ਚਿੱਤਰ 7.1: ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੇ ਜੇਬਾਂ ਵਿੱਚ ਰੱਖੇ ਪੈਸੇ ਦੀ ਵੰਡ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ, ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ ਤੁਹਾਡਾ ਨਮੂਨਾ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਵੰਡ ਆਮ ਅਤੇ ਘੰਟੀ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਹੈ। (ਸਿਹਰਾ: ਪੌਲਾ ਆਰ. ਲਾਈਵਲੀ/ਫਲਿੱਕਰ ਦੁਆਰਾ ਕੰਮ "ਅਮਰੀਕੀ ਸਿੱਕੇ" ਦਾ ਸੋਧ, CC BY 2.0)
ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:
ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ।
ਨਿਰੰਤਰ ਸ਼ਬਦ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਵੰਡਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨਾ।
ਮਤਲਬਾਂ ਲਈ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ।
ਜੋੜਾਂ ਲਈ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ।
ਅਸੀਂ ਮਤਲਬਾਂ ਨਾਲ ਇੰਨੇ ਚਿੰਤਤ ਕਿਉਂ ਹਾਂ? ਦੋ ਕਾਰਨ ਹਨ: ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਤੁਲਨਾ ਲਈ ਇੱਕ ਮੱਧਮ ਮਾਰਗ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਮਤਲਬਾਂ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰੋਗੇ।
ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ (ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ CLT) ਸਾਰੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਅਤੇ ਉਪਯੋਗੀ ਵਿਚਾਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਦੋ ਵਿਕਲਪਿਕ ਰੂਪ ਹਨ, ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਵਿਕਲਪ ਇੱਕ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਔਸਤ, μ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ, σ ਵਾਲੀ ਆਬਾਦੀ ਤੋਂ n ਆਕਾਰ ਦੇ ਸੀਮਤ ਨਮੂਨੇ ਲੈਣ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਪਹਿਲਾ ਵਿਕਲਪ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ "ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡੇ n" ਦੇ n ਆਕਾਰ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਇਕੱਠੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਔਸਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਔਸਤਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ ਆਮ ਘੰਟੀ ਦਾ ਆਕਾਰ ਹੋਣ ਦੀ ਪ੍ਰਵਿਰਤੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਦੂਜਾ ਵਿਕਲਪ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦੁਬਾਰਾ "ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡੇ" n ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਇਕੱਠੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਆਮ ਘੰਟੀ ਦਾ ਆਕਾਰ ਹੋਣ ਦੀ ਪ੍ਰਵਿਰਤੀ ਹੋਵੇਗੀ।
"ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡਾ" ਹੋਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ, n, ਉਸ ਮੂਲ ਆਬਾਦੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਤੋਂ ਨਮੂਨੇ ਲਏ ਗਏ ਹਨ (ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 30 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਡਾਟਾ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਤੋਂ ਆਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ)। ਜੇਕਰ ਮੂਲ ਆਬਾਦੀ ਆਮ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਦੂਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਮੂਨੇ ਦੀਆਂ ਔਸਤਾਂ ਜਾਂ ਜੋੜਾਂ ਦੇ ਆਮ ਹੋਣ ਲਈ ਹੋਰ ਨਿਰੀਖਣਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਨਮੂਨਾ ਬਦਲੀ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅੰਕੜਾ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿੱਚ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਮਹੱਤਤਾ ਨੂੰ ਘੱਟ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਕਿ ਡਾਟਾ, ਭਾਵੇਂ ਇਸਦੀ ਵੰਡ ਆਮ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨਤ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਹੈ।
ਸਹਿਯੋਗੀ ਕਸਰਤ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਹਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਅੱਠ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸਾ ਦਸ ਵਾਰ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਤੁਹਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਸੱਤ ਦੋ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸੇ ਦਸ ਵਾਰ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਤੁਹਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਨੌਂ ਪੰਜ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸੇ ਦਸ ਵਾਰ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਤੁਹਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ 11 ਦਸ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸੇ ਦਸ ਵਾਰ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਹਰੇਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਾਸਾ ਘੁਮਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਚਿਹਰਿਆਂ ਦੀ ਨਮੂਨਾ ਔਸਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਪੰਜ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸੇ ਘੁਮਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਾਰ ਵਿੱਚ 2, 2, 3, 4, 6 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਔਸਤ 2 + 2 + 3 + 4 + 6 5 2 + 2 + 3 + 4 + 6 5 = 3.4 ਹੈ। 3.4 ਇੱਕ ਔਸਤ ਹੈ ਜਦੋਂ ਪੰਜ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸੇ ਘੁਮਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਹੋ ਵਿਅਕਤੀ ਪੰਜ ਪਾਸੇ ਨੌਂ ਹੋਰ ਵਾਰ ਘੁਮਾਏਗਾ ਅਤੇ ਦਸ ਔਸਤਾਂ ਦੇ ਕੁੱਲ ਲਈ ਨੌਂ ਹੋਰ ਔਸਤਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੇਗਾ।
ਤੁਹਾਡਾ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਕਈ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਪਾਸੇ ਵੰਡੇਗਾ। ਆਪਣੇ ਪਾਸੇ ਦਸ ਵਾਰ ਘੁਮਾਓ। ਹਰੇਕ ਰੋਲ ਲਈ, ਚਿਹਰੇ ਰਿਕਾਰਡ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਔਸਤ ਲੱਭੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ 0.5 ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਤੁਹਾਡਾ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ (ਅਤੇ ਸੰਭਵ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤੁਸੀਂ) ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ (ਇਹ ਇੱਕ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ), ਦੋ ਪਾਸਿਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ, ਪੰਜ ਪਾਸਿਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ, ਅਤੇ ਦਸ ਪਾਸਿਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਤਿਆਰ ਕਰੇਗਾ। ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹੋ ਤਾਂ "ਔਸਤ" ਸਿਰਫ਼ ਪਾਸੇ ਦਾ ਚਿਹਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਹਨਾਂ ਔਸਤਾਂ ਦੁਆਰਾ ਕਿਹੜੀ ਵੰਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ?
ਦੋ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਔਸਤਾਂ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਕੀ ਨਮੂਨਾ ਔਸਤਾਂ ਕੋਈ ਕਿਸਮ ਦਾ ਪੈਟਰਨ ਦਿਖਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ?
ਪੰਜ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਔਸਤਾਂ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੋਈ ਪੈਟਰਨ ਉਭਰਦਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ?
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਦਸ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਔਸਤਾਂ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਕੋਈ ਪੈਟਰਨ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ? ਜਿਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹੋ?
ਜਿਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਇੱਕ ਤੋਂ ਦੋ ਤੋਂ ਪੰਜ ਤੋਂ ਦਸ ਤੱਕ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਵਾਪਰ ਰਿਹਾ ਹੈ:
ਨਮੂਨਾ ਔਸਤਾਂ ਦੀ ਔਸਤ ਲਗਭਗ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
ਨਮੂਨਾ ਔਸਤਾਂ ਦਾ ਫੈਲਾਅ (ਨਮੂਨਾ ਔਸਤਾਂ ਦੀ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ) ਛੋਟਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਗ੍ਰਾਫ ਹੋਰ ਤਿੱਖਾ ਅਤੇ ਪਤਲਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
1. ਤੁਸੀਂ ਹੁਣੇ ਹੀ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ (CLT) ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕੀਤਾ ਹੈ।
2. ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਨਮੂਨਾ ਮਤਲਬ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ (ਨਮੂਨਾ ਵੰਡ) ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ।