ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ਕ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਲਾਅਨ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਘਾਹ ਦੇ ਬੀਜ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕੀਏ। ਲਾਅਨ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਹਰਾ ਭਾਗ ਹੈ।
ਸਾਰੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਹਨਾਂ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਘਾਹ ਦੇ ਬੀਜ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਨੂੰ ਸਾਰੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਦੋ ਵਰਗ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $A=s^2=4^2=16$ ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ $10x-8$ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 4 ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਖੇਤਰਫਲ $A=lw=4(10x-8)=40x-32$ ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਘਟਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $2(16)+40x-32=40x$ ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਹੈ।
ਘਾਹ ਦੇ ਬੀਜ ਦੀ ਲੋੜ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $60x^2-40x$ ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਘਟਾ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ $20x(3x-2)$ ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ ਦਾ ਵਿਅੰਜਨ ਹੈ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਰੂਪਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਦੋਵਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 4, 16 ਅਤੇ 20 ਦਾ GCF ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ 16 ਅਤੇ 20 ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਦੀ ਹੈ। ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ GCF ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ: $4x$, $16x$ ਅਤੇ $20x^2$ ਦਾ GCF ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਬਹੁਪਦ ਹੈ ਜੋ $16x$ ਅਤੇ $20x^2$ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਦਾ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦੀ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ GCF ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ GCF ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਚਲਾਂ ਦੇ GCF ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ।
ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ
ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਬਹੁਪਦ ਹੈ ਜੋ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿਅੰਜਨ, ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ GCF ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਚਲਾਂ ਦੇ GCF ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਵਿਅੰਜਨ ਦੇ GCF ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
ਇਸ ਪਦ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ GCF ਨੂੰ ਕਿਸ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
GCF ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜਫਲ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
6 x 3 y 3 +45 x 2 y 2 +21xy ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। 6 x 3 y 3 +45 x 2 y 2 +21xy।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਪਦ ਦਾ GCF ਲੱਭੋ। 6, 45, ਅਤੇ 21 ਦਾ GCF 3 ਹੈ। x 3 , x 2 , ਅਤੇ x ਦਾ GCF x ਹੈ। (ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ x n ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ GCF ਹਮੇਸ਼ਾ ਘੱਟ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।) ਅਤੇ y 3 , y 2 , ਅਤੇ y ਦਾ GCF y ਹੈ। ਬਹੁਪਦ, 3xy ਦੇ GCF ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਅੱਗੇ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ GCF ਨੂੰ ਕਿਸ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 3xy(2 x 2 y 2 )=6 x 3 y 3 , 3xy(15xy)=45 x 2 y 2 , ਅਤੇ 3xy(7)=21xy।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਪਦ ਨੂੰ GCF ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜਫਲ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਸੀ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ (3xy)(2 x 2 y 2 +15xy+7)=6 x 3 y 3 +45 x 2 y 2 +21xy।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
GCF ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਕੇ x( b 2 −a)+6( b 2 −a) ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
ਲੀਡਿੰਗ ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਐਂਟ 1 ਨਾਲ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
ਹਾਲਾਂਕਿ ਸਾਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ GCF ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, GCF ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਣਾ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇਕੋ ਇਕ ਤਰੀਕਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ x 2 +5x+6 ਦਾ GCF 1 ਹੈ, ਪਰ ਇਸਨੂੰ (x+2) ਅਤੇ (x+3) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
x 2 +bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭ ਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ c ਅਤੇ ਜੋੜ b ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਪਦੀ x 2 +10x+16 ਨੂੰ 2 ਅਤੇ 8 ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 16 ਹੈ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 10 ਹੈ। ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ (x+2) ਅਤੇ (x+8) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਲੀਡਿੰਗ ਕੋਐਫੀਸ਼ੀਐਂਟ 1 ਨਾਲ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
x 2 +bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਦੀ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ (x+p)(x+q) ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ pq=c ਅਤੇ p+q=b।
Q&A
ਕੀ ਹਰ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਨਹੀਂ। ਕੁਝ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਇਹਨਾਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
x 2 +bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰੋ।
c ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
p ਅਤੇ q ਲੱਭੋ, ਜੋ c ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਜੋੜੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਜੋੜ b ਹੈ।
(x+p)(x+q)
ਉਦਾਹਰਨ 2
1 ਵਾਲੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨਾਲ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
x^2 + 2x - 15 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ 1 ਵਾਲੇ ਗੁਣਾਂਕ, b=2, ਅਤੇ c=−15 ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ −15 ਅਤੇ ਜੋੜ 2 ਹੋਵੇ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਜੋੜੀਆਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਨੂੰ ਲੋੜੀਂਦਾ ਜੋੜ ਵਾਲੀ ਜੋੜੀ ਨਹੀਂ ਮਿਲ ਜਾਂਦੀ।
ਸਾਰਣੀ: −15 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
1,−15 | −14
−1,15 | 14
3,−5 | −2
−3,5 | 2
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ p ਅਤੇ q ਨੂੰ −3 ਅਤੇ 5 ਵਜੋਂ ਪਛਾਣ ਲਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਨੂੰ (x−3)(x+5) ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ (x−3)(x+5) = x^2 + 2x - 15 ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਮਾਇਨੇ ਰੱਖਦਾ ਹੈ?
ਨਹੀਂ। ਗੁਣਾ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਮਾਇਨੇ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
x^2 - 7x + 6 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨਾ ਥੋੜ੍ਹਾ ਹੋਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ x ਪਦ ਨੂੰ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ, ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਮੁੱਚੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ GCF ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਕੇ ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਤ੍ਰਿਪਦੀ 2x^2 + 5x + 3 ਨੂੰ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (2x+3)(x+1) ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ 2x^2 + 2x + 3x + 3 ਵਜੋਂ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 2x(x+1) + 3(x+1) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ (x+1) ਦੇ GCF ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ।
ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ
ax^2 + bx + c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ac ਅਤੇ ਜੋੜ b ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ x ਪਦ ਨੂੰ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਫਿਰ ਸਮੁੱਚੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ GCF ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ac ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
p ਅਤੇ q, ac ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ b ਹੋਵੇ।
ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ax^2+px+qx+c ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ax^2+px ਦਾ GCF ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
qx+c ਦਾ GCF ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ GCF ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਪਾਦੀ ਦਾ ਫੈਕਟਰ ਕਰਨਾ
ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ 5x^2+7x-6 ਦਾ ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ a=5, b=7, ਅਤੇ c=-6 ਨਾਲ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਪਾਦੀ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ac=-30 ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ -30 ਅਤੇ ਜੋੜ 7 ਹੋਵੇ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲੋੜੀਂਦੇ ਜੋੜ ਵਾਲਾ ਜੋੜਾ ਲੱਭਣ ਤੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਰਣੀ: -30 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ | ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ
ਸਾਰਣੀ: 1, -30 | -29
ਸਾਰਣੀ: -1, 30 | 29
ਸਾਰਣੀ: 2, -15 | -13
ਸਾਰਣੀ: -2, 15 | 13
ਸਾਰਣੀ: 3, -10 | -7
ਸਾਰਣੀ: -3, 10 | 7
ਇਸ ਲਈ p=-3 ਅਤੇ q=10।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। (5x-3)(x+2)=5x^2+7x-6 ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ
ⓐ 2x^2+9x+9
ⓑ 6x^2+x-1
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੇ ਵਰਗ ਵਿੱਚ ਦੋਨਾਂ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਦੁਗਣੇ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦੇ ਵਰਗ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਵਰਗ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰੋ।
ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ।
ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ 'ab' ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਦੁਗਣਾ ਹੈ। 'ab' ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਦੁਗਣਾ।
ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਰੂਪ ਨੂੰ (a+b) 2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। (a+b) 2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
25 x 2 +20x+4 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। 25 x 2 +20x+4 ਦਾ।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ 25 x 2 25 x 2 ਅਤੇ 4 4 ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ 25 x 2 = (5x) 2 25 x 2 = (5x) 2 ਅਤੇ 4= 2 2 । 4= 2 2 । ਫਿਰ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ 5x 5x ਅਤੇ 2 ਦਾ ਦੁਗਣਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ। 2 । ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਦੁਗਣਾ ਹੈ: 2(5x)(2)=20x। 2(5x)(2)=20x। ਇਸ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ (5x+2) 2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। (5x+2) 2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
49 x 2 −14x+1 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। 49 x 2 −14x+1 ਦਾ।
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾਇਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਪਦ ਪਰ ਵਿਰੋਧੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਪਦ ਪਰ ਵਿਰੋਧੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦੋਪਦੀਆਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰੋ।
1. ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਦੇ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੋਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
2. ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ (a+b)(a−b) ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। (a+b)(a−b).
3. ਉਦਾਹਰਨ 5
4. ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
5. 9 x 2 −25 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। 9 x 2 −25.
6. ਹੱਲ
7. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ 9 x 2 9 x 2 ਅਤੇ 25 25 ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ 9 x 2 = (3x) 2 9 x 2 = (3x) 2 ਅਤੇ 25= 5 2 . 25= 5 2 . ਬਹੁਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ (3x+5)(3x−5) ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। (3x+5)(3x−5).
8. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
9. 81 y 2 −100 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। 81 y 2 −100.
Q&A
10. ਕੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਲਈ ਕੋਈ ਸੂਤਰ ਹੈ?
11. ਨਹੀਂ। ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ।
12. ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
13. ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਨਵੇਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ: ਘਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ। ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
14. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਘਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਵੱਖਰੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ।
15. ਅਸੀਂ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਅੰਤਰ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਵੇਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਲਈ SOAP ਸੰਖੇਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਰ ਸ਼ਬਦ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਅੱਖਰ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ: ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ (Same) ਉਲਟ (Opposite) ਹਮੇਸ਼ਾ (Always) ਧਨ (Positive)। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
16. ਪਹਿਲੇ 2 ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ x 3 − 2 3 . x 3 − 2 3 . ਵਿਚਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ। 2x 2x ਪਦ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ x 3 − 2 3 . x 3 − 2 3 . ਵਿਚਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਉਲਟ ਹੈ। ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ, 4, ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਧਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
17. ਘਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ
18. ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
19. ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
20. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
21. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
22. ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਘਣ ਹਨ, a 3 + b 3 a 3 + b 3 ਜਾਂ a 3 − b 3 . a 3 − b 3 .
23. ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ (a+b)( a 2 −ab+ b 2 ). (a+b)( a 2 −ab+ b 2 ). ਲਿਖੋ। ਘਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਲਈ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ (a−b)( a 2 +ab+ b 2 ). (a−b)( a 2 +ab+ b 2 ). ਲਿਖੋ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 6
ਘਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
x³ + 512 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। x³ + 512।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ x³ ਅਤੇ 512 ਘਨ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ 8³ = 512। 8³ = 512। ਘਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ (x+8)(x² −8x+64) ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। (x+8)(x² −8x+64)।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਘਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਜਾਂਚ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਹੋਰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਘਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ: 216a³ + b³। 216a³ + b³।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਘਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
8x³ −125 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। 8x³ −125।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ 8x³ ਅਤੇ 125 ਘਨ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ 8x³ = (2x)³ ਅਤੇ 125 = 5³। 8x³ = (2x)³ ਅਤੇ 125 = 5³। ਘਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ (2x−5)(4x² +10x+25) ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। (2x−5)(4x² +10x+25)।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਘਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਾਂਗ ਹੀ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਹੋਰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਾਂਗੇ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਘਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ: 1,000x³ −1। 1,000x³ −1।
ਭਿੰਨਾਂ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
ਭਿੰਨਾਂ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ GCF ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਪਦ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਜਾਂ ਘਾਤ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਉਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਜਾਂ ਘਾਤ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ। ਇਹ ਵਿਅੰਜਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 2x¹/⁴ +5x³/⁴ ਨੂੰ x¹/⁴ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਕੇ ਅਤੇ x¹/⁴(2+5x¹/²) ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 2x¹/⁴ +5x³/⁴ ਨੂੰ x¹/⁴ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਕੇ ਅਤੇ x¹/⁴(2+5x¹/²) ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਭਿੰਨਾਂ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
3x(x+2)⁻¹/³ +4(x+2)²/³ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ। 3x(x+2)⁻¹/³ +4(x+2)²/³।
ਹੱਲ
ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਵਾਲੀ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਇਹ (x+2)⁻¹/³ ਹੋਵੇਗਾ। (x+2)⁻¹/³।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #8
2. (5a−1) 3 4 +7a (5a−1) − 1 4 .
3. ਮੀਡੀਆ
4. ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
Identify GCF
5. ਜਦੋਂ a ਬਰਾਬਰ 1 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ
6. ਜਦੋਂ a 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ
7. ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਅੰਤਰ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ
8. ਜ਼ਬਾਨੀ
9. ਜੇਕਰ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਕੀ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਗੁਣਨਖੰਡਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ।
10. ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਗੁਣਨਖੰਡਯੋਗ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਦੋ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਜਾਂ ਅੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ GCF ਲੱਭੇ ਬਿਨਾਂ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ?
11. ਤੁਸੀਂ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋ?
12. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
13. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਲੱਭੋ।
14. 14x+4xy−18x y 2
15. 49m b 2 −35 m 2 ba+77m a 2
16. 30 x 3 y−45 x 2 y 2 +135x y 3
17. 200 p 3 m 3 −30 p 2 m 3 +40 m 3
18. 36 j 4 k 2 −18 j 3 k 3 +54 j 2 k 4
19. 6 y 4 −2 y 3 +3 y 2 −y
20. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
21. 6 x 2 +5x−4
22. 2 a 2 +9a−18
23. 6 c 2 +41c+63
24. 6 n 2 −19n−11
20 w 2 −47w+24
2 p 2 −5p−7
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
7 x 2 +48x−7
10 h 2 −9h−9
2 b 2 −25b−247
9 d 2 −73d+8
90 v 2 −181v+90
12 t 2 +t−13
2 n 2 −n−15
16 x 2 −100
25 y 2 −196
121 p 2 −169
4 m 2 −9
361 d 2 −81
324 x 2 −121
144 b 2 −25 c 2
16 a 2 −8a+1
49 n 2 +168n+144
121 x 2 −88x+16
225 y 2 +120y+16
m 2 −20m+100
25 p 2 −120p+144
36 q 2 +60q+25
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
2. x 3 +216
3. 27 y 3 −8
4. 125 a 3 +343
5. b 3 −8 d 3
6. 64 x 3 −125
7. 729 q 3 +1331
8. 125 r 3 +1,728 s 3
9. 4x ( x−1 ) − 2 3 +3 ( x−1 ) 1 3
10. 3c ( 2c+3 ) − 1 4 −5 ( 2c+3 ) 3 4
11. 3t ( 10t+3 ) 1 3 +7 ( 10t+3 ) 4 3
12. 14x ( x+2 ) − 2 5 +5 ( x+2 ) 3 5
13. 9y (3y−13) 1 5 −2 (3y−13) 6 5
14. 5z (2z−9) − 3 2 +11 (2z−9) − 1 2
15. 6d ( 2d+3 ) − 1 6 +5 ( 2d+3 ) 5 6
16. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
17. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:
18. ਸ਼ਾਰਲੋਟ ਨੇ ਸ਼ਹਿਰ ਦੇ ਸੁੰਦਰੀਕਰਨ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਦੀ ਅਗਵਾਈ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਚੇਅਰਪਰਸਨ ਨਿਯੁਕਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਕੰਮ ਸ਼ਹਿਰ ਦੇ ਪਾਰਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਮੂਰਤੀਆਂ ਅਤੇ ਝਰਨੇ ਲਗਾਉਣਾ ਹੈ। ਪਾਰਕ ਇੱਕ ਆਇਤ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 98 x 2 +105x−27 m2 ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਪਾਰਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਸੰਪੂਰਨ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ।
19. ਪਾਰਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
20. ਇੱਕ ਮੂਰਤੀ ਪਾਰਕ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਲਗਾਈ ਜਾਣੀ ਹੈ। ਮੂਰਤੀ ਦੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 4 x 2 +12x+9 m 2 ਹੈ। ਮੂਰਤੀ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
21. ਪਾਰਕ ਦੇ ਉੱਤਰ-ਪੱਛਮੀ ਕੋਨੇ 'ਤੇ, ਸ਼ਹਿਰ ਇੱਕ ਝਰਨਾ ਲਗਾਉਣ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਝਰਨੇ ਦੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 9 x 2 −25 m 2 ਹੈ। ਝਰਨੇ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
22. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:
23. ਇੱਕ ਸਕੂਲ ਕੇਂਦਰੀ ਪਲਾਜ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਝੰਡਾ ਲਗਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਪਲਾਜ਼ਾ 100 yd ਦੀ ਭੁਜਾ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵਰਗ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਝੰਡਾ x 2 −6x+9 yd2 ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵਰਗ ਪਲਾਟ ਲਵੇਗਾ।
24. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਝੰਡੇ ਦੇ ਅਧਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਵਿਸਥਾਰ
2. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
3. 16 x 4 −200 x 2 +625
4. 81 y 4 −256
5. 16 z 4 −2,401 a 4
6. 5x ( 3x+2 ) − 2 4 + ( 12x+8 ) 3 2
7. (32 x 3 +48 x 2 −162x−243) −1