ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੁਆਰਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਮਾਨੀਟਰ 23.6-ਇੰਚ ਦਾ ਮਾਡਲ ਹੈ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 27-ਇੰਚ ਦਾ ਮਾਡਲ ਹੈ। ਅਨੁਪਾਤ ਅਨੁਸਾਰ, ਮਾਨੀਟਰ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਜਗ੍ਹਾ ਸੀਮਤ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸੰਭਵ ਮਾਨੀਟਰ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਫੈਸਲਾ ਕਰੀਏ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਚੁਣਨਾ ਹੈ? ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਚਾਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ।
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਦੂਜੀ-ਡਿਗਰੀ ਬਹੁਪਦ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 2 x 2 +3x−1=0 ਅਤੇ x 2 −4=0 ਵਰਗੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ, ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ, ਵਿੱਤ, ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨ, ਅਤੇ, ਬੇਸ਼ੱਕ, ਗਣਿਤ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਣਗਿਣਤ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਅਕਸਰ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਅਜਿਹੇ ਵਿਅੰਜਨ ਲੱਭਣਾ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਵਿਅੰਜਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਜੇਕਰ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਰੇਖੀ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਿਫਰ-ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ a⋅b=0, ਤਾਂ a=0 ਜਾਂ b=0, ਜਿੱਥੇ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਵਿਅੰਜਨ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਦੋ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਦੋ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਜ਼ਰੂਰ ਸਿਫਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਫਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੀਜ਼ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਸਿਫਰ ਹੀ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਪਲੱਸ ਜਾਂ ਮਾਈਨਸ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵੱਖ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪਦਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਫੈਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਾ ਦੀ ਕਿਰਿਆ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੀ ਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਵਿਅੰਜਨ ( x−2 )( x+3 ) ਨੂੰ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਫੈਲਾਓ।
ਗੁਣਨਫਲ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਵਿਅੰਜਨ ਹੈ। ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ 'ਤੇ, x 2 +x−6=0 ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆ ਜਾਵਾਂਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਸੀ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਮੁੱਖ ਗੁਣਕ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਇਹ 1 ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਕੋਈ ਹੋਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ। ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਸਥਿਤੀਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ; ਪਰ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, a x 2 +bx+c=0, ਜਿੱਥੇ a, b, ਅਤੇ c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ a≠0। ਸਮੀਕਰਨ x 2 +x−6=0 ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਫਰ-ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਕੱਢਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਸੂਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਦੇਖਾਂਗੇ।
ਸਿਫਰ-ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਅਤੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ
ਸਿਫਰ-ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਵਿਅੰਜਨ ਹਨ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਦੂਜੀ-ਡਿਗਰੀ ਬਹੁਪਦ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ; ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ
ਜਿੱਥੇ a, b, ਅਤੇ c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ a≠0, ਤਾਂ ਇਹ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
1 ਦੇ ਮੁੱਖ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ x 2 +x−6=0 ਵਿੱਚ, ਮੁੱਖ ਗੁਣਕ, ਜਾਂ x 2 ਦਾ ਗੁਣਕ, 1 ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
1 ਦੇ ਮੁੱਖ ਗੁਣਕ ਵਾਲੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰੋ।
ਦੋ ਅਜਿਹੇ ਅੰਕ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ c ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ b ਹੋਵੇ।
ਉਨ੍ਹਾਂ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ( x+k ) ਜਾਂ ( x−k ), ( x+k ) ਜਾਂ ( x−k ) ਰੂਪ ਦੇ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਖੋ, ਜਿੱਥੇ k ਪਹਿਲੇ ਪੜਾਅ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜਿਵੇਂ ਹਨ, ਤਿਵੇਂ ਵਰਤੋ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇ ਦੋ ਅੰਕ 1 ਅਤੇ −2 ਹਨ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ( x+1 )( x−2 ) ਹਨ।
ਸਿਫਰ-ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਅਤੇ ਪਰਿਮੇਯ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
1 ਦੇ ਅਗਵਾਈ ਗੁਣਾਂਕ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਅਤੇ ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 +x−6=0।
ਹੱਲ
x 2 +x−6=0 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਅਜਿਹੇ ਅੰਕ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ −6 ਅਤੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 1 ਹੋਵੇ। −6 ਦੇ ਸੰਭਾਵੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ।
ਆਖਰੀ ਜੋੜੀ, 3⋅(−2) ਦਾ ਜੋੜ 1 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਅੰਕ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਜੋੜੀ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰੇਗੀ। ਫਿਰ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਖੋ।
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਫਰ-ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਦੋ ਹੱਲ 2 ਅਤੇ −3 ਹਨ। ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹੱਲ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਹੱਲ y = x 2 +x−6=0 ਦੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 −5x−6=0।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 +8x+15=0।
ਹੱਲ
ਦੋ ਅਜਿਹੇ ਅੰਕ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 15 ਅਤੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 8 ਹੋਵੇ। 15 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
ਜੋ ਅੰਕ 8 ਜੋੜਦੇ ਹਨ ਉਹ 3 ਅਤੇ 5 ਹਨ। ਫਿਰ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਖੋ, ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ, ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ −3 ਅਤੇ −5 ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 −4x−21=0।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਫਰ-ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਜੋ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ-ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 −9=0. x 2 −9=0.
ਹੱਲ
ਇਹ ਪਛਾਣਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਪਦ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਲੈ ਕੇ ਦੋ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿੱਚ ਘਟਾਓ ਨਿਸ਼ਾਨ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ। ਸਿਫ਼ਰ-ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ 3 ਅਤੇ −3 ਹਨ। −3.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 −25=0. x 2 −25=0.
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਨਾ ਹੋਵੇ
ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਨਾਮਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਲਈ ਚਾਰ ਪਦਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖ ਕੇ, ਆਓ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੀਏ:
ਵਰਗਾਤਮਕ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, a x 2 +bx+c=0, a x 2 +bx+c=0, a⋅c ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। a⋅c.
ਦੋ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ac ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ ac ਅਤੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ b ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ। b.
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ, bx bx ਪਦ ਨੂੰ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੂਜੇ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਲੱਭੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ x ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ।
ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਫਿਰ ਆਖਰੀ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚਲੇ ਪਦ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਜੋਂ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ ਅਤੇ ਚੱਲ (variable) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 4 x 2 +15x+9=0. 4 x 2 +15x+9=0.
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ac ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 4( 9 )=36। ac:4( 9 )=36। ਫਿਰ 36 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ। 36.
ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਇਕੋ ਜੋੜਾ ਜੋ 15 ਦਾ ਜੋੜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ 3+12 ਹੈ। 3+12। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ, b ਪਦ, 15x, 15x, ਨੂੰ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 3 ਅਤੇ 12 ਨੂੰ x ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਆਖਰੀ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਸਿਫ਼ਰ-ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ − 3 4 , − 3 4 , ਅਤੇ −3 ਹਨ। −3। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: 12 x 2 +11x+2=0. 12 x 2 +11x+2=0.
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਉੱਚ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਰਾਹੀਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਰਾਹੀਂ ਹੱਲ ਕਰੋ: −3 x 3 −5 x 2 −2x=0. −3 x 3 −5 x 2 −2x=0.
ਹੱਲ
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਵਰਗੀ ਨਹੀਂ ਲੱਗਦੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ 3 ਹੈ, 2 ਨਹੀਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਣਾ। ਅਤੇ ਇਹ ਇੱਥੇ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ −x −x ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਬ੍ਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਦਾਂ 'ਤੇ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਸਿਫ਼ਰ-ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਤਿੰਨ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ।
ਹੱਲ 0, 0, − 2 3 , − 2 3 , ਅਤੇ −1 ਹਨ। −1.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਰਾਹੀਂ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 3 +11 x 2 +10x=0. x 3 +11 x 2 +10x=0.
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਰੇਖੀ ਪਦ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ x 2 x 2 ਪਦ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ x 2 x 2 ਪਦ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੇਰਫੇਰ ਕਰਨਾ ਪੈ ਸਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ।
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣਧਰਮ
x 2 x 2 ਪਦ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ:
ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ x 2 x 2 ਪਦ ਹੋਵੇ ਪਰ x x ਪਦ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ x 2 x 2 ਪਦ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਓ, ਵਰਗ ਵਾਲੇ ਪਦ ਦੇ ਉਲਟ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਪਦ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ± ± ਚਿੰਨ੍ਹ ਲਗਾਓ।
± ± ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲੇ ਪਾਸੇ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 =8. x 2 =8.
ਹੱਲ
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। ਵਰਗਮੂਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ± ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਯਾਦ ਰੱਖੋ।
ਹੱਲ 2 2 , 2 2 , −2 2 . −2 2 .
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 4 x 2 +1=7. 4 x 2 +1=7.
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, x 2 x 2 ਪਦ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਓ।
ਹੱਲ 6 2 , 6 2 , ਅਤੇ − 6 2 . − 6 2 .
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 3 ( x−4 ) 2 =15. 3 ( x−4 ) 2 =15.
ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨਾ
ਸਾਰੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ ਜਾਂ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪਦ ਜੋੜਦੇ ਜਾਂ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ, a, 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੂਰੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ a ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਕਦਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਉਦਾਹਰਨ x 2 +4x+1=0 x 2 +4x+1=0 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਅਤੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a=1, a=1, ਪਹਿਲਾਂ ਸਥਿਰ ਪਦ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ। x 2 +4x=−1 x 2 +4x=−1
b ਪਦ ਨੂੰ 1 2 1 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਵਰਗ ਕਰੋ। 1 2 (4) = 2 2 2 = 4 1 2 (4) = 2 2 2 = 4
( 1 2 b ) 2 ( 1 2 b ) 2 ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ x 2 +4x+4 = −1+4 x 2 +4x+4 = 3 x 2 +4x+4 = −1+4 x 2 +4x+4 = 3 ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਹੁਣ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। x 2 +4x+4 = 3 (x+2) 2 = 3 x 2 +4x+4 = 3 (x+2) 2 = 3
ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। (x+2) 2 = ± 3 x+2 = ± 3 x = −2± 3 (x+2) 2 = ± 3 x+2 = ± 3 x = −2± 3
ਹੱਲ −2+ 3 , −2+ 3 , ਅਤੇ −2− 3 . −2− 3 . ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 −3x−5=0. x 2 −3x−5=0.
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਥਿਰ ਪਦ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ।
ਫਿਰ, b ਪਦ ਦੇ 1/2 ਨੂੰ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਵਰਗ ਕਰੋ।
ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਜੋੜੋ।
ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਵਰਗ ਮੂਲ ਗੁਣ ਨੂੰ ਵਰਤੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ 3+ √29/2, 3+ √29/2 ਅਤੇ 3- √29/2, 3- √29/2 ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਬਣਾ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x² −6x=13। x² −6x=13।
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਚੌਥਾ ਤਰੀਕਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸੂਤਰ ਜੋ ਸਾਰੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੇਗਾ। ਭਾਵੇਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਬਦਲਣ ਵੇਲੇ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਦੇਖੋ, ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਪਾਉਣ ਵੇਲੇ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਬਣਾ ਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਮੰਨਾਂਗੇ ਕਿ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ; ਜੇਕਰ ਇਹ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ a ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ax² +bx+c=0, ax² +bx+c=0, a≠0, a≠0, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਬਣਾਵਾਂਗੇ:
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਥਿਰ ਪਦ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ: ax² +bx=−c ax² +bx=−c
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, a ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ: x² + b/a x=− c/a x² + b/a x=− c/a
ਫਿਰ, ਮੱਧਮ ਪਦ ਦਾ 1/2 ਲਓ, ਅਤੇ (1/2 b/a)² = b²/4a² (1/2 b/a)² = b²/4a² ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਜੋੜੋ: x² + b/a x+ b²/4a² = b²/4a² − c/a x² + b/a x+ b²/4a² = b²/4a² − c/a
ਅੱਗੇ, ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ: (x + b/2a)² = b² −4ac / 4a² (x + b/2a)² = b² −4ac / 4a²
ਹੁਣ, ਵਰਗ ਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜੋ ਦਿੰਦਾ ਹੈ x+ b/2a = ± √b² −4ac / 4a² x+ b/2a = ± √b² −4ac / 2a x+ b/2a = ± √b² −4ac / 4a² x+ b/2a = ± √b² −4ac / 2a
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ −b/2a −b/2a ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, x= −b± √b² −4ac / 2a x= −b± √b² −4ac / 2a
ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ, ax² +bx+c=0, ax² +bx+c=0, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਜਿੱਥੇ a, b, ਅਤੇ c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ a≠0। a≠0।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ: ax² +bx+c=0। ax² +bx+c=0।
ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਪਦ, a,b, a,b, ਅਤੇ c. c. ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 2 ਵਿੱਚ ਨੋਟ ਕੀਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਬਦਲੋ। ਬੇਲੋੜੀਆਂ ਗਲਤੀਆਂ ਤੋਂ ਬਚਣ ਲਈ, ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਪਾਉਣ ਵੇਲੇ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. ਗਿਣਤੀ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
2. ਉਦਾਹਰਨ 9
3. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
4. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: x 2 +5x+1=0। x 2 +5x+1=0।
5. ਹੱਲ
6. ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ: a=1,b=5,c=1। a=1,b=5,c=1। ਫਿਰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 10
8. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਨਾਲ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
9. x 2 +x+2=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। x 2 +x+2=0।
10. ਹੱਲ
11. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: a=1,b=1, a=1,b=1, ਅਤੇ c=2। c=2।
12. ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
13. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ −1+i 7 2 −1+i 7 2 ਅਤੇ −1−i 7 2 −1−i 7 2 ਹਨ
14. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
15. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 9 x 2 +3x−2=0। 9 x 2 +3x−2=0।
16. ਵਿਵੇਚਕ
17. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਵਿਵੇਚਕ, ਜਾਂ ਰੇਡੀਕਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ, b 2 −4ac। b 2 −4ac। ਵਿਵੇਚਕ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹੱਲ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਾਂ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਹੱਲ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਬਾਰੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਬਾਰੇ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿਵੇਚਕ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜਦੀ ਹੈ।
18. ਕਤਾਰ: ਵਿਵੇਚਕ ਦਾ ਮੁੱਲ | ਨਤੀਜੇ
19. ਕਤਾਰ: b 2 −4ac=0 b 2 −4ac=0 | ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਹੱਲ (ਦੋਹਰਾ ਹੱਲ)
20. ਕਤਾਰ: b 2 −4ac>0, b 2 −4ac>0, ਪੂਰਨ ਵਰਗ | ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਹੱਲ
21. ਕਤਾਰ: b 2 −4ac>0, b 2 −4ac>0, ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨਹੀਂ | ਦੋ ਅਪਰਿਮੇਯ ਹੱਲ
22. ਕਤਾਰ: b 2 −4ac<0 b 2 −4ac<0 | ਦੋ ਜਟਿਲ ਹੱਲ
23. ਵਿਵੇਚਕ
24. a x 2 +bx+c=0 a x 2 +bx+c=0 ਲਈ, ਜਿੱਥੇ a a , b b , ਅਤੇ c c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਵਿਵੇਚਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਕਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ: b 2 −4ac। b 2 −4ac। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹੱਲ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਾਂ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਨੀ ਹੈ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 11
2. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਿਵੇਚਕ (ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ
3. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਿਵੇਚਕ (ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
4. ⓐ x 2 +4x+4=0 x 2 +4x+4=0
5. ⓑ 8 x 2 +14x+3=0 8 x 2 +14x+3=0
6. ⓒ 3 x 2 −5x−2=0 3 x 2 −5x−2=0
7. ⓓ 3 x 2 −10x+15=0 3 x 2 −10x+15=0
8. ਹੱਲ
9. ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਵਿਵੇਚਕ (ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ) b 2 −4ac b 2 −4ac ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕਿਸਮ ਦੱਸੋ।
10. ⓐ x 2 +4x+4=0 x 2 +4x+4=0 b 2 −4ac= ( 4 ) 2 −4( 1 )( 4 )=0. b 2 −4ac= ( 4 ) 2 −4( 1 )( 4 )=0. ਇੱਕ ਤਰਕਸੰਗਤ ਦੋਹਰਾ ਹੱਲ ਹੋਵੇਗਾ।
11. ⓑ 8 x 2 +14x+3=0 8 x 2 +14x+3=0 b 2 −4ac= ( 14 ) 2 −4( 8 )( 3 )=100. b 2 −4ac= ( 14 ) 2 −4( 8 )( 3 )=100. ਕਿਉਂਕਿ 100 100 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ, ਦੋ ਤਰਕਸੰਗਤ ਹੱਲ ਹੋਣਗੇ।
12. ⓒ 3 x 2 −5x−2=0 3 x 2 −5x−2=0 b 2 −4ac= ( −5 ) 2 −4( 3 )( −2 )=49. b 2 −4ac= ( −5 ) 2 −4( 3 )( −2 )=49. ਕਿਉਂਕਿ 49 49 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ, ਦੋ ਤਰਕਸੰਗਤ ਹੱਲ ਹੋਣਗੇ।
13. ⓓ 3 x 2 −10x+15=0 3 x 2 −10x+15=0 b 2 −4ac= ( −10 ) 2 −4( 3 )( 15 )=−80. b 2 −4ac= ( −10 ) 2 −4( 3 )( 15 )=−80. ਦੋ ਜਟਿਲ ਹੱਲ ਹੋਣਗੇ।
14. ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
15. ਗਣਿਤ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਸੂਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਥਿਊਰਮ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ a 2 + b 2 = c 2 , a 2 + b 2 = c 2 ਵਜੋਂ ਦੱਸਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a a ਅਤੇ b b ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ 90° 90° ਕੋਣ ਨਾਲ ਲੱਗੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ c c ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਕਾਰਨ (hypotenuse) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ, ਵਿਗਿਆਨ, ਜਿਓਮੈਟਰੀ, ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ, ਅਤੇ ਅਲਜਬਰਾ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ ਅਣਮੋਲ ਉਪਯੋਗ ਹਨ।
16. ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੂਜੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਦ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸਿੱਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਗੁੰਮ ਹੋਈ ਭੁਜਾ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
17. ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਥਿਊਰਮ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ:
18. ਜਿੱਥੇ a a ਅਤੇ b b ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ 90 ∘ 90 ∘ ਕੋਣ ਨਾਲ ਲੱਗੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ c c ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਕਾਰਨ (hypotenuse) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 12
20. ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਗੁੰਮ ਹੋਈ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
21. ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਗੁੰਮ ਹੋਈ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
22. ਹੱਲ
23. ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਭੁਜਾ b ਅਤੇ ਕਾਰਨ (hypotenuse) ਦੇ ਮਾਪ ਹਨ, ਗੁੰਮ ਹੋਈ ਭੁਜਾ a ਹੈ।
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #9
1. ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਭੁਜਾ 'a' 4 ਇਕਾਈ ਹੈ, ਭੁਜਾ 'b' 3 ਇਕਾਈ ਹੈ। ਕਰਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਮੀਡੀਆ
3. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
4. ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
5. ਸਿਫ਼ਰ-ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ
6. ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨਾ
7. ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਹੱਲਾਂ ਵਾਲਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ
8. ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ
9. ਸ਼ਬਦੀ
10. ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੋਘਾਤੀ ਹੈ?
11. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਿੰਨੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ax^2+bx+c=0 ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ y=ax^2+bx+c ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕੋਈ ਸਿਫ਼ਰ (x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ) ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੇ।
12. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਪਦ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਕਿਉਂ ਲਿਜਾਂਦੇ ਹਾਂ, ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਸਿਫ਼ਰ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ?
13. ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ, ਰੇਡੀਕਲ ਚਿੰਨ੍ਹ b^2-4ac ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਦ ਦਾ ਨਾਮ ਕੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਸਾਡੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਸੁਭਾਅ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ?
14. ਦੋ ਅਜਿਹੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਗਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਕੁਸ਼ਲ ਵਿਧੀ ਹੋਵੇਗੀ।
15. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
16. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
17. x^2+4x-21=0
18. x^2-9x+18=0
19. 2x^2+9x-5=0
20. 6x^2+17x+5=0
21. 4x^2-12x+8=0
22. 3x^2-75=0
23. 8x^2+6x-9=0
24. 4x^2=9
2 x 2 +14x=36 2 x 2 +14x=36
5 x 2 =5x+30 5 x 2 =5x+30
4 x 2 =5x 4 x 2 =5x
7 x 2 +3x=0 7 x 2 +3x=0
x 3 − 9 x =2 x 3 − 9 x =2
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਵਰਗ ਮੂਲ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
x 2 =36 x 2 =36
x 2 =49 x 2 =49
( x−1 ) 2 =25 ( x−1 ) 2 =25
( x−3 ) 2 =7 ( x−3 ) 2 =7
( 2x+1 ) 2 =9 ( 2x+1 ) 2 =9
( x−5 ) 2 =4 ( x−5 ) 2 =4
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਹਰ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ।
x 2 −9x−22=0 x 2 −9x−22=0
2 x 2 −8x−5=0 2 x 2 −8x−5=0
x 2 −6x=13 x 2 −6x=13
x 2 + 2 3 x− 1 3 =0 x 2 + 2 3 x− 1 3 =0
2+z=6 z 2 2+z=6 z 2
6 p 2 +7p−20=0 6 p 2 +7p−20=0
2 x 2 −3x−1=0 2 x 2 −3x−1=0
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਵਿਵੇਚਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਦੱਸੋ ਕਿ ਕਿੰਨੇ ਹੱਲ ਹਨ ਅਤੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਕੀ ਹੈ। ਹੱਲ ਨਾ ਕਰੋ।
2 x 2 −6x+7=0 2 x 2 −6x+7=0
x 2 +4x+7=0 x 2 +4x+7=0
3 x 2 +5x−8=0 3 x 2 +5x−8=0
9 x 2 −30x+25=0
2 x 2 −3x−7=0
6 x 2 −x−2=0
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਹੱਲ ਅਸਲ ਨਾ ਹੋਣ, ਤਾਂ 'ਕੋਈ ਅਸਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ' ਦੱਸੋ।
2 x 2 +5x+3=0
x 2 +x=4
2 x 2 −8x−5=0
3 x 2 −5x+1=0
x 2 +4x+2=0
4+ 1 x − 1 x 2 =0
ਤਕਨਾਲੋਜੀ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਆਪਣੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਜ ਕਰੋ ਅਤੇ 2nd CALC 2:zero ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ (x-intercepts) ਲੱਭੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਖੱਬੀ ਸੀਮਾ (ਆਪਣੇ ਕਰਸਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ, ਦਰਜ ਕਰੋ), ਫਿਰ ਸੱਜੀ ਸੀਮਾ (ਆਪਣੇ ਕਰਸਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ, ਦਰਜ ਕਰੋ), ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਨੁਮਾਨ (ਆਪਣੇ ਕਰਸਰ ਨੂੰ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਨੇੜੇ ਲੈ ਜਾਓ, ਦਰਜ ਕਰੋ) ਪੁੱਛਿਆ ਜਾਵੇਗਾ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
Y 1 =4 x 2 +3x−2
Y 1 =−3 x 2 +8x−1
Y 1 =0.5 x 2 +x−7
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ x 2 +5x−7=4 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
Y 1 = x 2 +5x−7 Y 2 =4
ਅਤੇ ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 2nd CALC 5:intersection ਯਾਦ ਰੱਖੋ। ਇਹ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਲੱਭੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ 0.3 x 2 +2x−4=2 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
Y 1 =0.3 x 2 +2x−4 Y 2 =2
ਅਤੇ ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 2nd CALC 5:intersection ਯਾਦ ਰੱਖੋ। ਇਹ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਲੱਭੋ।
ਵਿਸਥਾਰ
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ, a x 2 +bx+c=0, ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ − b a ਹੈ।
1. ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਕੋਲ ਇੱਕ ਬਾਗ਼ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲੋਂ 10 ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 119 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ ਤਾਂ ਬਾਗ਼ ਦੇ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
