1. ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਕੜਾ-ਸਮੂਹ ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਅੰਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨਤਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਅੰਕੜਾ-ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ, ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ ਦੇ ਨੇੜੇ-ਤੇੜੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਹੋਰ ਅੰਕੜਾ-ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ, ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਭਿੰਨਤਾ, ਜਾਂ ਫੈਲਾਅ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਮਾਪ, ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਮਾਪਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਆਪਣੇ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਦੂਰ ਹਨ।
2. ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ
3. ਅੰਕੜਾ-ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨਤਾ ਦੀ ਕੁੱਲ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮਾਪ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ
4. ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਖਾਸ ਅੰਕੜਾ ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ ਜਾਂ ਦੂਰ ਹੈ।
5. ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਅੰਕੜਾ-ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਭਿੰਨਤਾ ਦਾ ਮਾਪ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
6. ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਾਰੇ ਅੰਕੜੇ ਮੱਧਮਾਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਥੋੜ੍ਹੀ ਭਿੰਨਤਾ ਜਾਂ ਫੈਲਾਅ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਵਧੇਰੇ ਭਿੰਨਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
7. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ A ਅਤੇ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ B ਵਿਖੇ ਚੈੱਕਆਊਟ 'ਤੇ ਗਾਹਕਾਂ ਦੇ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਉਡੀਕ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਦੋਵਾਂ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟਾਂ ਵਿੱਚ ਔਸਤ ਉਡੀਕ ਸਮਾਂ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਹੈ। ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ A ਵਿੱਚ, ਉਡੀਕ ਸਮੇਂ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੋ ਮਿੰਟ ਹੈ; ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ B ਵਿੱਚ, ਉਡੀਕ ਸਮੇਂ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਚਾਰ ਮਿੰਟ ਹੈ।
8. ਕਿਉਂਕਿ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ B ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਉੱਚਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ B ਵਿੱਚ ਉਡੀਕ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਭਿੰਨਤਾ ਹੈ। ਕੁੱਲ ਮਿਲਾ ਕੇ, ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ B ਵਿਖੇ ਉਡੀਕ ਸਮੇਂ ਔਸਤ ਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ ਜਦੋਂ ਕਿ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ A ਵਿਖੇ ਉਡੀਕ ਸਮੇਂ ਔਸਤ ਦੇ ਨੇੜੇ ਵਧੇਰੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਨ।
9. ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਅੰਕੜਾ ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ ਜਾਂ ਦੂਰ ਹੈ।
10. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਰੋਜ਼ਾ ਅਤੇ ਬਿੰਨ ਦੋਵੇਂ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ A ਵਿੱਚ ਖਰੀਦਦਾਰੀ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਰੋਜ਼ਾ ਚੈੱਕਆਊਟ ਕਾਊਂਟਰ 'ਤੇ ਸੱਤ ਮਿੰਟ ਉਡੀਕ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਿੰਨ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਉਡੀਕ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ A ਵਿੱਚ, ਔਸਤ ਉਡੀਕ ਸਮਾਂ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਹੈ, ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੋ ਮਿੰਟ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਅੰਕੜਾ ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ ਜਾਂ ਦੂਰ ਹੈ। ਜ਼ੈਡ-ਸਕੋਰ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਸਕੋਰ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਅੰਕੜਾ-ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਅੰਕੜਾ ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੂਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਸਕੋਰ ਅਤੇ ਜਨਸੰਖਿਆ ਮੱਧਮਾਨ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਜਨਸੰਖਿਆ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਨਾਲ ਕਰਨ 'ਤੇ ਆਧਾਰਿਤ ਹੈ।
11. ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
12. ਕਤਾਰ: ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ | ਜਨਸੰਖਿਆ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ, σ | ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਸਕੋਰ, x | ਜਨਸੰਖਿਆ ਮੱਧਮਾਨ, μ
13. ਕਤਾਰ: ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ A | 2 ਮਿੰਟ | 7, 1 | 5
14. ਕਤਾਰ: ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ B | 4 ਮਿੰਟ | 5
15. ਕਿਉਂਕਿ ਰੋਜ਼ਾ ਅਤੇ ਬਿੰਨ ਸਿਰਫ਼ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ A ਵਿੱਚ ਖਰੀਦਦਾਰੀ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ B ਲਈ ਕਤਾਰ ਨੂੰ ਅਣਡਿੱਠਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
16. ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਉਡੀਕ ਸਮੇਂ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਤੋਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ; ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਜ਼ੈਡ-ਸਕੋਰਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਅਜਿਹਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
