In practice, we rarely know the population standard deviation. In the past, when the sample size was large, this did not present a problem to statisticians. They used the sample standard deviation s as an estimate for σ and proceeded as before to calculate a confidence interval with close enough results. However, statisticians ran into problems when the sample size was small. A small sample size caused inaccuracies in the confidence interval.
William S. Gosset (1876–1937) of the Guinness brewery in Dublin, Ireland ran into this problem. His experiments with hops and barley produced very few samples. Just replacing σ with s did not produce accurate results when he tried to calculate a confidence interval. He realized that he could not use a normal distribution for the calculation; he found that the actual distribution depends on the sample size. This problem led him to "discover" what is called the Student's t-distribution. The name comes from the fact that Gosset wrote under the pen name "Student."
Up until the mid-1970s, some statisticians used the normal distribution approximation for large sample sizes and used the Student's t-distribution only for sample sizes of at most 30. With graphing calculators and computers, the practice now is to use the Student's t-distribution whenever s is used as an estimate for σ.
If you draw a simple random sample of size n from a population that has an approximately normal distribution with mean μ and unknown population standard deviation σ and calculate the t-score t = x ¯ –μ ( s n ) x ¯ –μ ( s n ), then the t-scores follow a Student's t-distribution with n – 1 degrees of freedom. The t-score has the same interpretation as the z-score. It measures how far x ¯ x ¯ is from its mean μ. For each sample size n, there is a different Student's t-distribution.
The degrees of freedom, n – 1, come from the calculation of the sample standard deviation s. This calculation requires n deviations (x– x ¯ values) (x– x ¯ values). Because the sum of the deviations is zero, we can find the last deviation once we know the other n – 1 deviations. The other n – 1 deviations can change or vary freely. We call the number n – 1 the degrees of freedom (df).
The graph for the Student's t-distribution is similar to the standard normal curve.
The mean for the Student's t-distribution is zero and the distribution is symmetric about zero.
The Student's t-distribution has more probability in its tails than the standard normal distribution because the spread of the t-distribution is greater than the spread of the standard normal. So the graph of the Student's t-distribution will be thicker in the tails and shorter in the center than the graph of the standard normal distribution.
The exact shape of the Student's t-distribution depends on the degrees of freedom. As the degrees of freedom increases, the graph of Student's t-distribution becomes more like the graph of the standard normal distribution.
The underlying population of individual observations is assumed to be normally distributed with unknown population mean μ and unknown population standard deviation σ. The size of the underlying population is generally not relevant unless it is very small. If it is bell shaped (normal) then the assumption is met and doesn't need discussion. Random sampling is assumed, but that is a completely separate assumption from normality.
Calculators and computers can easily calculate any Student's t-probabilities. The TI-83,83+, and 84+ have a tcdf function to find the probability for given values of t. The grammar for the tcdf command is tcdf(lower bound, upper bound, degrees of freedom). However for confidence intervals, we need to use inverse probability to find the value of t when we know the probability.
For the TI-84+ you can use the invT command on the DISTRibution menu. The invT command works similarly to the invnorm. The invT command requires two inputs: invT(area to the left, degrees of freedom) The output is the t-score that corresponds to the area we specified. The TI-83 and 83+ do not have the invT command. (The TI-89 has an inverse T command.)
A probability table for the Student's t-distribution can also be used. The table gives t-scores that correspond to the confidence level (column) and degrees of freedom (row). (The TI-86 does not have an invT program or command, so if you are using that calculator, you need to use a probability table for the Student's t-Distribution.) When using a t-table, note that some tables are formatted to show the confidence level in the column headings, while the column headings in some tables may show only corresponding area in one or both tails. A Student's t table (See Appendix H Tables) gives t-scores given the degrees of freedom and the right-tailed probability. The table is very limited. Calculators and computers can easily calculate any Student's t-probabilities.
T ~ tdf where df = n – 1.
For example, if we have a sample of size n = 20 items, then we calculate the degrees of freedom as df = n - 1 = 20 - 1 = 19 and we write the distribution as T ~ t19.
If the population standard deviation is not known, the error bound for a population mean is:
EBM=( t α 2 )( s n ) EBM=( t α 2 )( s n ),
t σ 2 t σ 2 is the t-score with area to the right equal to α 2 α 2,
use df = n – 1 degrees of freedom, and
s = sample standard deviation.
The format for the confidence interval is: ( x ¯ −EBM, x ¯ +EBM) ( x ¯ −EBM, x ¯ +EBM).
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
To calculate the confidence interval directly: Press STAT. Arrow over to TESTS. Arrow down to 8:TInterval and press ENTER (or just press 8).
Example 8.8
Problem
Suppose you do a study of acupuncture to determine how effective it is in relieving pain. You measure sensory rates for 15 subjects with the results given. Use the sample data to construct a 95% confidence interval for the mean sensory rate for the population (assumed normal) from which you took the data. The solution is shown step-by-step and by using the TI-83, 83+, or 84+ calculators.
