ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
30°( π 6 ), 45°( π 4 ), ਅਤੇ 60°( π 3 ) ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪੂਰਕ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਹਿ-ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਣ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਕੋਣ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਪਾਸੇ ਦੁਆਰਾ ਕੱਟੀ ਗਈ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ:
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਦੇਖਾਂਗੇ।
ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕੀਏ। t ਰੇਡੀਅਨ ਦੇ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਉਸੇ 'ਤੇ ਉਸਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਆਪਣਾ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 1 ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਤੋਂ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਲੰਬਵਤ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ y ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦੀ ਖਿਤਿਜੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ x ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਮੁੜ-ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ
ਇਹ ਅਨੁਪਾਤ ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਤਿਕੋਣ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਤਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਨਾਮ ਦੇਵਾਂਗੇ: x ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਕੋਣ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਭੁਜਾ ਨੂੰ ਕੋਣ t ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਕਹਾਂਗੇ। (ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ "ਬਿਲਕੁਲ ਕੋਲ"।) y ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਦੀ ਭੁਜਾ ਨੂੰ ਕੋਣ t ਤੋਂ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਕਹਾਂਗੇ। ਅਤੇ 1 ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਭੁਜਾ ਨੂੰ ਕਾਰਨ ਕਹਾਂਗੇ। ਇਹ ਭੁਜਾਵਾਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਕੋਣ t ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ।
ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਸੰਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ
t ਦਾ ਇੱਕ ਤਿੱਖਾ ਕੋਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ,
ਇਹਨਾਂ ਸੰਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਯਾਦ-ਦਾਤਾ SohCahToa ਹੈ, ਜੋ "ਸਾਈਨ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਬਟੇ ਕਾਰਨ, ਕੋਸਾਈਨ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਬਟੇ ਕਾਰਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਬਟੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਹੈ" ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅੱਖਰਾਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਤਿੱਖੇ ਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਸ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਸਾਈਨ ਨੂੰ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਕਾਰਨ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਕਾਰਨ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਟੈਂਜੈਂਟ ਨੂੰ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਕਿਸੇ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਮੂਲਯਾਂਕਨ
ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, cosα ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। cosα।
ਹੱਲ
ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦਾ ਪਾਸਾ 15 ਹੈ, ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਕਰਣ 17 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, sint ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। sint।
ਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
ਜਦੋਂ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਉਹੀ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਭਾਵੇਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਈ ਵੀ ਹੋਵੇ। ਦਰਅਸਲ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਦੋ ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੇ ਛੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਮੂਲਯਾਂਕਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲਾ ਪਾਸਾ ਦੂਜੇ ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦਾ ਪਾਸਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ।
ਚਿੱਤਰ 5: ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦਾ ਪਾਸਾ ਦੂਜੇ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਲਈ ਸਾਰੇ ਛੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇਗਾ। ਸਾਡੀ ਰਣਨੀਤੀ ਪਹਿਲਾਂ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਨਜੈਂਟ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਈਨ ਦਾ ਉਲਟ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਹੈ, ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਉਲਟ ਸੀਕੈਂਟ ਹੈ, ਅਤੇ ਟੈਨਜੈਂਟ ਦਾ ਉਲਟ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੇ ਛੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਮੂਲਯਾਂਕਨ ਕਰੋ।
ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਕੋਣ, ਨਾਲ ਲੱਗਦੇ ਪਾਸੇ, ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੇ ਪਾਸੇ, ਅਤੇ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਕਰਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਲੋੜੀਂਦਾ ਫਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ: ਸਾਈਨ, ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਕਰਨ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕੋਸਾਈਨ, ਨਾਲ ਲੱਗਦੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਕਰਨ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਟੈਨਜੈਂਟ, ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਨਾਲ ਲੱਗਦੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਸੀਕੈਂਟ, ਕਰਨ ਤੋਂ ਨਾਲ ਲੱਗਦੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕੋਸੀਕੈਂਟ, ਕਰਨ ਤੋਂ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ, ਨਾਲ ਲੱਗਦੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਮੂਲਯਾਂਕਨ
ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, sinα, sinα, cosα, cosα, tanα, tanα, secα, secα, cscα, cscα, ਅਤੇ cotα। cotα। ਦਾ ਮੂਲਯਾਂਕਨ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, sint, sint, cost, cost, tant, tant, sect, sect, csct, csct, ਅਤੇ cott. cott. ਦਾ ਮੂਲਯਾਂਕਨ ਕਰੋ।
ਪਾਸਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦਾ ਮੂਲਯਾਂਕਨ ਕਰਨ ਲਈ ਉਨ੍ਹਾਂ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਮੂਲਯਾਂਕਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਕਾਫ਼ੀ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਜਿਹੇ ਮੁੱਲ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਵਰਗਮੂਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਉਹ ਕੋਣ ਹਨ ਜੋ ਅਕਸਰ ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ 30°, 30°, 60°, 60°, ਅਤੇ 45°, 45°, ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ 0° ਅਤੇ 90° ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। 0° ਅਤੇ 90°।
ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ 30°,60°,90° 30°,60°,90° ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ π 6 , π 3 , π 2 π 6 , π 3 , π 2 ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਵਜੋਂ ਵੀ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਾਸਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ s, 3 s,2s ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। s, 3 s,2s। ਇੱਕ 45°,45°,90° 45°,45°,90° ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ, ਜਿਸਨੂੰ π 4 , π 4 , π 2 π 4 , π 4 , π 2 ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਵਜੋਂ ਵੀ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ s,s, 2 s ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। s,s, 2 s। ਇਹ ਸਬੰਧ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
Figure 8: Side lengths of special triangles
We can then use the ratios of the side lengths to evaluate trigonometric functions of special angles.
How To
Given trigonometric functions of a special angle, evaluate using side lengths.
Use the side lengths shown in Figure 8 for the special angle you wish to evaluate.
Use the ratio of side lengths appropriate to the function you wish to evaluate.
Example 3
Evaluating Trigonometric Functions of Special Angles Using Side Lengths
Find the exact value of the trigonometric functions of π 3 , π 3 , using side lengths.
Solution
Try It #3
Find the exact value of the trigonometric functions of π 4 , π 4 , using side lengths.
Using Equal Cofunction of Complements
If we look more closely at the relationship between the sine and cosine of the special angles relative to the unit circle, we will notice a pattern. In a right triangle with angles of π 6 π 6 and π 3 , π 3 , we see that the sine of π 3 , π 3 , namely 3 2 , 3 2 , is also the cosine of π 6 , π 6 , while the sine of π 6 , π 6 , namely 1 2 , 1 2 , is also the cosine of π 3 . π 3 .
See Figure 9
Figure 9: The sine of π 3 π 3 equals the cosine of π 6 π 6 and vice versa.
This result should not be surprising because, as we see from Figure 9, the side opposite the angle of π 3 π 3 is also the side adjacent to π 6 , π 6 , so sin( π 3 ) sin( π 3 ) and cos( π 6 ) cos( π 6 ) are exactly the same ratio of the same two sides, 3 s 3 s and 2s. 2s. Similarly, cos( π 3 ) cos( π 3 ) and sin( π 6 ) sin( π 6 ) are also the same ratio using the same two sides, s s and 2s. 2s.
The interrelationship between the sines and cosines of π 6 π 6 and π 3 π 3 also holds for the two acute angles in any right triangle, since in every case, the ratio of the same two sides would constitute the sine of one angle and the cosine of the other. Since the three angles of a triangle add to π, π, and the right angle is π 2 , π 2 , the remaining two angles must also add up to π 2 . π 2 . That means that a right triangle can be formed with any two angles that add to π 2 π 2 —in other words, any two complementary angles. So we may state a cofunction identity: If any two angles are complementary, the sine of one is the cosine of the other, and vice versa. This identity is illustrated in Figure 10.
Figure 10: Cofunction identity of sine and cosine of complementary angles
Using this identity, we can state without calculating, for instance, that the sine of π 12 π 12 equals the cosine of 5π 12 , 5π 12 , and that the sine of 5π 12 5π 12 equals the cosine of π 12 . π 12 . We can also state that if, for a certain angle t, t, cost= 5 13 , cost= 5 13 , then sin( π 2 −t )= 5 13 sin( π 2 −t )= 5 13 as well.
Cofunction Identities
The cofunction identities in radians are listed in Table 1.
row: cost=sin( π 2 −t ) cost=sin( π 2 −t ) | sint=cos( π 2 −t ) sint=cos( π 2 −t )
row: tant=cot( π 2 −t ) tant=cot( π 2 −t ) | cott=tan( π 2 −t ) cott=tan( π 2 −t )
row: sect=csc( π 2 −t ) sect=csc( π 2 −t ) | csct=sec( π 2 −t ) csct=sec( π 2 −t )
How To
Given the sine and cosine of an angle, find the sine or cosine of its complement.
To find the sine of the complementary angle, find the cosine of the original angle.
To find the cosine of the complementary angle, find the sine of the original angle.
Example 4
Using Cofunction Identities
If sint= 5 12 , sint= 5 12 , find cos( π 2 −t ). cos( π 2 −t ).
Solution
According to the cofunction identities for sine and cosine,
So
Try It #4
If csc( π 6 )=2, csc( π 6 )=2, find sec( π 3 ). sec( π 3 ).
Using Trigonometric Functions
In previous examples, we evaluated the sine and cosine in triangles where we knew all three sides. But the real power of right-triangle trigonometry emerges when we look at triangles in which we know an angle but do not know all the sides.
How To
Given a right triangle, the length of one side, and the measure of one acute angle, find the remaining sides.
For each side, select the trigonometric function that has the unknown side as either the numerator or the denominator. The known side will in turn be the denominator or the numerator.
Write an equation setting the function value of the known angle equal to the ratio of the corresponding sides.
Using the value of the trigonometric function and the known side length, solve for the missing side length.
Example 5
Finding Missing Side Lengths Using Trigonometric Ratios
Find the unknown sides of the triangle in Figure 11.
Solution
We know the angle and the opposite side, so we can use the tangent to find the adjacent side.
We rearrange to solve for a. a.
We can use the sine to find the hypotenuse.
Again, we rearrange to solve for c. c.
Try It #5
A right triangle has one angle of π 3 π 3 and a hypotenuse of 20. Find the unknown sides and angle of the triangle.
Using Right Triangle Trigonometry to Solve Applied Problems
Right-triangle trigonometry has many practical applications. For example, the ability to compute the lengths of sides of a triangle makes it possible to find the height of a tall object without climbing to the top or having to extend a tape measure along its height. We do so by measuring a distance from the base of the object to a point on the ground some distance away, where we can look up to the top of the tall object at an angle. The angle of elevation of an object above an observer relative to the observer is the angle between the horizontal and the line from the object to the observer's eye. The right triangle this position creates has sides that represent the unknown height, the measured distance from the base, and the angled line of sight from the ground to the top of the object. Knowing the measured distance to the base of the object and the angle of the line of sight, we can use trigonometric functions to calculate the unknown height. Similarly, we can form a triangle from the top of a tall object by looking downward. The angle of depression of an object below an observer relative to the observer is the angle between the horizontal and the line from the object to the observer's eye. See Figure 12.
How To
Given a tall object, measure its height indirectly.
Make a sketch of the problem situation to keep track of known and unknown information.
Lay out a measured distance from the base of the object to a point where the top of the object is clearly visible.
At the other end of the measured distance, look up to the top of the object. Measure the angle the line of sight makes with the horizontal.
Write an equation relating the unknown height, the measured distance, and the tangent of the angle of the line of sight.
Solve the equation for the unknown height.
Example 6
Measuring a Distance Indirectly
To find the height of a tree, a person walks to a point 30 feet from the base of the tree. She measures an angle of 57° 57° between a line of sight to the top of the tree and the ground, as shown in Figure 13. Find the height of the tree.
Solution
We know that the angle of elevation is 57° 57° and the adjacent side is 30 ft long. The opposite side is the unknown height.
The trigonometric function relating the side opposite to an angle and the side adjacent to the angle is the tangent. So we will state our information in terms of the tangent of 57°, 57°, letting h h be the unknown height.
The tree is approximately 46 feet tall.
Try It #6
How long a ladder is needed to reach a windowsill 50 feet above the ground if the ladder rests against the building making an angle of 5π 12 5π 12 with the ground? Round to the nearest foot.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with right triangle trigonometry.
Finding Trig Functions on Calculator
Finding Trig Functions Using a Right Triangle
Relate Trig Functions to Sides of a Right Triangle
Determine Six Trig Functions from a Triangle
Determine Length of Right Triangle Side
Verbal
For the given right triangle, label the adjacent side, opposite side, and hypotenuse for the indicated angle.
When a right triangle with a hypotenuse of 1 is placed in the unit circle, which sides of the triangle correspond to the x- and y-coordinates?
The tangent of an angle compares which sides of the right triangle?
What is the relationship between the two acute angles in a right triangle?
Explain the cofunction identity.
Algebraic
For the following exercises, use cofunctions of complementary angles.
cos(34°)=sin(__°) cos(34°)=sin(__°)
cos( π 3 )=sin(___) cos( π 3 )=sin(___)
csc(21°)=sec(___°) csc(21°)=sec(___°)
tan( π 4 )=cot(__) tan( π 4 )=cot(__)
For the following exercises, find the lengths of the missing sides if side a a is opposite angle A, A, side b b is opposite angle B, B, and side c c is the hypotenuse.
cosB= 4 5 ,a=10 cosB= 4 5 ,a=10
sinB= 1 2 ,a=20 sinB= 1 2 ,a=20
tanA= 5 12 ,b=6 tanA= 5 12 ,b=6
tanA=100,b=100 tanA=100,b=100
sinB= 1 3 ,a=2 sinB= 1 3 ,a=2
a=5,∡A= 60 ∘ a=5,∡A= 60 ∘
c=12,∡A= 45 ∘ c=12,∡A= 45 ∘
Graphical
For the following exercises, use Figure 14 to evaluate each trigonometric function of angle A. A.
sinA sinA
cosA cosA
tanA tanA
cscA cscA
secA secA
cotA cotA
For the following exercises, use Figure 15 to evaluate each trigonometric function of angle A. A.
sinA sinA
cosA cosA
tanA tanA
cscA cscA
secA secA
cotA cotA
For the following exercises, solve for the unknown sides of the given triangle.
Technology
For the following exercises, use a calculator to find the length of each side to four decimal places.
b=15,∡B= 15 ∘ b=15,∡B= 15 ∘
c=200,∡B= 5 ∘ c=200,∡B= 5 ∘
c=50,∡B= 21 ∘ c=50,∡B= 21 ∘
a=30,∡A= 27 ∘ a=30,∡A= 27 ∘
b=3.5,∡A= 78 ∘ b=3.5,∡A= 78 ∘
Extensions
Find x. x.
Find x. x.
Find x. x.
Find x. x.
A radio tower is located 400 feet from a building. From a window in the building, a person determines that the angle of elevation to the top of the tower is 36°, 36°, and that the angle of depression to the bottom of the tower is 23°. 23°. How tall is the tower?
A radio tower is located 325 feet from a building. From a window in the building, a person determines that the angle of elevation to the top of the tower is 43°, 43°, and that the angle of depression to the bottom of the tower is 31°. 31°. How tall is the tower?
A 200-foot tall monument is located in the distance. From a window in a building, a person determines that the angle of elevation to the top of the monument is 15°, 15°, and that the angle of depression to the bottom of the tower is 2°. 2°. How far is the person from the monument?
A 400-foot tall monument is located in the distance. From a window in a building, a person determines that the angle of elevation to the top of the monument is 18°, 18°, and that the angle of depression to the bottom of the monument is 3°. 3°. How far is the person from the monument?
There is an antenna on the top of a building. From a location 300 feet from the base of the building, the angle of elevation to the top of the building is measured to be 40°. 40°. From the same location, the angle of elevation to the top of the antenna is measured to be 43°. 43°. Find the height of the antenna.
There is lightning rod on the top of a building. From a location 500 feet from the base of the building, the angle of elevation to the top of the building is measured to be 36°. 36°. From the same location, the angle of elevation to the top of the lightning rod is measured to be 38°. 38°. Find the height of the lightning rod.
Real-World Applications
A 33-ft ladder leans against a building so that the angle between the ground and the ladder is 80°. 80°. How high does the ladder reach up the side of the building?
A 23-ft ladder leans against a building so that the angle between the ground and the ladder is 80°. 80°. How high does the ladder reach up the side of the building?
The angle of elevation to the top of a building in New York is found to be 9 degrees from the ground at a distance of 1 mile from the base of the building. Using this information, find the height of the building.
The angle of elevation to the top of a building in Seattle is found to be 2 degrees from the ground at a distance of 2 miles from the base of the building. Using this information, find the height of the building.
Assuming that a 370-foot tall giant redwood grows vertically, if I walk a certain distance from the tree and measure the angle of elevation to the top of the tree to be 60°, 60°, how far from the base of the tree am I?