1. ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਵੰਡ
2. ਆਮ ਵੰਡ
3. P(6 < x < 7)
4. ਇੱਕ
5. ਸਿਫ਼ਰ
6. ਇੱਕ
7. 0.625
8. ਸੰਭਾਵਨਾ x = 3/2 ਤੋਂ x = 4 ਤੱਕ, x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ f(x) = 1/3 ਤੱਕ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
9. ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ x ਦਾ ਮੁੱਲ 1.5 ਅਤੇ 4.5 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
10. 1.5 ≤ x ≤ 4.5
11. 0.3333
12. ਸਿਫ਼ਰ
13. 0.6
14. b 12 ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ x ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
15. ਛੇ
16. 4.8
17. X = ਕਾਰਾਂ ਦੀ ਉਮਰ (ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ) ਸਟਾਫ ਪਾਰਕਿੰਗ ਲਾਟ ਵਿੱਚ
18. 0.5 ਤੋਂ 9.5
19. f(x) = 1/9 ਜਿੱਥੇ x 0.5 ਅਤੇ 9.5 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
20. μ = 5
21. ਜਵਾਬ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
22. 3.5 7 3.5 7
23. ਜਵਾਬ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
24. k = 7.25
7.25
ਨਹੀਂ, ਨਤੀਜੇ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵੀ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਸ ਵੰਡ ਵਿੱਚ, ਵਧੇਰੇ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਸਮਾਂ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਘੱਟ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਮਾਂ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਲੱਗਣ ਦੀ ਵਧੇਰੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
ਪੰਜ
f(x) = 0.2e^{-0.2x}
0.5350
6.02
f(x) = 0.75e^{-0.75x}
0.4756
ਮੱਧਮਾਨ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਮੱਧਮਾਨ 1 ਮੀਟਰ = 1 0.75 ≈1.33 ਮੀਟਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 0.9242 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ।
1. ਨਿਰੰਤਰ
1. ਮ = 0.000121
1. ਉੱਤਰ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
P(x < 5,730) = 0.5001
1. ਉੱਤਰ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
k = 2947.73
ਉਮਰ ਇੱਕ ਮਾਪ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਇਸਦੀ ਵਰਤੀ ਗਈ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਕੋਈ ਵੀ ਹੋਵੇ।
1. X ~ U(1, 9)
1. ਉੱਤਰ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
f(x) = 1/8 ਜਿੱਥੇ 1 ≤ x ≤ 9
ਪੰਜ
1. 2.3
1. ਪੰਦਰਾਂ ਬੱਤੀਆਂ ਪੰਦਰਾਂ ਬੱਤੀਆਂ
333 800 333 800
2 3 2 3
8.2
X ਰੇਡ ਲਾਈਨ 'ਤੇ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੇ ਆਉਣ ਦੀ ਉਡੀਕ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਯਾਤਰੀ ਦੁਆਰਾ ਬਿਤਾਏ ਗਏ ਸਮੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
X ~ U(0, 8)
ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
f ( x ) = 1 8 ਜਿੱਥੇ 0 ≤ x ≤ 8
ਚਾਰ
2.31
1 8
1 8
3.2
d
b
X ਦਾ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ 1 25−16 = 1 9 ਹੈ। P(X > 19) = (25 – 19) ( 1 9 ) = 6 9 = 2 3। ਚਿੱਤਰ 5.54
P(19 < X < 22) = (22 – 19) ( 1 9 ) = 3 9 = 1 3। ਚਿੱਤਰ 5.55
ਖੇਤਰ 0.25 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ 0.25 = (ਚੌੜਾਈ)( 1 9 ), ਇਸ ਲਈ ਚੌੜਾਈ = (0.25)(9) = 2.25। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਮੁੱਲ 25 – 2.25 = 22.75 ਹੈ।
ਇਹ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤੀਆ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਹੈ। P(x > 21| x > 18)। ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ: ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਜਿੱਥੇ a ਹੁਣ 18 ਹੈ ਅਤੇ b ਅਜੇ ਵੀ 25 ਹੈ। ਉਚਾਈ 1 (25−18) = 1 7 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, P(x > 21|x > 18) = (25 – 21)( 1 7 ) = 4/7। ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ: P(x > 21|x > 18) = P(x>21 AND x>18) P(x>18) = P(x>21) P(x>18) = (25−21) (25−18) = 4 7।
P(X > 650) = 700−650 700−300 = 50 400 = 1 8 = 0.125
P(400 < X < 650) = 650−400 700−300 = 250 400 = 0.625
0.10 = ਚੌੜਾਈ 700−300, ਇਸ ਲਈ ਚੌੜਾਈ = 400(0.10) = 40। ਕਿਉਂਕਿ 700 – 40 = 660, ਡਰਾਈਵਰ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ 10% ਦਿਨਾਂ 'ਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 660 ਮੀਲ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।
X ਇੱਕ ਖਾਸ ਕਾਰ ਬੈਟਰੀ ਦੀ ਉਪਯੋਗੀ ਜੀਵਨ ਹੈ, ਜੋ ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
X ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
X ~ Exp(0.025)
40 ਮਹੀਨੇ
360 ਮਹੀਨੇ
0.4066
14.27
X = ਉਮਰ 60 ਸਾਲ ਪੂਰੀ ਹੋਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਵਿਅਕਤੀ ਦੇ ਸੇਵਾਮੁਕਤ ਹੋਣ ਤੱਕ ਦਾ ਸਮਾਂ (ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ)
X ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
X ~ Exp( 1 5 ) ( 1 5 )
ਪੰਜ
ਪੰਜ
ਜਵਾਬ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
0.1353
ਪਹਿਲਾਂ
18.3
ਇੱਕ
c
ਮੰਨ ਲਓ T ਇੱਕ ਬੱਲਬ ਦਾ ਜੀਵਨਕਾਲ ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕ m = 1/8 ਹੈ, ਅਤੇ T ∼ Exp(1/8)। ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ P(T<t)=1− e − t 8 P(T<t)=1− e − t 8 ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, P(T < 1) = 1 – e– 1 8 – 1 8 ≈ 0.1175।
ਅਸੀਂ P(6 < t < 10) ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਨੂੰ ਕਰਨ ਲਈ, P(6 < t < 10) – P(t < 6) =( 1– e – 1 8 *10 )–( 1– e – 1 8 *6 ) =( 1– e – 1 8 *10 )–( 1– e – 1 8 *6 ) ≈ 0.7135 – 0.5276 = 0.1859 ਚਿੱਤਰ 5.56
ਅਸੀਂ 0.70 =P(T>t)=1–( 1– e − t 8 )= e − t 8 ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। =P(T>t)=1–( 1– e − t 8 )= e − t 8 । t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ, e– t 8 – t 8 = 0.70, ਇਸ ਲਈ – t 8 – t 8 = ln(0.70), ਅਤੇ t = –8ln(0.70) ≈ 2.85 ਸਾਲ। ਜਾਂ t = ln(ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ) (–m) = ln(0.70) – 1 8 ≈2.85 ਸਾਲ ln(ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ) (–m) = ln(0.70) – 1 8 ≈2.85 ਸਾਲ। ਚਿੱਤਰ 5.57
ਅਸੀਂ 0.02 = P(T < t) = 1 – e– t 8 – t 8 ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ, e– t 8 – t 8 = 0.98, ਇਸ ਲਈ – t 8 – t 8 = ln(0.98), ਅਤੇ t = –8ln(0.98) ≈ 0.1616 ਸਾਲ, ਜਾਂ ਲਗਭਗ ਦੋ ਮਹੀਨੇ। ਵਾਰੰਟੀ ਨੂੰ ਦੋ ਮਹੀਨਿਆਂ ਤੋਂ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਚੱਲਣ ਵਾਲੇ ਬੱਲਬਾਂ ਨੂੰ ਕਵਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜਾਂ ln(ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ) (–m) = ln(1–0.2) – 1 8 ln(ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ) (–m) = ln(1–0.2) – 1 8 = 0.1616।
ਸਾਨੂੰ P(T < 8|T > 7) ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪੂਰਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ, P(T < 8|T > 7) = 1 – P(T > 8|T > 7)। ਮੈਮਰੀ ਰਹਿਤ ਗੁਣ (P(X > r + t|X > r) = P(X > t)) ਦੁਆਰਾ। ਇਸ ਲਈ P(T > 8|T > 7) = P(T > 1) = 1–( 1– e – 1 8 )= e – 1 8 ≈0.8825 1–( 1– e – 1 8 )= e – 1 8 ≈0.8825 ਇਸ ਲਈ, P(T < 8|T > 7) = 1 – 0.8825 = 0.1175।
ਮੰਨ ਲਓ X ਇੱਕ ਸੀਜ਼ਨ ਦੌਰਾਨ ਨੋ-ਹਿਟਰਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਨੋ-ਹਿਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਘਾਤੀ ਹੈ, ਪ੍ਰਤੀ ਸੀਜ਼ਨ ਨੋ-ਹਿਟਰਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਮੀਨ λ = 3 ਦੇ ਨਾਲ ਪੋਇਸਨ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, (X = 0) = 3 0 e –3 0! 3 0 e –3 0! = e–3 ≈ 0.0498
NOTE
ਤੁਸੀਂ T = ਨੋ-ਹਿਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਮਾਂ ਘਾਤੀ ਹੈ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਸੀਜ਼ਨ 3 ਨੋ-ਹਿਟਰ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਨੋ-ਹਿਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮਾਂ 1 3 1 3 ਸੀਜ਼ਨ ਹੈ। ਘਾਤੀ ਲਈ, µ = 1 3 1 3। ਇਸ ਲਈ, m = 1 μ 1 μ = 3 ਅਤੇ T ∼ Exp(3)।
ਇੱਛਤ ਸੰਭਾਵਨਾ P(T > 1) = 1 – P(T < 1) = 1 – (1 – e–3) = e–3 ≈ 0.0498 ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ T = ਨੋ-ਹਿਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਿਆਦ। ਅਸੀਂ P(T > 2|T > 1) ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਮੈਮਰੀ ਰਹਿਤ ਗੁਣ ਦੁਆਰਾ ਇਹ ਸਿਰਫ਼ P(T > 1) ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਾਗ a ਵਿੱਚ 0.0498 ਪਾਇਆ ਸੀ।
Let X = the number of no-hitters is a season. Assume that X is Poisson with mean λ = 3. Then P(X > 3) = 1 – P(X ≤ 3) = 0.3528.
100 9 100 9 = 11.11
P(X > 10) = 1 – P(X ≤ 10) = 1 – Poissoncdf(11.11, 10) ≈ 0.5532.
The number of people with Type B positive blood encountered roughly follows the Poisson distribution, so the number of people X who arrive between successive Type B positive arrivals is roughly exponential with mean μ = 9 and m = 1 9 1 9. The cumulative distribution function of X is P( X<x )=1− e − x 9 P( X<x )=1− e − x 9. Thus, P(X > 20) = 1 - P(X ≤ 20) = 1−( 1− e − 20 9 )≈0.1084. 1−( 1− e − 20 9 )≈0.1084.
NOTE
We could also deduce that each person arriving has a 8/9 chance of not having Type B positive blood. So the probability that none of the first 20 people arrive have Type B positive blood is ( 8 9 ) 20 ≈0.0948 ( 8 9 ) 20 ≈0.0948. (The geometric distribution is more appropriate than the exponential because the number of people between Type B positive people is discrete instead of continuous.)
Let T = duration (in minutes) between successive visits. Since patients arrive at a rate of one patient every seven minutes, μ = 7 and the decay constant is m = 1 7 1 7. The cdf is P(T < t) = 1− e t 7 1− e t 7
P(T < 2) = 1 - 1− e − 2 7 1− e − 2 7 ≈ 0.2485.
P(T > 15) = 1−P( T<15 )=1−( 1− e − 15 7 )≈ e − 15 7 ≈0.1173 1−P( T<15 )=1−( 1− e − 15 7 )≈ e − 15 7 ≈0.1173.
P(T > 15|T > 10) = P(T > 5) = 1−( 1− e − 5 7 )= e − 5 7 ≈0.4895 1−( 1− e − 5 7 )= e − 5 7 ≈0.4895.
Let X = # of patients arriving during a half-hour period. Then X has the Poisson distribution with a mean of 30 7 30 7, X ∼ Poisson( 30 7 ) ( 30 7 ). Find P(X > 8) = 1 – P(X ≤ 8) ≈ 0.0311.