1. ਸਿਖਲਾਈ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2. ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
3. ਬਹੁਪਦਾਂ, ਇੱਕਪਦੀਆਂ, ਦੋਪਦੀਆਂ, ਅਤੇ ਤਿੰਨਪਦੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ
4. ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੀ ਘਾਤ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ
5. ਇੱਕਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
6. ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
7. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
8. ਤਿਆਰੀ 10.1
9. ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
10. ਸਰਲ ਕਰੋ: 8x+3x. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.22 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
11. ਤਿਆਰੀ 10.2
12. ਘਟਾਓ: (5n+8)−(2n−1). ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.29 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
13. ਤਿਆਰੀ 10.3
14. ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: 4y^2 ਜਦੋਂ y=5। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.18 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
15. ਬਹੁਪਦਾਂ, ਇੱਕਪਦੀਆਂ, ਦੋਪਦੀਆਂ, ਅਤੇ ਤਿੰਨਪਦੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ
16. ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਸਰਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਪਦ ਇੱਕ ਅਚੱਲ ਜਾਂ ਇੱਕ ਅਚੱਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ। ਅਚੱਲ ਨੂੰ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਹ ax^m ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਇੱਕ ਅਚੱਲ ਹੈ ਅਤੇ m ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਇੱਕਪਦੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕਪਦੀ, ਜਾਂ ਇੱਕਪਦੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ/ਅਤੇ/ਜਾਂ ਘਟਾਓ, ਨੂੰ ਬਹੁਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
17. ਬਹੁਪਦ
18. ਬਹੁਪਦ—ਇੱਕ ਇੱਕਪਦੀ, ਜਾਂ ਦੋ ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ ਇੱਕਪਦੀਆਂ, ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦੁਆਰਾ ਸੰਯੁਕਤ
19. ਇੱਕਪਦੀ—ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਪਦ ਵਾਲਾ ਬਹੁਪਦ
20. ਦੋਪਦੀ—ਬਿਲਕੁਲ ਦੋ ਪਦ ਵਾਲਾ ਬਹੁਪਦ
21. ਤਿੰਨਪਦੀ—ਬਿਲਕੁਲ ਤਿੰਨ ਪਦ ਵਾਲਾ ਬਹੁਪਦ
22. ਜੜ੍ਹਾਂ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ:
23. ਪੌਲੀ- ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ
24. ਮੋਨੋ- ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਇੱਕ
bi- means two
tri- means three
Here are some examples of polynomials:
row: Polynomial | b+1b+1 | 4y2−7y+24y2−7y+2 | 5x5−4x4+x3+8x2−9x+15x5−4x4+x3+8x2−9x+1
row: Monomial | 55 | 4b24b2 | −9x3−9x3
row: Binomial | 3a−73a−7 | y2−9y2−9 | 17x3+14x217x3+14x2
row: Trinomial | x2−5x+6x2−5x+6 | 4y2−7y+24y2−7y+2 | 5a4−3a3+a5a4−3a3+a
Notice that every monomial, binomial, and trinomial is also a polynomial. They are special members of the family of polynomials and so they have special names. We use the words ‘monomial’, ‘binomial’, and ‘trinomial’ when referring to these special polynomials and just call all the rest ‘polynomials’.
Example 10.1
Determine whether each polynomial is a monomial, binomial, trinomial, or other polynomial:
ⓐ 8x2−7x−98x2−7x−9
ⓑ −5a4−5a4
ⓒ x4−7x3−6x2+5x+2x4−7x3−6x2+5x+2
ⓓ 11−4y311−4y3
ⓔ nn
Solution
row: Polynomial | Number of terms | Type
row: ⓐ | 8x2−7x−98x2−7x−9 | 3 | Trinomial
row: ⓑ | −5a4−5a4 | 1 | Monomial
row: ⓒ | x4−7x3−6x2+5x+2x4−7x3−6x2+5x+2 | 5 | Polynomial
row: ⓓ | 11−4y311−4y3 | 2 | Binomial
row: ⓔ | nn | 1 | Monomial
Try It 10.1
Determine whether each polynomial is a monomial, binomial, trinomial, or other polynomial.