2. ਐਬਰਕ੍ਰੋਂਬੀ ਅਤੇ ਫਿਚ ਸਟਾਕ ਦੀ ਕੀਮਤ P=0.2 t 2 −5.6t+50.2 ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਜਿੱਥੇ t 1999 ਤੋਂ 2001 ਤੱਕ ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਹੈ (t=1 ਜਨਵਰੀ 1999 ਹੈ)। ਉਹ ਦੋ ਮਹੀਨੇ ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ ਸਟਾਕ ਦੀ ਕੀਮਤ $30 ਸੀ।
3. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ p=−2 x 2 +280x−1000 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਨਿਲਾਮੀ ਵਿੱਚ ਵੇਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ p ਨਿਲਾਮੀ ਚਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਕਾਰੋਬਾਰ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਮੁਨਾਫੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਿੰਨੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਵੇਚਣ ਨਾਲ ਇਹ ਮੁਨਾਫਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋਵੇਗਾ? ਇਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ ਅਤੇ 2nd CALC maximum ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੱਭ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਵਕਰ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਵਿੰਡੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, x [0,200] ਅਤੇ y [0,10000] ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
4. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਅਰਜ਼ੀਆਂ
5. ਇੱਕ ਆਦਮੀ ਦੀ ਉਮਰ A, mmHg ਵਿੱਚ ਮਾਪੀ ਗਈ, ਲਈ ਆਮ ਸਿਸਟੋਲਿਕ ਬਲੱਡ ਪ੍ਰੈਸ਼ਰ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ P=0.006 A 2 −0.02A+120 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਦਮੀ ਦੀ ਉਮਰ ਸਾਲ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਬਲੱਡ ਪ੍ਰੈਸ਼ਰ 125 mmHg ਮਾਪਦਾ ਹੈ।
6. ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੰਪਨੀ ਲਈ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ C=60x+300 ਹੈ ਅਤੇ ਮਾਲੀਆ R=100x−0.5 x 2 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਮੁਨਾਫਾ ਮਾਲੀਆ ਘਟਾਓ ਲਾਗਤ ਹੈ। ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ x (ਉਤਪਾਦਨ ਪੱਧਰ) ਦੇ ਦੋ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜੋ $300 ਦਾ ਮੁਨਾਫਾ ਪੈਦਾ ਕਰਨਗੇ।
7. ਇੱਕ ਡਿੱਗ ਰਹੀ ਵਸਤੂ d=5t+16 t 2 ft ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਵਸਤੂ ਨੂੰ 74 ਫੁੱਟ ਯਾਤਰਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
8. ਇੱਕ ਖਾਲੀ ਪਲਾਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਮਿਊਨਿਟੀ ਬਾਗ਼ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਬਾਗ਼ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਘੇਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦਾ ਪੈਦਲ ਮਾਰਗ 378 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਪੈਦਲ ਮਾਰਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਬਾਗ਼ 12 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਅਤੇ 15 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹੈ।
9. ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਸਕੂਲ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇਨਫਲੂਐਂਜ਼ਾ ਸਟ੍ਰੇਨ ਦੇ ਫੈਲਣ ਦਾ ਇੱਕ ਮਹਾਂਮਾਰੀ ਵਿਗਿਆਨ ਅਧਿਐਨ ਮਿਲਿਆ ਹੈ ਕਿ ਫਲੂ ਫੈਲਣ ਦੇ t ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ, ਕੁੱਲ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, P, ਜੋ ਕਿ ਮਾਡਲ P=− t 2 +13t+130 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ 1≤t≤6। ਉਹ ਦਿਨ ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ 160 ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੂੰ ਫਲੂ ਹੋਇਆ ਸੀ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ t 'ਤੇ ਪਾਬੰਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 6 ਹੈ।