During an election year, we see articles in the newspaper that state confidence intervals in terms of proportions or percentages. For example, a poll for a particular candidate running for president might show that the candidate has 40% of the vote within three percentage points (if the sample is large enough). Often, election polls are calculated with 95% confidence, so, the pollsters would be 95% confident that the true proportion of voters who favored the candidate would be between 0.37 and 0.43: (0.40 – 0.03,0.40 + 0.03).
Investors in the stock market are interested in the true proportion of stocks that go up and down each week. Businesses that sell personal computers are interested in the proportion of households in the United States that own personal computers. Confidence intervals can be calculated for the true proportion of stocks that go up or down each week and for the true proportion of households in the United States that own personal computers.
The procedure to find the confidence interval, the sample size, the error bound, and the confidence level for a proportion is similar to that for the population mean, but the formulas are different.
How do you know you are dealing with a proportion problem? First, the underlying distribution is a binomial distribution. (There is no mention of a mean or average.) If X is a binomial random variable, then X ~ B(n, p) where n is the number of trials and p is the probability of a success. To form a proportion, take X, the random variable for the number of successes and divide it by n, the number of trials (or the sample size). The random variable p′p′ (read "P prime") is that proportion,
P ′ = X n P ′ = X n
(Sometimes the random variable is denoted as P ^ P ^, read "P hat".)
When n is large and p is not close to zero or one, we can use the normal distribution to approximate the binomial.
X~N(np, npq ) X~N(np, npq )
If we divide the random variable, the mean, and the standard deviation by n, we get a normal distribution of proportions with p′p′, called the estimated proportion, as the random variable. (Recall that a proportion as the number of successes divided by n.)
X n = P ′ ~ N( np n , npq n ) X n = P ′ ~ N( np n , npq n )
Using algebra to simplify : npq n = pq n npq n = pq n
p′p′ follows a normal distribution for proportions: Xn=P′~N(p,pqn)Xn=P′~N(p,pqn)
The confidence interval has the form (p′p′ – EBP, p′p′ + EBP). EBP is error bound for the proportion.
p′p′ = x n x n
p′p′ = the estimated proportion of successes (p′p′ is a point estimate for p, the true proportion.)
x = the number of successes
n = the size of the sample
The error bound for a proportion is
EBP=( z α 2 )( p ′ q ′ n ) EBP=( z α 2 )( p ′ q ′ n ) where q′q′ = 1 – p′p′
This formula is similar to the error bound formula for a mean, except that the "appropriate standard deviation" is different. For a mean, when the population standard deviation is known, the appropriate standard deviation that we use is σ n σ n. For a proportion, the appropriate standard deviation is p q n p q n.
However, in the error bound formula, we use p ′ q ′ n p ′ q ′ n as the standard deviation, instead of p q n p q n.
In the error bound formula, the sample proportions p′p′ and q′q′ are estimates of the unknown population proportions p and q. The estimated proportions p′p′ and q′q′ are used because p and q are not known. The sample proportions p′p′ and q′q′ are calculated from the data: p′p′ is the estimated proportion of successes, and q′q′ is the estimated proportion of failures.
The confidence interval can be used only if the number of successes np′np′ and the number of failures nq′nq′ are both greater than five.
NOTE
For the normal distribution of proportions, the z-score formula is as follows.
If P ′ ~N( p, pq n ) P ′ ~N( p, pq n ) then the z-score formula is z= p ′ −p pq n z= p ′ −p pq n
Example 8.10
Problem
Suppose that a market research firm is hired to estimate the percent of adults living in a large city who have smartphones. Five hundred randomly selected adult residents in this city are surveyed to determine whether they have smartphones. Of the 500 people surveyed, 421 responded yes - they own smartphones. Using a 95% confidence level, compute a confidence interval estimate for the true proportion of adult residents of this city who have smartphones.
Solution
The first solution is step-by-step.
The second solution uses a function of the TI-83, 83+ or 84 calculators.
Let X = the number of people in the sample who have cell phones. X is binomial. X~B( 500, 421 500 ) X~B( 500, 421 500 ).
To calculate the confidence interval, you must find p′p′, q′q′, and EBP.
n = 500
x = the number of successes = 421
p ′ = x n = 421 500 =0.842 p ′ = x n = 421 500 =0.842
p ′ = 0.842 p ′ = 0.842 is the sample proportion; this is the point estimate of the population proportion.
q ′ = 1 - p ′ = 1 - 0.842 = 0.158 q ′ = 1 - p ′ = 1 - 0.842 = 0.158
Since CL = 0.95, then α = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05 ( α 2 ) ( α 2 ) = 0.025.
