ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਦੋਂ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਇਹ ਸਮਝਣਾ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਔਸਤ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਔਸਤ ਲਈ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਕੁੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋੜਾਂ ਲਈ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਹ ਔਸਤ ਅਤੇ ਜੋੜਾਂ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾਵਾਂ 'ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
NOTE
ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਮੁੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾ ਕਰੋ। ਇਸਦੇ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ
ਵੱਡੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਕਾਨੂੰਨ
ਵੱਡੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਕਾਨੂੰਨ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਆਬਾਦੀ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਅਤੇ ਵੱਡੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਲੈਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਔਸਤ x̄ μ ਦੇ ਨੇੜੇ ਅਤੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ n ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨਮੂਨੇ ਦੀਆਂ ਔਸਤਾਂ ਇੱਕ ਆਮ ਵੰਡ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜਿੰਨਾ ਵੱਡਾ n ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਓਨਾ ਹੀ ਛੋਟਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ X̄ ਲਈ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ σ/√n ਹੈ।) ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਔਸਤ x̄ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਔਸਤ μ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ μ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੈ ਜਿਸ ਤੱਕ ਨਮੂਨੇ ਦੀਆਂ ਔਸਤਾਂ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ n ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਵੱਡੇ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਔਸਤ ਅਤੇ ਜੋੜ ਲਈ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਉਦਾਹਰਨਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 7.8
ਕਾਲਜ ਕੈਂਪਸ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਵਿੱਚ ਤਣਾਅ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਤਣਾਅ ਦੇ ਸਕੋਰ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਤਣਾਅ ਦਾ ਸਕੋਰ ਇੱਕ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪੰਜ ਹੈ। 75 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਲੱਭੋ:
75 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਲਈ ਔਸਤ ਤਣਾਅ ਸਕੋਰ ਦੋ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ।
75 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਲਈ ਔਸਤ ਤਣਾਅ ਸਕੋਰ ਲਈ 90ਵੀਂ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ।
75 ਤਣਾਅ ਸਕੋਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ 200 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ।
75 ਤਣਾਅ ਸਕੋਰਾਂ ਦੇ ਕੁੱਲ ਲਈ 90ਵੀਂ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ।
ਮੰਨ ਲਓ X = ਇੱਕ ਤਣਾਅ ਸਕੋਰ।
ਸਮੱਸਾਵਾਂ a ਅਤੇ b ਤੁਹਾਨੂੰ ਔਸਤ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਜਾਂ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਮੱਸਾਵਾਂ c ਅਤੇ d ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੁੱਲ ਜਾਂ ਜੋੜ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਜਾਂ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ, n, 75 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਤਣਾਅ ਸਕੋਰ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਵੰਡ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੇ ਹਨ, X ~ U(1, 5) ਜਿੱਥੇ a = 1 ਅਤੇ b = 5 (ਸਮਾਨ ਵੰਡ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਿਆਖਿਆ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇਖੋ)।
μX = (a+b)/2 = (1 + 5)/2 = 3
σX = √((b–a)² / 12) = √((5–1)² / 12) = √(16/12) = √(4/3), ਜਾਂ ਲਗਭਗ 1.15।
a. ਅਤੇ b. ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ X̄ = 75 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਲਈ ਔਸਤ ਤਣਾਅ ਸਕੋਰ। ਫਿਰ,
X̄ ~ N(3, 1.15/√75)
ਸਮੱਸਿਆ
a. P(x̄ < 2) ਲੱਭੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
a. P(x̄ < 2) = 0
ਔਸਤ ਤਣਾਅ ਸਕੋਰ ਦੋ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲਗਭਗ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ।
ਨਾਰਮਲਸੀਡੀਐਫ (1,2,3, 1.15 75) (1,2,3, 1.15 75) = 0
REMINDER
ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਤਣਾਅ ਸਕੋਰ ਇੱਕ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
ਬੀ. 75 ਤਣਾਅ ਸਕੋਰਾਂ ਦੇ ਮਾਧਿਅਮ ਲਈ 90ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਲੱਭੋ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਬੀ. ਮੰਨ ਲਓ k = 90ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ।
k ਲੱਭੋ, ਜਿੱਥੇ P(x̄ < k) = 0.90।
k = 3.2
75 ਸਕੋਰਾਂ ਦੇ ਮਾਧਿਅਮ ਲਈ 90ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਲਗਭਗ 3.2 ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ 75 ਤਣਾਅ ਸਕੋਰਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਮਾਧਿਅਮਾਂ ਦਾ 90% 3.2 ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ 10% 3.2 ਤੋਂ ਘੱਟ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਇਨਵਨਾਰਮ (0.90,3, 1.15 75) (0.90,3, 1.15 75) = 3.2
ਸੀ ਅਤੇ ਡੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ΣX = 75 ਤਣਾਅ ਸਕੋਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ। ਫਿਰ, ΣX ~ N[(75)(3),( 75 ) ( 75 )(1.15)]
ਸਮੱਸਿਆ
ਸੀ. P(Σx < 200) ਲੱਭੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਸੀ. 75 ਤਣਾਅ ਸਕੋਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਮਾਧਿਅਮ (75)(3) = 225 ਹੈ।
75 ਤਣਾਅ ਸਕੋਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਭਾਗ 7543=75×43=100=107543=75×43=100=10 ਹੈ।
P(Σx < 200) = –0.0062
75 ਸਕੋਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 200 ਤੋਂ ਘੱਟ ਲਗਭਗ 0.0062 ਹੈ।
ਨਾਰਮਲਸੀਡੀਐਫ (75,200,225,10)।
REMINDER
75 ਤਣਾਅ ਸਕੋਰਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਜੋੜ 75 ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਇਕੱਲਾ ਸਕੋਰ ਇੱਕ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
ਡੀ. 75 ਤਣਾਅ ਸਕੋਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ 90ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਲੱਭੋ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਡੀ. ਮੰਨ ਲਓ k = 90ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ।
1. k ਲੱਭੋ ਜਿੱਥੇ P(Σx < k) = 0.90।
2. k = 237.8
3. 75 ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ 90ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਲਗਭਗ 237.8 ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ 75 ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਜੋੜਾਂ ਦਾ 90% 237.8 ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ 10% 237.8 ਤੋਂ ਘੱਟ ਨਹੀਂ ਹੈ।
4. invNorm(0.90,(75)(3),( 75 ) ( 75 )(1.15)) = 237.8
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.8
6. ਉਦਾਹਰਨ 7.8 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਪਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ 55 ਦੇ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
7. P(x ¯ x ¯ < 7) ਲੱਭੋ।
8. P(Σx > 170) ਲੱਭੋ।
9. 55 ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਔਸਤ ਲਈ 80ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਲੱਭੋ।
10. 55 ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ 85ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਲੱਭੋ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 7.9
12. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਕੰਪਨੀ ਲਈ ਇੱਕ ਮਾਰਕੀਟ ਰਿਸਰਚ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਕ ਆਪਣੇ ਗਾਹਕਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਬੇਸਿਕ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਕੰਟਰੈਕਟ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਸਮਾਂ ਸੀਮਾ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂਦੇ ਹਨ; ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਕ ਪਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲੋਕਾਂ ਨੇ ਆਪਣੇ ਬੇਸਿਕ ਕੰਟਰੈਕਟ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਵਾਧੂ ਸਮਾਂ 22 ਮਿੰਟ ਦੇ ਔਸਤ ਨਾਲ ਘਾਤੀ ਵੰਡ (exponential distribution) ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
13. ਆਪਣੇ ਬੇਸਿਕ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਕੰਟਰੈਕਟ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਸਮਾਂ ਸੀਮਾ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਣ ਵਾਲੇ 80 ਗਾਹਕਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਰੈਂਡਮ ਨਮੂਨਾ ਵਿਚਾਰੋ।
14. ਮੰਨ ਲਓ X = ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਗਾਹਕ ਦੁਆਰਾ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਵਾਧੂ ਸਮਾਂ ਜੋ ਆਪਣੀ ਕੰਟਰੈਕਟਿਡ ਸਮਾਂ ਸੀਮਾ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
15. X ∼ Exp( 1 22 ) ( 1 22 )। ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਵਾਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ μ = 22 ਅਤੇ σ = 22।
16. ਮੰਨ ਲਓ X ¯ X ¯ = ਆਪਣੇ ਕੰਟਰੈਕਟਿਡ ਸਮਾਂ ਸੀਮਾ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਣ ਵਾਲੇ n = 80 ਗਾਹਕਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦੁਆਰਾ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਔਸਤ ਵਾਧੂ ਸਮਾਂ।
17. X ¯ X ¯ ~ N( 22, 22 80 ) ( 22, 22 80 ) ਨਮੂਨਾ ਮੀਨ ਲਈ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ (central limit theorem) ਦੁਆਰਾ।
18. ਸਮੱਸਿਆ
19. ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣ ਲਈ clt ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ।
20. ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭੋ ਕਿ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ 80 ਗਾਹਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਔਸਤ ਵਾਧੂ ਸਮਾਂ 20 ਮਿੰਟ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ P(x ¯ x ¯ > 20) ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਹਿ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
21. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਆਪਣੇ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਕੰਟਰੈਕਟ ਲਈ ਸਮਾਂ ਸੀਮਾ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਗਾਹਕ ਨੂੰ ਰੈਂਡਮਲੀ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭੋ ਕਿ ਇਸ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਗਾਹਕ ਦਾ ਵਾਧੂ ਸਮਾਂ 20 ਮਿੰਟ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ P(x > 20) ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਹਿ ਰਿਹਾ ਹੈ।
22. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਭਾਗ a ਅਤੇ b ਵਿੱਚ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਕਿਉਂ ਹਨ।
23. ਹੱਲ
24. ਲੱਭੋ: P(x ¯ x ¯ > 20) P(x ¯ x ¯ > 20) = 0.79199 normalcdf( 20,1E99,22, 22 80 ) ( 20,1E99,22, 22 80 ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ। ਸੰਭਾਵਨਾ 0.7919 ਹੈ ਕਿ ਔਸਤ ਵਾਧੂ ਸਮਾਂ 20 ਮਿੰਟ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ 80 ਗਾਹਕਾਂ ਨੇ ਆਪਣੇ ਕੰਟਰੈਕਟਿਡ ਸਮਾਂ ਸੀਮਾ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਲਈ। ਚਿੱਤਰ 7.8 ਯਾਦ ਰੱਖੋ 1E99 = 1099 ਅਤੇ –1E99 = –1099। E ਲਈ EE ਕੁੰਜੀ ਦਬਾਓ। ਜਾਂ 1E99 ਦੀ ਬਜਾਏ ਸਿਰਫ਼ 1099 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. P(x > 20) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਵਿਅਕਤੀ ਲਈ ਘਾਤੀ ਵੰਡ (exponential distribution) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਯਾਦ ਰੱਖੋ: X~Exp( 1 22 ) X~Exp( 1 22 )। P(x>20) = e ( −( 1 22 )( 20 ) ) P(x>20) = e ( −( 1 22 )( 20 ) ) ਜਾਂ e(–0.04545(20)) = 0.4029
2. P(x > 20) = 0.4029 ਪਰ P(x ¯ x ¯ > 20) = 0.7919। ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਵਿਅਕਤੀਆਂ ਅਤੇ ਮਤਲਬਾਂ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੱਖਰੀਆਂ ਵੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਮੁੱਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਉਸ ਦੇ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਦੱਸੀ ਗਈ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ; CLT (Central Limit Theorem) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਮਤਲਬ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ CLT ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਆਮ ਵੰਡ (normal distribution) ਨਾਲ ਕਰੋ।
3. ਸਮੱਸਿਆ
4. CLT ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ (percentiles) ਲੱਭਣਾ
5. ਹੱਲ
6. ਮੰਨ ਲਓ k = 95ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ। k ਲੱਭੋ ਜਿੱਥੇ P(x ¯ x ¯ < k) = 0.95
7. k = 26.0 invNorm( 0.95,22, 22 80 ) ( 0.95,22, 22 80 ) = 26.0 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
8. ਨਮੂਨਾ ਗਾਹਕਾਂ ਦੇ 80 ਦੇ ਰੈਂਡਮ ਨਮੂਨਿਆਂ ਲਈ, ਜੋ ਆਪਣੇ ਇਕਰਾਰਨਾਮੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸਮਾਂ ਸੀਮਾ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੇ ਹਨ, ਨਮੂਨਾ ਮਤਲਬ ਵਾਧੂ ਸਮਾਂ ਵਰਤੋਂ ਦਾ 95ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਲਗਭਗ 26.0 ਮਿੰਟ ਹੈ।
9. ਅਜਿਹੇ 95 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨਮੂਨਿਆਂ ਦਾ ਮਤਲਬ 26 ਮਿੰਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਵੇਗਾ; ਅਜਿਹੇ ਸਿਰਫ ਪੰਜ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨਮੂਨਿਆਂ ਦਾ ਮਤਲਬ 26 ਮਿੰਟ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋਵੇਗਾ।
10. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 7.9
11. ਉਦਾਹਰਨ 7.9 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਪਰ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ (sample size) ਨੂੰ 144 ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
12. P(20 < x ¯ x ¯ < 30) ਲੱਭੋ।
13. P(Σx ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 3,000 ਹੈ) ਲੱਭੋ।
14. 144 ਗਾਹਕਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨਾ ਮਤਲਬ ਵਾਧੂ ਸਮੇਂ ਲਈ 75ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਲੱਭੋ।
15. ਗਾਹਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਤੇ ਗਏ 144 ਵਾਧੂ ਸਮਿਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ 85ਵਾਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਲੱਭੋ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 7.10
17. ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ, ਕਈ ਅਧਿਐਨਾਂ ਅਨੁਸਾਰ, ਔਸਤਨ ਹਰ ਦੋ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੁੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ (standard deviation) 0.5 ਮਿੰਟ ਹੈ ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ 100 ਹੈ।
18. ਸਮੱਸਿਆ
19. ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਲੁੱਟਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨਾ ਮਤਲਬ ਸਮੇਂ ਲਈ ਮੀਡੀਅਨ (median), ਪਹਿਲਾ ਕੁਆਰਟਾਈਲ (first quartile), ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਕੁਆਰਟਾਈਲ (third quartile) ਲੱਭੋ।
20. ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਲੁੱਟਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨਾ ਸਮਿਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਮੀਡੀਅਨ, ਪਹਿਲਾ ਕੁਆਰਟਾਈਲ, ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਕੁਆਰਟਾਈਲ ਲੱਭੋ।
21. ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭੋ ਕਿ ਇੱਕ ਲੁੱਟ ਔਸਤਨ 1.75 ਅਤੇ 1.85 ਮਿੰਟਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
22. ਨਮੂਨਾ ਮਤਲਬ ਤੋਂ ਦੋ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਉੱਪਰ ਵਾਲਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
23. ਨਮੂਨਾ ਸਮਿਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ IQR (Interquartile Range) ਲੱਭੋ।
24. ਹੱਲ
We have, μx = μ = 2 and σx = σ n σ n = 0.5 10 0.5 10 = 0.05. Therefore: 50th percentile = μx = μ = 2 25th percentile = invNorm(0.25,2,0.05) = 1.97 75th percentile = invNorm(0.75,2,0.05) = 2.03
We have μΣx = n(μx) = 100(2) = 200 and σμx = n n(σx) = 10(0.5) = 5. Therefore 50th percentile = μΣx = n(μx) = 100(2) = 200 25th percentile = invNorm(0.25,200,5) = 196.63 75th percentile = invNorm(0.75,200,5) = 203.37
P(1.75 < x ¯ x ¯ < 1.85) = normalcdf(1.75,1.85,2,0.05) = 0.0013
Using the z-score equation, z = x ¯ – μ x ¯ σ x ¯ z = x ¯ – μ x ¯ σ x ¯, and solving for x, we have x = 2(0.05) + 2 = 2.1
The IQR is 75th percentile – 25th percentile = 203.37 – 196.63 = 6.74
Try It 7.10
Based on data from the National Health Survey, females between the ages of 18 and 24 have an average systolic blood pressures (in mm Hg) of 114.8 with a standard deviation of 13.1. Systolic blood pressure for females between the ages of 18 to 24 follow a normal distribution.
If one female from this population is randomly selected, find the probability that their systolic blood pressure is greater than 120.
If 40 females from this population are randomly selected, find the probability that their mean systolic blood pressure is greater than 120.
If the sample were four females between the ages of 18 to 24 and we did not know the original distribution, could the central limit theorem be used?
Example 7.11
Problem
A study was done regarding attendance at Broadway shows in New York City. The age range of the attendees was 14 to 61. The mean age was 30.9 years with a standard deviation of nine years.
In a sample of 25 attendees, what is the probability that the mean age is less than 35?
Is it likely that the mean age of the sample group could be more than 50 years? Interpret the results.
In a sample of 49 attendees, what is the probability that the sum of the ages is no less than 1,600?
Is it likely that the sum of the ages of the 49 attendees is at most 1,595? Interpret the results.
Find the 95th percentile for the sample mean age of 65 attendees. Interpret the results.
Find the 90th percentile for the sum of the ages of 65 attendees. Interpret the results.
Solution
P(x ¯ x ¯ < 35) = normalcdf(-E99,35,30.9,1.8) = 0.9886
P(x ¯ x ¯ > 50) = normalcdf(50, E99,30.9,1.8) ≈ 0. For this sample group, it is almost impossible for the group’s average age to be more than 50. However, it is still possible for an individual in this group to have an age greater than 50.
P(Σx ≥ 1,600) = normalcdf(1600,E99,1514.10,63) = 0.0864
P(Σx ≤ 1,595) = normalcdf(-E99,1595,1514.10,63) = 0.9005. This means that there is a 90% chance that the sum of the ages for the sample group n = 49 is at most 1595.
The 95th percentile = invNorm(0.95,30.9,1.1) = 32.7. This indicates that 95% of the attendees in the sample of 65 are younger than 32.7 years, on average.
The 90th percentile = invNorm(0.90,2008.5,72.56) = 2101.5. This indicates that 90% of the attendees in the sample of 65 have a sum of ages less than 2,101.5 years.
Try It 7.11
According to Boeing data, the 757 airliner carries 200 passengers and has doors with a height of 72 inches. Assume for a certain population of men we have a mean height of 69.0 inches and a standard deviation of 2.8 inches.
What doorway height would allow 95% of men to enter the aircraft without bending?
Assume that half of the 200 passengers are men. What mean doorway height satisfies the condition that there is a 0.95 probability that this height is greater than the mean height of 100 men?
For engineers designing the 757, which result is more relevant: the height from part a or part b? Why?
HISTORICAL NOTE
Normal Approximation to the Binomial
Historically, being able to compute binomial probabilities was one of the most important applications of the central limit theorem. Binomial probabilities with a small value for n(say, 20) were displayed in a table in a book. To calculate the probabilities with large values of n, you had to use the binomial formula, which could be very complicated. Using the normal approximation to the binomial distribution simplified the process. To compute the normal approximation to the binomial distribution, take a simple random sample from a population. You must meet the conditions for a binomial distribution:
there are a certain number n of independent trials
the outcomes of any trial are success or failure
each trial has the same probability of a success p
Recall that if X is the binomial random variable, then X ~ B(n, p). The shape of the binomial distribution needs to be similar to the shape of the normal distribution. To ensure this, the quantities np and nq must both be greater than five (np > 5 and nq > 5; the approximation is better if they are both greater than or equal to 10). Then the binomial can be approximated by the normal distribution with mean μ = np and standard deviation σ = npq npq. Remember that q = 1 – p. In order to get the best approximation, add 0.5 to x or subtract 0.5 from x (use x + 0.5 or x – 0.5). The number 0.5 is called the continuity correction factor and is used in the following example.
Example 7.12
Suppose in a local Kindergarten through 12th grade (K - 12) school district, 53 percent of the population favor a charter school for grades K through 5. A simple random sample of 300 is surveyed.
Find the probability that at least 150 favor a charter school.
Find the probability that at most 160 favor a charter school.
Find the probability that more than 155 favor a charter school.
Find the probability that fewer than 147 favor a charter school.
Find the probability that exactly 175 favor a charter school.
Let X = the number that favor a charter school for grades K trough 5. X ~ B(n, p) where n = 300 and p = 0.53. Since np > 5 and nq > 5, use the normal approximation to the binomial. The formulas for the mean and standard deviation are μ = np and σ = npq npq. The mean is 159 and the standard deviation is 8.6447. The random variable for the normal distribution is Y. Y ~ N(159, 8.6447). See The Normal Distribution for help with calculator instructions.
For part a, you include 150 so P(X ≥ 150) has normal approximation P(Y ≥ 149.5) = 0.8641.
normalcdf(149.5,10^99,159,8.6447) = 0.8641.
