Try It
3π 2 3π 2
−135°
7π 10 7π 10
α=150° α=150°
β=60° β=60°
7π 6 7π 6
215π 18 =37.525 units 215π 18 =37.525 units
1.88
3π 2 3π 2 rad/s
1655 kilometers per hour
cos(t)=− 2 2 ,sin(t)= 2 2 cos(t)=− 2 2 ,sin(t)= 2 2
cos(π)=−1, cos(π)=−1, sin(π)=0 sin(π)=0
sin(t)=− 7 25 sin(t)=− 7 25
approximately 0.866025403
π 3 π 3
ⓐ cos(315°)= 2 2 , sin(315°)= – 2 2 cos(315°)= 2 2 , sin(315°)= – 2 2
ⓑ cos(− π 6 )= 3 2 , sin( − π 6 )=− 1 2 cos(− π 6 )= 3 2 , sin( − π 6 )=− 1 2
( 1 2 ,− 3 2 ) ( 1 2 ,− 3 2 )
sint=− 2 2 sint=− 2 2 , cost= 2 2 cost= 2 2, tant=−1tant=−1, sect= 2 sect= 2, csct=− 2 csct=− 2, cott=−1 cott=−1
sin π 3 = 3 2 sin π 3 = 3 2, cos π 3 = 1 2 cos π 3 = 1 2, tan π 3 = 3 tan π 3 = 3, sec π 3 =2sec π 3 =2, csc π 3 = 2 3 3 csc π 3 = 2 3 3, cot π 3 = 3 3 cot π 3 = 3 3
sin( −7π 4 )= 2 2 ,cos( −7π 4 )= 2 2 ,tan( −7π 4 )=1, sin( −7π 4 )= 2 2 ,cos( −7π 4 )= 2 2 ,tan( −7π 4 )=1, sec( −7π 4 )= 2 ,csc( −7π 4 )= 2 ,cot( −7π 4 )=1 sec( −7π 4 )= 2 ,csc( −7π 4 )= 2 ,cot( −7π 4 )=1
− 3 − 3
−2 −2
ਸਿੰਟ ਸਿੰਟ
ਕੋਸ = − 8 17 , ਸਿਨਟ = 15 17 , ਟੈਨਟ = − 15 8 ਕੋਸ = − 8 17 , ਸਿਨਟ = 15 17 , ਟੈਨਟ = − 15 8 ਸੀਐਸਸੀਟੀ = 17 15 , ਕੋਟਟੀ = − 8 15 ਸੀਐਸਸੀਟੀ = 17 15 , ਕੋਟਟੀ = − 8 15
ਸਿਨਟ = −1, ਕੋਸ = 0, ਟੈਨਟ = ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੈਕਟ = ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ, ਸੀਐਸਸੀਟੀ = −1, ਕੋਟਟੀ = 0 ਸਿਨਟ = −1, ਕੋਸ = 0, ਟੈਨਟ = ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੈਕਟ = ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ, ਸੀਐਸਸੀਟੀ = −1, ਕੋਟਟੀ = 0
ਸੈਕਟ = 2 , ਸੀਐਸਸੀਟੀ = 2 , ਟੈਨਟ = 1, ਕੋਟਟੀ = 1 ਸੈਕਟ = 2 , ਸੀਐਸਸੀਟੀ = 2 , ਟੈਨਟ = 1, ਕੋਟਟੀ = 1
≈−2.414 ≈−2.414
7 25 7 25
ਸਿਨਟ = 33 65 , ਕੋਸ = 56 65 , ਟੈਨਟ = 33 56 , ਸੈਕਟ = 65 56 , ਸੀਐਸਸੀਟੀ = 65 33 , ਕੋਟਟੀ = 56 33 ਸਿਨਟ = 33 65 , ਕੋਸ = 56 65 , ਟੈਨਟ = 33 56 , ਸੈਕਟ = 65 56 , ਸੀਐਸਸੀਟੀ = 65 33 , ਕੋਟਟੀ = 56 33
ਸਿਨ( π 4 )= 1 2 , ਕੋਸ( π 4 )= 1 2 , ਟੈਨ( π 4 )=1, ਸਿਨ( π 4 )= 1 2 , ਕੋਸ( π 4 )= 1 2 , ਟੈਨ( π 4 )=1, ਸੈਕ( π 4 )= 2 , ਸੀਐਸਸੀ( π 4 )= 2 , ਕੋਟ( π 4 )=1 ਸੈਕ( π 4 )= 2 , ਸੀਐਸਸੀ( π 4 )= 2 , ਕੋਟ( π 4 )=1
2
ਲਗਵਾਂ = 10; ਲਗਵਾਂ = 10; ਸਾਹਮਣੇ = 10 3 ਸਾਹਮਣੇ = 10 3; ਗੁੰਮ ਕੋਣ π 6 ਹੈ π 6
ਲਗਭਗ 52 ਫੁੱਟ
5.1 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਭਾਵੇਂ ਕੋਣ ਧਨ ਹੈ ਜਾਂ ਰਿਣ, ਦਿਸ਼ਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਧਨ ਕੋਣ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਰਿਣ ਕੋਣ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਰੇਖੀ ਗਤੀ ਇੱਕ ਮਾਪ ਹੈ ਜੋ ਸਮੇਂ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਚਾਪ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੋਣੀ ਗਤੀ ਇੱਕ ਮਾਪ ਹੈ ਜੋ ਸਮੇਂ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਚਾਪ ਦੇ ਕੋਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
240°
4π 3 4π 3
2π 3 2π 3
7π 2 ≈11.00 ਵਰਗ ਇੰਚ 7π 2 ≈11.00 ਵਰਗ ਇੰਚ
81π 20 ≈12.72 ਵਰਗ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ 81π 20 ≈12.72 ਵਰਗ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ
20°
60°
−75°
π 2 π 2 ਰੇਡੀਅਨ
−3π −3π ਰੇਡੀਅਨ
ਪਾਈ ਰੇਡੀਅਨ
5ਪਾਈ ਬਟਾ 6 ਰੇਡੀਅਨ
5.02ਪਾਈ ਬਟਾ 3 ≈5.26 ਮੀਲ
25ਪਾਈ ਬਟਾ 9 ≈8.73 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ
21ਪਾਈ ਬਟਾ 10 ≈6.60 ਮੀਟਰ
104.7198 ਵਰਗ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ
0.7697 ਵਰਗ ਇੰਚ
250°
320°
4ਪਾਈ ਬਟਾ 3
8ਪਾਈ ਬਟਾ 9
1320 ਰੇਡ/ਮਿੰਟ 210.085 RPM
7 ਇੰਚ/ਸੈਕੰਡ, 4.77 RPM, 28.65 ਡਿਗਰੀ/ਸੈਕੰਡ
1,809,557.37 ਮਿਲੀਮੀਟਰ/ਮਿੰਟ=30.16 ਮੀਟਰ/ਸੈਕੰਡ
5.76 ਮੀਲ
120°
794 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ
2,234 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ
11.5 ਇੰਚ
5.2 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 1 ਹੈ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੈ।
ਸਹਿ-ਅੰਤਿਮ ਕੋਣ ਉਹ ਕੋਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕੋ ਅੰਤਿਮ ਭੁਜਾ ਸਾਂਝੀ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਕੋਣ t t ਦੀ ਅੰਤਿਮ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣ, t, ਦਾ ਮਾਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨ ਮੁੱਲ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।
ਮੈਂ
IV
3 2 3 2
1 2 1 2
2 2 2 2
0
-1
3 2 3 2
60° 60°
80° 80°
45° 45°
π 3 π 3
π 3 π 3
π 8 π 8
60°, 60°, ਚੌਥਾ ਚਰਨ, sin(300°)=− 3 2 ,cos(300°)= 1 2
45°, 45°, ਦੂਜਾ ਚਰਨ, sin(135°)= 2 2 , cos(135°)=− 2 2
60°, 60°, ਦੂਜਾ ਚਰਨ, sin(120°)= 3 2 , cos(120°)=− 1 2
30°, 30°, ਦੂਜਾ ਚਰਨ, sin(150°)= 1 2 , cos(150°)=− 3 2
π 6 , π 6 , ਤੀਜਾ ਚਰਨ, sin( 7π 6 )=− 1 2 , cos( 7π 6 )=− 3 2
π 4 , π 4 , ਦੂਜਾ ਚਰਨ, sin( 3π 4 )= 2 2 , cos( 3π 4 )=− 2 2
π 3 , π 3 , ਦੂਜਾ ਚਰਨ, sin( 2π 3 )= 3 2 , cos( 2π 3 )=− 1 2
π 4 , π 4 , ਚੌਥਾ ਚਰਨ, sin( 7π 4 )=− 2 2 , cos( 7π 4 )= 2 2
77 9 77 9
− 15 4 − 15 4
( −10,10 3 )
( –2.778,15.757 )
[ –1,1 ] [ –1,1 ]
sint= 1 2 ,cost=− 3 2 sint= 1 2 ,cost=− 3 2
sint=− 2 2 ,cost=− 2 2 sint=− 2 2 ,cost=− 2 2
sint= 3 2 ,cost=− 1 2 sint= 3 2 ,cost=− 1 2
sint=− 2 2 ,cost= 2 2 sint=− 2 2 ,cost= 2 2
sint=0,cost=−1 sint=0,cost=−1
sint=−0.596,cost=0.803 sint=−0.596,cost=0.803
sint= 1 2 ,cost= 3 2 sint= 1 2 ,cost= 3 2
sint=− 1 2 ,cost= 3 2 sint=− 1 2 ,cost= 3 2
sint=0.761,cost=−0.649 sint=0.761,cost=−0.649
sint=1,cost=0 sint=1,cost=0
−0.1736
0.9511
−0.7071
−0.1392
−0.7660
2 4 2 4
− 6 4 − 6 4
2 4 2 4
2 4 2 4
0
( 0,–1 ) ( 0,–1 )
37.5 seconds, 97.5 seconds, 157.5 seconds, 217.5 seconds, 277.5 seconds, 337.5 seconds
5.3 Section Exercises
Yes, when the reference angle is π 4 π 4 and the terminal side of the angle is in quadrants I and III. Thus, at x= π 4 , 5π 4 , x= π 4 , 5π 4 , the sine and cosine values are equal.