Then z α 2 = z 0.025 = 1.96 z α 2 = z 0.025 =1.96
Use the TI-83, 83+, or 84+ calculator command invNorm(0.975,0,1) to find z0.025. Remember that the area to the right of z0.025 is 0.025 and the area to the left of z0.025 is 0.975. This can also be found using appropriate commands on other calculators, using a computer, or using a Standard Normal probability table.
EBP=( z α 2 ) p ′ q ′ n =(1.96) (0.842)(0.158) 500 =0.032 EBP=( z α 2 ) p ′ q ′ n =(1.96) (0.842)(0.158) 500 =0.032
p ′ – EBP = 0.842 – 0.032 = 0.81 p ′ –EBP=0.842–0.032=0.81
p ′ +EBP=0.842+0.032=0.874 p ′ +EBP=0.842+0.032=0.874
The confidence interval for the true binomial population proportion is (p′ – EBP,p′ + EBP) = (0.810,0.874).(p′ – EBP,p′ + EBP) = (0.810,0.874).
Interpretation: We estimate with 95% confidence that between 81% and 87.4% of all adult residents of this city have smartphones.
Explanation of 95% Confidence Level: Ninety-five percent of the confidence intervals constructed in this way would contain the true value for the population proportion of all adult residents of this city who have smartphones.
Solution
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ TESTS ਵੱਲ ਤੀਰ ਚਲਾਓ। A:1-PropZint ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ। ENTER ਦਬਾਓ। xx ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ ਅਤੇ 421 ਦਰਜ ਕਰੋ। nn ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ ਅਤੇ 500 ਦਰਜ ਕਰੋ। C-Level ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ ਅਤੇ .95 ਦਰਜ ਕਰੋ। Calculate ਵੱਲ ਤੀਰ ਚਲਾਓ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ। ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ (0.81003, 0.87397) ਹੈ।
8.10 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਉਹ ਟੈਬਲੇਟ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, 250 ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣੇ ਗਏ ਲੋਕਾਂ ਦਾ ਸਰਵੇਖਣ ਕਰੋ। ਸਰਵੇਖਣ ਕੀਤੇ ਗਏ 250 ਵਿੱਚੋਂ, 98 ਨੇ ਟੈਬਲੇਟ ਰੱਖਣ ਦੀ ਸੂਚਨਾ ਦਿੱਤੀ। 95% ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਅਸਲ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ ਜੋ ਟੈਬਲੇਟ ਰੱਖਦੇ ਹਨ।
8.11 ਉਦਾਹਰਨ
ਸਮੱਸਿਆ
ਇੱਕ ਕਲਾਸ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਲਈ, ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਦੇ ਰਾਜਨੀਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦਾ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਰਜਿਸਟਰਡ ਵੋਟਰਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਸਨੇ 500 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਸਰਵੇਖਣ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਪਾਇਆ ਕਿ 300 ਰਜਿਸਟਰਡ ਵੋਟਰ ਹਨ। ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਅਸਲ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਲਈ 90% ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਜੋ ਰਜਿਸਟਰਡ ਵੋਟਰ ਹਨ, ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਹੱਲ ਕਦਮ-ਦਰ-ਕਦਮ ਹੈ।
ਦੂਜਾ ਹੱਲ TI-83, 83+, ਜਾਂ 84 ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ।
x = 300 ਅਤੇ n = 500
p ′ = x n = 300 500 =0.600
q ′ =1- p ′ =1-0.600=0.400
ਕਿਉਂਕਿ CL = 0.90, ਤਾਂ α = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10( α 2 ) ( α 2 ) = 0.05
z α 2 z α 2 = z0.05 = 1.645
z0.05 ਲੱਭਣ ਲਈ TI-83, 83+, ਜਾਂ 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਕਮਾਂਡ invNorm(0.95,0,1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ z0.05 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 0.05 ਹੈ ਅਤੇ z0.05 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 0.95 ਹੈ। ਇਹ ਹੋਰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ 'ਤੇ ਉਚਿਤ ਕਮਾਂਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਨਾਰਮਲ ਸੰਭਾਵਨਾ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
EBP=( z α 2 ) p ′ q ′ n =(1.645) (0.60)(0.40) 500 =0.036
p ′ –EBP=0.60−0.036=0.564 p ′ –EBP=0.60−0.036=0.564
p ′ +EBP=0.60+0.036=0.636 p ′ +EBP=0.60+0.036=0.636
ਅਸਲ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਆਬਾਦੀ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ (p′p′ – EBP, p′p′ + EBP) = (0.564,0.636) ਹੈ।
ਵਿਆਖਿਆ: ਅਸੀਂ 90% ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਨਾਲ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਅਸਲ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਜੋ ਰਜਿਸਟਰਡ ਵੋਟਰ ਹਨ, 56.4% ਅਤੇ 63.6% ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ।
