ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਛਾਂਦਿਆ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ x ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸੰਭਾਵਨਾ P(X < x) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਾਰਮਲ ਟੇਬਲ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਤੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਸੰਭਾਵਨਾ P(X < x) ਪ੍ਰਦਾਨ ਜਾਂ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ ਫਿਰ P(X > x) = 1 – P(X < x) ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, P(X < x) = x ਰਾਹੀਂ ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ। P(X > x) = 1 – P(X < x) = x ਰਾਹੀਂ ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ। ਨਿਰੰਤਰ ਵੰਡਾਂ ਲਈ P(X < x) P(X ≤ x) ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ ਅਤੇ P(X > x) P(X ≥ x) ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। TI-83+ ਅਤੇ TI-84 ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹਦਾਇਤਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
NOTE
ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਅਨੁਬੰਧ H ਟੇਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸੰਭਾਵਨਾ ਟੇਬਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਟੇਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਹਦਾਇਤਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.7
ਜੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 0.0228 ਹੈ, ਤਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 1 – 0.0228 = 0.9772 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.7
ਜੇ x ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 0.012 ਹੈ, ਤਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ ਕੀ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 6.8
ਇੱਕ ਅੰਕੜਾ ਕਲਾਸ ਵਿੱਚ ਅੰਤਿਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕ 63 ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਪੰਜ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਾਰ ਨਾਲ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੰਡੇ ਗਏ ਸਨ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਵਿੱਚ 65 ਤੋਂ ਵੱਧ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
a. ਮੰਨ ਲਓ X = ਅੰਤਿਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦਾ ਅੰਕ। X ~ N(63, 5), ਜਿੱਥੇ μ = 63 ਅਤੇ σ = 5।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਫਿਰ, P(x > 65) ਪਤਾ ਕਰੋ।
P(x > 65) = 0.3446
ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੁਆਰਾ 65 ਤੋਂ ਵੱਧ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.3446 ਹੈ।
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
2nd DISTR ਵਿੱਚ ਜਾਓ। 2nd DISTR ਦਬਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, 2:normalcdf ਦਬਾਓ।
ਹਦਾਇਤਾਂ ਦਾ ਸਿੰਟੈਕਸ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ:
normalcdf(ਹੇਠਲੀ ਕੀਮਤ, ਉੱਪਰਲੀ ਕੀਮਤ, ਮੱਧਮਾਨ, ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਾਰ) ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ: normalcdf(65,1E99,63,5) = 0.3446। ਤੁਸੀਂ 1, EE ਕੁੰਜੀ (ਇੱਕ 2nd ਕੁੰਜੀ) ਅਤੇ ਫਿਰ 99 ਦਬਾ ਕੇ 1E99 (= 1099) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਜਾਂ, ਤੁਸੀਂ 10^99 ਵੀ ਦਰਜ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। 1099 ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਆਮ ਵਕਰ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਬਹੁਤ ਦੂਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ 65 ਅਤੇ 1099 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਖੇਤਰ ਦੀ ਹੇਠਲੀ ਸੰਖਿਆ –1E99 (= –1099) ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। –1099 ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਆਮ ਵਕਰ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਬਹੁਤ ਦੂਰ ਹੈ।
ਇਤਿਹਾਸਕ ਨੋਟ
ਟੀਆਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਇੱਕ ਜ਼ੈਡ-ਸਕੋਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਜ਼ੈਡ-ਸਕੋਰ ਤੋਂ ਸੰਭਾਵਨਾ। ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਜ਼ੈਡ-ਸਕੋਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਨਾਰਮਲ ਸੰਭਾਵਨਾ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਸੀ (ਕਿਉਂਕਿ ਸ਼ਾਮਲ ਗਣਿਤ ਬਹੁਤ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ) ਤਾਂ ਜੋ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਜ਼ੈਡ-ਸਕੋਰ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਨਾਰਮਲ ਟੇਬਲ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਤੁਸੀਂ ਜ਼ੈਡ-ਸਕੋਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ।
z = 65 – 63 5 65 – 63 5 = 0.4
ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 0.6554 ਹੈ।
P(x > 65) = P(z > 0.4) = 1 – 0.6554 = 0.3446
ਟੀਆਈ-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
65 ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਲੱਭੋ:
*2nd Distr ਦਬਾਓ *2:normalcdf( ਦਬਾਓ *ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ, ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ, ਮੱਧਮਾਨ, ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਨੂੰ ) ਨਾਲ ਦਰਜ ਕਰੋ *ENTER ਦਬਾਓ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਦਮ ਹਨ 2nd Distr 2:normalcdf(65,1,2nd EE,99,63,5) ENTER ਇੱਕ ਚੁਣੇ ਹੋਏ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੇ 65 ਤੋਂ ਵੱਧ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 0.3446 ਹੈ। ਇੱਕ ਚੁਣੇ ਹੋਏ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੇ 65 ਤੋਂ ਵੱਧ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਨੂੰ 1 ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਓ।
ਸਮੱਸਿਆ
ਅ. ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੇ 85 ਤੋਂ ਘੱਟ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਹਨ।
ਹੱਲ
ਅ. ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਫਿਰ P(x < 85) ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸ਼ੇਡ ਕਰੋ।
ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, P(x < 85) = 1 ਪਤਾ ਕਰੋ।
normalcdf(0,85,63,5) = 1 (ਇੱਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ)
ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੇ 85 ਤੋਂ ਘੱਟ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲਗਭਗ ਇੱਕ (ਜਾਂ 100%) ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
ੲ. 90ਵੀਂ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਪਤਾ ਕਰੋ (ਭਾਵ, ਅੰਕ k ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਹੇਠਾਂ 90% ਅੰਕ ਹਨ ਅਤੇ ਜਿਸਦੇ ਉੱਪਰ 10% ਅੰਕ ਹਨ)।
ਹੱਲ
ੲ. 90ਵੀਂ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਸਮੱਸਿਆ ਜਾਂ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਲਈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। x-ਧੁਰਾ ਬਣਾਓ। 90ਵੀਂ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸ਼ੇਡ ਕਰੋ।
ਮੰਨ ਲਓ k = 90ਵੀਂ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ। ਵੇਰੀਏਬਲ k x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। P(x < k) k ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ। 90ਵੀਂ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ k ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੀ ਹੈ ਜੋ k ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਘੱਟ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਜੋ k ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਵੱਧ ਹਨ। ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਨੱਬੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ k ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਅਤੇ ਦਸ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਵੇਰੀਏਬਲ k ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਵੈਲਿਊ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
k = 69.4
90ਵੀਂ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ 69.4 ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ 90% ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕ 69.4 ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹਨ ਅਤੇ 10% 69.4 ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹਨ। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਇਹ ਜਵਾਬ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਸ ਕਦਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ:
ਟੀਆਈ-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
2nd DISTR ਵਿੱਚ invNorm। invNorm(ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਮੱਧਮਾਨ, ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ) ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ, invNorm(0.90,63,5) = 69.4
Problem
d. Find the 70th percentile (that is, find the score k such that 70% of scores are below k and 30% of the scores are above k).
Solution
d. Find the 70th percentile.
Draw a new graph and label it appropriately. k = 65.6
The 70th percentile is 65.6. This means that 70% of the test scores fall at or below 65.5 and 30% fall at or above.
invNorm(0.70,63,5) = 65.6
Try It 6.8
The golf scores for a school team were normally distributed with a mean of 68 and a standard deviation of three.
Find the probability that a randomly selected golfer scored less than 65.
Example 6.9
A personal computer is used for office work at home, research, communication, personal finances, education, entertainment, social networking, and a myriad of other things. Suppose that the average number of hours a household personal computer is used for entertainment is two hours per day. Assume the times for entertainment are normally distributed and the standard deviation for the times is half an hour.
Problem
a. Find the probability that a household personal computer is used for entertainment between 1.8 and 2.75 hours per day.
Solution
a. Let X = the amount of time (in hours) a household personal computer is used for entertainment. X ~ N(2, 0.5) where μ = 2 and σ = 0.5.
Find P(1.8 < x < 2.75).
The probability for which you are looking is the area between x = 1.8 and x = 2.75. P(1.8 < x < 2.75) = 0.5886
normalcdf(1.8,2.75,2,0.5) = 0.5886
The probability that a household personal computer is used between 1.8 and 2.75 hours per day for entertainment is 0.5886.
Problem
b. Find the maximum number of hours per day that the bottom quartile of households uses a personal computer for entertainment.
Solution
b. To find the maximum number of hours per day that the bottom quartile of households uses a personal computer for entertainment, find the 25th percentile, k, where P(x < k) = 0.25.
invNorm(0.25,2,0.5) = 1.66
The maximum number of hours per day that the bottom quartile of households uses a personal computer for entertainment is 1.66 hours.
Try It 6.9
The golf scores for a school team were normally distributed with a mean of 68 and a standard deviation of three. Find the probability that a golfer scored between 66 and 70.
Example 6.10
In the United States the ages 13 to 55+ of smartphone users approximately follow a normal distribution with approximate mean and standard deviation of 36.9 years and 13.9 years, respectively.
Problem
a. Determine the probability that a random smartphone user in the age range 13 to 55+ is between 23 and 64.7 years old.
b. Determine the probability that a randomly selected smartphone user in the age range 13 to 55+ is at most 50.8 years old.
c. Find the 80th percentile of this distribution, and interpret it in a complete sentence.
Solution
a. normalcdf(23,64.7,36.9,13.9) = 0.8186
b. normalcdf(–1099,50.8,36.9,13.9) = 0.8413
c.
invNorm(0.80,36.9,13.9) = 48.6
The 80th percentile is 48.6 years.
80% of the smartphone users in the age range 13 – 55+ are 48.6 years old or less.
Try It 6.10
Use the information in Example 6.10 to answer the following questions.
Find the 30th percentile, and interpret it in a complete sentence.
What is the probability that the age of a randomly selected smartphone user in the range 13 to 55+ is less than 27 years old.
Example 6.11
In the United States the ages 13 to 55+ of smartphone users approximately follow a normal distribution with approximate mean and standard deviation of 36.9 years and 13.9 years respectively. Using this information, answer the following questions (round answers to one decimal place).
Problem
a. Calculate the interquartile range (IQR).
b. Forty percent of the smartphone users from 13 to 55+ are at least what age?
Solution
a.
IQR = Q3 – Q1
Calculate Q3 = 75th percentile and Q1 = 25th percentile.
invNorm(0.75,36.9,13.9) = Q3 = 46.2754
invNorm(0.25,36.9,13.9) = Q1 = 27.5246
IQR = Q3 – Q1 = 18.8
b.
Find k where P(x ≥ k) = 0.40 ("At least" translates to "greater than or equal to.")
0.40 = the area to the right.
Area to the left = 1 – 0.40 = 0.60.
The area to the left of k = 0.60.
invNorm(0.60,36.9,13.9) = 40.4215.
k = 40.4.
Forty percent of the smartphone users from 13 to 55+ are at least 40.4 years.
Try It 6.11
Two thousand students took an exam. The scores on the exam have an approximate normal distribution with a mean μ = 81 points and standard deviation σ = 15 points.
Calculate the first- and third-quartile scores for this exam.
The middle 50% of the exam scores are between what two values?
Example 6.12
A citrus farmer who grows mandarin oranges finds that the diameters of mandarin oranges harvested on his farm follow a normal distribution with a mean diameter of 5.85 cm and a standard deviation of 0.24 cm.
Problem
a. Find the probability that a randomly selected mandarin orange from this farm has a diameter larger than 6.0 cm. Sketch the graph.
b. The middle 20% of mandarin oranges from this farm have diameters between ______ and ______.
c. Find the 90th percentile for the diameters of mandarin oranges, and interpret it in a complete sentence.
Solution
a. normalcdf(6,10^99,5.85,0.24) = 0.2660
b.
1 – 0.20 = 0.80
The tails of the graph of the normal distribution each have an area of 0.40.
Find k1, the 40th percentile, and k2, the 60th percentile (0.40 + 0.20 = 0.60).
k1 = invNorm(0.40,5.85,0.24) = 5.79 cm
k2 = invNorm(0.60,5.85,0.24) = 5.91 cm
c. 6.16: Ninety percent of the diameter of the mandarin oranges is at most 6.16 cm.
Try It 6.12
Using the information from Example 6.12, answer the following:
The middle 40% of mandarin oranges from this farm are between ______ and ______.
Find the 16th percentile and interpret it in a complete sentence.