Substitute the sine of the angle in for y y in the Pythagorean Theorem x 2 + y 2 =1. x 2 + y 2 =1. Solve for x x and take the negative solution.
The outputs of tangent and cotangent will repeat every π π units.
2 3 3 2 3 3
3 3
2 2
1
2
3 3 3 3
− 2 3 3 − 2 3 3
3 3
− 2 − 2
−1
−2
− 3 3 − 3 3
2
3 3 3 3
−2
−1
If sint=− 2 2 3 sint=− 2 2 3, sect=−3sect=−3, csct=− 3 2 4 csct=− 3 2 4, tant=2 2 tant=2 2, cott= 2 4 cott= 2 4
sect=2 sect=2, csct= 2 3 3 csct= 2 3 3, tant= 3 tant= 3, cott= 3 3 cott= 3 3
− 2 2 − 2 2
3.1
1.4
2.000, 2.000, 1.000, 1.000, 2.000, 2.000
−1.500, −0.500, 1.500, 1.500, −2.000, −2.000, −0.667, −0.667
−0.228
−2.414
1.414
1.540
1.556
ਸਾਈਨ(ਟੀ) ≈ 0.79 ਸਾਈਨ(ਟੀ) ≈ 0.79
ਸੀਕੈਂਟ(ਟੀ) ≈ 1.16 ਸੀਕੈਂਟ(ਟੀ) ≈ 1.16
ਭਾਵੇਂ
ਭਾਵੇਂ
ਸਾਈਨ(ਟੀ) ਕੋਸਾਈਨ(ਟੀ) = ਟੈਂਜੈਂਟ(ਟੀ) ਸਾਈਨ(ਟੀ) ਕੋਸਾਈਨ(ਟੀ) = ਟੈਂਜੈਂਟ(ਟੀ)
13.77 ਘੰਟੇ, ਅਵਧੀ: 1000π 1000π
7.73 ਇੰਚ
5.4 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਇੱਕ ਕੋਣ ਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ (ਸਪਰਸ਼) ਉਸਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਕੋਣ ਦਾ ਸਾਈਨ ਉਸਦੇ ਪੂਰਕ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਇੱਕ ਕੋਣ ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ ਉਸਦੇ ਪੂਰਕ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
π 6 π 6
π 4 π 4
b = 20/3, c = 40/3 b = 20/3, c = 40/3
a = 10,000, c = 10,000.5 a = 10,000, c = 10,000.5
b = 5/3, c = 10/3 b = 5/3, c = 10/3
5/29 5/29
5/2 5/2
29 2 29 2
5 41 41 5 41 41
5 4 5 4
41 4 41 4
c=14,b=7 3 c=14,b=7 3
a=15,b=15 a=15,b=15
b=9.9970,c=12.2041 b=9.9970,c=12.2041
a=2.0838,b=11.8177 a=2.0838,b=11.8177
a=55.9808,c=57.9555 a=55.9808,c=57.9555
a=46.6790,b=17.9184 a=46.6790,b=17.9184
a=16.4662,c=16.8341 a=16.4662,c=16.8341
188.3159
200.6737
498.3471 ft
1060.09 ft
27.372 ft
22.6506 ft
368.7633 ft
ਸਮੀਖਿਆ ਅਭਿਆਸ
45° 45°
− 7π 6 − 7π 6
10.385 ਮੀਟਰ
60° 60°
2π 11 2π 11
1036.73 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ
3 2 3 2
–1
π 4 π 4
− 2 2 − 2 2
[ –1,1 ] [ –1,1 ]
1
2 2
2 2
0.6
2 2 2 2 ਜਾਂ − 2 2 − 2 2
ਸਾਈਨ, ਕੋਸੀਕੈਂਟ, ਟੈਂਜੈਂਟ, ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ
3 3 3 3
0
b=8,c=10 b=8,c=10
11 157 157 11 157 157
a=4,b=4 a=4,b=4
14.0954 ਫੁੱਟ
ਅਭਿਆਸ ਪ੍ਰੀਖਿਆ
150° 150°
6.283 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ
15° 15°
3.351 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸੈਕੰਡ, 2π 75 2π 75 ਰੇਡੀਅਨ ਪ੍ਰਤੀ ਸੈਕੰਡ
− 3 2 − 3 2
1. [ –1,1 ] [ –1,1 ]
2. 3 3
3. 3 3 3 3
4. 3 2 3 2
5. π 3 π 3
6. a= 9 2 ,b= 9 3 2 a= 9 2 ,b= 9 3 2