ⓐ zz
ⓑ 2x3−4x2−x−8
ⓒ 6x2−4x+1
ⓓ 9−4y2
ⓔ 3x7
ⓕ 10.2 ਅਜ਼ਮਾਓ
ⓖ ਹਰ ਬਹੁਪਦ ਇੱਕਪਦੀ, ਦੋਪਦੀ, ਤਿੰਨਪਦੀ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਬਹੁਪਦ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ⓗ y3−8
ⓘ 9x3−5x2−x
ⓙ x4−3x2−4x−7
ⓚ −y4
ⓛ ww
ⓜ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੀ ਘਾਤ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ
ⓝ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਵਿੱਚ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਕ ਹੋਵੇਗਾ। ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਘਾਤ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਘਾਤ ਪਰਿਵਰਤਕ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ⓞ ਜਿਸ ਇੱਕਪਦੀ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਪਰਿਵਰਤਕ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਅਚੱਲ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇ, ਉਹ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਥਿਤੀ ਹੈ। ਅਚੱਲ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਘਾਤ 0 ਹੁੰਦੀ ਹੈ—ਇਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਪਰਿਵਰਤਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ⓟ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਘਾਤ
ⓠ ਪਦ ਦੀ ਘਾਤ ਉਸਦੇ ਪਰਿਵਰਤਕ ਦੀ ਘਾਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ⓡ ਅਚੱਲ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਘਾਤ 0 ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ⓢ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਘਾਤ ਉਸਦੇ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੀ ਘਾਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ⓣ ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਕਈ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਕਦਮ-ਦਰ-ਕਦਮ ਕਰਾਂਗੇ, ਇੱਕਪਦੀਆਂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਵਧੇਰੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਵੱਲ ਵਧਾਂਗੇ।
ⓤ ਯਾਦ ਰੱਖੋ: ਬਿਨਾਂ ਘਾਤ ਦੇ ਲਿਖੀ ਗਈ ਕੋਈ ਵੀ ਬੇਸ (ਆਧਾਰ) 1 ਦੀ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਘਾਤ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।
ⓥ ਉਦਾਹਰਨ 10.2
ⓦ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੀ ਘਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ:
ⓧ 4x
3x3−5x+7
−11
−6x2+9x−3
8x+2
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ⓐ | 4x4x
ਸਤਰ: xx ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ ਇੱਕ ਹੈ। x=x1x=x1 | ਘਾਤ ਅੰਕ 1 ਹੈ।
ਸਤਰ: ⓑ | 3x3−5x+73x3−5x+7
ਸਤਰ: ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਘਾਤ ਅੰਕ 3 ਹੈ। | ਘਾਤ ਅੰਕ 3 ਹੈ
ਸਤਰ: ⓒ | −11−11
ਸਤਰ: ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। | ਘਾਤ ਅੰਕ 0 ਹੈ।
ਸਤਰ: ⓓ | −6x2+9x−3−6x2+9x−3
ਸਤਰ: ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਘਾਤ ਅੰਕ 2 ਹੈ। | ਘਾਤ ਅੰਕ 2 ਹੈ।
ਸਤਰ: ⓔ | 8x+28x+2
ਸਤਰ: ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਘਾਤ ਅੰਕ 1 ਹੈ। | ਘਾਤ ਅੰਕ 1 ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.3
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ:
ⓐ −6y−6y
ⓑ 4x−14x−1
ⓒ 3x4+4x2−83x4+4x2−8
ⓓ 2y2+3y+92y2+3y+9
ⓔ −18−18
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.4
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ:
1. 4747
2. 2x²−8x+22x²−8x+2
3. x⁴−16x⁴−16
4. y⁵−5y³+yy⁵−5y³+y
5. 9a³9a³
6. ਬਹੁਪਦਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਸੌਖਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਦੇ ਘਟਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਜਦੋਂ ਬਹੁਪਦ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10.2 ਵਿੱਚ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਉਹ ਸਾਰੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਗਏ ਹਨ। ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਲਿਖਣ ਦੀ ਆਦਤ ਪਾਓ।
7. ਮੋਨੋਮੀਅਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ
8. ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ। ਮੋਨੋਮੀਅਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਘਾਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਸਮੇਂ ਸਿਰਫ਼ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਦੇ ਵੀ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਨਹੀਂ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 10.3
10. ਜੋੜੋ: 17x²+6x²17x²+6x²
11. ਹੱਲ
12. ਕਤਾਰ: 17x²+6x²17x²+6x²
13. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | 23x²23x²
14. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.5
15. ਜੋੜੋ: 12x²+5x²12x²+5x²
16. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.6
17. ਜੋੜੋ: −11y²+8y²−11y²+8y²
18. ਉਦਾਹਰਨ 10.4
19. ਘਟਾਓ: 11n−(−8n)11n−(−8n)
20. ਹੱਲ
21. ਕਤਾਰ: 11n−(−8n)11n−(−8n)
22. ਕਤਾਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | 19n19n
23. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.7
24. ਘਟਾਓ: 9n−(−5n)9n−(−5n)
1. ਯਤਨ ਕਰੋ 10.8
2. ਘਟਾਓ: −7a3−(−5a3).
3. ਉਦਾਹਰਨ 10.5
4. ਸਰਲ ਕਰੋ: a2+4b2−7a2.
5. ਹੱਲ
6. ਸਤਰ: a2+4b2−7a2
7. ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। | −6a2+4b2
8. ਯਾਦ ਰੱਖੋ, −6a2−6a2 ਅਤੇ 4b24b2 ਸਮਾਨ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਚੱਲ (variables) ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਨਹੀਂ ਹਨ।
9. ਯਤਨ ਕਰੋ 10.9
10. ਜੋੜੋ: 3x2+3y2−5x2.
11. ਯਤਨ ਕਰੋ 10.10
12. ਜੋੜੋ: 2a2+b2−4a2.
13. ਬਹੁਪਦਾਂ (Polynomials) ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
14. ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ ਕੇਵਲ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਵਾਂਗ ਹੀ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ—ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਚੱਲਾਂ (variables) ਅਤੇ ਘਾਤ (exponents) ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹੋਣ। ਕ੍ਰਮ ਬਦਲਣ ਦੇ ਗੁਣ (Commutative Property) ਸਾਨੂੰ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਰੱਖਣ ਲਈ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਅੰਡਰਲਾਈਨ, ਚੱਕਰ ਜਾਂ ਬਾਕਸ ਕਰਨਾ ਵੀ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
15. ਉਦਾਹਰਨ 10.6
16. ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ: (4x2−5x+1)+(3x2−8x−9).
17. ਹੱਲ
18. ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
19. ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਕਰਨ ਲਈ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ।
20. ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
21. ਯਤਨ ਕਰੋ 10.11
22. ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ: (3x2−2x+8)+(x2−6x+2).
23. ਯਤਨ ਕਰੋ 10.12
24. ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ: (7y2+4y−6)+(4y2+5y+1).
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ (polynomials) ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ 10.6 ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕੋਠੜੀਆਂ (parentheses) ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਵਿਅੰਜਨ (expression) ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ (like terms) ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ (signs) ਦਾ ਬਹੁਤ ਧਿਆਨ ਰੱਖਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.7
ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ: (7u2−5u+3)−(4u2−2)।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਵੰਡੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 10.13
ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ: (6y2+3y−1)−(3y2−4)।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 10.14
ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ: (8u2−7u−2)−(5u2−6u−4)।
ਉਦਾਹਰਨ 10.8
(9m2−7m+4) ਵਿੱਚੋਂ (m2−3m+8) ਨੂੰ ਘਟਾਓ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਵੰਡੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 10.15
(8n2+5n−3) ਵਿੱਚੋਂ (4n2−7n−3) ਨੂੰ ਘਟਾਓ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 10.16
(6a2+4a−1) ਵਿੱਚੋਂ (a2−4a−9) ਨੂੰ ਘਟਾਓ।
ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਬਹੁਪਦ ਵਿਅੰਜਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਉਹੀ ਵਿਧੀਆਂ ਅਪਣਾਵਾਂਗੇ—ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਚੱਲ (variable) ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.9
1. 3x^2−9x+7 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ
2. ⓐ x=3
3. ⓑ x=−1
4. ਹੱਲ
5. ਕਤਾਰ: ⓐ x=3
6. ਕਤਾਰ: 3x^2−9x+7
7. ਕਤਾਰ: x ਦੀ ਥਾਂ 3 ਪਾਓ | 3(3)^2−9(3)+7
8. ਕਤਾਰ: ਘਾਤ ਵਾਲੀ ਪਦ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | 3·9−9(3)+7
9. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 27−27+7
10. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 7
11. ਕਤਾਰ: ⓑ x=−1
12. ਕਤਾਰ: 3x^2−9x+7
13. ਕਤਾਰ: x ਦੀ ਥਾਂ −1 ਪਾਓ | 3(−1)^2−9(−1)+7
14. ਕਤਾਰ: ਘਾਤ ਵਾਲੀ ਪਦ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। | 3·1−9(−1)+7
15. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 3+9+7
16. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | 19
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.17
18. ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: 2x^2+4x−3 ਜਦੋਂ
19. ⓐ x=2
20. ⓑ x=−3
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.18
22. ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: 7y^2−y−2 ਜਦੋਂ
23. ⓐ y=−4
24. ⓑ y=0
1. ਦਸਾਂ ਦਾ ਦਸ (Dasān dā das)
ਬਹੁਪਦੀ −16t2+300−16t2+300, t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ 300 ਫੁੱਟ ਉੱਚੇ ਪੁਲ ਤੋਂ ਸੁੱਟੇ ਗਏ ਪਿੰਡ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦੱਸਦੀ ਹੈ। t=3 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਹੱਲ
1. ਕਤਾਰ: 3 ਨੂੰ ਟੀਟੀ ਨਾਲ ਬਦਲੋ
1. ਘਾਤ ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
1. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 10.19
−8t^2+24t+4−8t^2+24t+4 ਬਹੁਪਦ, ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਸੁੱਟੇ ਜਾਣ ਤੋਂ t ਸਕਿੰਟ ਬਾਅਦ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ, ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੱਸਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਉਚਾਈ 44 ਫੁੱਟ ਹੈ। t=3t=3 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.20
−8t^2+24t+4−8t^2+24t+4 ਬਹੁਪਦੀ, ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਸੁੱਟੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ (ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ) ਦੱਸਦੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ x ਸੈਕਿੰਡ ਬੀਤ ਚੁੱਕੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਉਚਾਈ 44 ਫੁੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। t=2t=2 ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਮੀਡੀਆ
ACCESS ADDITIONAL ONLINE RESOURCES
1. ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣਾ
ਅਭਿਆਸ ਨਾਲ ਪਰਪੱਕਤਾ ਆਉਂਦੀ ਹੈ
1. ਬਹੁਪਦੀਆਂ, ਇਕਪਦੀਆਂ, ਦੋਪਦੀਆਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨਪਦੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਬਹੁਪਦ ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ, ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ, ਟ੍ਰਾਈਨੋਮੀਅਲ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਬਹੁਪਦ ਹੈ।
5 x + 2 5 x + 2
2 − 5 − 6
ਇੱਕ 2 + 9 ਇੱਕ + 18 ਇੱਕ 2 + 9 ਇੱਕ + 18
−੧੨ ਪ ੪ −੧੨ ਪ ੪
y 3 − 8 y 2 + 2 y − 16 y 3 − 8 y 2 + 2 y − 16
1. 10 − 9 x 10 − 9 x
23 y 2 23 y 2
1. ਚਾਰ ਅਤੇ ਚਾਰ, ਤਿੰਨ ਅਤੇ ਛੇ, ਦੋ ਅਤੇ ਚਾਰ, ਇੱਕ ਅਤੇ ਇੱਕ
ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
8 ਅ 5 − 2 ਅ 3 + 18 ਅ 5 − 2 ਅ 3 + 1
5 c 3 + 11 c 2 − c − 8 5 c 3 + 11 c 2 − c − 8
3x - 12 = 3x - 12
4 ਯ + 17 ਯ + 17
−੧੩ −੧੩
−੨੨ −੨੨
1. ਇੱਕ ਪਦੀਆਂ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਮੋਨੋਮੀਅਲ (ਇਕਪਦੀ) ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
ਛੇ ਗੁਣਾ ਦੋ ਜੋੜ ਨੌਂ ਗੁਣਾ ਦੋ ਛੇ ਗੁਣਾ ਦੋ ਜੋੜ ਨੌਂ ਗੁਣਾ ਦੋ
4y 3 + 6 y 3 4y 3 + 6 y 3
−੧੨ u + ੪ u −੧੨ u + ੪ u
−3 ਮ + 9 ਮ −3 ਮ + 9 ਮ
5 ਏ + 7 ਬੀ 5 ਏ + 7 ਬੀ
8 ਯ + 6 ਜ਼ 8 ਯ + 6 ਜ਼
4a,−3b,−8a4a,−3b,−8a
4x,3y,−3x4x,3y,−3x
੧੮ x − ੨ x ੧੮ x − ੨ x
1. 13 ਅ - 3 ਅ 13 ਅ - 3 ਅ
−12x6 ਵਿੱਚੋਂ 5x6 ਘਟਾਓ
−7p4 ਵਿੱਚੋਂ 2p4 ਘਟਾਓ
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
( 4 y 2 + 10 y + 3 ) + ( 8 y 2 − 6 y + 5 )
( 7 x 2 − 9 x + 2 ) + ( 6 x 2 − 4 x + 3 )
( x 2 + 6 x + 8 ) + ( −4 x 2 + 11 x − 9 )
( y 2 + 9 y + 4 ) + ( −2 y 2 − 5 y − 1 )
( 3 a 2 + 7 ) + ( a 2 − 7 a − 18 )
( p 2 − 5 p − 11 ) + ( 3 p 2 + 9 )
( 6 m 2 − 9 m − 3 ) − ( 2 m 2 + m − 5 )
( 3 n 2 − 4 n + 1 ) − ( 4 n 2 − n − 2 )
( z 2 + 8 z + 9 ) − ( z 2 − 3 z + 1 )
( z 2 − 7 z + 5 ) − ( z 2 − 8 z + 6 )
( 12 s 2 − 15 s ) − ( s − 9 )
( 10 r 2 − 20 r ) − ( r − 8 )
(2p3−8) ਅਤੇ (p2+9p+18) ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
(q2+4q+13) ਅਤੇ (7q3−3) ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
(8x2−x+6) ਵਿੱਚੋਂ (7x2−4x+2) ਘਟਾਓ।
(9x2−6x−20) ਵਿੱਚੋਂ (5x2−x+12) ਘਟਾਓ।
(w2+w−42) ਅਤੇ (w2−10w+24) ਦਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
(z2−3z−18) ਅਤੇ (z2+5z−20) ਦਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲ ਲਈ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8 y 2 − 3 y + 2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
y=5
y=−2
ⓒ y=0y=0
Evaluate 5 y 2 − y − 7 when: Evaluate 5 y 2 − y − 7 when:
ⓐ y=−4y=−4
ⓑ y=1y=1
ⓒ y=0y=0
Evaluate 4 − 36 x when: Evaluate 4 − 36 x when:
ⓐ x=3x=3
ⓑ x=0x=0
ⓒ x=−1x=−1
Evaluate 16 − 36 x 2 when: Evaluate 16 − 36 x 2 when:
ⓐ x=−1x=−1
ⓑ x=0x=0
ⓒ x=2x=2
A window washer drops a squeegee from a platform 275275 feet high. The polynomial −16t2+275−16t2+275 gives the height of the squeegee tt seconds after it was dropped. Find the height after t=4t=4 seconds.
A manufacturer of microwave ovens has found that the revenue received from selling microwaves at a cost of p dollars each is given by the polynomial −5p2+350p.−5p2+350p. Find the revenue received when p=50p=50 dollars.
Everyday Math
Fuel Efficiency The fuel efficiency (in miles per gallon) of a bus going at a speed of xx miles per hour is given by the polynomial −1160x2+12x.−1160x2+12x. Find the fuel efficiency when x=40mph.x=40mph.
Stopping Distance The number of feet it takes for a car traveling at xx miles per hour to stop on dry, level concrete is given by the polynomial 0.06x2+1.1x.0.06x2+1.1x. Find the stopping distance when x=60mph.x=60mph.
Writing Exercises
Using your own words, explain the difference between a monomial, a binomial, and a trinomial.
Eloise thinks the sum 5x2+3x45x2+3x4 is 8x6.8x6. What is wrong with her reasoning?
Self Check
ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.
ⓑ If most of your checks were:
…ਹੌਂਸਲੇ ਨਾਲ। ਵਧਾਈਆਂ! ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ। ਉਹਨਾਂ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਵਰਤੀਆਂ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖ ਸਕੋ। ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਦੀ ਆਪਣੀ ਯੋਗਤਾ ਬਾਰੇ ਕਿਵੇਂ ਯਕੀਨ ਕੀਤਾ? ਖਾਸ ਦੱਸੋ।
…ਕੁਝ ਮਦਦ ਨਾਲ। ਇਸ ਦਾ ਜਲਦੀ ਨਿਬੇੜਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਵਿਸ਼ੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਮੁਹਾਰਤ ਹਾਸਲ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ, ਤੁਹਾਡੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੜਕ ਵਿੱਚ ਟੋਏ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਵਿਸ਼ਾ ਪਿਛਲੇ ਕੰਮ 'ਤੇ ਉਸਾਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਤੁਹਾਡਾ ਨੀਂਹ ਮਜ਼ਬੂਤ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਮਦਦ ਲਈ ਕਿਸ ਨੂੰ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਹਾਡੇ ਸਾਥੀ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਅਤੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਚੰਗੇ ਸਰੋਤ ਹਨ। ਕੀ ਕੈਂਪਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਜਗ੍ਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਟਿਊਟਰ ਉਪਲਬਧ ਹਨ? ਕੀ ਤੁਹਾਡੇ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸੁਧਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
…ਨਹੀਂ—ਮੈਨੂੰ ਸਮਝ ਨਹੀਂ ਆ ਰਿਹਾ! ਇਹ ਇੱਕ ਚੇਤਾਵਨੀ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਤੁਰੰਤ ਮਦਦ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਤੁਸੀਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਹਾਵੀ ਹੋ ਜਾਵੋਗੇ। ਆਪਣੀ ਸਥਿਤੀ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿੰਨੀ ਜਲਦੀ ਹੋ ਸਕੇ ਆਪਣੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਨੂੰ ਮਿਲੋ। ਇਕੱਠੇ ਤੁਸੀਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਦਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ।