During an election year, we see articles in the newspaper that state confidence intervals in terms of proportions or percentages. For example, a poll for a particular candidate running for president might show that the candidate has 40 percent of the vote within 3 percentage points (if the sample is large enough). Often, election polls are calculated with 95 percent confidence, so the pollsters would be 95 percent confident that the true proportion of voters who favored the candidate would be between 0.37 and 0.43 (0.40 – 0.03, 0.40 + 0.03).
Investors in the stock market are interested in the true proportion of stocks that go up and down each week. Businesses that sell personal computers are interested in the proportion of households in the United States that own personal computers. Confidence intervals can be calculated for the true proportion of stocks that go up or down each week and for the true proportion of households in the United States that own personal computers.
The procedure to find the confidence interval, the sample size, the error bound for a population (EBP), and the confidence level for a proportion is similar to that for the population mean, but the formulas are different.
How do you know you are dealing with a proportion problem? First, the data that you are collecting is categorical, consisting of two categories: Success or Failure, Yes or No. Examples of situations where you are the following trying to estimate the true population proportion are the following: What proportion of the population smoke? What proportion of the population will vote for candidate A? What proportion of the population has a college-level education?
The distribution of the sample proportions (based on samples of size n) is denoted by P′ (read “P prime”).
The central limit theorem for proportions asserts that the sample proportion distribution P′ follows a normal distribution with mean value p, and standard deviation p•q n p•q n, where p is the population proportion and q = 1 -– p.
The confidence interval has the form (p′ – EBP, p′ + EBP). EBP is error bound for the proportion.
p′ = the estimated proportion of successes (p′ is a point estimate for p, the true proportion.)
x = the number of successes
n = the size of the sample
The error bound for a proportion is
EBP=( z α 2 )( p ′ q ′ n ), EBP=( z α 2 )( p ′ q ′ n ), where q′ = 1 – p′.
This formula is similar to the error bound formula for a mean, except that the "appropriate standard deviation" is different. For a mean, when the population standard deviation is known, the appropriate standard deviation that we use is σ n σ n. For a proportion, the appropriate standard deviation is p q n p q n.
However, in the error bound formula, we use p ′ q ′ n p ′ q ′ n as the standard deviation, instead of p q n p q n.
In the error bound formula, the sample proportions p′ and q′, are estimates of the unknown population proportions p and q. The estimated proportions p′ and q′ are used because p and q are not known. The sample proportions p′ and q′ are calculated from the data: p′ is the estimated proportion of successes, and q′ is the estimated proportion of failures.
The confidence interval can be used only if the number of successes np′ and the number of failures nq′ are both greater than five.
That is, in order to use the formula for confidence intervals for proportions, you need to verify that both n p ' ≥5 n p ' ≥5 and n q ' ≥5 n q ' ≥5.
Example 8.10
Problem
Suppose that a market research firm is hired to estimate the percentage of adults living in a large city who have cell phones. Five hundred randomly selected adult residents in this city are surveyed to determine whether they have cell phones. Of the 500 people surveyed, 421 responded yes, they own cell phones. Using a 95 percent confidence level, compute a confidence interval estimate for the true proportion of adult residents of this city who have cell phones.
Solution
The first solution is step-by-step (Solution A).
The second solution uses a function of the TI-83, 83+, or 84 calculators (Solution B).
Let X = the number of people in the sample who have cell phones. X is binomial. X~B( 500, 421 500 ) X~B( 500, 421 500 ).
ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ p′, q′, ਅਤੇ EBP ਲੱਭਣੇ ਪੈਣਗੇ।
n = 500
x = ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 421
p′ = 0.842 ਨਮੂਨਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ; ਇਹ ਆਬਾਦੀ ਅਨੁਪਾਤ ਦਾ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ CL = 0.95, ਤਾਂ α = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05 ( α 2 ) ( α 2 ) = 0.025।
ਫਿਰ, z α 2 = z 0.025 = 1.96। z α 2 = z 0.025 =1.96।
z0.025 ਲੱਭਣ ਲਈ TI-83, 83+, ਜਾਂ 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਕਮਾਂਡ invNorm(0.975,0,1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ z0.025 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 0.025 ਹੈ, ਅਤੇ z0.025 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 0.975 ਹੈ। ਇਹ ਹੋਰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ 'ਤੇ ਢੁਕਵੇਂ ਕਮਾਂਡਾਂ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਨਾਰਮਲ ਸੰਭਾਵਨਾ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸੱਚੇ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਆਬਾਦੀ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ (p′ – EBP, p′ + EBP) = (0.810, 0.874) ਹੈ।
ਵਿਆਖਿਆ
95 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ
ਹੱਲ
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ TESTS ਵੱਲ ਐਰੋ ਕਰੋ। A:1-PropZint ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ। ENTER ਦਬਾਓ। x ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ 421 ਦਰਜ ਕਰੋ। n ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ 500 ਦਰਜ ਕਰੋ। C-Level ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ .95 ਦਰਜ ਕਰੋ। Calculate ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ। ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ (0.81003, 0.87397) ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.10
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 250 ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਲੋਕਾਂ ਦਾ ਸਰਵੇਖਣ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਕੀ ਉਹ ਟੈਬਲੇਟ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਸਰਵੇਖਣ ਕੀਤੇ ਗਏ 250 ਵਿੱਚੋਂ, 98 ਨੇ ਟੈਬਲੇਟ ਰੱਖਣ ਦੀ ਰਿਪੋਰਟ ਕੀਤੀ। 95 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਟੈਬਲੇਟ ਰੱਖਣ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਸੱਚੇ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.11
ਸਮੱਸਿਆ
ਇੱਕ ਕਲਾਸ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਲਈ, ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਦਾ ਰਾਜਨੀਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦਾ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਰਜਿਸਟਰਡ ਵੋਟਰਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਸਨੇ 500 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਸਰਵੇਖਣ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਪਾਇਆ ਕਿ 300 ਰਜਿਸਟਰਡ ਵੋਟਰ ਹਨ। ਰਜਿਸਟਰਡ ਵੋਟਰਾਂ ਦੇ ਸੱਚੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਲਈ 90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਹੱਲ ਕਦਮ-ਦਰ-ਕਦਮ ਹੈ (ਹੱਲ A)।
ਦੂਜਾ ਹੱਲ TI-83, 83+, ਜਾਂ 84 ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਹੱਲ B)।
ਹੱਲ A
ਕਿਉਂਕਿ CL = 0.90, ਤਾਂ α = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10( α 2 ) ( α 2 ) = 0.05।
z0.05 ਲੱਭਣ ਲਈ TI-83, 83+, ਜਾਂ 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਕਮਾਂਡ invNorm(0.95,0,1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ z0.05 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 0.05 ਹੈ, ਅਤੇ z0.05 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 0.95 ਹੈ। ਇਹ ਹੋਰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ 'ਤੇ ਢੁਕਵੇਂ ਕਮਾਂਡਾਂ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਨਾਰਮਲ ਸੰਭਾਵਨਾ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸਲ ਦੁਵਿਪਰੀ ਆਬਾਦੀ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ ਭਰੋਸੇ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ (p′ – EBP , p′ + EBP) = (0.564, 0.636) ਹੈ।
ਵਿਆਖਿਆ
ਅਸੀਂ 90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਭਰੋਸੇ ਨਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਰਜਿਸਟਰਡ ਵੋਟਰਾਂ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਅਸਲ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ 56.4 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਅਤੇ 63.6 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ।
ਵਿਕਲਪਿਕ ਸ਼ਬਦ-ਜੋੜ: ਅਸੀਂ 90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਭਰੋਸੇ ਨਾਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ 56.4 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਅਤੇ 63.6 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰਜਿਸਟਰਡ ਵੋਟਰ ਹਨ।
90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਭਰੋਸੇ ਦੇ ਪੱਧਰ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ
ਹੱਲ
ਹੱਲ ਬੀ
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ TESTS ਵੱਲ ਐਰੋ ਕਰੋ। A:1-PropZint ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ। ENTER ਦਬਾਓ। x ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ 300 ਦਰਜ ਕਰੋ। n ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ 500 ਦਰਜ ਕਰੋ। C-Level ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ 0.90 ਦਰਜ ਕਰੋ। Calculate ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ। ਭਰੋਸੇ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ (0.564, 0.636) ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.11
ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਸਕੂਲ ਦਾ ਸਰਵੇਖਣ ਕਰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਸਕੂਲ ਜ਼ਿਲ੍ਹੇ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨਵੇਂ ਕਾਨੂੰਨ ਦੇ ਹੱਕ ਵਿੱਚ ਹਨ ਜਾਂ ਵਿਰੁੱਧ। ਉਸਨੇ 600 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਸਰਵੇਖਣ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਪਾਇਆ ਕਿ 480 ਨਵੇਂ ਕਾਨੂੰਨ ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ ਹਨ।
a. ਨਵੇਂ ਕਾਨੂੰਨ ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਅਸਲ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਲਈ 90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਭਰੋਸੇ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਭਰੋਸੇ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
b. 300 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ, 68 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨੇ ਕਿਹਾ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਕੋਲ ਇੱਕ iPod ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਾਰਟਫੋਨ ਹੈ। iPod ਅਤੇ ਸਮਾਰਟਫੋਨ ਦੇ ਮਾਲਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਅਸਲ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਲਈ 97 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਭਰੋਸੇ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
p ਲਈ ਪਲੱਸ-ਫੋਰ ਭਰੋਸੇ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ
ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ ਭਰੋਸੇ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਗਲਤੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਅਸਲ ਅਨੁਪਾਤ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ, ਅਸੀਂ ਨਮੂਨਾ ਵੰਡ ਦੇ ਢੁਕਵੇਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਹਾਂ। ਅਧਿਐਨਾਂ ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਅਨੁਮਾਨ ਖਰਾਬ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਸਮਾਯੋਜਨ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਭਰੋਸੇ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ: ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਇਹ ਦਿਖਾਵਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਚਾਰ ਵਾਧੂ ਨਿਰੀਖਣ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦੋ ਨਿਰੀਖਣ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਦੋ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਹਨ। ਨਵਾਂ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ, ਫਿਰ, n + 4 ਹੈ, ਅਤੇ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਨਵੀਂ ਗਿਣਤੀ x + 2 ਹੈ।
ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਧਿਐਨਾਂ ਨੇ p ਵਿਧੀ ਲਈ ਪਲੱਸ-ਫੋਰ ਭਰੋਸੇ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ੀਲਤਾ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਦੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਲੋੜੀਂਦਾ ਭਰੋਸੇ ਦਾ ਪੱਧਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦਸ ਹੋਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.12
ਸਮੱਸਿਆ
25 ਅੰਕੜਾ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨੇ ਨੂੰ ਪੁੱਛਿਆ ਗਿਆ: "ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ?" ਛੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਪਿਛਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਰਿਪੋਰਟ ਕੀਤੀ। ਅੰਕੜਾ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਅਸਲ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ 95 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਭਰੋਸੇ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਲੱਸ-ਫੋਰ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜੋ ਉਤਪਾਦ ਨੂੰ ਹਫਤਾਵਾਰੀ ਵਰਤਦੇ ਹਨ।
ਹੱਲ
ਹੱਲ ਏ
25 ਵਿੱਚੋਂ ਛੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਪਿਛਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਰਿਪੋਰਟ ਕੀਤੀ, ਇਸ ਲਈ x = 6 ਅਤੇ n = 25। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਪਲੱਸ-ਫੋਰ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ x = 6 + 2 = 8, ਅਤੇ n = 25 + 4 = 29 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਕਿਉਂਕਿ CL = 0.95, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ α = 1 – 0.95 = 0.05, ਅਤੇ α 2 α 2 = 0.025।
ਸਾਨੂੰ 95 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਯਕੀਨ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਜੋ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਸਲ ਅਨੁਪਾਤ 0.113 ਅਤੇ 0.439 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ।
ਹੱਲ
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ TESTS ਵੱਲ ਤੀਰ ਖਿੱਚੋ। A:1-PropZint ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਖਿੱਚੋ। ENTER ਦਬਾਓ।
x ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ 8 ਦਰਜ ਕਰੋ। n ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ 29 ਦਰਜ ਕਰੋ। C-Level ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ 0.95 ਦਰਜ ਕਰੋ। Calculate ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ। ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ (0.113, 0.439) ਹੈ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਪਲੱਸ-ਫੋਰ ਵਿਧੀ ਵਾਧੂ ਚਾਰ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ: ਦੋ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਹਨਾਂ ਵਾਧੂ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ x ਅਤੇ n ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਅੱਪਡੇਟ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.12
ਸਟੇਟ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਦੇ 65 ਨਵੇਂ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚੋਂ, 31 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਆਪਣੇ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇ ਘੋਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਹਨ। ਸਟੇਟ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ ਦੇ ਨਵੇਂ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਅਸਲ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ 96 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਲੱਸ-ਫੋਰ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਆਪਣੇ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇ ਘੋਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.13
ਸਮੱਸਿਆ
ਖੋਜਕਰਤਾਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਨੇ ਹਾਲ ਹੀ ਵਿੱਚ ਕਿਸ਼ੋਰ ਇੰਟਰਨੈਟ ਉਪਭੋਗਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗੋਪਨੀਯਤਾ ਪ੍ਰਬੰਧਨ ਦੀਆਂ ਆਦਤਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ। 50 ਕਿਸ਼ੋਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ, 13 ਨੇ ਇੱਕ ਸੋਸ਼ਲ ਮੀਡੀਆ ਸਾਈਟ 'ਤੇ 500 ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੋਸਤ ਹੋਣ ਦੀ ਰਿਪੋਰਟ ਕੀਤੀ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਕਿਸ਼ੋਰਾਂ ਦੇ ਅਸਲ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ 90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਲੱਸ-ਫੋਰ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜੋ 500 ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਨਲਾਈਨ ਦੋਸਤ ਹੋਣ ਦੀ ਰਿਪੋਰਟ ਕਰਨਗੇ।
ਹੱਲ
ਪਲੱਸ-ਫੋਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ x = 13 + 2 = 15, ਅਤੇ n = 50 + 4 = 54 ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ CL = 0.90, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ α = 1 – 0.90 = 0.10, ਅਤੇ α 2 α 2 = 0.05।
ਸਾਨੂੰ 90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਯਕੀਨ ਹੈ ਕਿ 17.8 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਅਤੇ 37.8 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਾਰੇ ਕਿਸ਼ੋਰਾਂ ਨੇ ਇੱਕ ਸੋਸ਼ਲ ਮੀਡੀਆ ਸਾਈਟ 'ਤੇ 500 ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੋਸਤ ਹੋਣ ਦੀ ਰਿਪੋਰਟ ਕੀਤੀ।
ਹੱਲ
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ TESTS ਵੱਲ ਤੀਰ ਖਿੱਚੋ। A:1-PropZint ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਖਿੱਚੋ। ENTER ਦਬਾਓ। x ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ 15 ਦਰਜ ਕਰੋ। n ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ 54 ਦਰਜ ਕਰੋ। C-Level ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ 0.90 ਦਰਜ ਕਰੋ। Calculate ਵੱਲ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਓ। ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ (0.178, 0.378) ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 8.13
ਉਦਾਹਰਨ 8.13 ਵਿੱਚ ਦੱਸੇ ਗਏ ਖੋਜ ਸਮੂਹ ਨੇ ਛੋਟੇ ਫੋਕਸ ਗਰੁੱਪਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸ਼ੋਰਾਂ ਨਾਲ ਗੱਲ ਕੀਤੀ ਪਰ ਫੋਨ 'ਤੇ ਵਾਧੂ ਕਿਸ਼ੋਰਾਂ ਦਾ ਇੰਟਰਵਿਊ ਵੀ ਕੀਤਾ। ਜਦੋਂ ਅਧਿਐਨ ਪੂਰਾ ਹੋ ਗਿਆ, 588 ਕਿਸ਼ੋਰਾਂ ਨੇ ਆਪਣੇ ਸੋਸ਼ਲ ਮੀਡੀਆ ਸਾਈਟ ਦੋਸਤਾਂ ਬਾਰੇ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿੱਤਾ ਸੀ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 159 ਨੇ ਕਿਹਾ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ 500 ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੋਸਤ ਹਨ। ਇਸ ਵੱਡੇ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਕਿਸ਼ੋਰਾਂ ਦੇ ਅਸਲ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ 90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਭਰੋਸਾ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਲੱਸ-ਫੋਰ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜੋ 500 ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਨਲਾਈਨ ਦੋਸਤ ਹੋਣ ਦੀ ਰਿਪੋਰਟ ਕਰਨਗੇ। ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ 8.13 ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ n ਦੀ ਗਣਨਾ
ਜੇ ਖੋਜਕਰਤਾ ਇੱਕ ਖਾਸ ਗਲਤੀ ਦੀ ਸੀਮਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ ਲੋੜੀਂਦੇ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਲਈ ਗਲਤੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ
EBP= z α 2 × p′•q′ n EBP= z α 2 × p′•q′ n, ਜਿੱਥੇ p′ ਨਮੂਨਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ, q′ = 1 – p′, ਅਤੇ n ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਹੈ।
n ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲ ਤੁਹਾਨੂੰ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
n= ( z α 2 ) 2 ( p ′ q ′ ) EB P 2 n= ( z α 2 ) 2 ( p ′ q ′ ) EB P 2। ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ Cl=1−α Cl=1−α ਦੇ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ n ਗਿਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਮੁੱਲ z a 2 z a 2 ਦਾ ਵਰਗ ਲੈ ਕੇ, ਪੁਆਇੰਟ ਅਨੁਮਾਨ p′ ਅਤੇ q′ = 1 – p′ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਗਲਤੀ ਦੇ ਮਾਰਜਿਨ ਦੇ ਵਰਗ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ। ਹਮੇਸ਼ਾ n ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਗੋਲ ਕਰਨਾ ਯਾਦ ਰੱਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8.14
ਸਮੱਸਿਆ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਮੋਬਾਈਲ ਫੋਨ ਕੰਪਨੀ 50+ ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਦੇ ਗਾਹਕਾਂ ਦੀ ਮੌਜੂਦਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਸੈੱਲ ਫੋਨ 'ਤੇ ਟੈਕਸਟ ਮੈਸੇਜਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਕੰਪਨੀ ਨੂੰ ਕਿੰਨੇ 50+ ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਦੇ ਗਾਹਕਾਂ ਦਾ ਸਰਵੇਖਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ 90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਭਰੋਸਾ ਹੋਵੇ ਕਿ ਅਨੁਮਾਨਿਤ (ਨਮੂਨਾ) ਅਨੁਪਾਤ 50+ ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਦੇ ਗਾਹਕਾਂ ਦੇ ਸੱਚੇ ਆਬਾਦੀ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ 3 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਸੈੱਲ ਫੋਨ 'ਤੇ ਟੈਕਸਟ ਮੈਸੇਜਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ? ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ p′ = 0.5।
ਹੱਲ
ਸਮੱਸਿਆ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ EBP = 0.03 (3 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ=0.03), ਅਤੇ z α 2 z α 2 z0.05 = 1.645 ਕਿਉਂਕਿ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪੱਧਰ 90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਹੈ।
ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ n ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋਂ ਅਤੇ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਕਰੋ।
ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਅਗਲੇ ਉੱਚੇ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ। ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ 752 ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਗਾਹਕ 50+ ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਦਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ 90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਭਰੋਸਾ ਹੋਵੇ ਕਿ ਅਨੁਮਾਨਿਤ (ਨਮੂਨਾ) ਅਨੁਪਾਤ 50+ ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਦੇ ਸਾਰੇ ਗਾਹਕਾਂ ਦੇ ਸੱਚੇ ਆਬਾਦੀ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ 3 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਸੈੱਲ ਫੋਨ 'ਤੇ ਟੈਕਸਟ ਮੈਸੇਜਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 8.14
ਇੱਕ ਇੰਟਰਨੈਟ ਮਾਰਕੀਟਿੰਗ ਕੰਪਨੀ ਸਮਾਰਟਫੋਨ 'ਤੇ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਾਂ 'ਤੇ ਕਲਿੱਕ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਗਾਹਕਾਂ ਦੀ ਮੌਜੂਦਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕੰਪਨੀ ਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਗਾਹਕਾਂ ਦਾ ਸਰਵੇਖਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ 90 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਭਰੋਸਾ ਹੋਵੇ ਕਿ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਅਨੁਪਾਤ ਸਮਾਰਟਫੋਨ 'ਤੇ ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਾਂ 'ਤੇ ਕਲਿੱਕ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਗਾਹਕਾਂ ਦੇ ਸੱਚੇ ਆਬਾਦੀ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ 5 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ? ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਨਮੂਨਾ ਅਨੁਪਾਤ p′ 0.50 ਹੈ।