Try It
a=5, a=5, f( x )=2 x 2 −4, f( x )=2 x 2 −4, and L=46. L=46.
a. 0; b. 2; c. does not exist; d. −2; −2; e. 0; f. does not exist; g. 4; h. 4; i. 4
lim x→0 ( 20sin(x) 4x )=5 lim x→0 ( 20sin(x) 4x )=5
does not exist
26
59
10
−64 −64
−3 −3
− 1 50 − 1 50
− 1 8 − 1 8
2 3 2 3
−1 −1
ⓐ removable discontinuity at x=6; x=6;
ⓑ jump discontinuity at x=4 x=4
No. The function is not continuous at x=2x=2 because the left hand limit is 1212 and the right hand limit is 6.56.5.
No, the function is not continuous at x=3. x=3. There exists a removable discontinuity at x=3. x=3.
x=6 x=6
3
f ′ (a)=6a+7 f ′ (a)=6a+7
f ′ (a)= −15 ( 5a+4 ) 2 f ′ (a)= −15 ( 5a+4 ) 2
3 2 3 2
0
−2 , −2 , 0, 0, −3 −3
ਜ਼ੀਰੋ ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ, ਉਸਨੇ 0 ਫੁੱਟ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਹੈ।
10 ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ, ਉਸਨੇ ਪੂਰਬ ਵੱਲ 150 ਫੁੱਟ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਹੈ।
10 ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ, ਉਹ 15 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਪੂਰਬ ਵੱਲ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ।
20 ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ, ਉਹ 10 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਪੱਛਮ ਵੱਲ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ।
40 ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ, ਉਹ ਆਪਣੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ 100 ਫੁੱਟ ਪੱਛਮ ਵੱਲ ਹੈ।
f f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ( −∞,1 )∪( 1,3 )∪( 3,∞ ) ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ( −∞,1 )∪( 1,3 )∪( 3,∞ ) ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। f f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ x=1 x=1 ਅਤੇ x=3 ਉੱਤੇ ਅਸੰਤਤ ਹੈ। x=3 ਉੱਤੇ ਅਸੰਤਤ ਹੈ। f f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ( −∞,1 )∪( 1,3 )∪( 3,∞ ) ਉੱਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ। ( −∞,1 )∪( 1,3 )∪( 3,∞ ) ਉੱਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ। f f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ x=1 x=1 ਅਤੇ x=3 ਉੱਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੈ। x=3 ਉੱਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੈ।
y=19x−16
–68 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ, ਇਹ 68 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਧਰਤੀ ਵੱਲ ਵਾਪਸ ਡਿੱਗ ਰਿਹਾ ਹੈ।
12.1 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
x=a ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ, ਆਉਟਪੁੱਟ, f( a ) ਹੈ। f( a ) ਹੈ। ਜਦੋਂ lim x→a f( x ) lim x→a f( x ) ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ x x ਦੇ ਮੁੱਲ a a ਦੇ ਬੇਅੰਤ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਪਰ a a ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। a a ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਜਿਵੇਂ x x ਦੇ ਮੁੱਲ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਤੋਂ a a ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ, ਲਿਮਿਟ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੈ ਜਿਸ ਵੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਹੁੰਚ ਰਿਹਾ ਹੈ।
–4
–4
2
ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ
4
ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ
ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋਣਗੇ।
ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋਣਗੇ।
ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋਣਗੇ।
ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋਣਗੇ।
ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋਣਗੇ।
ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋਣਗੇ।
ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋਣਗੇ।
7.38906
54.59815
e 6 ≈403.428794, e 6 ≈403.428794, e 7 ≈1096.633158, e 7 ≈1096.633158, e n e n
lim x→−2 f(x)=1 lim x→−2 f(x)=1
lim x→3 ( x 2 −x−6 x 2 −9 )= 5 6 ≈0.83 lim x→3 ( x 2 −x−6 x 2 −9 )= 5 6 ≈0.83
lim x→1 ( x 2 −1 x 2 −3x+2 )=−2.00 lim x→1 ( x 2 −1 x 2 −3x+2 )=−2.00
lim x→1 ( 10−10 x 2 x 2 −3x+2 )=20.00 lim x→1 ( 10−10 x 2 x 2 −3x+2 )=20.00
lim x→ −1 2 ( x 4 x 2 +4x+1 ) lim x→ −1 2 ( x 4 x 2 +4x+1 ) does not exist. Function values decrease without bound as x x approaches –0.5 from either left or right.
lim x→0 7tanx 3x = 7 3 lim x→0 7tanx 3x = 7 3
lim x→0 e e − 1 x 2 =1.0 lim x→0 e e − 1 x 2 =1.0
lim x→− 1 − | x+1 | x+1 = −(x+1) (x+1) =−1 lim x→− 1 − | x+1 | x+1 = −(x+1) (x+1) =−1 and lim x→− 1 + | x+1 | x+1 = (x+1) (x+1) =1; lim x→− 1 + | x+1 | x+1 = (x+1) (x+1) =1; since the right-hand limit does not equal the left-hand limit, lim x→−1 | x+1 | x+1 lim x→−1 | x+1 | x+1 does not exist.
lim x→−1 1 ( x+1 ) 2 lim x→−1 1 ( x+1 ) 2 does not exist. The function increases without bound as x x approaches −1 −1 from either side.
lim x→0 5 1− e 2 x lim x→0 5 1− e 2 x does not exist. Function values approach 5 from the left and approach 0 from the right.
Through examination of the postulates and an understanding of relativistic physics, as v→c, v→c, m→∞. m→∞. Take this one step further to the solution,
12.2 Section Exercises
If f f is a polynomial function, the limit of a polynomial function as x x approaches a a will always be f( a ). f( a ).
It could mean either (1) the values of the function increase or decrease without bound as x x approaches c, c, or (2) the left and right-hand limits are not equal.
−10 3 −10 3
6
1 2 1 2
6
does not exist
−12 −12
− 5 10 − 5 10
−108 −108
1
6
1
1
does not exist
6+ 5 6+ 5
3 5 3 5
0
−3 −3
does not exist; right-hand limit is not the same as the left-hand limit.
2
Limit does not exist; limit approaches infinity.
4x+2h 4x+2h
2x+h+4 2x+h+4
cos(x+h)−cos(x) h cos(x+h)−cos(x) h
−1 x(x+h) −1 x(x+h)
−1 x+h + x −1 x+h + x
f( x )= x 2 +5x+6 x+3 f( x )= x 2 +5x+6 x+3
does not exist
52
12.3 Section Exercises
Informally, if a function is continuous at x=c , x=c , then there is no break in the graph of the function at f( c ), f( c ), and f( c ) f( c ) is defined.
discontinuous at a=−3 a=−3; f(−3) f(−3) does not exist
removable discontinuity at a=−4 a=−4; f(−4) f(−4) is not defined
Discontinuous at a=3 a=3; lim x→3 f(x)=3 , lim x→3 f(x)=3 , but f(3)=6 , f(3)=6 , which is not equal to the limit.
lim x→2 f(x) lim x→2 f(x) does not exist.
lim x→ 1 − f(x)=4; lim x→ 1 + f(x)=1 lim x→ 1 − f(x)=4; lim x→ 1 + f(x)=1. Therefore, lim x→1 f(x) lim x→1 f(x) does not exist.
lim x→ 1 − f(x)=5≠ lim x→ 1 + f(x)=−1 lim x→ 1 − f(x)=5≠ lim x→ 1 + f(x)=−1. Thus lim x→1 f(x) lim x→1 f(x) does not exist.
lim x→− 3 − f(x)=−6 lim x→− 3 − f(x)=−6, lim x→− 3 + f(x)=− 1 3 lim x→− 3 + f(x)=− 1 3
Therefore, lim x→−3 f(x) lim x→−3 f(x) does not exist.
f( 2 ) f( 2 ) is not defined.
f( −3 ) f( −3 ) is not defined.
f( 0 ) f( 0 ) is not defined.
Continuous on (−∞,∞) (−∞,∞)
Continuous on (−∞,∞) (−∞,∞)
Discontinuous at x=0 x=0 and x=2 x=2
Discontinuous at x=0 x=0
Continuous on (0,∞) (0,∞)
Continuous on [4,∞) [4,∞)
Continuous on (−∞,∞) (−∞,∞).
1, but not 2 or 3
1 and 2, but not 3
f( 0 ) f( 0 ) is undefined.
(−∞,0)∪(0,∞) (−∞,0)∪(0,∞)
At x=−1, x=−1, the limit does not exist. At x=1, x=1, f( 1 ) f( 1 ) does not exist.
At x=2, x=2, there appears to be a vertical asymptote, and the limit does not exist.
x 3 +6 x 2 −7x ( x+7 )( x−1 ) x 3 +6 x 2 −7x ( x+7 )( x−1 )
x=1 'ਤੇ ਫਲਨ ਅਸੰਤਤ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ x ਦਾ 1 ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਨੁਮਾਨ 5 ਹੈ ਅਤੇ f(1)=2 ਹੈ। f(1)=2।
12.4 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਫਲਨ ਦਾ ਅਵਕਲਨ x ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਣ ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਅਵਕਲਨ ਦੋਵੇਂ ਫਲਨ ਦੇ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਮਾਪਦੇ ਹਨ।
ਔਸਤ ਵੇਗ 55 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਹੈ। ਦੁਪਹਿਰ 2:30 ਵਜੇ ਤਤਕਾਲੀਨ ਵੇਗ 62 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਹੈ। ਤਤਕਾਲੀਨ ਵੇਗ ਸਮੇਂ ਦੇ ਇੱਕ ਪਲ 'ਤੇ ਕਾਰ ਦੇ ਵੇਗ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਔਸਤ ਵੇਗ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਦੌਰਾਨ ਕਾਰ ਦੇ ਵੇਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ 45 ਗੈਲਨ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਹੈ। ਜੇਕਰ f(x) ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਫਲਨ ਹੈ, ਤਾਂ t=a ਅਤੇ t=b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ f(x) ਦੇ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ f(a)+45(b−a) ਹੈ।
f'(x)=−2
f'(x)=4x+1
f'(x)= 1 (x−2)²
−16 (3+2x)²
f'(x)=9x²−2x+2
f'(x)=0
− 1/3
ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ
f'(x)=−6x−7
f'(x)=9x²+4x+1
y=12x−15
k=−10 ਜਾਂ k=2
x=−2 ਅਤੇ x=0 'ਤੇ ਅਸੰਤਤ। –2, 0, 2 'ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ।
x=5 'ਤੇ ਅਸੰਤਤ। -4, –2, 0, 1, 3, 4, 5 'ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ।
f(0)=−2
f(2)=−6
f'(−1)=9
f'(1)=−3
f'(3)=9
1. ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹਨ। x=1 ਦੇ ਨੇੜੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ 2 ਹੈ।
2. ਦੁਪਹਿਰ 12:30 ਵਜੇ, ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਗੈਲਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ –20 ਗੈਲਨ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਹੈ। ਭਾਵ, ਟੈਂਕ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 20 ਗੈਲਨ ਗੁਆ ਰਿਹਾ ਹੈ।
3. ਦੁਪਹਿਰ ਤੋਂ 200 ਮਿੰਟ ਬਾਅਦ, ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਗੈਲਨਾਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ 30 ਗੈਲਨ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ।
4. 2 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਉਚਾਈ 96 ਫੁੱਟ ਹੈ।
5. t=3 ਸਕਿੰਟਾਂ 'ਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਉਚਾਈ 96 ਫੁੱਟ ਹੈ।
6. ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਉਚਾਈ t=0 'ਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ t=5 'ਤੇ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 5 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਧਰਤੀ 'ਤੇ ਡਿੱਗਦਾ ਹੈ।
7. 36π
8. $50.00 ਪ੍ਰਤੀ ਯੂਨਿਟ, ਜੋ ਕਿ ਮਾਲੀਆ ਦੀ ਤਤਕਾਲ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਹੈ ਜਦੋਂ ਬਿਲਕੁਲ 10 ਯੂਨਿਟ ਵੇਚੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
9. $21 ਪ੍ਰਤੀ ਯੂਨਿਟ
10. $36
11. f'(x)=10a−1
12. 4 ( 3−x ) 2
13. ਸਮੀਖਿਆ ਅਭਿਆਸ
14. 2
15. ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ
16. x=−1 (lim x→a f(x) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ), x=3 (ਜੰਪ ਡਿਸਕੰਟੀਨਿਊਟੀ), ਅਤੇ x=7 (lim x→a f(x) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ) 'ਤੇ ਡਿਸਕੰਟੀਨਿਊਅਸ ਹੈ।
17. lim x→−2 f(x)=0
18. ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ
19. -35
20. 11
21. 66
22. 500500
23. -67
24. x=4 'ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸੈਂਪਟੋਟ ਹੈ।
At x=3, x=3, the function has a vertical asymptote.
Removable discontinuity at a=9a=9
Removable discontinuity at x=5x=5
Removable discontinuity at x=5x=5, discontinuity at x=1x=1
Removable discontinuity at x=-2x=-2, discontinuity at x=5x=5
33
1 (x+ 1)(x+h+1) 1 (x+ 1)(x+h+1)
e2x+2h-e2x h e2x+2h-e2x h
10x-3 10x-3
The function would not be differentiable at however, 0 is not in its domain. So it is differentiable everywhere in its domain.
Practice Test
3
0
−1 −1
lim x→ 2 − f(x)=− 5 2 a lim x→ 2 − f(x)=− 5 2 a and lim x→ 2 + f(x)=9 lim x→ 2 + f(x)=9 Thus, the limit of the function as x x approaches 2 does not exist.
-150 -150
1 1
Removable discontinuity at x=3 x=3
f'(x)=- 3 2a32 f'(x)=- 3 2a32
Discontinuous at −2, 0, not differentiable at −2, 0, 2
Not differentiable at x=0 x=0 (no limit)
The height of the projectile at t=2 t=2 Seconds
The average velocity from t=1 t=1 t=2 t=2
13 13
0 0
2
x=1
y=−14x−18
ਗ੍ਰਾਫ਼ x=1 'ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੈ (ਕਸਪ)।
f'(x)=8x
f'(x)=− 1 (2+x)²
f'(x)=−3x²
f'(x)= 1 2√x−1