17. ਰੋਜ਼ਾ ਨੇ ਸੱਤ ਮਿੰਟ ਉਡੀਕ ਕੀਤੀ, ਇਸ ਲਈ ਜਨਸੰਖਿਆ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਇਸ ਵਿਕਲਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਜ਼ੈਡ-ਸਕੋਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
18. ਇੱਕ ਦਾ ਜ਼ੈਡ-ਸਕੋਰ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਰੋਜ਼ਾ ਦਾ ਉਡੀਕ ਸਮਾਂ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਦੇ ਔਸਤ ਉਡੀਕ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਉੱਪਰ ਹੈ।
19. ਬਿੰਨ ਨੇ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਉਡੀਕ ਕੀਤੀ, ਇਸ ਲਈ ਜਨਸੰਖਿਆ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਇਸ ਵਿਕਲਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਜ਼ੈਡ-ਸਕੋਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
20. -2 ਦਾ ਜ਼ੈਡ-ਸਕੋਰ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਬਿੰਨ ਦਾ ਉਡੀਕ ਸਮਾਂ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਦੇ ਔਸਤ ਉਡੀਕ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਹੇਠਾਂ ਹੈ।
21. ਔਸਤ ਤੋਂ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੂਰ ਇੱਕ ਅੰਕੜਾ ਮੁੱਲ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅੰਕੜਾ-ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਔਸਤ ਤੋਂ ਦੂਰ ਮੰਨੇ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਸੀਮਾ 'ਤੇ ਹੈ। ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਤੋਂ ਦੂਰ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਮੰਨਣਾ ਇੱਕ ਸਖ਼ਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਬਜਾਏ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਨਿਯਮ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਵੰਡ ਦਾ ਆਕਾਰ ਇਸ ਗੱਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿੰਨੇ ਅੰਕੜੇ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਤੋਂ ਦੂਰ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਅਧਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਸਿੱਖੋਗੇ।
22. ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਤੁਹਾਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਪੰਜ ਅਤੇ ਸੱਤ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਰੱਖੀਏ, ਤਾਂ ਸੱਤ ਪੰਜ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ, ਕਿ ਸੱਤ ਪੰਜ ਤੋਂ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 5 + (1)(2) = 7।
23. ਜੇ ਇੱਕ ਵੀ ਅੰਕੜਾ-ਸਮੂਹ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਪੰਜ ਤੋਂ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦਾ ਕਿਉਂਕਿ 5 + (–2)(2) = 1।
24. ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਮੁੱਲ = ਮੱਧਮਾਨ + (#ਔਫSTDEV)(ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ)
where #ofSTDEVs = the number of standard deviations
#ofSTDEV does not need to be an integer
One is two standard deviations less than the mean of five because 1 = 5 + (–2)(2).
The equation value = mean + (#ofSTDEVs)(standard deviation) can be expressed for a sample and for a population as follows:
Sample: x = x ¯ + (#ofSTDEV)(s) x = x ¯ + (#ofSTDEV)(s)
Population: x=μ+(#ofSTDEV)(σ) . x=μ+(#ofSTDEV)(σ) .
The lowercase letter s represents the sample standard deviation and the Greek letter σ (lower case) represents the population standard deviation. The symbol x¯ x is the sample mean, and the Greek symbol μμ is the population mean.
Calculating the Standard Deviation
If x is a number, then the difference x – mean is called its deviation. In a data set, there are as many deviations as there are items in the data set. The deviations are used to calculate the standard deviation. If the numbers belong to a population, in symbols, a deviation is x – μ. For sample data, in symbols, a deviation is x – x ¯ x ¯.
The procedure to calculate the standard deviation depends on whether the numbers are the entire population or are data from a sample. The calculations are similar but not identical. Therefore, the symbol used to represent the standard deviation depends on whether it is calculated from a population or a sample. The lowercase letter s represents the sample standard deviation and the Greek letter σ (lowercase sigma) represents the population standard deviation. If the sample has the same characteristics as the population, then s should be a good estimate of σ.
To calculate the standard deviation, we need to calculate the variance first. The variance is the average of the squares of the deviations (the x – x ¯ x ¯ values for a sample or the x – μ values for a population). The symbol σ2 represents the population variance; the population standard deviation σ is the square root of the population variance. The symbol s2 represents the sample variance; the sample standard deviation s is the square root of the sample variance. You can think of the standard deviation as a special average of the deviations.
If the numbers come from a census of the entire population and not a sample, when we calculate the average of the squared deviations to find the variance, we divide by N, the number of items in the population. If the data are from a sample rather than a population, when we calculate the average of the squared deviations, we divide by n – 1, one less than the number of items in the sample.
Formulas for the Sample Standard Deviation
s= Σ (x − x ¯ ) 2 n−1 s= Σ (x − x ¯ ) 2 n−1 or s= Σf (x− x ¯ ) 2 n−1 s= Σf (x− x ¯ ) 2 n−1
For the sample standard deviation, the denominator is n−; that is, the sample size minus 1.
Formulas for the Population Standard Deviation
σ = Σ (x−μ) 2 N σ = Σ (x−μ) 2 N or σ = Σf (x–μ) 2 N σ = Σf (x–μ) 2 N
For the population standard deviation, the denominator is N, the number of items in the population.
In these formulas, f represents the frequency with which a value appears. For example, if a value appears once, f is one. If a value appears three times in the data set or population, f is three.
Types of Variability in Samples
When researchers study a population, they often use a sample, either for convenience or because it is not possible to access the entire population. Variability is the term used to describe the differences that may occur in these outcomes. Common types of variability include the following:
Observational or measurement variability
Natural variability
Induced variability
Sample variability
Here are some examples to describe each type of variability:
Example 1: Measurement variability
Measurement variability occurs when there are differences in the instruments used to measure or in the people using those instruments. If we are gathering data on how long it takes for a ball to drop from a height by having students measure the time of the drop with a stopwatch, we may experience measurement variability if the two stopwatches used were made by different manufacturers. For example, one stopwatch measures to the nearest second, whereas the other one measures to the nearest tenth of a second. We also may experience measurement variability because two different people are gathering the data. Their reaction times in pressing the button on the stopwatch may differ; thus, the outcomes will vary accordingly. The differences in outcomes may be affected by measurement variability.
Example 2: Natural variability
Natural variability arises from the differences that naturally occur because members of a population differ from each other. For example, if we have two identical corn plants and we expose both plants to the same amount of water and sunlight, they may still grow at different rates simply because they are two different corn plants. The difference in outcomes may be explained by natural variability.
Example 3: Induced variability
Induced variability is the counterpart to natural variability. This occurs because we have artificially induced an element of variation that, by definition, was not present naturally. For example, we assign people to two different groups to study memory, and we induce a variable in one group by limiting the amount of sleep they get. The difference in outcomes may be affected by induced variability.
Example 4: Sample variability
Sample variability occurs when multiple random samples are taken from the same population. For example, if I conduct four surveys of 50 people randomly selected from a given population, the differences in outcomes may be affected by sample variability.
Sampling Variability of a Statistic
The statistic of a sampling distribution was discussed in Descriptive Statistics: Measures of the Center of the Data. How much the statistic varies from one sample to another is known as the sampling variability of a statistic. You typically measure the sampling variability of a statistic by its standard error. The standard error of the mean is an example of a standard error. The standard error is the standard deviation of the sampling distribution. In other words, it is the average standard deviation that results from repeated sampling. You will cover the standard error of the mean in the chapter The Central Limit Theorem (not now). The notation for the standard error of the mean is σ n σ n, where σ is the standard deviation of the population and n is the size of the sample.
In practice, use a calculator or computer software to calculate the standard deviation. If you are using a TI-83, 83+, or 84+ calculator, you need to select the appropriate standard deviation σx or sx from the summary statistics. We will concentrate on using and interpreting the information that the standard deviation gives us. However, you should study the following step-by-step example to help you understand how the standard deviation measures variation from the mean. The calculator instructions appear at the end of this example.
Example 2.33
In a fifth-grade class, the teacher was interested in the average age and the sample standard deviation of the ages of her students. The following data are the ages for a SAMPLE of n = 20 fifth-grade students. The ages are rounded to the nearest half year.
9, 9.5, 9.5, 10, 10, 10, 10, 10.5, 10.5, 10.5, 10.5, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11.5, 11.5, 11.5
The average age is 10.53 years, rounded to two places.
The variance may be calculated by using a table. Then the standard deviation is calculated by taking the square root of the variance. We will explain the parts of the table after calculating s.
row: Data | Frequency | Deviations | Deviations2 | (Frequency)(Deviations2)
row: x | f | (x – x ¯ x ¯) | (x – x ¯ x ¯)2 | (f)(x – x ¯ x ¯)2
row: 9 | 1 | 9 – 10.525 = –1.525 | (–1.525)2 = 2.325625 | 1 × 2.325625 = 2.325625
row: 9.5 | 2 | 9.5 – 10.525 = –1.025 | (–1.025)2 = 1.050625 | 2 × 1.050625 = 2.101250
row: 10 | 4 | 10 – 10.525 = –.525 | (–.525)2 = .275625 | 4 × .275625 = 1.1025
row: 10.5 | 4 | 10.5 – 10.525 = –.025 | (–.025)2 = .000625 | 4 × .000625 = .0025
1. ਕਤਾਰ: 11 | 6 | 11 – 10.525 = .475 | (.475)2 = .225625 | 6 × .225625 = 1.35375
2. ਕਤਾਰ: 11.5 | 3 | 11.5 – 10.525 = .975 | (.975)2 = .950625 | 3 × .950625 = 2.851875
3. ਜੋੜ 9.7375 ਹੈ।
4. ਆਖਰੀ ਕਾਲਮ ਸਿਰਫ ਹਰੇਕ ਡਾਟਾ ਮੁੱਲ ਲਈ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਦੁਆਰਾ ਵਰਗ ਕੀਤੇ ਗਏ ਭਟਕਾਅ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
5. ਨਮੂਨਾ ਭਿੰਨਤਾ, s2, ਆਖਰੀ ਕਾਲਮ (9.7375) ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਕੁੱਲ ਡਾਟਾ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ (20 – 1) ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ:
6. ਨਮੂਨਾ ਮਿਆਰੀ ਭਟਕਾਅ s, ਨਮੂਨਾ ਭਿੰਨਤਾ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ:
7. s= .5125 =.715891, s= .5125 =.715891, ਜਿਸਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, s = .72।
8. ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ 'ਤੇ ਮਿਆਰੀ ਭਟਕਾਅ ਲਈ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਨਤੀਜੇ ਗੋਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਲਈ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
9. ਸਮੱਸਿਆ
10. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਮੁੱਲ = ਮੱਧਮਾਨ + (#STDEVs ਦੀ ਗਿਣਤੀ)(ਮਿਆਰੀ ਭਟਕਾਅ)। ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ 'ਤੇ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਭਟਕਾਅ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਫਾਰਮੂਲੇ z-ਸਕੋਰ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੇਰਫੇਰ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਜਾਂ ਅੰਕੜੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
11. ਇੱਕ ਨਮੂਨੇ ਲਈ: x = x̄ + (#STDEVs ਦੀ ਗਿਣਤੀ)(s)
12. ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਲਈ: x = μ + (#STDEVs ਦੀ ਗਿਣਤੀ)(σ)
13. ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, x = x̄ + (#STDEVs ਦੀ ਗਿਣਤੀ)(s) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿਉਂਕਿ ਡਾਟਾ ਇੱਕ ਨਮੂਨੇ ਤੋਂ ਹੈ
14. ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ 'ਤੇ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਭਟਕਾਅ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
15. ਉਹ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜੋ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਭਟਕਾਅ ਉੱਪਰ ਹੈ। (x̄ + 1s) ਲੱਭੋ।
16. ਉਹ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜੋ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਭਟਕਾਅ ਹੇਠਾਂ ਹੈ। (x̄ – 2s) ਲੱਭੋ।
17. ਉਹ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜੋ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ 1.5 ਮਿਆਰੀ ਭਟਕਾਅ (ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ ਉੱਪਰ) ਹਨ।
18. ਹੱਲ
19. TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਸੂਚੀਆਂ L1 ਅਤੇ L2 ਨੂੰ ਸਾਫ਼ ਕਰੋ। STAT 4:ClrList ਦਬਾਓ। L1 ਲਈ 2nd 1, ਕਾਮਾ (,), ਅਤੇ L2 ਲਈ 2nd 2 ਦਰਜ ਕਰੋ। ਸੂਚੀ ਸੰਪਾਦਕ ਵਿੱਚ ਡਾਟਾ ਦਰਜ ਕਰੋ। STAT 1:EDIT ਦਬਾਓ। ਜੇਕਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਨਾਮ ਵਿੱਚ ਤੀਰ ਚਲਾ ਕੇ ਸੂਚੀਆਂ ਨੂੰ ਸਾਫ਼ ਕਰੋ। CLEAR ਦਬਾਓ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ। ਡਾਟਾ ਮੁੱਲ (9, 9.5, 10, 10.5, 11, 11.5) ਨੂੰ ਸੂਚੀ L1 ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾਵਾਂ (1, 2, 4, 4, 6, 3) ਨੂੰ ਸੂਚੀ L2 ਵਿੱਚ ਪਾਓ। ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਜਾਣ ਲਈ ਤੀਰ ਕੁੰਜੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ CALC ਤੱਕ ਤੀਰ ਚਲਾਓ। 1:1-VarStats ਦਬਾਓ ਅਤੇ L1 (2nd 1), L2 (2nd 2) ਦਰਜ ਕਰੋ। ਕਾਮਾ ਨਾ ਭੁੱਲੋ। ENTER ਦਬਾਓ। x̄ = 10.525। Sx ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਨਮੂਨਾ ਡਾਟਾ ਹੈ (ਆਬਾਦੀ ਨਹੀਂ): Sx=.715891।
20. (x̄ + 1s) = 10.53 + (1)(.72) = 11.25
21. (x̄ – 2s) = 10.53 – (2)(.72) = 9.09
22. (x̄ – 1.5s) = 10.53 – (1.5)(.72) = 9.45 (x̄ + 1.5s) = 10.53 + (1.5)(.72) = 11.61
23. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 2.33
24. ਇੱਕ ਬੇਸਬਾਲ ਟੀਮ 'ਤੇ, ਖਿਡਾਰੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੀ ਉਮਰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ:
1. 21, 21, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 28, 29, 29, 31, 32, 33, 33, 34, 35, 36, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40
2. ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਉਹ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਉੱਪਰ ਹੈ।
3. ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਗਣਨਾ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ।
4. ਵਿਕਲਪ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਅੰਕੜੇ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਖਿਲਰੇ ਹੋਏ ਹਨ। ਅੰਕੜੇ ਦਾ ਮੁੱਲ 11.5, ਅੰਕੜੇ ਦੇ ਮੁੱਲ 11 ਤੋਂ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਦੂਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਵਿਕਲਪ .97 ਅਤੇ .47 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਵਿਕਲਪ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅੰਕੜੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਿਕਲਪ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅੰਕੜੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨੌਂ ਦੇ ਅੰਕੜੇ ਦੇ ਮੁੱਲ ਲਈ ਵਿਕਲਪ –1.525 ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਜੋੜ ਹਮੇਸ਼ਾ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਕੇ ਦਿਖਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਿਕਲਪਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹਮੇਸ਼ਾ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 1( −1.525 )+2( −1.025 )+4( −.525 )+4( −.025 )+6( .475 )+3( .975 )=0 1( −1.525 )+2( −1.025 )+4( −.525 )+4( −.025 )+6( .475 )+3( .975 )=0 ਉਦਾਹਰਨ 2.33 ਲਈ, n = 20 ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਫੈਲਾਅ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਵਿਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਜੋੜ ਸਕਦੇ। ਵਿਕਲਪਾਂ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਕੇ, ਤੁਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਅਤੇ ਜੋੜ ਵੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗਾ। ਫਿਰ, ਭਿੰਨਤਾ, ਔਸਤ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਵਿਕਲਪ ਹੈ।
5. ਭਿੰਨਤਾ ਇੱਕ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਮਾਪ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਇਕਾਈਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਵਰਗਮੂਲ ਲੈਣ ਨਾਲ ਸਮੱਸਿਆ ਹੱਲ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਇਕਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਫੈਲਾਅ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ।
6. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ n = 20 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਗਣਨਾ n – 1 = 20 – 1 = 19 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕੀਤੀ ਗਈ ਕਿਉਂਕਿ ਅੰਕੜੇ ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਹਨ। ਨਮੂਨਾ ਭਿੰਨਤਾ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਘਟਾਓ ਇੱਕ (n – 1) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। n ਨਾਲ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਭਾਗ ਕਰਨਾ? ਜਵਾਬ ਆਬਾਦੀ ਭਿੰਨਤਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਨਮੂਨਾ ਭਿੰਨਤਾ ਆਬਾਦੀ ਭਿੰਨਤਾ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਸਿਧਾਂਤਕ ਗਣਿਤ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, (n – 1) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਨਾਲ ਆਬਾਦੀ ਭਿੰਨਤਾ ਦਾ ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
7. ਤੁਹਾਡੀ ਇਕਾਗਰਤਾ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਕਿ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਸਾਨੂੰ ਅੰਕੜਿਆਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਮਾਪਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅੰਕੜੇ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਦੂਰ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਨੂੰ ਅੰਕਗਣਿਤ ਕਰਨ ਦਿਓ।
8. ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ, s ਜਾਂ σ, ਜਾਂ ਤਾਂ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ ਜਾਂ ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਫੈਲਾਅ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੇ ਢੰਗ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮਾਪਣ ਦੁਆਰਾ ਜਾਂ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨਾ ਲੈ ਕੇ। ਜਦੋਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕੋਈ ਫੈਲਾਅ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ; ਭਾਵ, ਸਾਰੇ ਅੰਕੜੇ ਦੇ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਾਰੇ ਅੰਕੜੇ ਮੱਧਮਾਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅੰਕੜੇ ਦੇ ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ ਵੱਧ ਭਿੰਨਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅੰਕੜੇ ਦੇ ਮੁੱਲ ਮੱਧਮਾਨ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਬਹੁਤ ਖਿਲਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਬਾਹਰੀ ਮੁੱਲ s ਜਾਂ σ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
9. ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ, ਜਦੋਂ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸਪਸ਼ਟ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ, ਤੁਸੀਂ ਵਿਕਲਪਾਂ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਦਾ ਬਿਹਤਰ ਅਹਿਸਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਤਾ ਲੱਗੇਗਾ ਕਿ ਸਮਮਿਤੀ ਵੰਡਾਂ ਵਿੱਚ, ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਬਹੁਤ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸਮਮਿਤ ਵੰਡਾਂ ਵਿੱਚ, ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਬਹੁਤ ਮਦਦਗਾਰ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ। ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਸਮਮਿਤ ਵੰਡ ਦੇ ਦੋ ਪਾਸੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਫੈਲਾਅ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸਮਮਿਤ ਵੰਡ ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਥਕ, ਮੱਧਿਕਾ, ਤੀਜੇ ਚਤੁਰਥਕ, ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਮੁੱਲ, ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਮੁੱਲ ਦੇਖਣਾ ਬਿਹਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਭੰਬਲਭੂਸੇ ਵਾਲੀਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਹਮੇਸ਼ਾ ਆਪਣੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਆਪਣੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਜਾਂ ਬਾਕਸ ਪਲੌਟ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 2.34
11. ਸਮੱਸਿਆ
12. ਸੁਜ਼ਨ ਡੀਨ ਦੀ ਬਸੰਤ ਪ੍ਰੀ-ਕੈਲਕੂਲਸ ਕਲਾਸ ਦੇ (ਪਹਿਲੇ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਸਕੋਰ) ਇਹਨਾਂ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
13. 33, 42, 49, 49, 53, 55, 55, 61, 63, 67, 68, 68, 69, 69, 72, 73, 74, 78, 80, 83, 88, 88, 88, 90, 92, 94, 94, 94, 94, 96, 100
14. ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਅੰਕੜੇ, ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ, ਸਾਪੇਖਿਕ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ, ਅਤੇ ਸੰਚਤ ਸਾਪੇਖਿਕ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਚਾਰਟ ਬਣਾਓ।
15. TI-83+ ਜਾਂ TI-84 ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨ ਤੱਕ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ: ਨਮੂਨਾ ਮੱਧਮਾਨ ਨਮੂਨਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਮੱਧਿਕਾ ਪਹਿਲਾ ਚਤੁਰਥਕ ਤੀਜਾ ਚਤੁਰਥਕ IQR
16. ਇੱਕੋ ਸੈੱਟ ਦੇ ਅਕਸ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਾਕਸ ਪਲੌਟ ਅਤੇ ਇੱਕ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਬਣਾਓ। ਬਾਕਸ ਪਲੌਟ, ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ, ਅਤੇ ਚਾਰਟ ਬਾਰੇ ਟਿੱਪਣੀਆਂ ਕਰੋ।
17. ਹੱਲ
18. ਸਾਰਣੀ 2.33 ਦੇਖੋ।
19. ਆਪਣੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਅੰਕੜੇ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾਖਲ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਫਿਰ Stat, Calc, ਅਤੇ 1-Var Stats ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨਾ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੋੜੀਂਦੇ ਇੱਕ-ਚਰ ਵਾਲੇ ਅੰਕੜੇ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੇਗਾ।
20. x-ਧੁਰਾ 32.5 ਤੋਂ 100.5 ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਲਈ y-ਧੁਰਾ –2.4 ਤੋਂ 15 ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ 5 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਚੌੜਾਈ 5 ਦੁਆਰਾ (100.5 – 32.5) ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 13.6 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹਨ: ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ 32.5 ਹੈ, 32.5 + 13.6 = 46.1, 46.1 + 13.6 = 59.7, 59.7 + 13.6 = 73.3, 73.3 + 13.6 = 86.9, 86.9 + 13.6 = 100.5 = ਅੰਤਿਮ ਮੁੱਲ; ਕੋਈ ਅੰਕੜੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਅੰਤਰਾਲ ਸੀਮਾ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ।
ਡੱਬਾ-ਆਲੇਖ (box plot) ਦੀ ਖੱਬੀ ਲੰਮੀ ਮੁੱਛ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹੇਠਲੇ 50 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਫੈਲਾਅ ਉੱਪਰਲੇ 50 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ (100 – 73 = 27) ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਹੈ (73 – 33 = 40)। ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ, ਡੱਬਾ-ਆਲੇਖ, ਅਤੇ ਚਾਰਟ ਸਾਰੇ ਇਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਏ ਅਤੇ ਬੀ ਗ੍ਰੇਡਾਂ (80, 90, ਅਤੇ 100) ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਇਸਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਡੱਬਾ-ਆਲੇਖ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਮੱਧ 50 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ (IQR = 29) ਡੀ, ਸੀ, ਅਤੇ ਬੀ ਹਨ। ਡੱਬਾ-ਆਲੇਖ ਇਹ ਵੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਹੇਠਲਾ 25 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਡੀ ਅਤੇ ਐਫ ਹਨ।
