1. ਮੰਨ ਲਓ X ਇੱਕ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵੰਡ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਜਾਂ ਅਣਜਾਣੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ (ਇਹ ਕੋਈ ਵੀ ਵੰਡ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ) ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ:
2. μX = X ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ
3. σX = X ਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ
4. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ n ਆਕਾਰ ਦੇ ਰੈਂਡਮ ਨਮੂਨੇ ਖਿੱਚਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ n ਵਧਦਾ ਹੈ, ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ΣX, ਜੋ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ΣΧ ~ N[(n)(μΧ), (n n)(σΧ)] ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
5. ਜੋੜਾਂ ਲਈ ਕੇਂਦਰੀ ਸੀਮਾ ਥਿਊਰਮ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਵੱਡੇ ਅਤੇ ਵੱਡੇ ਨਮੂਨੇ ਖਿੱਚਦੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲੈਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਜੋੜ ਆਪਣੀ ਆਮ ਵੰਡ (ਨਮੂਨਾ ਵੰਡ) ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਵਧਣ ਨਾਲ ਆਮ ਵੰਡ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ। ਆਮ ਵੰਡ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਅਸਲ ਮੱਧਮਾਨ ਨੂੰ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਅਸਲ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
6. ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ΣX ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਾ z-ਸਕੋਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
7. Σx ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੈ।
8. z = Σx–(n)( μ X ) ( n )( σ X ) z = Σx–(n)( μ X ) ( n )( σ X ) (n)(μX) = ΣX ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ( n )( σ X ) ( n )( σ X ) = ΣX ਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ΣX
9. TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
10. ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਜੋੜਾਂ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਇਹਨਾਂ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ:
11. 2nd DISTR 2:normalcdf normalcdf(ਹੇਠਲੀ ਮੁੱਲ, ਉੱਪਰਲੀ ਮੁੱਲ, (n)(ਮੱਧਮਾਨ), (n n)(ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ))
12. ਜਿੱਥੇ,
13. ਮੱਧਮਾਨ ਅਸਲ ਵੰਡ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਹੈ,
14. ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਅਸਲ ਵੰਡ ਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ
15. ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ = n ਹੈ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 7.5
17. ਇੱਕ ਅਣਜਾਣੀ ਵੰਡ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ 90 ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ 15 ਹੈ। ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚੋਂ 80 ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
18. ਸਮੱਸਿਆ
19. ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭੋ ਕਿ 80 ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ (ਜਾਂ 80 ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਕੁੱਲ) 7,500 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ।
20. ਉਹ ਜੋੜ ਲੱਭੋ ਜੋ ਜੋੜਾਂ ਦੇ ਮੱਧਮਾਨ ਤੋਂ 1.5 ਸਟੈਂਡਰਡ ਡੇਵੀਏਸ਼ਨ ਉੱਪਰ ਹੈ।
21. ਹੱਲ
22. ਮੰਨ ਲਓ X ਅਸਲ ਅਣਜਾਣੀ ਆਬਾਦੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਤੁਹਾਨੂੰ 80 ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜ (ਜਾਂ ਕੁੱਲ) ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ।
23. ΣX = 80 ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਜਾਂ ਕੁੱਲ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ μX = 90, σX = 15, ਅਤੇ n = 80, ΣX ΣX ~ N[(80)(90), (80 80)(15)]
24. ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ = (n)(μX) = (80)(90) = 7200
standard deviation of the sums = ( n )( σ X ) = ( 80 ) ( n )( σ X ) = ( 80 )(15)
sum of 80 values = Σx = 7500
a. Find P(Σx > 7500)
P(Σx > 7500) = 0.0127
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
normalcdf(lower value, upper value, mean of sums, stdev of sums)
The parameter list is abbreviated(lower, upper, (n)(μX, ( n ) ( n )(σX))
normalcdf (7500,1E99,(80)(90),( 80 ) ( 80 )(15)) = 0.0127
Reminder
1E99 = 1099.
Press the EE key for E.
b. Find Σx where z = 1.5.
Σx = (n)(μX) + (z)( n ) ( n )(σΧ) = (80)(90) + (1.5)(80 80)(15) = 7401.2
Try It 7.5
An unknown distribution has a mean of 45 and a standard deviation of 8. A sample size of 50 is drawn randomly from the population. Find the probability that the sum of the 50 values is more than 2,400.
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
To find percentiles for sums on the calculator, follow these steps:
2nd DIStR 3:invNorm k = invNorm (area to the left of k, (n)(mean), ( n ) ( n )(standard deviation))
where,
k is the kth percentile,
mean is the mean of the original distribution,
standard deviation is the standard deviation of the original distribution, and
sample size = n.
Example 7.6
Problem
In a recent study reported Oct. 29, 2012, the mean age of tablet users is 34 years. Suppose the standard deviation is 15 years. The sample size is 50.
What are the mean and standard deviation for the sum of the ages of tablet users? What is the distribution?
Find the probability that the sum of the ages is between 1,500 and 1,800 years.
Find the 80th percentile for the sum of the 50 ages.
Solution
μΣx = nμx = 50(34) = 1,700 and σΣx = n nσx = ( 50 ) ( 50 )(15) = 106.01 The distribution is normal for sums by the central limit theorem.
P(1500 < Σx < 1800) = normalcdf (1500, 1800, (50)(34), ( 50 ) ( 50 )(15)) = 0.7974
Let k = the 80th percentile. k = invNorm(0.80,(50)(34),( 50 ) ( 50 )(15)) = 1789.3
Try It 7.6
In a recent study reported Oct.29, 2012, the mean age of tablet users is 35 years. Suppose the standard deviation is 10 years. The sample size is 39.
What are the mean and standard deviation for the sum of the ages of tablet users? What is the distribution?
Find the probability that the sum of the ages is between 1,400 and 1,500 years.
Find the 90th percentile for the sum of the 39 ages.
Example 7.7
Problem
The mean number of minutes for app engagement by a tablet user is 8.2 minutes. Suppose the standard deviation is one minute. Take a sample size of 70.
What are the mean and standard deviation for the sums?
Find the 95th percentile for the sum of the sample. Interpret this value in a complete sentence.
Find the probability that the sum of the sample is at least 10 hours.
Solution
μΣx = nμx = 70(8.2) = 574 minutes and σΣx = ( n )( σ x ) ( n )( σ x ) = ( 70 ) ( 70 )(1) = 8.37 minutes
Let k = the 95th percentile. k = invNorm (0.95,(70)(8.2),( 70 ) ( 70 )(1)) = 587.76 minutes Ninety-five percent of the app engagement times are at most 587.76 minutes.
10 hours = 600 minutes P(Σx ≥ 600) = normalcdf(600,E99,(70)(8.2),( 70 ) ( 70 )(1)) = 0.0009
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 7.7
2. ਟੈਬਲੈੱਟ ਉਪਭੋਗਤਾ ਦੁਆਰਾ ਐਪ ਦੀ ਸ਼ਮੂਲੀਅਤ ਲਈ ਮਿੰਟਾਂ ਦੀ ਔਸਤ ਸੰਖਿਆ 8.2 ਮਿੰਟ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੋਕਨ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਹੈ। 70 ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਲਓ।
3. ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਸੱਤ ਘੰਟਿਆਂ ਅਤੇ 10 ਘੰਟਿਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ? ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਇਸਦਾ ਕੀ ਅਰਥ ਹੈ?
4. ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ 84ਵੇਂ ਅਤੇ 16ਵੇਂ ਪਰਸੈਂਟਾਈਲ ਲੱਭੋ। ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।