ਵਿਕਲਪਿਕ ਸ਼ਬਦ-ਜੋੜ: ਅਸੀਂ 90% ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਨਾਲ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ 56.4% ਅਤੇ 63.6% ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰਜਿਸਟਰਡ ਵੋਟਰ ਹਨ।
90% ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ: ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਣਾਏ ਗਏ ਸਾਰੇ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਨੱਬੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਲਈ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਹੱਲ
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ TESTS ਵੱਲ ਤੀਰ ਚਲਾਓ। A:1-PropZint ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ। ENTER ਦਬਾਓ। xx ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ ਅਤੇ 300 ਦਰਜ ਕਰੋ। nn ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ ਅਤੇ 500 ਦਰਜ ਕਰੋ। C-Level ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ ਅਤੇ 0.90 ਦਰਜ ਕਰੋ। Calculate ਵੱਲ ਤੀਰ ਚਲਾਓ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ। ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ (0.564, 0.636) ਹੈ।
8.11 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਆਪਣੇ ਸਕੂਲ ਦਾ ਸਰਵੇਖਣ ਕਰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਸਕੂਲ ਜ਼ਿਲ੍ਹੇ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਸਕੂਲੀ ਵਰਦੀਆਂ ਬਾਰੇ ਨਵੇਂ ਕਾਨੂੰਨ ਦੇ ਹੱਕ ਵਿੱਚ ਹਨ ਜਾਂ ਵਿਰੁੱਧ। ਉਹ 600 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਸਰਵੇਖਣ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ 480 ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨਵੇਂ ਕਾਨੂੰਨ ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ ਹਨ।
ਨਵੇਂ ਕਾਨੂੰਨ ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਸੱਚੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਲਈ 90% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
300 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ, 68% ਨੇ ਕਿਹਾ ਕਿ ਉਹ ਇੱਕ ਆਈਪੌਡ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਾਰਟ ਫੋਨ ਦੇ ਮਾਲਕ ਹਨ। ਆਈਪੌਡ ਅਤੇ ਸਮਾਰਟ ਫੋਨ ਦੇ ਮਾਲਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਸੱਚੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਲਈ 97% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
p ਲਈ "ਪਲੱਸ ਫੋਰ" ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ
ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਦਾਖਲ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਸੱਚੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ, ਅਸੀਂ ਨਮੂਨਾ ਵੰਡ ਦੇ ਢੁਕਵੇਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਗਾੜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪੁਆਇੰਟ ਅੰਦਾਜ਼ਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਹਾਂ। ਅਧਿਐਨਾਂ ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ਮਿਆਰੀ ਵਿਗਾੜ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਖਰਾਬ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਸਮਾਯੋਜਨ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਸਟੀਕ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਇਹ ਦਿਖਾਵਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਚਾਰ ਵਾਧੂ ਨਿਰੀਖਣ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦੋ ਨਿਰੀਖਣ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਦੋ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਹਨ। ਨਵੀਂ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ, ਫਿਰ, n + 4 ਹੈ, ਅਤੇ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਨਵੀਂ ਗਿਣਤੀ x + 2 ਹੈ।
ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਧਿਐਨਾਂ ਨੇ ਇਸ ਵਿਧੀ ਦੀ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ੀਲਤਾ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਦੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਲੋੜੀਂਦਾ ਭਰੋਸਾ ਪੱਧਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 90% ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦਸ ਹੋਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.12
ਸਮੱਸਿਆ
25 ਅੰਕੜੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨੇ ਨੂੰ ਪੁੱਛਿਆ ਗਿਆ: "ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਸਿਗਰਟ ਪੀਤੀ ਹੈ?" ਛੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਪਿਛਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਧੂੰਆਂ ਪੀਣ ਦੀ ਰਿਪੋਰਟ ਕੀਤੀ। ਅੰਕੜੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਸੱਚੇ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ 95% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ "ਪਲੱਸ-ਫੋਰ" ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜੋ ਧੂੰਆਂ ਪੀਂਦੇ ਹਨ।
ਹੱਲ
25 ਵਿੱਚੋਂ ਛੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਪਿਛਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਧੂੰਆਂ ਪੀਣ ਦੀ ਰਿਪੋਰਟ ਕੀਤੀ, ਇਸ ਲਈ x = 6 ਅਤੇ n = 25। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ "ਪਲੱਸ-ਫੋਰ" ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ x = 6 + 2 = 8 ਅਤੇ n = 25 + 4 = 29 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
p ′ = x n = 8 29 ≈0.276
q ′ =1– p ′ =1–0.276=0.724
ਕਿਉਂਕਿ CL = 0.95, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ α = 1 – 0.95 = 0.05 ਅਤੇ α 2 α 2 = 0.025।
z 0.025 =1.96
EBP=( z α 2 ) p ′ q ′ n =(1.96) 0.276(0.724) 29 ≈0.163
p′p′ – EBP = 0.276 – 0.163 = 0.113
p′p′ + EBP = 0.276 + 0.163 = 0.439
ਅਸੀਂ 95% ਭਰੋਸੇ ਨਾਲ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਰੇ ਅੰਕੜੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਜੋ ਸਿਗਰਟ ਪੀਂਦੇ ਹਨ, ਦਾ ਸੱਚਾ ਅਨੁਪਾਤ 0.113 ਅਤੇ 0.439 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ।
ਹੱਲ
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ TESTS ਵੱਲ ਐਰੋ ਕਰੋ। A:1-PropZint ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ। ENTER ਦਬਾਓ।
REMINDER
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਪਲੱਸ-ਫੋਰ ਵਿਧੀ ਦੋ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਚਾਰ ਵਾਧੂ ਟਰਾਇਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਹਨਾਂ ਵਾਧੂ ਟਰਾਇਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ x ਅਤੇ n ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਅਪਡੇਟ ਕਰੋ।
x ਵੱਲ ਤੀਰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ ਅਤੇ ਅੱਠ (8) ਦਰਜ ਕਰੋ। n ਵੱਲ ਤੀਰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ ਅਤੇ ਉਨੱਤੀ (29) ਦਰਜ ਕਰੋ। C-Level ਵੱਲ ਤੀਰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ ਅਤੇ 0.95 ਦਰਜ ਕਰੋ। Calculate ਵੱਲ ਤੀਰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ। ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ (0.113, 0.439) ਹੈ।
8.12 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਸਟੇਟ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਦੇ 65 ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚੋਂ, 31 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਸਟੇਟ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਸੱਚੇ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ 96% ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ "ਪਲੱਸ-ਫੋਰ" ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ਾ ਐਲਾਨ ਕੀਤਾ ਹੈ।
8.13 ਉਦਾਹਰਨ
ਸਮੱਸਿਆ
ਇੱਕ ਮਾਰਕੀਟਿੰਗ ਖੋਜ ਫਰਮ ਨੇ 18-29 ਸਾਲ ਦੇ ਬਾਲਗਾਂ ਵਿੱਚ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਵਾਹਨਾਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵੀ ਖਰੀਦ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਸਰਵੇਖਣ ਕੀਤਾ। 18-29 ਸਾਲ ਦੇ 50 ਬਾਲਗਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 13 ਨੇ ਰਿਪੋਰਟ ਕੀਤੀ ਕਿ ਉਹ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਵਾਹਨ ਦੀ ਖਰੀਦ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਗੇ। 18-29 ਸਾਲ ਦੇ ਬਾਲਗਾਂ ਦੇ ਸੱਚੇ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ 90% ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ "ਪਲੱਸ ਫੋਰ" ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜੋ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਵਾਹਨ ਦੀ ਖਰੀਦ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਗੇ।
ਹੱਲ
"ਪਲੱਸ-ਫੋਰ" ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ x = 13 + 2 = 15 ਅਤੇ n = 50 + 4 = 54 ਹੈ।
p′ = 15 54 ≈ 0.278
q′ = 1 – p′ = 1 – 0.241 = 0.722
ਕਿਉਂਕਿ CL = 0.90, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ α = 1 – 0.90 = 0.10 ਅਤੇ α 2 = 0.05।
z 0.05 = 1.645
EBP = (z α 2)(p′q′ n) = (1.645)( (0.278)(0.722) 54 ) ≈ 0.100
p′ – EBP = 0.278 – 0.100 = 0.178
p′ + EBP = 0.278 + 0.100 = 0.378
ਅਸੀਂ 90% ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਨਾਲ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 18-29 ਸਾਲ ਦੇ 17.8% ਅਤੇ 37.8% ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਬਾਲਗ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਵਾਹਨ ਦੀ ਖਰੀਦ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਗੇ।
ਹੱਲ
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ TESTS ਵੱਲ ਤੀਰ ਨਾਲ ਜਾਓ। A:1-PropZint ਵੱਲ ਤੀਰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ। ENTER ਦਬਾਓ। x ਵੱਲ ਤੀਰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ ਅਤੇ 15 ਦਰਜ ਕਰੋ। n ਵੱਲ ਤੀਰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ ਅਤੇ 54 ਦਰਜ ਕਰੋ। C-Level ਵੱਲ ਤੀਰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ ਅਤੇ 0.90 ਦਰਜ ਕਰੋ। Calculate ਵੱਲ ਤੀਰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ। ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ (0.178, 0.378) ਹੈ।
8.13 ਅਜ਼ਮਾਓ
ਉਦਾਹਰਨ 8.13 ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਰਵੇਖਣ ਵਿੱਚ 18-29 ਸਾਲ ਦੇ ਬਾਲਗਾਂ ਨਾਲ ਛੋਟੇ ਫੋਕਸ ਗਰੁੱਪਾਂ ਵਿੱਚ ਗੱਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ ਪਰ ਫ਼ੋਨ 'ਤੇ ਵਾਧੂ ਵਿਅਕਤੀਆਂ ਦਾ ਵੀ ਇੰਟਰਵਿਊ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਜਦੋਂ ਅਧਿਐਨ ਪੂਰਾ ਹੋ ਗਿਆ, 18-29 ਸਾਲ ਦੇ 588 ਬਾਲਗਾਂ ਨੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਵਾਹਨ ਦੀ ਆਪਣੀ ਸੰਭਾਵੀ ਖਰੀਦ ਬਾਰੇ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿੱਤਾ ਸੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 159 ਨੇ ਕਿਹਾ ਸੀ ਕਿ ਉਹ ਅਜਿਹੀ ਖਰੀਦ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਗੇ। ਇਸ ਵੱਡੇ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ 18-29 ਸਾਲ ਦੇ ਬਾਲਗਾਂ ਦੇ ਸੱਚੇ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ 90% ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ "ਪਲੱਸ-ਫੋਰ" ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ 8.13 ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ n ਦੀ ਗਣਨਾ
ਜੇ ਖੋਜਕਰਤਾ ਇੱਕ ਖਾਸ ਮਾਰਜਿਨ ਆਫ਼ ਐਰਰ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ ਲੋੜੀਂਦੇ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਐਰਰ ਬਾਊਂਡ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਆਬਾਦੀ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ ਐਰਰ ਬਾਊਂਡ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ
EBP=( z α 2 )( p ′ q ′ n ) EBP=( z α 2 )( p ′ q ′ n )
Solving for n gives you an equation for the sample size.
n= ( z α 2 ) 2 ( p ′ q ′ ) EB P 2 n= ( z α 2 ) 2 ( p ′ q ′ ) EB P 2
Example 8.14
Problem
Suppose a mobile phone company wants to determine the current percentage of customers aged 50+ who use text messaging on their cell phones. How many customers aged 50+ should the company survey in order to be 90% confident that the estimated (sample) proportion is within three percentage points of the true population proportion of customers aged 50+ who use text messaging on their cell phones.
Solution
From the problem, we know that EBP = 0.03 (3%=0.03) and z α 2 z α 2 z0.05 = 1.645 because the confidence level is 90%.
However, in order to find n, we need to know the estimated (sample) proportion p′. Remember that q′ = 1 – p′. But, we do not know p′ yet. Since we multiply p′ and q′ together, we make them both equal to 0.5 because p′q′ = (0.5)(0.5) = 0.25 results in the largest possible product. (Try other products: (0.6)(0.4) = 0.24; (0.3)(0.7) = 0.21; (0.2)(0.8) = 0.16 and so on). The largest possible product gives us the largest n. This gives us a large enough sample so that we can be 90% confident that we are within three percentage points of the true population proportion. To calculate the sample size n, use the formula and make the substitutions.
n= z 2 p ′ q ′ EB P 2 n= z 2 p ′ q ′ EB P 2 gives n= 1.645 2 (0.5)(0.5) 0.03 2 =751.7 n= 1.645 2 (0.5)(0.5) 0.03 2 =751.7
Round the answer to the next higher value. The sample size should be 752 cell phone customers aged 50+ in order to be 90% confident that the estimated (sample) proportion is within three percentage points of the true population proportion of all customers aged 50+ who use text messaging on their cell phones.
Try It 8.14
Suppose an internet marketing company wants to determine the current percentage of customers who click on ads on their smartphones. How many customers should the company survey in order to be 90% confident that the estimated proportion is within five percentage points of the true population proportion of customers who click on ads on their smartphones?