ਸਾਰਣੀ: ਅੰਕੜੇ | ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ | ਸਾਪੇਖ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ | ਸੰਚਤ ਸਾਪੇਖ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ
ਸਾਰਣੀ: 33 | 1 | .032 | .032
ਸਾਰਣੀ: 42 | 1 | .032 | .064
ਸਾਰਣੀ: 49 | 2 | .065 | .129
ਸਾਰਣੀ: 53 | 1 | .032 | .161
ਸਾਰਣੀ: 55 | 2 | .065 | .226
ਸਾਰਣੀ: 61 | 1 | .032 | .258
ਸਾਰਣੀ: 63 | 1 | .032 | .290
ਸਾਰਣੀ: 67 | 1 | .032 | .322
ਸਾਰਣੀ: 68 | 2 | .065 | .387
ਸਾਰਣੀ: 69 | 2 | .065 | .452
ਸਾਰਣੀ: 72 | 1 | .032 | .484
ਸਾਰਣੀ: 73 | 1 | .032 | .516
ਸਾਰਣੀ: 74 | 1 | .032 | .548
ਸਾਰਣੀ: 78 | 1 | .032 | .580
ਸਾਰਣੀ: 80 | 1 | .032 | .612
ਸਾਰਣੀ: 83 | 1 | .032 | .644
ਸਾਰਣੀ: 88 | 3 | .097 | .741
ਸਾਰਣੀ: 90 | 1 | .032 | .773
ਸਾਰਣੀ: 92 | 1 | .032 | .805
ਸਾਰਣੀ: 94 | 4 | .129 | .934
ਸਾਰਣੀ: 96 | 1 | .032 | .966
ਸਾਰਣੀ: 100 | 1 | .032 | .998 (ਇਹ ਮੁੱਲ 1 ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ?)
Try It 2.34
The following data show the different types of pet food that stores in the area carry: 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12 Calculate the sample mean and the sample standard deviation to one decimal place using a TI-83+ or TI-84 calculator.
Standard deviation of Grouped Frequency Tables
Recall that for grouped data we do not know individual data values, so we cannot describe the typical value of the data with precision. In other words, we cannot find the exact mean, median, or mode. We can, however, determine the best estimate of the measures of center by finding the mean of the grouped data with the formula Mean of Frequency Table= ∑ fm ∑ f , Mean of Frequency Table= ∑ fm ∑ f , where f=f= interval frequencies and m = interval midpoints.
Just as we could not find the exact mean, neither can we find the exact standard deviation. Remember that standard deviation describes numerically the expected deviation a data value has from the mean. In simple English, the standard deviation allows us to compare how unusual individual data are when compared to the mean.
Example 2.35
Find the standard deviation for the data in Table 2.34.
row: Class | Frequency, f | Midpoint, m | m2 | x¯ x¯2 | fm2 | Standard Deviation
row: 0–2 | 1 | 1 | 1 | 7.58 | 1 | 3.5
row: 3–5 | 6 | 4 | 16 | 7.58 | 96 | 3.5
row: 6–8 | 10 | 7 | 49 | 7.58 | 490 | 3.5
row: 9–11 | 7 | 10 | 100 | 7.58 | 700 | 3.5
row: 12–14 | 0 | 13 | 169 | 7.58 | 0 | 3.5
row: 15–17 | 2 | 16 | 256 | 7.58 | 512 | 3.5
For this data set, we have the mean, x ¯ x ¯ = 7.58, and the standard deviation, sx = 3.5. This means that a randomly selected data value would be expected to be 3.5 units from the mean. If we look at the first class, we see that the class midpoint is equal to one. This is almost two full standard deviations from the mean since 7.58 – 3.5 – 3.5 = .58. While the formula for calculating the standard deviation is not complicated, s x = f (m− x ¯ ) 2 n−1 , s x = f (m− x ¯ ) 2 n−1 , where sx = sample standard deviation, x ¯ x ¯ = sample mean; the calculations are tedious. It is usually best to use technology when performing the calculations.
Try It 2.35
Find the standard deviation for the data from the previous example:
row: Class | Frequency, f
row: 0–2 | 1
row: 3–5 | 6
row: 6–8 | 10
row: 9–11 | 7
row: 12–14 | 0
row: 15–17 | 2
First, press the STAT key and select 1:Edit.
Input the midpoint values into L1 and the frequencies into L2.
Select STAT, CALC, and 1: 1-Var Stats.
Select 2nd, then 1, then, 2nd, then 2 Enter.
You will see displayed both a population standard deviation, σx, and the sample standard deviation, sx.
Comparing Values from Different Data Sets
As explained before, a z-score allows us to compare statistics from different data sets. If the data sets have different means and standard deviations, then comparing the data values directly can be misleading.
For each data value, calculate how many standard deviations away from its mean the value is.
In symbols, the formulas for calculating z-scores become the following. Sample z= x − x ¯ s z= x − x ¯ s Population z= x − μ σ z= x − μ σ Table 2.36
As shown in the table, when only a sample mean and sample standard deviation are given, the top formula is used. When the population mean and population standard deviation are given, the bottom formula is used.
Example 2.36
Problem
Two students, John and Ali, from different high schools, wanted to find out who had the highest GPA when compared to his school. Which student had the highest GPA when compared to his school?
row: Student | GPA | School Mean GPA | School Standard Deviation
row: John | 2.85 | 3.0 | .7
row: Ali | 77 | 80 | 10
Solution
For each student, determine how many standard deviations (#ofSTDEVs) his GPA is away from the average, for his school. Pay careful attention to signs when comparing and interpreting the answer.
z= # of STDEVs= value –mean standard deviation = x+μ σ z= # of STDEVs= value –mean standard deviation = x+μ σ
For John, z=#ofSTDEVs= 2.85–3.0 .7 =−0.21 z=#ofSTDEVs= 2.85–3.0 .7 =−0.21
For Ali, z=#ofSTDEVs= 77−80 10 =−0.3 z=#ofSTDEVs= 77−80 10 =−0.3
John has the better GPA when compared to his school because his GPA is 0.21 standard deviations below his school's mean, while Ali's GPA is .3 standard deviations below his school's mean.
John's z-score of –.21 is higher than Ali's z-score of –.3. For GPA, higher values are better, so we conclude that John has the better GPA when compared to his school. The z-score representing John's score does not fall as far below the mean as the z-score representing Ali's score.
Try It 2.36
ਦੋ ਤੈਰਾਕ, ਐਂਜੀ ਅਤੇ ਬੈਥ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਟੀਮਾਂ ਤੋਂ, ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਸਨ ਕਿ 50-ਮੀਟਰ ਫ੍ਰੀਸਟਾਈਲ ਲਈ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਸਮਾਂ ਆਪਣੀ ਟੀਮ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿੱਚ ਕਿਹੜਾ ਸੀ। ਆਪਣੀ ਟੀਮ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿੱਚ ਕਿਸ ਤੈਰਾਕ ਦਾ ਸਮਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਸੀ?
ਕਤਾਰ: ਤੈਰਾਕ | ਸਮਾਂ (ਸੈਕਿੰਡ) | ਟੀਮ ਔਸਤ ਸਮਾਂ | ਟੀਮ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ
ਕਤਾਰ: ਐਂਜੀ | 26.2 | 27.2 | .8
ਕਤਾਰ: ਬੈਥ | 27.3 | 30.1 | 1.4
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸੂਚੀਆਂ ਕੁਝ ਤੱਥ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ ਸਾਨੂੰ ਡਾਟਾ ਦੇ ਵੰਡ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਥੋੜੀ ਹੋਰ ਸਮਝ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 75 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਡਾਟਾ ਔਸਤ ਤੋਂ ਦੋ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ।
ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 89 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਡਾਟਾ ਔਸਤ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ।
ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 95 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਡਾਟਾ ਔਸਤ ਤੋਂ 4.5 ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਚੈਬੀਸ਼ੇਵ ਦਾ ਨਿਯਮ (Chebyshev's Rule) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਘੰਟੀ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਵੰਡ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਵੰਡ ਹੈ ਜੋ ਆਮ ਅਤੇ ਸਮਮਿਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਕਰਵ ਨੂੰ ਮੱਧਿਕਾ (median) ਰਾਹੀਂ ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਸਮਮਿਤੀ ਦੀ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਦੇ ਨਾਲ ਫੋਲਡ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਰਵ ਦੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਉੱਤੇ ਸਮਮਿਤੀ ਨਾਲ ਫੋਲਡ ਹੋਣਗੇ। ਘੰਟੀ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਵੰਡ ਦੇ ਨਾਲ, ਔਸਤ, ਮੱਧਿਕਾ, ਅਤੇ ਮੋਡ ਸਾਰੇ ਇੱਕੋ ਥਾਂ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਲਗਭਗ 68 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਡਾਟਾ ਔਸਤ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ।
ਲਗਭਗ 95 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਡਾਟਾ ਔਸਤ ਤੋਂ ਦੋ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ।
99 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਤੋਂ ਵੱਧ ਡਾਟਾ ਔਸਤ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਨੁਭਵੀ ਨਿਯਮ (Empirical Rule) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਨਿਯਮ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਡਾਟਾ ਦੇ ਵੰਡ ਦਾ ਆਕਾਰ ਘੰਟੀ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਅਤੇ ਸਮਮਿਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਅਸੀਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਅਧਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਆਮ ਜਾਂ ਗੌਸੀਅਨ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ (Normal or Gaussian probability distribution) ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਇਸ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਸਿੱਖਾਂਗੇ।