ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਤर्कਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਤर्कਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਤर्कਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡੋ।
ਤर्कਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ।
ਜਟਿਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਇੱਕ ਪੇਸਟਰੀ ਦੀ ਦੁਕਾਨ ਦੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਖਰਚੇ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ $280 ਹਨ ਅਤੇ ਪੇਸਟਰੀਆਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਬਾਕਸ $9 ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਖਰਚੇ ਹਨ। ਦੁਕਾਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ ਦੇ ਖਰਚੇ, x, ਬਣਾਏ ਗਏ ਬਾਕਸਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, 280+9x ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪੇਸਟਰੀਆਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਬਾਕਸ ਦੀ ਲਾਗਤ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ ਦੇ ਖਰਚਿਆਂ ਨੂੰ ਬਣਾਏ ਗਏ ਬਾਕਸਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਵੰਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜੋ ਦੂਜੇ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਤर्कਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਦੋ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਭਾਗ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਤੋਂ ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਅਵਯਵੀਕਰਨ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਆਓ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਅਵਯਵੀਕਰਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕ ( x+4 ) ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਕੇ ਉਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਅਵਯਵੀਕਰਨ ਕਰੋ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਤर्कਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
x 2 −9 x 2 +4x+3 ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਸਾਂਝੇ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਵੰਡਣ 'ਤੇ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵਿੱਚ x 2 ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
1. ਨਹੀਂ। ਇੱਕ ਗੁਣਕ (factor) ਉਹ ਪਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਪਦ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। x 2 x 2 ਵਾਲਾ ਪਦ ਅੰਸ਼ (numerator) ਜਾਂ ਹਰ (denominator) ਦਾ ਗੁਣਕ ਨਹੀਂ ਹੈ।
2. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
3. x−6 x 2 −36 ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। x−6 x 2 −36 ।
4. ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ (Rational Expressions) ਦਾ ਗੁਣਾ।
5. ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ, ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਭਿੰਨਾਂ (fractions) ਦੇ ਗੁਣਾ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ (product) ਦਾ ਅੰਸ਼ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਹਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅੰਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ (factor) ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਵੇਲੇ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਸਮਰੱਥ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
6. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
7. ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
8. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ।
9. ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
10. ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
11. ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 2
13. ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ।
14. ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਓ:
15. ਹੱਲ
16. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
17. ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਓ:
18. ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਭਾਗ।
19. ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਭਾਗ, ਹੋਰ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ (reciprocal) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਇਸ ਪਹੁੰਚ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ 1 x ÷ x 2 3 ਨੂੰ 1 x ⋅ 3 x 2 ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਾਂਗੇ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਭਾਗ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਵਿਅੰਜਨ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤਾ ਸੀ।
20. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
21. ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰੋ।
22. ਪਹਿਲੇ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
23. ਅੰਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ।
24. ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਭਾਗ।
ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰੋ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਓ:
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਾਸ ਕਰੋ #3
ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰੋ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਓ:
ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ।
ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ, ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਆਓ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖੀਏ।
ਸਾਨੂੰ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ ਪਵੇਗਾ ਤਾਂ ਜੋ ਉਹ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਸਾਂਝਾ ਕਰਨ, ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਸਕੀਏ। ਸਾਨੂੰ ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਜਾਂ ਘਟਾਉਂਦੇ ਸਮੇਂ ਵੀ ਇਹੀ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
ਵਰਤਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਸਾਂਝਾ ਹਰ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਹਰ, ਜਾਂ LCD ਹੋਵੇਗਾ। LCD ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਗੁਣਜ ਹੈ ਜੋ ਹਰ ਸਾਂਝਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਦੋ ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ LCD ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਤੋੜਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਵੱਖਰੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਤੋੜੇ ਗਏ ਹਰ (x+3)(x+4) ਅਤੇ (x+4)(x+5) ਹੁੰਦੇ, ਤਾਂ LCD (x+3)(x+4)(x+5) ਹੁੰਦਾ।
ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ LCD ਲੱਭ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 1 ਦੇ ਉਸ ਰੂਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਹਰ ਨੂੰ LCD ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦੇਵੇਗਾ। ਸਾਨੂੰ (x+3)(x+4) ਹਰ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x+5 ਨਾਲ ਅਤੇ (x+4)(x+5) ਹਰ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x+3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਤੋੜੋ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ LCD ਲੱਭੋ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ 1 ਦੇ ਉਸ ਰੂਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਜੋ ਹਰ ਨੂੰ LCD ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ।
ਤਾਰਕੀਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ:
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਲ.ਸ.ਪ. (ਲਘੁੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ) ਲੱਭਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਇਸ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ, ਲ.ਸ.ਪ. xy ਹੋਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ 1 ਦੇ ਉਚਿਤ ਰੂਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਹਰੇਕ ਭਿੰਨ ਲਈ xy ਨੂੰ ਭਾਜਕ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਭਾਜਕ ਸਾਂਝਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
yyyy ਜਾਂ xxxx ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਮੂਲ ਵਿਅੰਜਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਬਦਲਾਅ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ ਕਿਉਂਕਿ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੋਈ ਵੀ ਨੰਬਰ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ 1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਮੂਲ ਵਿਅੰਜਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣਾ
ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਓ:
ਹੱਲ
Q&A
ਕੀ ਸਾਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਲ.ਸ.ਪ. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ?
ਨਹੀਂ। ਕੋਈ ਵੀ ਸਾਂਝਾ ਭਾਜਕ ਕੰਮ ਕਰੇਗਾ, ਪਰ ਲ.ਸ.ਪ. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਓ: 3 x+5 − 1 x−3 . 3 x+5 − 1 x−3 .
ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼, ਭਾਜਕ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਭਾਜਕ ਨੂੰ ਇੱਕਲੇ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ a 1 b +c a 1 b +c ਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ a 1 a 1 ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਅਤੇ ਭਾਜਕ ਵਿੱਚ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ 1+bc b ਵਜੋਂ ਜੋੜ ਕੇ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਭਾਜਕ ਦੇ ਉਲਟੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁਣਾ ਸਮੱਸਿਆ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ a 1 ⋅ b 1+bc , a 1 ⋅ b 1+bc ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ab 1+bc . ab 1+bc . ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕਲੇ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
ਭਾਜਕ ਵਿੱਚ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕਲੇ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਭਾਜਕ ਦੁਆਰਾ ਭਾਗ ਕੀਤੇ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਗੁਣਾ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਜਟਿਲ ਪਰਿਮੇਯ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨਾ
Simplify: y+ 1 x x y y+ 1 x x y .
Solution
Begin by combining the expressions in the numerator into one expression.
Now the numerator is a single rational expression and the denominator is a single rational expression.
We can rewrite this as division, and then multiplication.
Try It #5
Simplify: x y − y x y x y − y x y
Q&A
Can a complex rational expression always be simplified?
Yes. We can always rewrite a complex rational expression as a simplified rational expression.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with rational expressions.
Simplify Rational Expressions
Multiply and Divide Rational Expressions
Add and Subtract Rational Expressions
Simplify a Complex Fraction
Verbal
How can you use factoring to simplify rational expressions?
How do you use the LCD to combine two rational expressions?
Tell whether the following statement is true or false and explain why: You only need to find the LCD when adding or subtracting rational expressions.
Algebraic
For the following exercises, simplify the rational expressions.
x 2 −16 x 2 −5x+4 x 2 −16 x 2 −5x+4
y 2 +10y+25 y 2 +11y+30 y 2 +10y+25 y 2 +11y+30
6 a 2 −24a+24 6 a 2 −24 6 a 2 −24a+24 6 a 2 −24
9 b 2 +18b+9 3b+3 9 b 2 +18b+9 3b+3
m−12 m 2 −144 m−12 m 2 −144
2 x 2 +7x−4 4 x 2 +2x−2 2 x 2 +7x−4 4 x 2 +2x−2
6 x 2 +5x−4 3 x 2 +19x+20 6 x 2 +5x−4 3 x 2 +19x+20
a 2 +9a+18 a 2 +3a−18 a 2 +9a+18 a 2 +3a−18
3 c 2 +25c−18 3 c 2 −23c+14 3 c 2 +25c−18 3 c 2 −23c+14
12 n 2 −29n−8 28 n 2 −5n−3 12 n 2 −29n−8 28 n 2 −5n−3
For the following exercises, multiply the rational expressions and express the product in simplest form.
x 2 −x−6 2 x 2 +x−6 ⋅ 2 x 2 +7x−15 x 2 −9 x 2 −x−6 2 x 2 +x−6 ⋅ 2 x 2 +7x−15 x 2 −9
c 2 +2c−24 c 2 +12c+36 ⋅ c 2 −10c+24 c 2 −8c+16 c 2 +2c−24 c 2 +12c+36 ⋅ c 2 −10c+24 c 2 −8c+16
2 d 2 +9d−35 d 2 +10d+21 ⋅ 3 d 2 +2d−21 3 d 2 +14d−49 2 d 2 +9d−35 d 2 +10d+21 ⋅ 3 d 2 +2d−21 3 d 2 +14d−49
10 h 2 −9h−9 2 h 2 −19h+24 ⋅ h 2 −16h+64 5 h 2 −37h−24 10 h 2 −9h−9 2 h 2 −19h+24 ⋅ h 2 −16h+64 5 h 2 −37h−24
6 b 2 +13b+6 4 b 2 −9 ⋅ 6 b 2 +31b−30 18 b 2 −3b−10 6 b 2 +13b+6 4 b 2 −9 ⋅ 6 b 2 +31b−30 18 b 2 −3b−10
2 d 2 +15d+25 4 d 2 −25 ⋅ 2 d 2 −15d+25 25 d 2 −1 2 d 2 +15d+25 4 d 2 −25 ⋅ 2 d 2 −15d+25 25 d 2 −1
6 x 2 −5x−50 15 x 2 −44x−20 ⋅ 20 x 2 −7x−6 2 x 2 +9x+10 6 x 2 −5x−50 15 x 2 −44x−20 ⋅ 20 x 2 −7x−6 2 x 2 +9x+10
t 2 −1 t 2 +4t+3 ⋅ t 2 +2t−15 t 2 −4t+3 t 2 −1 t 2 +4t+3 ⋅ t 2 +2t−15 t 2 −4t+3
2 n 2 −n−15 6 n 2 +13n−5 ⋅ 12 n 2 −13n+3 4 n 2 −15n+9 2 n 2 −n−15 6 n 2 +13n−5 ⋅ 12 n 2 −13n+3 4 n 2 −15n+9
36 x 2 −25 6 x 2 +65x+50 ⋅ 3 x 2 +32x+20 18 x 2 +27x+10 36 x 2 −25 6 x 2 +65x+50 ⋅ 3 x 2 +32x+20 18 x 2 +27x+10
For the following exercises, divide the rational expressions.
3 y 2 −7y−6 2 y 2 −3y−9 ÷ y 2 +y−2 2 y 2 +y−3 3 y 2 −7y−6 2 y 2 −3y−9 ÷ y 2 +y−2 2 y 2 +y−3
6 p 2 +p−12 8 p 2 +18p+9 ÷ 6 p 2 −11p+4 2 p 2 +11p−6 6 p 2 +p−12 8 p 2 +18p+9 ÷ 6 p 2 −11p+4 2 p 2 +11p−6
q 2 −9 q 2 +6q+9 ÷ q 2 −2q−3 q 2 +2q−3 q 2 −9 q 2 +6q+9 ÷ q 2 −2q−3 q 2 +2q−3
18 d 2 +77d−18 27 d 2 −15d+2 ÷ 3 d 2 +29d−44 9 d 2 −15d+4 18 d 2 +77d−18 27 d 2 −15d+2 ÷ 3 d 2 +29d−44 9 d 2 −15d+4
16 x 2 +18x−55 32 x 2 −36x−11 ÷ 2 x 2 +17x+30 4 x 2 +25x+6 16 x 2 +18x−55 32 x 2 −36x−11 ÷ 2 x 2 +17x+30 4 x 2 +25x+6
144 b 2 −25 72 b 2 −6b−10 ÷ 18 b 2 −21b+5 36 b 2 −18b−10 144 b 2 −25 72 b 2 −6b−10 ÷ 18 b 2 −21b+5 36 b 2 −18b−10
16 a 2 −24a+9 4 a 2 +17a−15 ÷ 16 a 2 −9 4 a 2 +11a+6 16 a 2 −24a+9 4 a 2 +17a−15 ÷ 16 a 2 −9 4 a 2 +11a+6
22 y 2 +59y+10 12 y 2 +28y−5 ÷ 11 y 2 +46y+8 24 y 2 −10y+1 22 y 2 +59y+10 12 y 2 +28y−5 ÷ 11 y 2 +46y+8 24 y 2 −10y+1
9 x 2 +3x−20 3 x 2 −7x+4 ÷ 6 x 2 +4x−10 x 2 −2x+1 9 x 2 +3x−20 3 x 2 −7x+4 ÷ 6 x 2 +4x−10 x 2 −2x+1
For the following exercises, add and subtract the rational expressions, and then simplify.
4 x + 10 y 4 x + 10 y
12 2q − 6 3p 12 2q − 6 3p
4 a+1 + 5 a−3 4 a+1 + 5 a−3
c+2 3 − c−4 4 c+2 3 − c−4 4
y+3 y−2 + y−3 y+1 y+3 y−2 + y−3 y+1
x−1 x+1 − 2x+3 2x+1 x−1 x+1 − 2x+3 2x+1
3z z+1 + 2z+5 z−2 3z z+1 + 2z+5 z−2
4p p+1 − p+1 4p 4p p+1 − p+1 4p
x x+1 + y y+1 x x+1 + y y+1
For the following exercises, simplify the rational expression.
6 y − 4 x y 6 y − 4 x y
2 a + 7 b b 2 a + 7 b b
x 4 − p 8 p x 4 − p 8 p
3 a + b 6 2b 3a 3 a + b 6 2b 3a
3 x+1 + 2 x−1 x−1 x+1 3 x+1 + 2 x−1 x−1 x+1
a b − b a a+b ab a b − b a a+b ab
2x 3 + 4x 7 x 2 2x 3 + 4x 7 x 2
2c c+2 + c−1 c+1 2c+1 c+1 2c c+2 + c−1 c+1 2c+1 c+1
x y − y x x y + y x x y − y x x y + y x
Real-World Applications
Brenda is placing tile on her bathroom floor. The area of the floor is 15 x 2 −8x−7 15 x 2 −8x−7 ft2. The area of one tile is x 2 −2x+1 ft 2 . x 2 −2x+1 ft 2 . To find the number of tiles needed, simplify the rational expression: 15 x 2 −8x−7 x 2 −2x+1 . 15 x 2 −8x−7 x 2 −2x+1 .
The area of Lijuan's yard is 25 x 2 −625 25 x 2 −625 ft2. A patch of sod has an area of x 2 −10x+25 x 2 −10x+25 ft2. Divide the two areas and simplify to find how many pieces of sod Lijuan needs to cover her yard.
Elroi wants to mulch his garden. His garden is x 2 +18x+81 x 2 +18x+81 ft2. One bag of mulch covers x 2 −81 x 2 −81 ft2. Divide the expressions and simplify to find how many bags of mulch Elroi needs to mulch his garden.
Extensions
For the following exercises, perform the given operations and simplify.
x 2 +x−6 x 2 −2x−3 ⋅ 2 x 2 −3x−9 x 2 −x−2 ÷ 10 x 2 +27x+18 x 2 +2x+1 x 2 +x−6 x 2 −2x−3 ⋅ 2 x 2 −3x−9 x 2 −x−2 ÷ 10 x 2 +27x+18 x 2 +2x+1
3 y 2 −10y+3 3 y 2 +5y−2 ⋅ 2 y 2 −3y−20 2 y 2 −y−15 y−4 3 y 2 −10y+3 3 y 2 +5y−2 ⋅ 2 y 2 −3y−20 2 y 2 −y−15 y−4
4a+1 2a−3 + 2a−3 2a+3 4 a 2 +9 a 4a+1 2a−3 + 2a−3 2a+3 4 a 2 +9 a
x 2 +7x+12 x 2 +x−6 ÷ 3 x 2 +19x+28 8 x 2 −4x−24 ÷ 2 x 2 +x−3 3 x 2 +4x−7 x 2 +7x+12 x 2 +x−6 ÷ 3 x 2 +19x+28 8 x 2 −4x−24 ÷ 2 x 2 +x−3 3 x 2 +4x−7