ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਵੰਡ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਆਮ ਵੰਡ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਜੈਡ-ਸਕੋਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੈਡ-ਸਕੋਰ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਪੰਜ ਹੈ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੋ ਹੈ, ਤਾਂ 11 ਦਾ ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਉੱਪਰ (ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ) ਹੈ। ਗਣਨਾ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ:
x = μ + (z)(σ) = 5 + (3)(2) = 11
ਜੈਡ-ਸਕੋਰ ਤਿੰਨ ਹੈ।
ਮਿਆਰੀ ਆਮ ਵੰਡ ਲਈ ਮੱਧਮਾਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਇੱਕ ਹੈ। ਪਰਿਵਰਤਨ z = x−μ σ x−μ σ ਵੰਡ Z ~ N(0, 1) ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ x ਮੱਧਮਾਨ μ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ σ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਤੋਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।
ਜੈਡ-ਸਕੋਰ
ਜੇਕਰ X ਇੱਕ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਅਤੇ X ~ N(μ, σ), ਤਾਂ ਜੈਡ-ਸਕੋਰ ਹੈ:
ਜੈਡ-ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮੁੱਲ x ਮੱਧਮਾਨ, μ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਉੱਪਰ (ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ) ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ (ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ) ਹੈ। x ਦੇ ਮੁੱਲ ਜੋ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਜੈਡ-ਸਕੋਰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਜੋ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਜੈਡ-ਸਕੋਰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ x ਮੱਧਮਾਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ x ਦਾ ਜੈਡ-ਸਕੋਰ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.1
ਮੰਨ ਲਓ X ~ N(5, 6)। ਇਹ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ X ਇੱਕ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਮੱਧਮਾਨ μ = 5 ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ σ = 6 ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ x = 17। ਤਾਂ:
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ x = 17, ਮੱਧਮਾਨ μ = 5 ਤੋਂ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ (2σ) ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ: 5 + (2)(6) = 17 (ਪੈਟਰਨ μ + zσ = x ਹੈ)
ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ x = 1। ਤਾਂ: z = x–μ σ x–μ σ = 1–5 6 1–5 6 = –0.67 (ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ)
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ x = 1, ਮੱਧਮਾਨ μ = 5 ਤੋਂ 0.67 ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ (–0.67σ) ਹੇਠਾਂ ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ: 5 + (–0.67)(6) ਲਗਭਗ ਇੱਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ (ਇਸਦਾ ਪੈਟਰਨ μ + (–0.67)σ = 1 ਹੈ)
ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ z ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, x, μ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਦੋਂ z ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, x, μ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਾਂ, ਜਦੋਂ z ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, x, μ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ z ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, x, μ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.1
x ਦਾ ਜੈਡ-ਸਕੋਰ ਕੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ x = 1 ਅਤੇ X ~ N(12,3)?
ਉਦਾਹਰਨ 6.2
ਕੁਝ ਡਾਕਟਰ ਮੰਨਦੇ ਹਨ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ ਔਸਤਨ ਪੰਜ ਪੌਂਡ ਗੁਆ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਆਪਣੀ ਚਰਬੀ ਦੀ ਖਪਤ ਘਟਾ ਕੇ ਅਤੇ ਨਿਯਮਤ ਕਸਰਤ ਕਰਕੇ। ਮੰਨ ਲਓ ਭਾਰ ਘਟਾਉਣਾ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ X = ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ ਗੁਆਏ ਗਏ ਭਾਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ (ਪੌਂਡ ਵਿੱਚ)। ਦੋ ਪੌਂਡ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। X ~ N(5, 2)। ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ ਭਰੋ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਮੰਨ ਲਓ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਨੇ ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ ਦਸ ਪੌਂਡ ਗੁਆਏ। ਜਦੋਂ x = 10 ਪੌਂਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੈਡ-ਸਕੋਰ z = 2.5 ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਕਰੋ)। ਇਹ ਜੈਡ-ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ x = 10 ਮੱਧਮਾਨ _____ (ਮੱਧਮਾਨ ਕੀ ਹੈ?) ਤੋਂ ________ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ________ (ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ) ਪਾਸੇ ਹੈ।
ਹੱਲ
a. ਇਹ ਜੈਡ-ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ x = 10, ਮੱਧਮਾਨ ਪੰਜ ਤੋਂ 2.5 ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
b. ਮੰਨ ਲਓ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਨੇ ਤਿੰਨ ਪੌਂਡ ਵਧਾਏ (ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਭਾਰ ਘਟਾਉ)। ਤਾਂ z = _________। ਇਹ ਜੈਡ-ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ x = –3 ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ________ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ __________ (ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ) ਪਾਸੇ ਹੈ।
1. ਹੱਲ
2. z = –4. ਇਹ z-ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ x = –3, ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਚਾਰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੈ।
3. ਸਮੱਸਿਆ
4. c. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ X ਅਤੇ Y ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨਾਰਮਲ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਫਾਲੋ ਕਰਦੇ ਹਨ: X ~ N(5, 6) ਅਤੇ Y ~ N(2, 1)। ਜੇਕਰ x = 17 ਹੈ, ਤਾਂ z = 2 ਹੈ। (ਇਹ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।) ਜੇਕਰ y = 4 ਹੈ, ਤਾਂ z ਕੀ ਹੈ?
5. ਹੱਲ
6. c. z = y−μ σ y−μ σ = 4−2 1 4−2 1 = 2 ਜਿੱਥੇ µ = 2 ਅਤੇ σ = 1 ਹੈ।
7. y = 4 ਲਈ z-ਸਕੋਰ z = 2 ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਚਾਰ, ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ z = 2 ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, x = 17 ਅਤੇ y = 4 ਦੋਵੇਂ ਆਪਣੇ-ਆਪਣੇ ਮੱਧਮਾਨਾਂ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੋ (ਆਪਣੇ) ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਹਨ।
8. z-ਸਕੋਰ ਸਾਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪੈਮਾਨਿਆਂ ਵਾਲੇ ਡਾਟਾ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ X ~ N(5, 6) ਛੇ ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਵਿੱਚ ਭਾਰ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਲਈ ਭਾਰ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ Y ~ N(2, 1) ਦੂਜੇ ਸਮੂਹ ਲਈ ਉਸੇ ਭਾਰ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਭਾਰ ਵਾਧਾ ਭਾਰ ਘਟਾਉਣਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਕਿਉਂਕਿ x = 17 ਅਤੇ y = 4 ਦੋਵੇਂ ਆਪਣੇ ਮੱਧਮਾਨਾਂ ਤੋਂ ਦੋ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹਨ, ਉਹ ਆਪਣੇ ਮੱਧਮਾਨਾਂ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਇੱਕੋ, ਮਿਆਰੀ ਭਾਰ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।
9. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.2
10. ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ ਭਰੋ।
11. ਜੇਰੋਮ ਪ੍ਰਤੀ ਗੇਮ ਔਸਤਨ 16 ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਚਾਰ ਅੰਕ ਹੈ। X ~ N(16,4)। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਜੇਰੋਮ ਇੱਕ ਗੇਮ ਵਿੱਚ ਦਸ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ x = 10 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ z-ਸਕੋਰ –1.5 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ x = 10 ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ _____ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ______(ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ) ਪਾਸੇ ਹੈ ______(ਮੱਧਮਾਨ ਕੀ ਹੈ?)।
12. ਇੰਪੀਰੀਕਲ ਰੂਲ ਜੇਕਰ X ਇੱਕ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਅਤੇ ਮੱਧਮਾਨ µ ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ σ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਾਰਮਲ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੰਪੀਰੀਕਲ ਰੂਲ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ:
13. ਲਗਭਗ 68% x ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ µ ਦੇ –1σ ਅਤੇ +1σ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ (ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
14. ਲਗਭਗ 95% x ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ µ ਦੇ –2σ ਅਤੇ +2σ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ (ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਦੋ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
15. ਲਗਭਗ 99.7% x ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ µ ਦੇ –3σ ਅਤੇ +3σ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ (ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਲਗਭਗ ਸਾਰੇ x ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
16. +1σ ਅਤੇ –1σ ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ +1 ਅਤੇ –1 ਹਨ।
17. +2σ ਅਤੇ –2σ ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ +2 ਅਤੇ –2 ਹਨ।
18. +3σ ਅਤੇ –3σ ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ +3 ਅਤੇ –3 ਹਨ।
19. ਇੰਪੀਰੀਕਲ ਰੂਲ ਨੂੰ 68-95-99.7 ਰੂਲ ਵਜੋਂ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 6.3
21. 2009 ਤੋਂ 2010 ਤੱਕ ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਉਚਾਈ 170 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਸੀ ਜਿਸਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ 6.28 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਸੀ। ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨਾਰਮਲ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਨੂੰ ਫਾਲੋ ਕਰਨ ਲਈ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ X = 2009 ਤੋਂ 2010 ਤੱਕ ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ। ਫਿਰ X ~ N(170, 6.28)।
22. ਸਮੱਸਿਆ
23. a. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 2009 ਤੋਂ 2010 ਤੱਕ ਚਿਲੀ ਦਾ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦਾ ਮੁੰਡਾ 168 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਲੰਬਾ ਸੀ। ਜਦੋਂ x = 168 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ z-ਸਕੋਰ z = _______ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ z-ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ x = 168 ਮੱਧਮਾਨ _____ (ਮੱਧਮਾਨ ਕੀ ਹੈ?) ਤੋਂ ________ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ________ (ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ) ਪਾਸੇ ਹੈ।
24. b. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 2009 ਤੋਂ 2010 ਤੱਕ ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਾ z-ਸਕੋਰ z = 1.27 ਹੈ। ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਕੀ ਹੈ? z-ਸਕੋਰ (z = 1.27) ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ __________ (ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ) ਪਾਸੇ ________ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਹੈ।
ਹੱਲ
a. –0.32, 0.32, ਖੱਬੇ, 170
b. 177.98 ਸੈ.ਮੀ., 1.27, ਸੱਜੇ
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.3
ਉਦਾਹਰਨ 6.3 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉੱਤਰ ਦਿਓ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 2009 ਤੋਂ 2010 ਤੱਕ ਚਿਲੀ ਦਾ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦਾ ਮੁੰਡਾ 176 ਸੈ.ਮੀ. ਲੰਬਾ ਸੀ। ਜਦੋਂ x = 176 ਸੈ.ਮੀ. ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ z-ਸਕੋਰ z = _______ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ z-ਸਕੋਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ x = 176 ਸੈ.ਮੀ. ਮਾਧਿਕਾ _____ (ਮਾਧਿਕਾ ਕੀ ਹੈ?) ਤੋਂ ________ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਸੱਜੇ (ਜਾਂ ਖੱਬੇ) ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 2009 ਤੋਂ 2010 ਤੱਕ ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਾ z-ਸਕੋਰ z = –2 ਹੈ। ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ? z-ਸਕੋਰ (z = –2) ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਮਾਧਿਕਾ ਤੋਂ __________ (ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ) ________ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.4
ਸਮੱਸਿਆ
1984 ਤੋਂ 1985 ਤੱਕ, ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀ ਮਾਧਿਕਾ ਉਚਾਈ 172.36 ਸੈ.ਮੀ. ਸੀ, ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ 6.34 ਸੈ.ਮੀ. ਸੀ। ਮੰਨ ਲਓ Y = 1984 ਤੋਂ 1985 ਤੱਕ ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀ ਉਚਾਈ। ਫਿਰ Y ~ N(172.36, 6.34)।
2009 ਤੋਂ 2010 ਤੱਕ ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀ ਮਾਧਿਕਾ ਉਚਾਈ 170 ਸੈ.ਮੀ. ਸੀ ਜਿਸਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ 6.28 ਸੈ.ਮੀ. ਸੀ। ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ X = 2009 ਤੋਂ 2010 ਤੱਕ ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ। ਫਿਰ X ~ N(170, 6.28)।
x = 160.58 ਸੈ.ਮੀ. ਅਤੇ y = 162.85 ਸੈ.ਮੀ. ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਲੱਭੋ। ਹਰੇਕ z-ਸਕੋਰ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ਤੁਸੀਂ x = 160.58 ਸੈ.ਮੀ. ਅਤੇ y = 162.85 ਸੈ.ਮੀ. ਬਾਰੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਮਾਧਿਕਾਵਾਂ ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ?
ਹੱਲ
x = -160.58 ਲਈ z-ਸਕੋਰ z = –1.5 ਹੈ। y = 162.85 ਲਈ z-ਸਕੋਰ z = –1.5 ਹੈ। ਦੋਵੇਂ x = 160.58 ਅਤੇ y = 162.85 ਆਪਣੀਆਂ ਮਾਧਿਕਾਵਾਂ ਤੋਂ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸਮਾਨ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਿਭਿੰਨ ਹਨ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.4
2012 ਵਿੱਚ, 1,664,479 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ SAT ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦਿੱਤੀ। SAT ਦੇ ਵਰਬਲ ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਕੋਰਾਂ ਦੀ ਵੰਡ ਦਾ ਮਾਧਿਕਾ µ = 496 ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ σ = 114 ਸੀ। ਮੰਨ ਲਓ X = 2012 ਵਿੱਚ SAT ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਵਰਬਲ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਕੋਰ। ਫਿਰ X ~ N(496, 114)।
x1 = 325 ਅਤੇ x2 = 366.21 ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਲੱਭੋ। ਹਰੇਕ z-ਸਕੋਰ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ਤੁਸੀਂ x1 = 325 ਅਤੇ x2 = 366.21 ਬਾਰੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਮਾਧਿਕਾਵਾਂ ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ?
ਉਦਾਹਰਨ 6.5
ਮੰਨ ਲਓ x ਦਾ ਮਾਧਿਕਾ 50 ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ 6 ਨਾਲ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਹੈ।
ਲਗਭਗ 68% x ਮੁੱਲ ਮਾਧਿਕਾ ਦੇ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਲਗਭਗ 68% x ਮੁੱਲ ਮਾਧਿਕਾ 50 ਤੋਂ –1σ = (–1)(6) = –6 ਅਤੇ 1σ = (1)(6) = 6 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਮੁੱਲ 50 – 6 = 44 ਅਤੇ 50 + 6 = 56 ਮਾਧਿਕਾ 50 ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹਨ। 44 ਅਤੇ 56 ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ –1 ਅਤੇ +1 ਹਨ।
ਲਗਭਗ 95% x ਮੁੱਲ ਮਾਧਿਕਾ ਦੇ ਦੋ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਲਗਭਗ 95% x ਮੁੱਲ ਮਾਧਿਕਾ 50 ਤੋਂ –2σ = (–2)(6) = –12 ਅਤੇ 2σ = (2)(6) = 12 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਮੁੱਲ 50 – 12 = 38 ਅਤੇ 50 + 12 = 62 ਮਾਧਿਕਾ 50 ਤੋਂ ਦੋ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹਨ। 38 ਅਤੇ 62 ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ –2 ਅਤੇ +2 ਹਨ।
ਲਗਭਗ 99.7% x ਮੁੱਲ ਮਾਧਿਕਾ ਦੇ ਤਿੰਨ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਲਗਭਗ 99.7% x ਮੁੱਲ ਮਾਧਿਕਾ 50 ਤੋਂ –3σ = (–3)(6) = –18 ਅਤੇ 3σ = (3)(6) = 18 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਮੁੱਲ 50 – 18 = 32 ਅਤੇ 50 + 18 = 68 ਮਾਧਿਕਾ 50 ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹਨ। 32 ਅਤੇ 68 ਲਈ z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ –3 ਅਤੇ +3 ਹਨ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.5
ਮੰਨ ਲਓ X ਦਾ ਮਾਧਿਕਾ 25 ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਪੰਜ ਨਾਲ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਹੈ। x ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ 68% ਮੁੱਲ ਆਉਂਦੇ ਹਨ?
1. ਉਦਾਹਰਨ 6.6
2. ਸਮੱਸਿਆ
3. 1984 ਤੋਂ 1985 ਤੱਕ, ਚਿਲੀ ਦੇ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਉਚਾਈ 172.36 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਸੀ, ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ 6.34 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਸੀ। ਮੰਨ ਲਓ Y = 1984 ਤੋਂ 1985 ਤੱਕ 15 ਤੋਂ 18 ਸਾਲ ਦੇ ਮੁੰਡਿਆਂ ਦੀ ਉਚਾਈ। ਤਾਂ Y ~ N(172.36, 6.34)।
4. ਲਗਭਗ 68% Y ਮੁੱਲ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਇਹ ਮੁੱਲ _______________ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ _______________ ਹਨ।
5. ਲਗਭਗ 95% Y ਮੁੱਲ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਇਹ ਮੁੱਲ _______________ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ _______________ ਹਨ।
6. ਲਗਭਗ 99.7% Y ਮੁੱਲ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਇਹ ਮੁੱਲ _______________ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ _______________ ਹਨ।
7. ਹੱਲ
8. ਲਗਭਗ 68% ਮੁੱਲ 166.02 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਅਤੇ 178.7 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ –1 ਅਤੇ 1 ਹਨ।
9. ਲਗਭਗ 95% ਮੁੱਲ 159.68 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਅਤੇ 185.04 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ –2 ਅਤੇ 2 ਹਨ।
10. ਲਗਭਗ 99.7% ਮੁੱਲ 153.34 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਅਤੇ 191.38 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ –3 ਅਤੇ 3 ਹਨ।
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.6
12. ਕਾਲਜ ਪ੍ਰਵੇਸ਼ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਲਗਭਗ ਆਮ ਵੰਡ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਮੱਧਮਾਨ, µ = 52 ਅੰਕ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ, σ = 11 ਅੰਕ ਹੈ।
13. ਲਗਭਗ 68% Y ਮੁੱਲ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਇਹ ਮੁੱਲ _______________ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ _______________ ਹਨ।
14. ਲਗਭਗ 95% Y ਮੁੱਲ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਇਹ ਮੁੱਲ _______________ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ _______________ ਹਨ।
15. ਲਗਭਗ 99.7% Y ਮੁੱਲ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਂਦੇ ਹਨ? ਇਹ ਮੁੱਲ _______________ ਹਨ। z-ਸਕੋਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ _______________ ਹਨ।