th percentile of furnace repair times.
The longest 25% of furnace repair times take at least how long? (In other words: find the minimum time for the longest 25% of repair times.) What percentile does this represent?
Find the mean and standard deviation
Solution
a. To find f(x): f (x) = 1 4 − 1.5 1 4 − 1.5 = 1 2.5 1 2.5 so f(x) = 0.4
P(x > 2) = (base)(height) = (4 – 2)(0.4) = 0.8
Figure 5.18: Uniform Distribution between 1.5 and four with shaded area between two and four representing the probability that the repair time x is greater than two
b. P(x < 3) = (base)(height) = (3 – 1.5)(0.4) = 0.6
The graph of the rectangle showing the entire distribution would remain the same. However the graph should be shaded between x = 1.5 and x = 3. Note that the shaded area starts at x = 1.5 rather than at x = 0; since X ~ U (1.5, 4), x can not be less than 1.5.
Figure 5.19: Uniform Distribution between 1.5 and four with shaded area between 1.5 and three representing the probability that the repair time x is less than three
c.
Figure 5.20: Uniform Distribution between 1.5 and 4 with an area of 0.30 shaded to the left, representing the shortest 30% of repair times.
P (x < k) = 0.30 P(x < k) = (base)(height) = (k – 1.5)(0.4) 0.3 = (k – 1.5) (0.4); Solve to find k: 0.75 = k – 1.5, obtained by dividing both sides by 0.4 k = 2.25 , obtained by adding 1.5 to both sides The 30th percentile of repair times is 2.25 hours. 30% of repair times are 2.25 hours or less.
d.
Figure 5.21: Uniform Distribution between 1.5 and 4 with an area of 0.25 shaded to the right representing the longest 25% of repair times.
P(x > k) = 0.25 P(x > k) = (base)(height) = (4 – k)(0.4) 0.25 = (4 – k)(0.4); Solve for k: 0.625 = 4 − k, obtained by dividing both sides by 0.4 −3.375 = −k, obtained by subtracting four from both sides: k = 3.375 The longest 25% of furnace repairs take at least 3.375 hours (3.375 hours or longer). Note: Since 25% of repair times are 3.375 hours or longer, that means that 75% of repair times are 3.375 hours or less. 3.375 hours is the 75th percentile of furnace repair times.
e. μ= a+b 2 μ= a+b 2 and σ= (b−a) 2 12 σ= (b−a) 2 12 μ = 1.5+4 2 = 2.75 μ = 1.5+4 2 = 2.75 hours and σ= (4–1.5) 2 12 =0.7217 σ= (4–1.5) 2 12 =0.7217 hours
Try It 5.6
The amount of time a service technician needs to change the oil in a car is uniformly distributed between 11 and 21 minutes. Let X = the time needed to change the oil on a car.
Write the random variable X in words. X = __________________.
Write the distribution.
Graph the distribution.
Find P (x > 19).
50ਵੇਂ ਸੈਂਟਾਈਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।