1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲਾਂ ਦੇ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਵਿਚਾਰਿਆ ਜਾਵੇ।
3. ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਕੋਈ ਵੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਹੈ ਜੋ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
4. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਹੱਲ ਨਾਲ ਸੁਤੰਤਰ, ਅਨੰਤ ਹੱਲਾਂ ਨਾਲ ਨਿਰਭਰ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਅਸੰਗਤ ਵਜੋਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
5. ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਧੁਰਿਆਂ 'ਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
6. ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਬਦਲ ਹੈ। ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
7. ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਤੀਜਾ ਤਰੀਕਾ ਜੋੜ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸੰਗਤ ਚਲਾਂ ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਇੱਕ ਚਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
8. ਜਦੋਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਇੱਕ ਚਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਦੀ ਸਹੂਲਤ ਲਈ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5, ਉਦਾਹਰਨ 6, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
9. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਤਰੀਕਾ ਅਸੰਗਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਝੂਠਾ ਬਿਆਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਕਦੇ ਵੀ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੀਆਂ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
10. ਨਿਰਭਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੱਚ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕੋ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
11. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮਾਲੀਆ, ਲਾਗਤ ਅਤੇ ਮੁਨਾਫੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 11 ਦੇਖੋ।
12. ਹੱਲ ਸੈੱਟ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤਿਕੜੀ { ( x,y,z ) } { ( x,y,z ) } ਹੈ ਜੋ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਤਲਾਂ ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
13. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਚਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਦਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ, ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਗੁਣਾ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
14. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਕਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
15. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਸੰਗਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਹੱਲ ਮੌਜੂਦ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਖਾਤਮੇ ਦੇ ਕਾਰਜਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
16. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੰਗਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸਮਾਂਤਰ ਤਲਾਂ, ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਤਲਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਚੌਰਾਹੇ ਵਾਲੇ ਤਲ, ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਤਲਾਂ ਤੋਂ ਨਤੀਜਾ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਦੂਜੇ ਦੋ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ ਪਰ ਇੱਕੋ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਨਹੀਂ।
17. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨਿਰਭਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੋਣ। ਖਾਤਮੇ ਦੇ ਕਾਰਜਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਪਛਾਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
18. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਰਭਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਤਲਾਂ, ਇੱਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਤਿੰਨ ਤਲਾਂ, ਜਾਂ ਦੋ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਤਲਾਂ ਤੋਂ ਨਤੀਜਾ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਤੀਜੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ।
19. ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸੰਭਵ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ: (1) ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ, ਰੇਖਾ ਪਰਵਲੈਅ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੀ; (2) ਇੱਕ ਹੱਲ, ਰੇਖਾ ਪਰਵਲੈਅ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ; ਅਤੇ (3) ਦੋ ਹੱਲ, ਰੇਖਾ ਪਰਵਲੈਅ ਨੂੰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
20. ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸੰਭਵ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ: (1) ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ, ਰੇਖਾ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੀ; (2) ਇੱਕ ਹੱਲ, ਰੇਖਾ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ; (3) ਦੋ ਹੱਲ, ਰੇਖਾ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
21. ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਅਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਦੀਆਂ ਪੰਜ ਸੰਭਵ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ: (1) ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੇ; (2) ਇੱਕ ਹੱਲ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ; (3) ਦੋ ਹੱਲ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ; (4) ਤਿੰਨ ਹੱਲ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਤਿੰਨ ਸਥਾਨਾਂ 'ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ; (5) ਚਾਰ ਹੱਲ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਚਾਰ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
22. ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਂਗ ਹੀ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, > ਜਾਂ < ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਡੈਸ਼ਡ ਲਾਈਨ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹੱਲ ਸੈੱਟ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸ਼ੇਡ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
23. ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੋਵਾਂ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
24. P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) ਨੂੰ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ A a 1 x+ b 1 + B a 2 x+ b 2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ। A a 1 x+ b 1 + B a 2 x+ b 2 । ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਾਫ਼ ਕਰਕੇ, ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ, ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ ਸੰਗਤ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ, ਫਿਰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਦੇ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਵਿਭਾਜਨ ਵਿੱਚ, ਹਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਦੇ ਅਦੁਹਰਾਈਏ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਾਲ ਵਿਭਾਜਨ ਵਿੱਚ, ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਅੰਸ਼ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ Ax+B (ax^2+bx+c)। Ax+B (ax^2+bx+c)। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਦੇ ਵਿਭਾਜਨ ਵਿੱਚ, ਜਿੱਥੇ Q(x) Q(x) ਕੋਲ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਈਆ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੁਹਰਾਈਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਹਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ Ax+B (ax^2+bx+c) + A_2x+B_2 (ax^2+bx+c)^2 +⋯+ A_nx+B_n (ax^2+bx+c)^n। Ax+B (ax^2+bx+c) + A_2x+B_2 (ax^2+bx+c)^2 +⋯+ A_nx+B_n (ax^2+bx+c)^n। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਵਿਵਸਥਾ ਹੈ। ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ ਕਾਲਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਮਾਪ ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ 3×2 3×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਕਾਲਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਮਾਪਾਂ ਵਾਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਅਤੇ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਸੰਗਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਅਤੇ ਘਟਾ ਕੇ। ਉਦਾਹਰਨ 2, ਉਦਾਹਰਨ 3, ਉਦਾਹਰਨ 4, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਹੋਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਅਕਸਰ ਲੋੜੀਂਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ—ਪਹਿਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੂਜੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ, A A ਅਤੇ B, B, ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ, A A ਦੀ ਕਤਾਰ 1 ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨੂੰ B, B ਦੇ ਕਾਲਮ 1 ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਫਿਰ A A ਦੀ ਕਤਾਰ 1 ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨੂੰ B, B ਦੇ ਕਾਲਮ 2 ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਜੋਂ ਸੇਵ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਾਰਜ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਵਰਧਿਤ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਸੰਵਰਧਿਤ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਅਸਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਤਾਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ, ਇੱਕ ਕਤਾਰ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨਾ, ਅਤੇ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਗੌਸੀਅਨ ਵਿਲੋਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 3, ਉਦਾਹਰਨ 4, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਕਤਾਰ-ਇਕਲੋਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਉੱਤੇ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਸਨੂੰ ਸੰਵਰਧਿਤ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। ਕਤਾਰ-ਇਕਲੋਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਕਰੋ। ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਿਛਾ-ਬਦਲੋ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸੰਵਰਧਿਤ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਤਤਸਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕੋਲ AI=IA=A ਦਾ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। AI=IA=A। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਉਲਟਾਉਣਯੋਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕੋਲ A A^{-1} = A^{-1} A=I ਦਾ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। A A^{-1} = A^{-1} A=I। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ 2×2 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਤਤਸਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟਾ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਪਛਾਣਨ ਦਾ ਇਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਤਤਸਮ ਨਾਲ ਵਾਧਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਤਤਸਮ ਨਾਲ 3×3 3×3 ਮੈਟਰਿਕਸ ਨੂੰ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਮੂਲ ਮੈਟਰਿਕਸ ਨੂੰ ਤਤਸਮ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਕਤਾਰ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਮੈਟਰਿਕਸ ਉਲਟ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ AX=B, AX=B ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ A ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: A −1 AX= A −1 B. A: A −1 AX= A −1 B. ਉਦਾਹਰਨ 7 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਮੈਟਰਿਕਸ ਉਲਟ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
[ a b c d ] [ a b c d ] ਲਈ ਨਿਰਣਾਇਕ ad−bc ਹੈ। ad−bc। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਕ੍ਰੇਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਹੱਲ ਹਨ x= D x D ,y= D y D . x= D x D ,y= D y D । ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
3×3 ਮੈਟਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋ ਕਾਲਮਾਂ ਨਾਲ ਵਧਾਓ। ਤਿੰਨ ਵਿਕਰਨ ਐਂਟਰੀਆਂ (ਉੱਪਰ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਸੱਜੇ) ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵਿਕਰਨ ਐਂਟਰੀਆਂ (ਹੇਠਾਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਸੱਜੇ) ਘਟਾਓ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਕ੍ਰੇਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਲੋੜੀਂਦੇ ਹੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਬਦਲੋ: x= D x D ,y= D y D ,z= D z D । x= D x D ,y= D y D ,z= D z D । ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਕ੍ਰੇਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਕੋਈ ਹੱਲ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵੀ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ: ਜੇ ਮੈਟਰਿਕਸ ਉੱਪਰੀ ਤਿਕੋਣੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਣਾਇਕ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਨ ਦੇ ਨਾਲ ਐਂਟਰੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਜਾਂ ਦੋ ਕਾਲਮ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਿਰਣਾਇਕ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਦੀ ਕੋਈ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਣਾਇਕ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਲਟ ਮੈਟਰਿਕਸ A −1 A −1 ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਮੈਟਰਿਕਸ A. A. ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦਾ ਵਿਪਰੀਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਣਾਇਕ ਉਸੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।