1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ
2. −24 =0+2i 6
3. (3−4i)−(2+5i)=1−9i
4. −8−24i
5. 18+i
6. 102−29i
7. − 3 17 + 5i 17
8. ਮਾਰਗ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ( −4,7 ) 'ਤੇ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ (h)x=– 7 16 (x+4) 2 +7। ਗੋਲ ਕਰਨ ਲਈ, h( −7.5 ) ਲਗਭਗ 4 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਪਰ h(–7.5)≈1.64; ਉਹ ਇਸਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ।
9. g(x)= x 2 −6x+13 ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ; g(x)= (x−3) 2 +4 ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ
10. ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਰੇਂਜ f(x)≥ 8 11 , ਜਾਂ [ 8 11 ,∞ ) ਹੈ।
11. y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0, 13) 'ਤੇ, ਕੋਈ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਨਹੀਂ
12. ⓐ 3 ਸਕਿੰਟ
13. ⓑ 256 ਫੁੱਟ
14. ⓒ 7 ਸਕਿੰਟ
15. f(x) ਇੱਕ ਪਾਵਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਨੂੰ f(x)=8 x 4 ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਾਵਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹਨ।
16. ਜਿਵੇਂ x ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, f( x ) ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਘਟਦਾ ਹੈ: ਜਿਵੇਂ x→±∞, f(x)→−∞ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਗੁਣਾਂਕ ਕਾਰਨ।
17. ਡਿਗਰੀ 6 ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ − x 6 ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ −1 ਹੈ।
18. ਜਿਵੇਂ x→∞,f(x)→−∞; ਜਿਵੇਂ x→−∞,f(x)→−∞। ਇਸ ਵਿੱਚ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਗੁਣਾਂਕ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮ ਡਿਗਰੀ ਪਾਵਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਕਾਰ ਹੈ।
19. ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ 0.2 x 3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਇੱਕ ਡਿਗਰੀ 3 ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ x ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, f( x ) ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਧਦਾ ਹੈ; ਜਿਵੇਂ x ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, f( x ) ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਘਟਦਾ ਹੈ।
20. y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,0); x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,0),(–2,0), ਅਤੇ (5,0)
21. ਇੱਥੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 12 x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 11 ਮੋੜਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
22. ਅੰਤ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ-ਡਿਗਰੀ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ; ਇੱਥੇ 3 x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਅਤੇ 2 ਮੋੜਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਡਿਗਰੀ ਵਿਸ਼ਮ ਹੈ ਅਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 3 ਹੈ। ਅੰਤ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਕਾਰਨ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
23. x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (2,0),(−1,0), ਅਤੇ (5,0) ਹਨ, y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,2) ਹੈ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 2 ਮੋੜਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
24. y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,0); x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,0),(–5,0),(2,0), ਅਤੇ (3,0)
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ –5 ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਬਹੁਲਤਾ 3 ਹੈ, ਸਿਫ਼ਰ –1 ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਬਹੁਲਤਾ 2 ਹੈ, ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰ 3 ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਬਹੁਲਤਾ 2 ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ f ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ f(1) ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ f(2) ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ x=1 ਅਤੇ x=2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
f(x)=− 1 8 (x−2) 3 (x+1) 2 (x−4)
ਨਿਊਨਤਮ ਲਗਭਗ ਬਿੰਦੂ (0,−6.5) ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲਗਭਗ ਬਿੰਦੂ (3.5,7) ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ।
4 x 2 −8x+15− 78 4x+5
3 x 3 −3 x 2 +21x−150+ 1,090 x+7
3 x 2 −4x+1
f(−3)=−412
ਸਿਫ਼ਰ 2, –2, ਅਤੇ –4 ਹਨ।
ਕੋਈ ਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਸਿਫ਼ਰ –4, 1 2 , ਅਤੇ 1 ਹਨ।
f(x)=− 1 2 x 3 + 5 2 x 2 −2x+10
4, 2, ਜਾਂ 0 ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਜੜ੍ਹਾਂ ਅਤੇ 0 ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਜੜ੍ਹਾਂ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ 2 ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ 0 ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ।
3 ਮੀਟਰ ਗੁਣਾ 4 ਮੀਟਰ ਗੁਣਾ 7 ਮੀਟਰ
ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ: ਜਿਵੇਂ x→±∞, f(x)→0; ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ: ਜਿਵੇਂ x→0, f(x)→∞ (ਕੋਈ x- ਜਾਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਨਹੀਂ ਹਨ)
ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ 3 ਯੂਨਿਟ ਸੱਜੇ ਅਤੇ 4 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ x→3, f(x)→∞, ਅਤੇ ਜਿਵੇਂ x→±∞, f(x)→−4।
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 1 (x−3) 2 −4 ਹੈ।
12 11
ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਸਿਵਾਏ x=1 ਅਤੇ x=5 ਦੇ।
x=5 ਤੇ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਤਾ। ਲੰਬ ਅਸਮਤੋਟ: x=0, x=1।
x=2 ਅਤੇ x=–3 ਤੇ ਲੰਬ ਅਸਮਤੋਟ; y=4 ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸਮਤੋਟ।
ਬਦਲਵੇਂ ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਰਿਮੇਯ ਰੂਪ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। f(x)= 1 (x−3) 2 −4= 1−4 (x−3) 2 (x−3) 2 = 1−4( x 2 −6x+9) (x−3)(x−3) = −4 x 2 +24x−35 x 2 −6x+9
ਕਿਉਂਕਿ ਅੰਸ਼ ਦਾ ਡਿਗਰੀ ਹਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਿਵੇਂ x→±∞, f(x)→−4; ਇਸ ਲਈ y=–4 ਖਿਤਿਜੀ ਅਸਮਤੋਟ ਹੈ। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪਤਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੰਬ ਅਸਮਤੋਟ x=3 ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਜਿਵੇਂ x→3, f(x)→∞। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (2.5,0) ਅਤੇ (3.5,0) ਤੇ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ 0 ਤੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ( 0, −35 9 ) ਤੇ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
y= 1 2 ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸਮਤੋਟ। x=1 ਅਤੇ x=3 ਤੇ ਲੰਬ ਅਸਮਤੋਟ। ( 0, 4 3 ) ਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ।
x-intercepts at (2,0) and (–2,0). (2,0) and (–2,0). (–2,0) (–2,0) is a zero with multiplicity 2, and the graph bounces off the x-axis at this point. (2,0) (2,0) is a single zero and the graph crosses the axis at this point.
f −1 ( f( x ) )= f −1 ( x+5 3 )=3( x+5 3 )−5=( x−5 )+5=x f −1 ( f( x ) )= f −1 ( x+5 3 )=3( x+5 3 )−5=( x−5 )+5=x and f( f −1 ( x ) )=f( 3x−5 )= ( 3x−5 )+5 3 = 3x 3 =x f( f −1 ( x ) )=f( 3x−5 )= ( 3x−5 )+5 3 = 3x 3 =x
f −1 (x)= x 3 −4 f −1 (x)= x 3 −4
f −1 (x)= x−1 f −1 (x)= x−1
f −1 (x)= x 2 −3 2 ,x≥0 f −1 (x)= x 2 −3 2 ,x≥0
f −1 (x)= 2x+3 x−1 f −1 (x)= 2x+3 x−1
128 3 128 3
9 2 9 2
x=20 x=20
3.1 Section Exercises
Add the real parts together and the imaginary parts together.
i i times i i equals –1, which is not imaginary. (answers vary)
−8+2i −8+2i
14+7i 14+7i
− 23 29 + 15 29 i − 23 29 + 15 29 i
2 real and 0 nonreal
8−i 8−i
−11+4i −11+4i
2−5i 2−5i
6+15i 6+15i
−16+32i −16+32i
−4−7i −4−7i
25
2− 2 3 i 2− 2 3 i
4−6i 4−6i
2 5 + 11 5 i 2 5 + 11 5 i
15i 15i
1+i 3 1+i 3
1 1
−1 −1
128i
( 3 2 + 1 2 i ) 6 =−1 ( 3 2 + 1 2 i ) 6 =−1
3i 3i
0
5 – 5i
−2i −2i
9 2 − 9 2 i 9 2 − 9 2 i
3.2 Section Exercises
When written in that form, the vertex can be easily identified.
If a=0 a=0 then the function becomes a linear function.
If possible, we can use factoring. Otherwise, we can use the quadratic formula.
g(x)= (x+1) 2 −4, g(x)= (x+1) 2 −4, Vertex ( −1,−4 ) ( −1,−4 )
f(x)= ( x+ 5 2 ) 2 − 33 4 , f(x)= ( x+ 5 2 ) 2 − 33 4 , Vertex ( − 5 2 ,− 33 4 ) ( − 5 2 ,− 33 4 )
f(x)=3 (x−1) 2 −12, f(x)=3 (x−1) 2 −12, Vertex (1,−12) (1,−12)
f(x)=3 ( x− 5 6 ) 2 − 37 12 , f(x)=3 ( x− 5 6 ) 2 − 37 12 , Vertex ( 5 6 ,− 37 12 ) ( 5 6 ,− 37 12 )
Minimum is − 17 2 − 17 2 and occurs at 5 2 . 5 2 . Axis of symmetry is x= 5 2 . x= 5 2 .
Minimum is − 17 16 − 17 16 and occurs at − 1 8 . − 1 8 . Axis of symmetry is x=− 1 8 . x=− 1 8 .
Minimum is − 7 2 − 7 2 and occurs at −3. −3. Axis of symmetry is x=−3. x=−3.
ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ). ਰੇਂਜ [2,∞).
ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ). ਰੇਂਜ [−5,∞).
ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ). ਰੇਂਜ [−12,∞).
{ 2i 2 ,−2i 2 }
{ 3i 3 ,−3i 3 }
{2+i,2−i}
{2+3i,2−3i}
{5+i,5−i}
{2+2 6 ,2−2 6 }
{ − 1 2 + 3 2 i,− 1 2 − 3 2 i }
{ − 3 5 + 1 5 i,− 3 5 − 1 5 i }
{ − 1 2 + 1 2 i 7 ,− 1 2 − 1 2 i 7 }
f(x)= x 2 −4x+4
f(x)= x 2 +1
f(x)= 6 49 x 2 + 60 49 x+ 297 49
f(x)=− x 2 +1
ਵਰਟੈਕਸ ( 1,−1 ), ਅਖਾੜਾ ਸਮਰੂਪਤਾ x=1. ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,0),(2,0).
ਵਰਟੈਕਸ ( 5 2 , −49 4 ), ਅਖਾੜਾ ਸਮਰੂਪਤਾ x= 5 2 , ਇੰਟਰਸੈਪਟ: (6,0), (−1,0).
ਵਰਟੈਕਸ ( 5 4 ,− 39 8 ), ਅਖਾੜਾ ਸਮਰੂਪਤਾ x= 5 4 . ਇੰਟਰਸੈਪਟ ( 0,−8 ).
f(x)= x 2 −4x+1
f(x)=−2 x 2 +8x−1
f(x)= 1 2 x 2 −3x+ 7 2
f(x)= x 2 +1
f(x)=2− x 2
f(x)=2 x 2 f(x)=2 x 2
The graph is shifted up or down (a vertical shift).
50 feet
Domain is (−∞,∞). (−∞,∞). Range is [−2,∞). [−2,∞).
Domain is (−∞,∞) (−∞,∞) Range is (−∞,11]. (−∞,11].
f(x)=2 x 2 −1 f(x)=2 x 2 −1
f(x)=3 x 2 −9 f(x)=3 x 2 −9
f(x)=5 x 2 −77 f(x)=5 x 2 −77
50 feet by 50 feet. Maximize f(x)=− x 2 +100x. f(x)=− x 2 +100x.
125 feet by 62.5 feet. Maximize f(x)=−2 x 2 +250x. f(x)=−2 x 2 +250x.
6 6 and −6; −6; product is –36; maximize f(x)= x 2 +12x. f(x)= x 2 +12x.
2909.56 meters
$10.70
3.3 Section Exercises
The coefficient of the power function is the real number that is multiplied by the variable raised to a power. The degree is the highest power appearing in the function.
As x x decreases without bound, so does f( x ). f( x ). As x x increases without bound, so does f( x ). f( x ).
The polynomial function is of even degree and leading coefficient is negative.
f(x)f(x) is a power function because it contains a variable base raised to a fixed power. It is also a polynomial, with all coefficients except one equal to zero.
Neither
Neither
Degree = 2, Coefficient = –2
Degree =4, Coefficient = –2
As x→∞ x→∞, f(x)→∞f(x)→∞, as x→−∞x→−∞, f(x)→∞ f(x)→∞
As x→−∞ x→−∞, f(x)→−∞f(x)→−∞, as x→∞x→∞, f(x)→−∞ f(x)→−∞
ਜਿਉਂ ਜਿਉਂ x → −∞, f(x) → −∞, ਜਿਉਂ ਜਿਉਂ x → ∞, f(x) → −∞
ਜਿਉਂ ਜਿਉਂ x → ∞, f(x) → ∞, ਜਿਉਂ ਜਿਉਂ x → −∞, f(x) → −∞
y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,12) ਹੈ, t-ਅੰਤਰਖੰਡ (1,0); (–2,0); ਅਤੇ (3,0) ਹਨ।
y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,−16) ਹੈ। x-ਅੰਤਰਖੰਡ (2,0) ਅਤੇ (−2,0) ਹਨ।
y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,0) ਹੈ। x-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,0), (4,0), ਅਤੇ ( −2,0 ) ਹਨ।
3
5
3
5
ਹਾਂ। ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 2 ਹੈ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸੰਭਵ ਡਿਗਰੀ 3 ਹੈ।
ਹਾਂ। ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 1 ਹੈ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸੰਭਵ ਡਿਗਰੀ 2 ਹੈ।
ਹਾਂ। ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 0 ਹੈ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸੰਭਵ ਡਿਗਰੀ 1 ਹੈ।
ਨਹੀਂ।
ਹਾਂ। ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 0 ਹੈ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸੰਭਵ ਡਿਗਰੀ 1 ਹੈ।
ਸਤਰ: x | f( x )
ਸਤਰ: 10 | 9,500
ਸਤਰ: 100 | 99,950,000
ਸਤਰ: –10 | 9,500
ਸਤਰ: –100 | 99,950,000
ਜਿਉਂ ਜਿਉਂ x → −∞, f(x) → ∞, ਜਿਉਂ ਜਿਉਂ x → ∞, f(x) → ∞
ਸਤਰ: x | f( x )
ਸਤਰ: 10 | –504
ਸਤਰ: 100 | –941,094
ਸਤਰ: –10 | 1,716
row: –100 | 1,061,106
as x→−∞ x→−∞, f(x)→∞f(x)→∞, as x→∞x→∞, f(x)→−∞ f(x)→−∞
The y- y- intercept is ( 0,0 ). ( 0,0 ). The x- x- intercepts are ( 0,0 ),( 2,0 ). ( 0,0 ),( 2,0 ).As x→−∞ x→−∞, f(x)→∞f(x)→∞, as x→∞x→∞, f(x)→∞ f(x)→∞
The y- y- intercept is ( 0,0 ) ( 0,0 ) . The x- x- intercepts are ( 0,0 ),( 5,0 ),( 7,0 ). ( 0,0 ),( 5,0 ),( 7,0 ). As x→−∞ x→−∞, f(x)→∞f(x)→∞, as x→∞x→∞, f(x)→∞ f(x)→∞
The y- y- intercept is ( 0,0 ). ( 0,0 ). The x- x- intercept is ( −4,0 ),( 0,0 ),( 4,0 ). ( −4,0 ),( 0,0 ),( 4,0 ). As x→−∞ x→−∞, f(x)→∞f(x)→∞, as x→∞x→∞, f(x)→∞ f(x)→∞
The y- y- intercept is ( 0,−81 ). ( 0,−81 ). The x- x- intercept are ( 3,0 ),( −3,0 ). ( 3,0 ),( −3,0 ). As x→−∞ x→−∞, f(x)→∞f(x)→∞, as x→∞x→∞, f(x)→∞ f(x)→∞
The y- y- intercept is ( 0,0 ). ( 0,0 ). The x- x- intercepts are ( −3,0 ),( 0,0 ),( 5,0 ). ( −3,0 ),( 0,0 ),( 5,0 ). As x→−∞ x→−∞, f(x)→∞f(x)→∞, as x→∞x→∞, f(x)→∞ f(x)→∞
f(x)= x 2 −4 f(x)= x 2 −4
f(x)= x 3 −4 x 2 +4x f(x)= x 3 −4 x 2 +4x
f(x)= x 4 +1 f(x)= x 4 +1
V(m)=8 m 3 +36 m 2 +54m+27 V(m)=8 m 3 +36 m 2 +54m+27
V(x)=4 x 3 −32 x 2 +64x V(x)=4 x 3 −32 x 2 +64x
3.4 Section Exercises
The x- x- intercept is where the graph of the function crosses the x- x- axis, and the zero of the function is the input value for which f(x)=0. f(x)=0.
If we evaluate the function at a a and at b b and the sign of the function value changes, then we know a zero exists between a a and b. b.
There will be a factor raised to an even power.
(−2,0),(3,0),(−5,0) (−2,0),(3,0),(−5,0)
(3,0),(−1,0),(0,0) (3,0),(−1,0),(0,0)
( 0,0 ),( −5,0 ),( 2,0 ) ( 0,0 ),( −5,0 ),( 2,0 )
( 0,0 ),( −5,0 ),( 4,0 ) ( 0,0 ),( −5,0 ),( 4,0 )
( 2,0 ),( −2,0 ),( −1,0 ) ( 2,0 ),( −2,0 ),( −1,0 )
(−2,0),(2,0),( 1 2 ,0 ) (−2,0),(2,0),( 1 2 ,0 )
( 1,0 ),( −1,0 ) ( 1,0 ),( −1,0 )
(0,0),( 3 ,0),(− 3 ,0) (0,0),( 3 ,0),(− 3 ,0)
( 0,0 ) ( 0,0 ), ( 1,0 )( 1,0 ), ( −1,0 )( −1,0 ), ( 2,0 )( 2,0 ), ( −2,0 ) ( −2,0 )
f( 2 )=–10 f( 2 )=–10 and f( 4 )=28. f( 4 )=28. Sign change confirms.
f( 1 )=3 f( 1 )=3 and f( 3 )=–77. f( 3 )=–77. Sign change confirms.
f( 0.01 )=1.000001 f( 0.01 )=1.000001 and f( 0.1 )=–7.999. f( 0.1 )=–7.999. Sign change confirms.
0 with multiplicity 2, − 3 2 − 3 2 with multiplicity 5, 4 with multiplicity 2
0 with multiplicity 2, –2 with multiplicity 2
− 2 3 − 2 3 with multiplicity 5,55,5 with multiplicity 2 2
0 0 with multiplicity 4,24,2 with multiplicity 1,–11,–1 with multiplicity 1 1
3 2 3 2 with multiplicity 2, 0 with multiplicity 3
0 0 with multiplicity 6, 2 3 6, 2 3 with multiplicity 2 2
x-intercepts, ( 1, 0 ) ( 1, 0 ) with multiplicity 2, ( –4, 0 ) ( –4, 0 ) with multiplicity 1, y- y- intercept ( 0, 4 ) ( 0, 4 ) . As x→−∞x→−∞, g(x)→−∞g(x)→−∞, as x→∞x→∞, g(x)→∞g(x)→∞.
x-intercepts (3,0) (3,0) with multiplicity 3, (2,0) (2,0) with multiplicity 2, y- y- intercept (0,–108) (0,–108). As x→−∞x→−∞, k(x)→−∞k(x)→−∞, as x→∞ x→∞, k(x)→∞. k(x)→∞.
x-intercepts (0, 0 ), (–2, 0), (4, 0) (0, 0 ), (–2, 0), (4, 0) with multiplicity 1, y y-intercept (0, 0). (0, 0). As x→−∞ x→−∞, n(x)→∞n(x)→∞, as x→∞x→∞, n(x)→−∞. n(x)→−∞.
f(x)=− 2 9 (x−3)(x+1)(x+3) f(x)=− 2 9 (x−3)(x+1)(x+3)
f(x)= 1 4 (x+2) 2 (x−3) f(x)= 1 4 (x+2) 2 (x−3)
–4, –2, 1, 3 with multiplicity 1
–2, 3 each with multiplicity 2
f(x)=− 2 3 (x+2)(x−1)(x−3) f(x)=− 2 3 (x+2)(x−1)(x−3)
f(x)= 1 3 (x−3) 2 (x−1) 2 (x+3) f(x)= 1 3 (x−3) 2 (x−1) 2 (x+3)
f(x)=−15 (x−1) 2 (x−3) 3 f(x)=−15 (x−1) 2 (x−3) 3
f(x)=−2( x+3 )( x+2 )( x−1 ) f(x)=−2( x+3 )( x+2 )( x−1 )
f(x)=− 3 2 ( 2x−1 ) 2 ( x−6 )( x+2 ) f(x)=− 3 2 ( 2x−1 ) 2 ( x−6 )( x+2 )
local max ( –.58, –.62 ), ( –.58, –.62 ), local min ( .58, –1.38 ) ( .58, –1.38 )
global min ( –.63, –.47 ) ( –.63, –.47 )
global min (.75, .89) (.75, .89)
f(x)= (x−500) 2 (x+200) f(x)= (x−500) 2 (x+200)
f(x)=4 x 3 −36 x 2 +80x f(x)=4 x 3 −36 x 2 +80x
f(x)=4 x 3 −36 x 2 +60x+100 f(x)=4 x 3 −36 x 2 +60x+100
f(x)=9π( x 3 +5 x 2 +8x+4) f(x)=9π( x 3 +5 x 2 +8x+4)
3.5 Section Exercises
The binomial is a factor of the polynomial.
x+6+ 5 x-1 x+6+ 5 x-1, quotient: x+6 x+6, remainder: 5 5
3x+2 3x+2, quotient: 3x+2 3x+2, remainder: 0 0
x−5 x−5, quotient: x−5 x−5, remainder: 0 0
2x−7+ 16 x+2 2x−7+ 16 x+2, quotient: 2x−7 2x−7, remainder: 16 16
x−2+ 6 3x+1 x−2+ 6 3x+1, quotient: x−2 x−2, remainder: 6 6
2 x 2 −3x+5 2 x 2 −3x+5, quotient: 2 x 2 −3x+5 2 x 2 −3x+5, remainder: 0 0
2 x 2 +2x+1+ 10 x−4 2 x 2 +2x+1+ 10 x−4
2 x 2 −7x+1− 2 2x+1 2 x 2 −7x+1− 2 2x+1
3 x 2 −11x+34− 106 x+3 3 x 2 −11x+34− 106 x+3
x 2 +5x+1 x 2 +5x+1
4 x 2 −21x+84− 323 x+4 4 x 2 −21x+84− 323 x+4
x 2 −14x+49 x 2 −14x+49
3 x 2 +x+ 2 3x−1 3 x 2 +x+ 2 3x−1
x 3 −3x+1 x 3 −3x+1
x 3 − x 2 +2 x 3 − x 2 +2
x 3 −6 x 2 +12x−8 x 3 −6 x 2 +12x−8
x 3 −9 x 2 +27x−27 x 3 −9 x 2 +27x−27
2 x 3 −2x+2 2 x 3 −2x+2
Yes ( x−2 )(3 x 3 −5) ( x−2 )(3 x 3 −5)
Yes ( x−2 )(4 x 3 +8 x 2 +x+2) ( x−2 )(4 x 3 +8 x 2 +x+2)
No
(x−1)( x 2 +2x+4) (x−1)( x 2 +2x+4)
(x−5)( x 2 +x+1) (x−5)( x 2 +x+1)
Quotient: 4 x 2 +8x+164 x 2 +8x+16, remainder: −1 −1
Quotient: 3 x 2 +3x+53 x 2 +3x+5, remainder: 0 0
Quotient: x 3 −2 x 2 +4x−8 x 3 −2 x 2 +4x−8, remainder: −6 −6
x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 −x+1 x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 −x+1
x 3 − x 2 +x−1+ 1 x+1 x 3 − x 2 +x−1+ 1 x+1
1+ 1+i x−i 1+ 1+i x−i
1+ 1−i x+i 1+ 1−i x+i
x 2 +ix−1+ 1−i x−i x 2 +ix−1+ 1−i x−i
2 x 2 +3 2 x 2 +3
2x+3 2x+3
x+2 x+2
x−3 x−3
3 x 2 −2 3 x 2 −2
3.6 Section Exercises
The theorem can be used to evaluate a polynomial.
Rational zeros can be expressed as fractions whereas real zeros include irrational numbers.
Polynomial functions can have repeated zeros, so the fact that number is a zero doesn’t preclude it being a zero again.
−106 −106
0 0
255 255
−1 −1
−2,1, 1 2 −2,1, 1 2
−2 −2
−3 −3
− 5 2 , 6 ,− 6 − 5 2 , 6 ,− 6
2,−4,− 3 2 2,−4,− 3 2
4,−4,−5 4,−4,−5
5,−3,− 1 2 5,−3,− 1 2
1 2 , 1+ 5 2 , 1− 5 2 1 2 , 1+ 5 2 , 1− 5 2
3 2 3 2
2,3,−1,−2 2,3,−1,−2
1 2 ,− 1 2 ,2,−3 1 2 ,− 1 2 ,2,−3
−1,−1, 5 ,− 5 −1,−1, 5 ,− 5
− 3 4 ,− 1 2 − 3 4 ,− 1 2
2,3+2i,3−2i 2,3+2i,3−2i
− 2 3 ,1+2i,1−2i − 2 3 ,1+2i,1−2i
− 1 2 ,1+4i,1−4i − 1 2 ,1+4i,1−4i
1 positive, 1 negative
3 or 1 positive, 0 negative
0 positive, 3 or 1 negative
2 or 0 positive, 2 or 0 negative
2 or 0 positive, 2 or 0 negative
±5,±1,± 5 2 ,± 1 2 ±5,±1,± 5 2 ,± 1 2
±1,± 1 2 ,± 1 3 ,± 1 6 ±1,± 1 2 ,± 1 3 ,± 1 6
1, 1 2 ,− 1 3 1, 1 2 ,− 1 3
2, 1 4 ,− 3 2 2, 1 4 ,− 3 2
5 4 5 4
f(x)= 4 9 ( x 3 + x 2 −x−1 ) f(x)= 4 9 ( x 3 + x 2 −x−1 )
f(x)=− 1 5 ( 4 x 3 −x ) f(x)=− 1 5 ( 4 x 3 −x )
8 by 4 by 6 inches
5.5 by 4.5 by 3.5 inches
8 by 5 by 3 inches
Radius = 6 meters, Height = 2 meters
Radius = 2.5 meters, Height = 4.5 meters
3.7 Section Exercises
The rational function will be represented by a quotient of polynomial functions.
The numerator and denominator must have a common factor.
Yes. The numerator of the formula of the functions would have only complex roots and/or factors common to both the numerator and denominator.
All reals x≠–1,1 All reals x≠–1,1
All reals x≠–1,–2,1,2 All reals x≠–1,–2,1,2
V.A. at x=– 2 5 ; x=– 2 5 ; H.A. at y=0; y=0; Domain is all reals x≠– 2 5 x≠– 2 5
V.A. at x=4,–9; x=4,–9; H.A. at y=0; y=0; Domain is all reals x≠4,–9 x≠4,–9
V.A. at x=0,4,−4; x=0,4,−4; H.A. at y=0; y=0; Domain is all reals x≠0,4,–4 x≠0,4,–4
V.A. at x=5; x=5; H.A. at y=0; y=0; Domain is all reals x≠5,−5 x≠5,−5
V.A. at x= 1 3 ; x= 1 3 ; H.A. at y=− 2 3 ; y=− 2 3 ; Domain is all reals x≠ 1 3 . x≠ 1 3 .
none
x-intercepts none, y-intercept ( 0, 1 4 ) x-intercepts none, y-intercept ( 0, 1 4 )
Local behavior: x→− 1 2 + ,f(x)→−∞,x→− 1 2 − ,f(x)→∞ x→− 1 2 + ,f(x)→−∞,x→− 1 2 − ,f(x)→∞
End behavior: x→±∞,f(x)→ 1 2 x→±∞,f(x)→ 1 2
Local behavior: x→ 6 + ,f(x)→−∞,x→ 6 − ,f(x)→∞, x→ 6 + ,f(x)→−∞,x→ 6 − ,f(x)→∞, End behavior: x→±∞,f(x)→−2 x→±∞,f(x)→−2
Local behavior: x→ 1 3 + ,f(x)→–∞,x→ 1 3 − , x→ 1 3 + ,f(x)→–∞,x→ 1 3 − , f(x)→∞,x→− 5 2 − ,f(x)→–∞,x→− 5 2 + f(x)→∞,x→− 5 2 − ,f(x)→–∞,x→− 5 2 +, f(x)→∞ f(x)→∞
End behavior: x→±∞, x→±∞, f(x)→ 1 3 f(x)→ 1 3
y=2x+4 y=2x+4
y=2x y=2x
V.A.x=0,H.A.y=2 V.A.x=0,H.A.y=2
V.A.x=2,H.A.y=0 V.A.x=2,H.A.y=0
V.A.x=−4,H.A.y=2;( 3 2 ,0 );( 0,− 3 4 ) V.A.x=−4,H.A.y=2;( 3 2 ,0 );( 0,− 3 4 )
V.A.x=2,H.A.y=0,(0,1) V.A.x=2,H.A.y=0,(0,1)
V.A.x=−4,x= 4 3 ,H.A.y=1;(5,0);( − 1 3 ,0 );( 0, 5 16 ) V.A.x=−4,x= 4 3 ,H.A.y=1;(5,0);( − 1 3 ,0 );( 0, 5 16 )
V.A.x=−1,H.A.y=1;( −3,0 );( 0,3 ) V.A.x=−1,H.A.y=1;( −3,0 );( 0,3 ); removable discontinuity (hole) at ( 1,2 )( 1,2 )
V.A.x=4,S.A.y=2x+9;( −1,0 );( 1 2 ,0 );( 0, 1 4 ) V.A.x=4,S.A.y=2x+9;( −1,0 );( 1 2 ,0 );( 0, 1 4 )
V.A.x=−2,x=4,H.A.y=1,( 1,0 );( 5,0 );( −3,0 );( 0,− 15 16 ) V.A.x=−2,x=4,H.A.y=1,( 1,0 );( 5,0 );( −3,0 );( 0,− 15 16 )
y=50 x 2 −x−2 x 2 −25 y=50 x 2 −x−2 x 2 −25
y=7 x 2 +2x−24 x 2 +9x+20 y=7 x 2 +2x−24 x 2 +9x+20
y= 1 2 x 2 −4x+4 x+1 y= 1 2 x 2 −4x+4 x+1
y=4 x−3 x 2 −x−12 y=4 x−3 x 2 −x−12
27(x - 2) / ((x - 3)² (x + 3)) y=27 x−2 (x−3) 2 (x+3) y=27 x−2 (x−3) 2 (x+3)
y= 1 3 x 2 +x−6 x−1 y= 1 3 x 2 +x−6 x−1
y=−6 (x−1) 2 (x+3) (x−2) 2 y=−6 (x−1) 2 (x+3) (x−2) 2
row: x x | 2.01 | 2.001 | 2.0001 | 1.99 | 1.999
row: y y | 100 | 1,000 | 10,000 | –100 | –1,000
row: x x | 10 | 100 | 1,000 | 10,000 | 100,000
row: y y | .125 | .0102 | .001 | .0001 | .00001
Vertical asymptote x=2, x=2, Horizontal asymptote y=0 y=0
row: x x | –4.1 | –4.01 | –4.001 | –3.99 | –3.999
row: y y | 82 | 802 | 8,002 | –798 | –7998
row: x x | 10 | 100 | 1,000 | 10,000 | 100,000
row: y y | 1.4286 | 1.9331 | 1.992 | 1.9992 | 1.999992
Vertical asymptote x=−4, x=−4, Horizontal asymptote y=2 y=2
row: x x | –.9 | –.99 | –.999 | –1.1 | –1.01
row: y y | 81 | 9,801 | 998,001 | 121 | 10,201
row: x x | 10 | 100 | 1,000 | 10,000 | 100,000
row: y y | .82645 | .9803 | .998 | .9998
Vertical asymptote x=−1, x=−1, Horizontal asymptote y=1 y=1
( 3 2 ,∞ ) ( 3 2 ,∞ )
(−2,1)∪(4,∞) (−2,1)∪(4,∞)
( 2,4 ) ( 2,4 )
( 2,5 ) ( 2,5 )
( –1,1 ) ( –1,1 )
C(t)= 8+2t 300+20t C(t)= 8+2t 300+20t
After about 6.12 hours.
A(x)=50 x 2 + 800 x . A(x)=50 x 2 + 800 x . 2 by 2 by 5 feet.
A(x)=π x 2 + 100 x . A(x)=π x 2 + 100 x . Radius = 2.52 meters.
3.8 Section Exercises
It can be too difficult or impossible to solve for x x in terms of y. y.
We will need a restriction on the domain of the answer.
f −1 (x)= x +4 f −1 (x)= x +4
f −1 (x)= x+3 −1 f −1 (x)= x+3 −1
f −1 (x)=− x−5 3 f −1 (x)=− x−5 3
f(x)= 9−x f(x)= 9−x
f −1 (x)= x−5 3 f −1 (x)= x−5 3
f −1 (x)= 4−x 3 f −1 (x)= 4−x 3
f −1 (x)= x 2 −1 2 ,[ 0,∞ ) f −1 (x)= x 2 −1 2 ,[ 0,∞ )
f −1 (x)= ( x−9 ) 2 +4 4 ,[ 9,∞ ) f −1 (x)= ( x−9 ) 2 +4 4 ,[ 9,∞ )
f −1 (x)= ( x−9 2 ) 3 f −1 (x)= ( x−9 2 ) 3
f −1 (x)= 2−8x x f −1 (x)= 2−8x x
f −1 (x)= 7x−3 1−x f −1 (x)= 7x−3 1−x
f −1 (x)= 5x−4 4x+3 f −1 (x)= 5x−4 4x+3
f −1 (x)= x+1 −1 f −1 (x)= x+1 −1
f −1 (x)= x+6 +3 f −1 (x)= x+6 +3
f −1 (x)= 4−x f −1 (x)= 4−x
f −1 (x)= x +4 f −1 (x)= x +4
f −1 (x)= 1−x 3 f −1 (x)= 1−x 3
f −1 (x)= x+8 +3 f −1 (x)= x+8 +3
f −1 (x)= 1 x f −1 (x)= 1 x
[−2,1)∪[3,∞) [−2,1)∪[3,∞)
[−4,2)∪[5,∞) [−4,2)∪[5,∞)
(–2,0);(4,2);(22,3) (–2,0);(4,2);(22,3)
(–4,0);(0,1);(10,2) (–4,0);(0,1);(10,2)
(–3,−1);(1,0);(7,1) (–3,−1);(1,0);(7,1)
f −1 (x)= x+ b 2 4 − b 2 f −1 (x)= x+ b 2 4 − b 2
f −1 (x)= x 3 −b a f −1 (x)= x 3 −b a
t(h)= 200−h 4.9 , t(h)= 200−h 4.9 , 5.53 seconds
r(V)= 3V 4π 3 , r(V)= 3V 4π 3 , 3.63 feet
n(C)= 100C−25 0.6−C , n(C)= 100C−25 0.6−C , 250 mL
r(V)= V 6π , r(V)= V 6π , 3.99 meters
r(V)= V 4π , r(V)= V 4π , 1.99 inches
3.9 Section Exercises
The graph will have the appearance of a power function.
No. Multiple variables may jointly vary.
y=5 x 2 y=5 x 2
y=11944 x 3 y=11944 x 3
y=6 x 4 y=6 x 4
y= 18 x 2 y= 18 x 2
y= 81 x 4 y= 81 x 4
y= 20 x 3 y= 20 x 3
y=10xzw y=10xzw
y=10x z y=10x z
y=4 xz w y=4 xz w
y=40 xz w t 2 y=40 xz w t 2
y=256 y=256
y=6 y=6
y=6 y=6
y=27 y=27
y=3 y=3
y=18 y=18
y=90 y=90
y= 81 2 y= 81 2
y= 3 4 x 2 y= 3 4 x 2
y= 1 3 x y= 1 3 x
y= 4 x 2 y= 4 x 2
≈ 1.89 years
≈ 0.61 years
3 seconds
48 inches
≈ 49.75 pounds
≈ 33.33 amperes
≈ 2.88 inches
Review Exercises
2−2i 2−2i
24+3i 24+3i
{2+i,2−i} {2+i,2−i}
f(x)= (x−2) 2 −9vertex(2,–9),intercepts(5,0);(–1,0);(0,–5) f(x)= (x−2) 2 −9vertex(2,–9),intercepts(5,0);(–1,0);(0,–5)
f(x)= 3 25 ( x+2 ) 2 +3 f(x)= 3 25 ( x+2 ) 2 +3
300 meters by 150 meters, the longer side parallel to river.
Yes, degree = 5, leading coefficient = 4
Yes, degree = 4, leading coefficient = 1
Asx→−∞,f(x)→−∞,asx→∞,f(x)→∞ Asx→−∞,f(x)→−∞,asx→∞,f(x)→∞
–3 with multiplicity 2, 1 2 1 2 with multiplicity 1, –1 with multiplicity 3
4 with multiplicity 1
1 2 1 2 with multiplicity 1, 3 with multiplicity 3
x 2 +4 x 2 +4with remainder 12
x 2 −5x+20− 61 x+3 x 2 −5x+20− 61 x+3
2 x 2 −2x−3 2 x 2 −2x−3, so factored form is (x+4)(2 x 2 −2x−3) (x+4)(2 x 2 −2x−3)
{ −2,4,− 1 2 } { −2,4,− 1 2 }
{ 1,3,4, 1 2 } { 1,3,4, 1 2 }
0 or 2 positive, 1 negative
Intercepts (–2,0)and( 0,− 2 5 ) (–2,0)and( 0,− 2 5 ), Asymptotes x=5 x=5 and y=1. y=1.
Intercepts (3, 0), (-3, 0), and ( 0, 27 2 ) ( 0, 27 2 ), Asymptotes x=1,x=–2,y=3. x=1,x=–2,y=3.
y=x−2 y=x−2
f −1 (x)= x +2 f −1 (x)= x +2
f −1 (x)= x+11 −3 f −1 (x)= x+11 −3
f −1 (x)= (x+3) 2 −5 4 ,x≥−3 f −1 (x)= (x+3) 2 −5 4 ,x≥−3
y=64 y=64
y=72 y=72
148.5 pounds
Practice Test
20−10i 20−10i
{2+3i,2−3i} {2+3i,2−3i}
Asx→−∞,f(x)→−∞,asx→∞,f(x)→∞ Asx→−∞,f(x)→−∞,asx→∞,f(x)→∞
f(x)= ( x+1 ) 2 −9 f(x)= ( x+1 ) 2 −9, vertex ( −1,−9 ) ( −1,−9 ), intercepts ( 2,0 );( −4,0 );( 0,−8 ) ( 2,0 );( −4,0 );( 0,−8 )
60,000 square feet
0 with multiplicity 4, 3 with multiplicity 2
2 x 2 −4x+11− 26 x+2 2 x 2 −4x+11− 26 x+2
2 x 2 −x−4 2 x 2 −x−4. So factored form is (x+3)(2 x 2 −x−4) (x+3)(2 x 2 −x−4)
− 1 2 − 1 2 (has multiplicity 2), −1±i 15 2 −1±i 15 2
−2 −2 (has multiplicity 3), ±i ±i
f(x)=2 ( 2x−1 ) 3 ( x+3 ) f(x)=2 ( 2x−1 ) 3 ( x+3 )
Intercepts (−4,0),( 0,− 4 3 ) (−4,0),( 0,− 4 3 ), Asymptotes x=3,x=−1,y=0 x=3,x=−1,y=0.
y=x+4 y=x+4
f −1 (x)= x+4 3 3 f −1 (x)= x+4 3 3
y=18 y=18
4 seconds