ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੱਢਣ ਲਈ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.15
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
5656 ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.48 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.16
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: −3(6a+11)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 7.25 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 10.17
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 4x2(x2+3x−1)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 10.32 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਕਰਾਂਗੇ; ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਇਸਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਾਂਗੇ। ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਜ (LCM) ਲੱਭਣ ਲਈ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭਾਂਗੇ। ਜਿਹੜਾ ਤਰੀਕਾ ਅਸੀਂ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ LCM ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਸੀ।
ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ
ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜੋ ਸਾਰੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.80
24 ਅਤੇ 36 ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਕਦਮ 1: ਹਰੇਕ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਸਾਰੇ ਚਰਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | 24 ਅਤੇ 36 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਸਤਰ: ਕਦਮ 2: ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ--ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਮੇਲੋ।
ਸਤਰ: ਹਰੇਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ, ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਘੇਰੋ। | 2, 2, ਅਤੇ 3 ਨੂੰ ਘੇਰੋ ਜੋ ਦੋਵਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਾਂਝੇ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਸਤਰ: ਕਦਮ 3: ਉਹ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਆਓ ਜੋ ਸਾਰੇ ਸਮੀਕਰਨ ਸਾਂਝੇ ਕਰਦੇ ਹਨ। | 2, 2, 3 ਨੂੰ ਲਿਆਓ ਅਤੇ ਫਿਰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
24. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 24 ਅਤੇ 36 ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ 12 ਹੈ।
24. ਇਹ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿਉਂਕਿ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ ਦੋਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਜਕ ਹੈ, 2424 ਅਤੇ 3636 ਨੂੰ 12.12 ਦੇ ਗੁਣਕ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.159
24. ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ ਪਤਾ ਕਰੋ: 54,36.54,36.
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.160
24. ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ ਪਤਾ ਕਰੋ: 48,80.48,80.
24. ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਥਿਰ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਬੀਜਗਣਤੀਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ ਚਰਾਂਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਚੁੱਕਿਆ ਹੋਇਆ ਅਤੇ ਗੁਣਕਾਂ ਸਮੇਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ।
24. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
24. ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
24. ਕਦਮ 1. ਹਰੇਕ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਤੋੜੋ। ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਚਰਾਂਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
24. ਕਦਮ 2. ਸਾਰੇ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ—ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਮੇਲੋ। ਹਰੇਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ, ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਘੇਰੋ।
24. ਕਦਮ 3. ਉਹ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ ਜੋ ਸਾਰੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਹਨ।
24. ਕਦਮ 4. ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 10.81
24. 5x ਅਤੇ 15 ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।5x ਅਤੇ 15.
24. ਹੱਲ
24. ਕਤਾਰ: ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਤੋੜੋ। ਹਰੇਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਘੇਰੋ। ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ।
24. ਕਤਾਰ: 5x ਅਤੇ 15 ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ 5 ਹੈ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.161
24. ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ ਪਤਾ ਕਰੋ: 7y,14.7y,14.
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 10.162
24. ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ ਪਤਾ ਕਰੋ: 22,11m.22,11m.
24. ਹੁਣ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਸੀ। ਅਗਲੀਆਂ ਦੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ ਵਿੱਚ ਚਰਾਂਸ਼ ਮਿਲਣਗੇ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 10.82
12x^212x^2 ਅਤੇ 18x^318x^3 ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਹਰੇਕ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। ਹਰੇਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੋਲ ਕਰੋ। ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ। ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
row: The GCF of12x2and18x3is6x2The GCF of12x2and18x3is6x2
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.163
ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ: 16x^2,24x^3.16x^2,24x^3.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.164
ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ: 27y^3,18y^4.27y^3,18y^4.
ਉਦਾਹਰਨ 10.83
14x^3,8x^2,10x14x^3,8x^2,10x ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਹਰੇਕ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। ਹਰੇਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੋਲ ਕਰੋ। ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ। ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: 14x^3 ਅਤੇ 8x^2, ਅਤੇ 10x ਦਾ GCF 2x ਹੈ। 14x^3 ਅਤੇ 8x^2, ਅਤੇ 10x ਦਾ GCF 2x ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.165
ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ: 21x^3,9x^2,15x.21x^3,9x^2,15x.
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.166
ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ: 25m^4,35m^3,20m^2.25m^4,35m^3,20m^2.
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅੰਕਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਜਿੱਥੇ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣਾ ਕਈ ਵਾਰ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 12 ਨੂੰ 2·6 ਜਾਂ 3·4 ਵਜੋਂ), ਅਲਜਬਰਾ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੀਅਲ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ:
ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 2x+14,2x+14, ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ, 2(x+7).2(x+7), ਨਾਲ ਖਤਮ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ ਨੂੰ "ਉਲਟਾ" ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ
ਜੇਕਰ a,b,ca,b,c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ
ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਰੂਪ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਰੂਪ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦਾ GCF ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ!
ਉਦਾਹਰਨ 10.84
ਗੁਣਨਖੰਡ: 2x+14
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ: ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਲੱਭੋ। | 2x ਅਤੇ 14 ਦਾ GCF ਲੱਭੋ।
ਸਤਰ: ਦੂਜਾ ਕਦਮ: ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ GCF ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। | 2x ਅਤੇ 14 ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ GCF, 2, ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। 2x = 2⋅x 14 = 2⋅7
ਸਤਰ: ਤੀਜਾ ਕਦਮ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਿਤਕਰ ਪ੍ਰਪੰਚ (Distributive Property) ਨੂੰ 'ਉਲਟੇ' ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵਰਤੋ। | 2(x+7)
ਸਤਰ: ਚੌਥਾ ਕਦਮ: ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। | ਜਾਂਚ:
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.167
ਗੁਣਨਖੰਡ: 4x+12
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.168
ਗੁਣਨਖੰਡ: 6a+24
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਉਦਾਹਰਨ 10.84 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ 'ਗੁਣਨਖੰਡ' ਸ਼ਬਦ ਨੂੰ ਨਾਮ ਅਤੇ ਕਿਰਿਆ ਦੋਵਾਂ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਹੈ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਕੱਢ ਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ। ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਲੱਭੋ।
ਦੂਜਾ ਕਦਮ। ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ GCF ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਤੀਜਾ ਕਦਮ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਿਤਕਰ ਪ੍ਰਪੰਚ (Distributive Property) ਨੂੰ 'ਉਲਟੇ' ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵਰਤੋ।
ਚੌਥਾ ਕਦਮ। ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 10.85
ਗੁਣਨਖੰਡ: 3a+3
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ GCF ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: GCF ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਿਤਕਰ ਪ੍ਰਪੰਚ (Distributive Property) ਨੂੰ 'ਉਲਟੇ' ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵਰਤੋ।
ਸਤਰ: ਮੂਲ ਬਹੁਪਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 10.169
9a+9.9a+9 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
10.170 ਅਜ਼ਮਾਓ
11x+11.11x+11 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਵਿੱਚ ਕਈ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਨੂੰ ਸਾਰੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ ਹੈ।
10.86 ਉਦਾਹਰਨ
12x−60.12x−60 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਸਤਰ: ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
10.171 ਅਜ਼ਮਾਓ
11x−44.11x−44 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
10.172 ਅਜ਼ਮਾਓ
13y−52.13y−52 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਵਿਅੰਜਕ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਕੱਢਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਤਿੰਨ ਪਦਾਂ ਦੇ GCF ਨੂੰ ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
10.87 ਉਦਾਹਰਨ
3y2+6y+9.3y2+6y+9 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
10.173 ਅਜ਼ਮਾਓ
4y2+8y+12.4y2+8y+12 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
10.174 ਅਜ਼ਮਾਓ
Factor: 6x2+42x−12.6x2+42x−12.
In the next example, we factor a variable from a binomial.
Example 10.88
Factor: 6x2+5x.6x2+5x.
Solution
row: 6x2+5x6x2+5x
row: Find the GCF of 6x26x2 and 5x5x and the math that goes with it.
row: Rewrite each term as a product.
row: Factor the GCF. | x(6x+5)x(6x+5)
row: Check by multiplying.
row: x(6x+5)x(6x+5)x⋅6x+x⋅5x⋅6x+x⋅56x2+5x✓6x2+5x✓
Try It 10.175
Factor: 9x2+7x.9x2+7x.
Try It 10.176
Factor: 5a2−12a.5a2−12a.
When there are several common factors, as we’ll see in the next two examples, good organization and neat work helps!
Example 10.89
Factor: 4x3−20x2.4x3−20x2.
Solution
row: Rewrite each term.
row: Factor the GCF.
row: Check.
Try It 10.177
Factor: 2x3+12x2.2x3+12x2.
1. ਯਤਨ ਕਰੋ 10.178
2. ਗੁਣਨਖੰਡ: 6y³−15y²
3. ਉਦਾਹਰਨ 10.90
4. ਗੁਣਨਖੰਡ: 21y²+35y
5. ਹੱਲ
6. ਕਤਾਰ: 21y² ਅਤੇ 35y ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਪਤਾ ਕਰੋ।
7. ਕਤਾਰ: ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
8. ਕਤਾਰ: ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
9. ਯਤਨ ਕਰੋ 10.179
10. ਗੁਣਨਖੰਡ: 18y²+63y
11. ਯਤਨ ਕਰੋ 10.180
12. ਗੁਣਨਖੰਡ: 32k²+56k
13. ਉਦਾਹਰਨ 10.91
14. ਗੁਣਨਖੰਡ: 14x³+8x²−10x
15. ਹੱਲ
16. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ 14x³, 8x², ਅਤੇ 10x ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) 2x ਪਾਇਆ ਸੀ।
17. ਕਤਾਰ: 14x³+8x²−10x
18. ਕਤਾਰ: ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF), 2x, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
19. ਕਤਾਰ: ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | 2x(7x²+4x−5)
20. ਯਤਨ ਕਰੋ 10.181
21. ਗੁਣਨਖੰਡ: 18y³−6y²−24y
22. ਯਤਨ ਕਰੋ 10.182
23. ਗੁਣਨਖੰਡ: 16x³+8x²−12x
24. ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ, ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਵਜੋਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ।
Example 10.92
Factor: −9y−27.−9y−27.
Solution
row: When the leading coefficient is negative, the GCF will be negative. Ignoring the signs of the terms, we first find the GCF of 9y and 27 is 9.
row: Since the expression −9y−27 has a negative leading coefficient, we use −9 as the GCF.
row: −9y − 27−9y − 27
row: Rewrite each term using the GCF.
row: Factor the GCF. | −9(y+3)−9(y+3)
Try It 10.183
Factor: −5y−35.−5y−35.
Try It 10.184
Factor: −16z−56.−16z−56.
Pay close attention to the signs of the terms in the next example.
Example 10.93
Factor: −4a2+16a.−4a2+16a.
Solution
row: The leading coefficient is negative, so the GCF will be negative.
row: Since the leading coefficient is negative, the GCF is negative, −4a.
row: −4a2+16a−4a2+16a
row: Rewrite each term.
row: Factor the GCF. | −4a(a−4)−4a(a−4)
row: Check on your own by multiplying.
Try It 10.185
Factor: −7a2+21a.−7a2+21a.
1. 10.186 ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ
2. ਗੁਣਨਖੰਡ: −6x²+x.−6x²+x.
3. ਮੀਡੀਆ
ACCESS ADDITIONAL ONLINE RESOURCES
Factor GCF
4. ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ
Identify GCF
5. ਅਭਿਆਸ ਪਰਫੈਕਟ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ
6. ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ
7. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. 40 , 56 40 , 56
9. 45 , 75 45 , 75
10. 72 , 162 72 , 162
11. 150 , 275 150 , 275
12. 3 x , 12 3 x , 12
13. 4 y , 28 4 y , 28
14. 10 a , 50 10 a , 50
15. 5 b , 30 5 b , 30
16. 16 y , 24 y² 16 y , 24 y²
17. 9 x , 15 x² 9 x , 15 x²
18. 18 m³, 36 m² 18 m³, 36 m²
19. 12 p⁴, 48 p³ 12 p⁴, 48 p³
20. 10 x, 25 x², 15 x³ 10 x, 25 x², 15 x³
21. 18 a, 6 a², 22 a³ 18 a, 6 a², 22 a³
22. 24 u, 6 u², 30 u³ 24 u, 6 u², 30 u³
23. 40 y, 10 y², 90 y³ 40 y, 10 y², 90 y³
24. 15 a⁴, 9 a⁵, 21 a⁶ 15 a⁴, 9 a⁵, 21 a⁶
35 ਗੁਣਾ 3, 10 ਗੁਣਾ 4, 5 ਗੁਣਾ 5
27 ਵਾਈ 2, 45 ਵਾਈ 3, 9 ਵਾਈ 4
14 ਬੀ 2, 35 ਬੀ 3, 63 ਬੀ 4
ਬਹੁਪਦ ਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਕੱਢੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਬਹੁਪਦ ਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਕੱਢੋ।
2 x + 8
5 y + 15
3 a − 24
4 b − 20
9 y − 9
7 x − 7
5 m 2 + 20 m + 35
3 n 2 + 21 n + 12
8 p 2 + 32 p + 48
6 q 2 + 30 q + 42
8 q 2 + 15 q
9 c 2 + 22 c
13 k 2 + 5 k
17 x 2 + 7 x
5 c 2 + 9 c
4 q 2 + 7 q
5 p 2 + 25 p
3 r 2 + 27 r
24 q 2 − 12 q
30 u 2 − 10 u 30 u 2 − 10 u
ਯ ਜ਼ + ੪ ਜ਼ ਯ ਜ਼ + ੪ ਜ਼
1. ਏ ਬੀ + ੮ ਬੀ ਏ ਬੀ + ੮ ਬੀ
60 x − 6 x 3 = 60 x − 18 x = 42 x
55 y − 11 y 4 55 y − 11 y 4
48ਰ⁴ - 12ਰ³
45 ਗ 3 − 15 ਗ 2 45 ਗ 3 − 15 ਗ 2
4 ਏ 3 − 4 ਏ ਬ 2 4 ਏ 3 − 4 ਏ ਬ 2
6 c 3 − 6 c d 2 6 c 3 − 6 c d 2
30 u 3 + 80 u 2 30 u 3 + 80 u 2
੧੪੪ + ੧੪੪
੧੨੦ ਗੁਣਾ ੬ + ੪੮ ਗੁਣਾ ੪ = ੭੨੦ + ੧੯੨ = ੯੧੨
੧੪੪ ਅ ੬ + ੯੦ ਅ ੩ ੧੪੪ ਅ ੬ + ੯੦ ਅ ੩
4 ਕ 2 + 24 ਕ + 28 ਕ 2 + 24 ਕ + 28
10 y^2 + 50 y + 40
15 ζ² − 30 ζ − 90
1. ੧੨ u ੨ − ੩੬ u − ੧੦੮ ੧੨ u ੨ − ੩੬ u − ੧੦੮
3 ਅ 4 − 24 ਅ 3 + 18 ਅ 2 3 ਅ 4 − 24 ਅ 3 + 18 ਅ 2
5 ਪੀ 4 − 20 ਪੀ 3 − 15 ਪੀ 2
1. 66 + 220 − 484
8 ਞ^5 + 40 ਞ^4 − 56 ਞ^3
−3 n − 24 −3 n − 24
−7 ਪ − 84 −7 ਪ − 84
−੧੫ ਞ ੨ − ੪੦ ਞ −੧੫ ਞ ੨ − ੪੦ ਞ
−18 ਬ² − 66 ਬ²
−10 ਯ³ + 60 ਯ²
−8 ੲ³ + 32 ੲ²
−4 ਊ⁵ + 56 ਊ³
−9 ੲ⁵ + 63 ੲ³
ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਗਣਿਤ
ਮਾਲੀਆ ਇੱਕ ਮਾਈਕ੍ਰੋਵੇਵ ਓਵਨ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੀ ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਪਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਤੀ ਓਵਨ p ਡਾਲਰ ਦੀ ਕੀਮਤ 'ਤੇ ਵੇਚੇ ਗਏ ਮਾਈਕ੍ਰੋਵੇਵ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਮਾਲੀਆ −5p² + 150p ਹੈ। ਇਸ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਕੱਢੋ।
ਬੇਸਬਾਲ ਦੀ ਉਚਾਈ 80 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੇ ਵੇਗ ਨਾਲ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 44 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰੋਂ ਮਾਰੀ ਗਈ ਬੇਸਬਾਲ ਦੀ ਉਚਾਈ −16t² + 80t + 4 ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਇਸ ਨੂੰ ਮਾਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਬੀਤੇ ਸੈਕਿੰਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਇਸ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਕੱਢੋ।
ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
36 ਅਤੇ 60 ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) 12 ਹੈ। ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ, ਸਮਝਾਓ।
y⁴, y⁵, ਅਤੇ y¹⁰ ਦਾ GCF ਕੀ ਹੈ? ਇੱਕ ਆਮ ਨਿਯਮ ਲਿਖੋ ਜੋ ਦੱਸਦਾ ਹੋਵੇ ਕਿ yᵃ, yᵇ, ਅਤੇ yᶜ ਦਾ GCF ਕਿਵੇਂ ਲੱਭੀਏ।
ਸਵੈ-ਪੜਤਾਲ
ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਕੁੱਲ ਮਿਲਾ ਕੇ, ਚੈਕਲਿਸਟ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅਗਲੇ ਅਧਿਆਇ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤਿਆਰ ਹੋ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?