For part b, you include 160 so P(X ≤ 160) has normal appraximation P(Y ≤ 160.5) = 0.5689.
ਨਾਰਮਲਸੀਡੀਐਫ(0,160.5,159,8.6447) = 0.5689
ਭਾਗ 'ਸੀ' ਲਈ, ਤੁਸੀਂ 155 ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਰੱਖਦੇ ਹੋ, ਇਸ ਲਈ P(X > 155) ਦਾ ਨਾਰਮਲ ਅਨੁਮਾਨ P(y > 155.5) = 0.6572 ਹੈ।
ਨਾਰਮਲਸੀਡੀਐਫ(155.5,10^99,159,8.6447) = 0.6572.
ਭਾਗ 'ਡੀ' ਲਈ, ਤੁਸੀਂ 147 ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਰੱਖਦੇ ਹੋ, ਇਸ ਲਈ P(X < 147) ਦਾ ਨਾਰਮਲ ਅਨੁਮਾਨ P(Y < 146.5) = 0.0741 ਹੈ।
ਨਾਰਮਲਸੀਡੀਐਫ(0,146.5,159,8.6447) = 0.0741
ਭਾਗ 'ਈ' ਲਈ, P(X = 175) ਦਾ ਨਾਰਮਲ ਅਨੁਮਾਨ P(174.5 < Y < 175.5) = 0.0083 ਹੈ।
ਨਾਰਮਲਸੀਡੀਐਫ(174.5,175.5,159,8.6447) = 0.0083
ਕਿਉਂਕਿ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਅਤੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਸੌਫਟਵੇਅਰ ਹਨ ਜੋ ਤੁਹਾਨੂੰ ਵੱਡੇ 'n' ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗਿਣਨ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਰਮਲ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਇਹਨਾਂ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਸਾਧਨਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਹੋਵੇ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਸਕੂਲ ਲੈਬਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਈਕਰੋਸਾਫਟ ਐਕਸਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਕੰਪਿਊਟਰ ਸੌਫਟਵੇਅਰ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਜੋ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਕੋਲ TI-83 ਜਾਂ 84 ਸੀਰੀਜ਼ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਹ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੰਟਰਨੈੱਟ ਬ੍ਰਾਊਜ਼ਰ ਵਿੱਚ "ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਕੈਲਕੂਲੇਸ਼ਨ" ਟਾਈਪ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਲਈ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਆਨਲਾਈਨ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.12 ਲਈ, ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ: (n = 300 ਅਤੇ p = 0.53)। ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਅਤੇ ਨਾਰਮਲ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਦੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਨਾਲ ਮਦਦ ਲਈ ਡਿਸਕ੍ਰੀਟ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲਜ਼ ਵੇਖੋ।
P(X ≥ 150) : 1 - ਬਾਈਨੋਮੀਅਲਸੀਡੀਐਫ(300,0.53,149) = 0.8641
P(X ≤ 160) : ਬਾਈਨੋਮੀਅਲਸੀਡੀਐਫ(300,0.53,160) = 0.5684
P(X > 155) : 1 - ਬਾਈਨੋਮੀਅਲਸੀਡੀਐਫ(300,0.53,155) = 0.6576
P(X < 147) : ਬਾਈਨੋਮੀਅਲਸੀਡੀਐਫ(300,0.53,146) = 0.0742
P(X = 175) : (ਤੁਸੀਂ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਪੀਡੀਐਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ।) ਬਾਈਨੋਮੀਅਲਪੀਡੀਐਫ(300,0.53,175) = 0.0083
ਟਰਾਈ ਇਟ 7.12
ਇੱਕ ਸ਼ਹਿਰ ਵਿੱਚ, 46 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਆਬਾਦੀ ਮੇਅਰ ਲਈ ਮੌਜੂਦਾ ਉਮੀਦਵਾਰ, ਡਾਨ ਮੋਰਗਨ, ਦੇ ਹੱਕ ਵਿੱਚ ਹੈ। 500 ਦਾ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨਾ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਸੁਧਾਰ ਕਾਰਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 250 ਦੇ ਹੱਕ ਵਿੱਚ ਡਾਨ ਮੋਰਗਨ ਦੇ ਮੇਅਰ ਬਣਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।