Solution
The first solution is step-by-step.
The second solution uses the TI-83+ and TI-84 calculators.
To find the confidence interval, you need the sample mean, x ¯ x ¯, and the EBM.
x ¯ x ¯ = 8.2267 s = 1.6722 n = 15
df = 15 – 1 = 14 CL so α = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05
α 2 α 2 = 0.025 t α 2 = t 0.025 t α 2 = t 0.025
The area to the right of t0.025 is 0.025, and the area to the left of t0.025 is 1 – 0.025 = 0.975
t α 2 = t 0.025 =2.14 t α 2 = t 0.025 =2.14 using invT(.975,14) on the TI-84+ calculator.
EBM=( t α 2 )( s n ) EBM=( t α 2 )( s n )
EBM=( 2.14 )( 1.6722 15 )=0.924 EBM=( 2.14 )( 1.6722 15 )=0.924
x ¯ x ¯ – EBM = 8.2267 – 0.9240 = 7.3
x ¯ x ¯ + EBM = 8.2267 + 0.9240 = 9.15
The 95% confidence interval is (7.30, 9.15).
We estimate with 95% confidence that the true population mean sensory rate is between 7.30 and 9.15.
ਹੱਲ
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ TESTS ਵੱਲ ਐਰੋ ਕਰੋ। 8:TInterval ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ (ਜਾਂ ਤੁਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ 8 ਦਬਾ ਸਕਦੇ ਹੋ)। Data ਵੱਲ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ। List ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਸ ਲਿਸਟ ਦਾ ਨਾਮ ਦਰਜ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ ਤੁਸੀਂ ਡਾਟਾ ਪਾਇਆ ਹੈ। Freq ਤੋਂ ਬਾਅਦ 1 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। C-level ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ 0.95 ਦਰਜ ਕਰੋ। Calculate ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ। 95% ਕਾਨਫੀਡੈਂਸ ਇੰਟਰਵਲ (7.3006, 9.1527) ਹੈ।
NOTE
ਜਦੋਂ ਗਲਤੀ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਟੂਡੈਂਟ ਦੇ t-ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਟੇਬਲ t-ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵੀ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਟੇਬਲ t-ਸਕੋਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਾਨਫੀਡੈਂਸ ਲੈਵਲ (ਕਾਲਮ) ਅਤੇ ਡਿਗਰੀਆਂ ਆਫ਼ ਫਰੀਡਮ (ਰੋ) ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; t-ਸਕੋਰ ਉੱਥੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਰੋ ਅਤੇ ਕਾਲਮ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਮਿਲਦੇ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.8
ਤੁਸੀਂ ਹਾਈਪਨੋਥੈਰੇਪੀ ਦਾ ਇੱਕ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਇਹ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਹਰ ਰਾਤ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨੀਂਦ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਾਉਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨਾਲ 12 ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਲਈ ਨੀਂਦ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਨੂੰ ਮਾਪਦੇ ਹੋ। ਆਬਾਦੀ (ਆਮ ਮੰਨੀ ਜਾਂਦੀ) ਲਈ ਨੀਂਦ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਦੇ ਔਸਤ ਲਈ 95% ਕਾਨਫੀਡੈਂਸ ਇੰਟਰਵਲ ਬਣਾਓ ਜਿਸ ਤੋਂ ਤੁਸੀਂ ਡਾਟਾ ਲਿਆ ਹੈ।
8.2; 9.1; 7.7; 8.6; 6.9; 11.2; 10.1; 9.9; 8.9; 9.2; 7.5; 10.5
ਉਦਾਹਰਨ 8.9
ਸਮੱਸਿਆ
ਦ ਹਿਊਮਨ ਟੌਕਸੋਮ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ (HTP) ਮਨੁੱਖੀ ਸਰੀਰ ਵਿੱਚ ਉਦਯੋਗਿਕ ਪ੍ਰਦੂਸ਼ਣ ਦੇ ਦਾਇਰੇ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਕੰਮ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਦਯੋਗਿਕ ਰਸਾਇਣ ਸਰੀਰ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦੂਸ਼ਣ ਰਾਹੀਂ ਜਾਂ ਖਪਤਕਾਰ ਉਤਪਾਦਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੱਗਰੀ ਵਜੋਂ ਦਾਖਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। HTP ਦੇ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਨੇ ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ 20 ਨਵਜੰਮੇ ਬੱਚਿਆਂ ਦੇ ਕੋਰਡ ਬਲੱਡ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਪਰਖੇ। "In utero/newborn" ਸਮੂਹ ਦੇ ਕੋਰਡ ਬਲੱਡ ਨੂੰ 430 ਉਦਯੋਗਿਕ ਮਿਸ਼ਰਣਾਂ, ਪ੍ਰਦੂਸ਼ਕਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਰਸਾਇਣਾਂ ਲਈ ਪਰਖਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦਿਮਾਗ ਅਤੇ ਨਰਵਸ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਜ਼ਹਿਰੀਤਾ, ਇਮਿਊਨ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਜ਼ਹਿਰੀਤਾ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਜਨਨ ਜ਼ਹਿਰੀਤਾ, ਅਤੇ ਜਣਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਰਸਾਇਣ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਕੁਝ ਰਸਾਇਣਾਂ ਦੇ ਦਿਮਾਗ ਅਤੇ ਨਰਵਸ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ ਪੈਣ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਬਾਰੇ ਸਿਹਤ ਚਿੰਤਾਵਾਂ ਹਨ। ਟੇਬਲ 8.3 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਬੱਚੇ ਦੇ ਕੋਰਡ ਬਲੱਡ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਾਨਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਕਿੰਨੇ ਰਸਾਇਣ ਮਿਲੇ ਸਨ।
ਰੋ: 79 | 145 | 147 | 160 | 116 | 100 | 159 | 151 | 156 | 126
ਰੋ: 137 | 83 | 156 | 94 | 121 | 144 | 123 | 114 | 139 | 99
ਬੱਚੇ ਦੇ ਖੂਨ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਨਿਸ਼ਾਨਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਉਦਯੋਗਿਕ ਰਸਾਇਣਾਂ ਦੀ ਔਸਤ ਲਈ 90% ਕਾਨਫੀਡੈਂਸ ਇੰਟਰਵਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇਸ ਨਮੂਨਾ ਡਾਟਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਨਮੂਨੇ ਤੋਂ, ਤੁਸੀਂ x̄ = 127.45 ਅਤੇ s = 25.965 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ 20 ਬੱਚੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ n = 20, ਅਤੇ df = 20 – 1 = 19।
ਤੁਹਾਨੂੰ 90% ਕਾਨਫੀਡੈਂਸ ਇੰਟਰਵਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ: CL = 0.90, ਇਸ ਲਈ α = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10 α/2 =0.05, t α/2 = t 0.05
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, t0.05 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 0.05 ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ t0.05 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ 1 – 0.05 = 0.95 ਹੈ।
ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ, ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ t0.05 = 1.729 ਹੈ।
EBM= t α/2 ( s/√n )=1.729( 25.965/√20 ) ≈ 10.038
x̄ – EBM = 127.45 – 10.038 = 117.412
x̄ + EBM = 127.45 + 10.038 = 137.488
ਅਸੀਂ 90% ਕਾਨਫੀਡੈਂਸ ਨਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਕੋਰਡ ਬਲੱਡ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਨਿਸ਼ਾਨਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਉਦਯੋਗਿਕ ਰਸਾਇਣਾਂ ਦੀ ਔਸਤ 117.412 ਅਤੇ 137.488 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ।
ਹੱਲ
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
1. ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਵਜੋਂ ਦਾਖਲ ਕਰੋ। STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ TESTS ਵੱਲ ਤੀਰ ਚਲਾਓ। 8:TInterval ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ (ਜਾਂ ਤੁਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ 8 ਦਬਾ ਸਕਦੇ ਹੋ)। Data ਵੱਲ ਤੀਰ ਚਲਾਓ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ। List ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ ਅਤੇ ਉਸ ਸੂਚੀ ਦਾ ਨਾਮ ਦਰਜ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ ਤੁਸੀਂ ਅੰਕੜੇ ਰੱਖੇ ਹਨ। Freq ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ ਅਤੇ 1 ਦਰਜ ਕਰੋ। C-level ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ ਅਤੇ 0.90 ਦਰਜ ਕਰੋ। Calculate ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ। 90% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ (117.41, 137.49) ਹੈ।
2. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.9
3. ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਔਸਤ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਟੈਲੀਵਿਜ਼ਨ ਦੇਖਣ ਵਿੱਚ ਬਿਤਾਏ ਕੁੱਲ ਘੰਟਿਆਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਸਾਰਣੀ 8.4 ਵਿੱਚ ਦਰਜ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਟੈਲੀਵਿਜ਼ਨ ਦੇਖਣ ਵਿੱਚ ਬਿਤਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਔਸਤ ਘੰਟਿਆਂ ਲਈ 98% ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇਸ ਨਮੂਨਾ ਡਾਟਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. ਕਤਾਰ: 0 | 3 | 1 | 20 | 9
5. ਕਤਾਰ: 5 | 10 | 1 | 10 | 4
6. ਕਤਾਰ: 14 | 2 | 4 | 4 | 5