ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ।
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰੋ।
i i ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਬੇਨੋਇਟ ਮੰਡਲਬ੍ਰੋਟ ਦੁਆਰਾ ਲਗਭਗ 1980 ਵਿੱਚ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ, ਮੰਡਲਬ੍ਰੋਟ ਸੈੱਟ ਸਭ ਤੋਂ ਪਛਾਣਨਯੋਗ ਫਰੈਕਟਲ ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ ਸਵੈ-ਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਅਤੇ ਇਟਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਕਾਰਵਾਈ 'ਤੇ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫਰੈਕਟਲ ਚਿੱਤਰ 'ਤੇ ਜ਼ੂਮ ਕਰਨ ਨਾਲ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਹੈਰਾਨੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੇਰਵੇ ਦੀ ਦੁਹਰਾਅ ਦੇ ਉੱਚ ਪੱਧਰ ਵਿੱਚ ਜੋ ਵਧਣ ਦੇ ਨਾਲ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਕਾਫ਼ੀ ਸਰਲ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਬਿਹਤਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਸਮੂਹ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਗਣਿਤ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਲਗਾਤਾਰ ਆਪਣੇ ਆਪ 'ਤੇ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਨੈਗੇਟਿਵ ਪੂਰਨ ਅੰਕ, ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਛੱਡੀ ਗਈ ਖਾਲੀ ਥਾਂ ਨੂੰ ਭਰਦੇ ਹਨ। ਤਰਕਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ, ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ, ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਛੱਡੀ ਗਈ ਖਾਲੀ ਥਾਂ ਨੂੰ ਭਰਦਾ ਹੈ। ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਤਰਕਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਛੱਡੀ ਗਈ ਖਾਲੀ ਥਾਂ ਨੂੰ ਭਰਦਾ ਹੈ। ਕੋਈ ਹੈਰਾਨੀ ਦੀ ਗੱਲ ਨਹੀਂ, ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਵੀ ਖਾਲੀ ਥਾਂਵਾਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਖਾਲੀ ਥਾਂਵਾਂ ਨੂੰ ਭਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪਤਾ ਲਗਾਵਾਂਗੇ ਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਨੈਗੇਟਿਵ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ i i ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲੱਭਣਾ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਨੈਗੇਟਿਵ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਰਕ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਰੂਟ ਅਸਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਨੈਗੇਟਿਵ ਹੈ, ਤਾਂ ਰੂਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ i i ਨੂੰ −1 −1 ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਰੈਡੀਕਲ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ,
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਨੈਗੇਟਿਵ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ i i ਦੇ ਗੁਣਕ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। −49 −49 ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ 7i 7i ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ −7i −7i ਦੀ ਨਹੀਂ ਕਿਉਂਕਿ 49 49 ਦਾ ਮੁੱਖ ਰੂਟ ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਰੂਟ ਹੈ।
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ। ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਸਨੂੰ a+bi a+bi ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ a a ਅਸਲ ਭਾਗ ਹੈ ਅਤੇ b b ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 5+2i 5+2i ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, 3+4i 3 . 3+4i 3 .
ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤੋਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਭਿੰਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਇੱਕ ਵਰਗ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਵੀ ਇੱਕ ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਕਾਲਪਨਿਕ ਅਤੇ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ a+bi a+bi ਰੂਪ ਦੀ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿੱਥੇ
a a ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਸਲ ਭਾਗ ਹੈ।
b b ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਹੈ।
ਜੇਕਰ b=0, b=0, ਤਾਂ a+bi a+bi ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ a=0 a=0 ਅਤੇ b b 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਸ਼ੁੱਧ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਨੈਗੇਟਿਵ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮ ਸੰਖਿਆ ਰੂਟ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
−a −a ਨੂੰ a −1 . a −1 ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
−1 −1 ਨੂੰ i. i ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
a ⋅i a ⋅i ਨੂੰ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
1. ਮਿਸਾਲ 1
2. ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ
3. −9 −9 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਓ।
4. ਹੱਲ
5. ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਹ 0+3i ਹੈ। 0+3i।
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
7. −24 −24 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਓ।
8. ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਤਲ ਉੱਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ
9. ਅਸੀਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਉਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਲਾਟ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਸੰਬੋਧਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਤਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰਾ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤਲ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ (a,b), (a,b) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ a ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਲਈ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ b ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਲਈ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
10. ਆਓ ਸੰਖਿਆ −2+3i। −2+3i। ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ −2 −2 ਹੈ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ 3 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ −2+3i, −2+3i, ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ (−2,3) (−2,3) ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
11. ਕਾਲਪਨਿਕ ਤਲ
12. ਕਾਲਪਨਿਕ ਤਲ ਵਿੱਚ, ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਧੁਰਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰਾ ਕਾਲਪਨਿਕ ਧੁਰਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
13. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
14. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਤਲ ਉੱਤੇ ਦਰਸਾਓ।
15. ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
16. ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧੋ।
17. ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਅੱਗੇ ਵਧੋ।
18. ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
19. ਮਿਸਾਲ 2
20. ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਤਲ ਉੱਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ
21. ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ 3−4i 3−4i ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਤਲ ਉੱਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
22. ਹੱਲ
23. ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ 3, 3, ਹੈ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ –4 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ (3,−4) (3,−4) ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
Plot the complex number −4−i −4−i on the complex plane.
Adding and Subtracting Complex Numbers
Just as with real numbers, we can perform arithmetic operations on complex numbers. To add or subtract complex numbers, we combine the real parts and then combine the imaginary parts.
Complex Numbers: Addition and Subtraction
Adding complex numbers:
Subtracting complex numbers:
How To
Given two complex numbers, find the sum or difference.
Identify the real and imaginary parts of each number.
Add or subtract the real parts.
Add or subtract the imaginary parts.
Example 3
Adding and Subtracting Complex Numbers
Add or subtract as indicated.
ⓐ ( 3−4i )+( 2+5i ) ( 3−4i )+( 2+5i )
ⓑ ( −5+7i )−( −11+2i ) ( −5+7i )−( −11+2i )
Solution
We add the real parts and add the imaginary parts.
ⓐ (3−4i)+(2+5i) = 3−4i+2+5i = 3+2+(−4i)+5i = (3+2)+(−4+5)i = 5+i (3−4i)+(2+5i) = 3−4i+2+5i = 3+2+(−4i)+5i = (3+2)+(−4+5)i = 5+i
ⓑ (−5+7i)−(−11+2i) = −5+7i+11−2i = −5+11+7i−2i = (−5+11)+(7−2)i = 6+5i (−5+7i)−(−11+2i) = −5+7i+11−2i = −5+11+7i−2i = (−5+11)+(7−2)i = 6+5i
Try It #3
Subtract 2+5i 2+5i from 3–4i. 3–4i.
Multiplying Complex Numbers
Multiplying complex numbers is much like multiplying binomials. The major difference is that we work with the real and imaginary parts separately.
ਕਿਸੇ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਆਓ, ਕਿਸੇ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, 3( 6+2i ) 3( 6+2i ) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਫਲ ਲੱਭੋ।
ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਕਿਸੇ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਗੁਣਨਫਲ 4(2+5i). 4(2+5i) ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
4 ਨੂੰ ਵੰਡੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਗੁਣਨਫਲ ਲੱਭੋ: 1 2 ( 5−2i ). 1 2 ( 5−2i ).
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ, ਆਓ ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ 'ਤੇ FOIL ਵਿਧੀ ਦੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋਪਦੀਆਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ FOIL ਪਹਿਲੇ, ਬਾਹਰੀ, ਅੰਦਰੂਨੀ, ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਹੈ। ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਪਦ, i 2 , i 2 , ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ −1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। −1.
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਫਲ ਲੱਭੋ।
ਵੰਡਣਯੋਗਤਾ ਦੇ ਗੁਣ ਜਾਂ FOIL ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ i 2 =−1. i 2 =−1.
ਵਾਸਤਵਿਕ ਪਦਾਂ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਸਮੂਹਿਕ ਕਰੋ
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: ( 4+3i )(2−5i). ( 4+3i )(2−5i).
ਹੱਲ
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #5
2. ਗੁਣਾ ਕਰੋ: ( 3−4i )( 2+3i ). ( 3−4i )( 2+3i ).
3. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗ
4. ਦੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਜੋੜਨ, ਘਟਾਉਣ, ਜਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਭਾਗ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਭਿੰਨ ਦਾ ਹਰ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ a+bi ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ। a+bi। ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਪਦ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕੀਏ ਜੋ ਹਰ ਦੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਦੇਵੇ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਹਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੀਏ। ਇਸ ਪਦ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, a+bi a+bi ਦਾ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ a−bi ਹੈ। a−bi। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, a+bi a+bi ਅਤੇ a−bi a−bi ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ
5. ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
6. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਉਲਟਾ ਸੰਬੰਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: a+bi a+bi ਦਾ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ a−bi ਹੈ, a−bi, ਅਤੇ a−bi a−bi ਦਾ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ a+bi ਹੈ। a+bi। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਜਦੋਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਜਟਿਲ ਹੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਹੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
7. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ c+di c+di ਨੂੰ a+bi, a+bi, ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ ਨਾ ਤਾਂ a a ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ b b ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਭਾਗ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਹਰ ਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਨੂੰ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
8. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
9. ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
10. ਸਰਲ ਕਰੋ, ਯਾਦ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਿ i 2 =−1। i 2 =−1।
11. ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ
12. ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ a+bi a+bi ਦਾ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ a−bi ਹੈ। a−bi। ਇਹ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ ਬਦਲਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾਂਦਾ।
13. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
14. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
15. ਉਦਾਹਰਨ 6
16. ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਲੱਭਣਾ
17. ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਲੱਭੋ।
18. ⓐ 2+i 5 2+i 5
19. ⓑ − 1 2 i − 1 2 i
20. ਹੱਲ
21. ⓐਸੰਖਿਆ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ a+bi ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। a+bi। ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ a−bi ਹੈ, a−bi, ਜਾਂ 2−i 5 । 2−i 5 ।
22. ⓑਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ a+bi a+bi ਰੂਪ ਵਿੱਚ 0− 1 2 i ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 0− 1 2 i। ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ a−bi ਹੈ, a−bi, ਜਾਂ 0+ 1 2 i। 0+ 1 2 i। ਇਸਨੂੰ ਸਿਰਫ 1 2 i ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 1 2 i।
23. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
24. ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਿਰਫ ਉਹਨਾਂ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਦੋਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸੰਖਿਆ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ i ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। i।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #6
2. −3+4i ਦਾ ਸੰਕੁਚਿਤ ਸੰਯੁਗਮ ਲੱਭੋ। −3+4i।
3. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
4. ਦੋ ਸੰਕੁਚਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਇੱਕ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।
5. ਭਾਗ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
6. ਹਰ (denominator) ਦਾ ਸੰਕੁਚਿਤ ਸੰਯੁਗਮ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
7. ਭਿੰਨ ਦੇ ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
8. ਸਰਲ ਕਰੋ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 7
10. ਸੰਕੁਚਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗ
11. ਭਾਗ ਕਰੋ: ( 2+5i ) ( 2+5i ) ਨੂੰ ( 4−i ). ( 4−i ). ਨਾਲ।
12. ਹੱਲ
13. ਅਸੀਂ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
14. ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
15. ਦੋ ਸੰਕੁਚਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ (polynomials) ਨਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ (FOIL ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ)।
16. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
17. i ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ (powers) ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨਾ
18. i ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਚੱਕਰੀ (cyclic) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ i ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
19. ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ i ਦੀ ਪੰਜਵੀਂ ਘਾਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਪਹਿਲੀ ਘਾਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਿਉਂ-ਜਿਉਂ ਅਸੀਂ i ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਰਹਾਂਗੇ, ਅਸੀਂ ਚਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਆਓ i ਦੀਆਂ ਅਗਲੀਆਂ ਚਾਰ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰੀਏ। i।
20. ਚੱਕਰ ਲਗਾਤਾਰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: i,−1,−i,1, i,−1,−i,1, ਹਰ ਚਾਰ ਘਾਤਾਂ ਬਾਅਦ।
21. ਉਦਾਹਰਨ 8
22. i ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨਾ
23. ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: i 35 । i 35 ।
24. ਹੱਲ
Since i 4 =1, i 4 =1, we can simplify the problem by factoring out as many factors of i 4 i 4 as possible. To do so, first determine how many times 4 goes into 35: 35=4⋅8+3. 35=4⋅8+3.
Try It #7
Evaluate: i 18 i 18
Q&A
Can we write i 35 i 35 in other helpful ways?
As we saw in Example 8, we reduced i 35 i 35 to i 3 i 3 by dividing the exponent by 4 and using the remainder to find the simplified form. But perhaps another factorization of i 35 i 35 may be more useful. Table 1 shows some other possible factorizations.
row: Factorization of i 35 i 35 | i 34 ⋅i i 34 ⋅i | i 33 ⋅ i 2 i 33 ⋅ i 2 | i 31 ⋅ i 4 i 31 ⋅ i 4 | i 19 ⋅ i 16 i 19 ⋅ i 16
row: Reduced form | ( i 2 ) 17 ⋅i ( i 2 ) 17 ⋅i | i 33 ⋅( −1 ) i 33 ⋅( −1 ) | i 31 ⋅1 i 31 ⋅1 | i 19 ⋅ ( i 4 ) 4 i 19 ⋅ ( i 4 ) 4
row: Simplified form | ( −1 ) 17 ⋅i ( −1 ) 17 ⋅i | − i 33 − i 33 | i 31 i 31 | i 19 i 19
Each of these will eventually result in the answer we obtained above but may require several more steps than our earlier method.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with complex numbers.
Adding and Subtracting Complex Numbers
Multiply Complex Numbers
Multiplying Complex Conjugates
Raising i to Powers
Verbal
Explain how to add complex numbers.
What is the basic principle in multiplication of complex numbers?
Give an example to show that the product of two imaginary numbers is not always imaginary.
What is a characteristic of the plot of a real number in the complex plane?
Algebraic
For the following exercises, evaluate the algebraic expressions.
If y= x 2 +x−4, y= x 2 +x−4, evaluate y y given x=2i. x=2i.
If y= x 3 −2, y= x 3 −2, evaluate y y given x=i. x=i.
ਜੇਕਰ y= x 2 +3x+5, y= x 2 +3x+5, ਤਾਂ y y ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ x=2+i. x=2+i.
ਜੇਕਰ y=2 x 2 +x−3, y=2 x 2 +x−3, ਤਾਂ y y ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ x=2−3i. x=2−3i.
ਜੇਕਰ y= x+1 2−x , y= x+1 2−x , ਤਾਂ y y ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ x=5i. x=5i.
ਜੇਕਰ y= 1+2x x+3 , y= 1+2x x+3 , ਤਾਂ y y ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ x=4i. x=4i.
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਪਲੇਨ 'ਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
1−2i
−2+3i
i
−3−4i
ਅੰਕੀ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਕਾਰਵਾਈ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਰਲ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
( 3+2i )+(5−3i)
( −2−4i )+( 1+6i )
( −5+3i )−(6−i)
( 2−3i )−(3+2i)
(−4+4i)−(−6+9i)
( 2+3i )(4i)
( 5−2i )(3i)
( 6−2i )(5)
( −2+4i )( 8 )
( 2+3i )(4−i)
( −1+2i )(−2+3i)
( 4−2i )(4+2i)
(3+4i)(3−4i)
(3+4i)²
(6−2i)³
(−5+3i)²i
(6+4i)i
(2−3i)(4+3i)
(3+4i)(2−i)
(2+3i)(2−3i)
−9 + 3i − 16
−(−4) − 25
2 + (−12)i
4 + (−20)i
i⁸
i¹⁵
i²²
ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
(1+i)ᵏ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ k=4, 8, ਅਤੇ 12 ਹੋਵੇ। ਜੇ k=16 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਮੁੱਲ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰੋ।
(1−i)ᵏ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ k=2, 6, ਅਤੇ 10 ਹੋਵੇ। ਜੇ k=14 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਮੁੱਲ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰੋ।
(1+i)ᵏ − (1−i)ᵏ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ k=4, 8, ਅਤੇ 12 ਹੋਵੇ। ਜੇ k=16 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਮੁੱਲ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰੋ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ x⁶ + 1 = 0 ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ √3/2 + i/2 ਹੈ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ x⁸ − 1 = 0 ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ √2/2 + i√2/2 ਹੈ।
ਵਿਸਥਾਰ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਰਲ ਕਾਮਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹੋਏ, ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1 i + 4 i 3 1 i + 4 i 3
1 i 11 − 1 i 21 1 i 11 − 1 i 21
i 7 ( 1+ i 2 ) i 7 ( 1+ i 2 )
i −3 +5 i 7 i −3 +5 i 7
( 2+i )( 4−2i ) (1+i) ( 2+i )( 4−2i ) (1+i)
( 1+3i )( 2−4i ) (1+2i) ( 1+3i )( 2−4i ) (1+2i)
( 3+i ) 2 ( 1+2i ) 2 ( 3+i ) 2 ( 1+2i ) 2
3+2i 2+i +( 4+3i ) 3+2i 2+i +( 4+3i )
4+i i + 3−4i 1−i 4+i i + 3−4i 1−i
3+2i 1+2i − 2−3i 3+i 3+2i 1+2i − 2−3i 3+i