ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਕਰਨੀ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੋਰ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਪਰਿਮੇਯ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਹੋਰ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਕਰਨੀ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਦੋਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਅਤੇ ਕੁਝ ਪਰਿਮੇਯ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਜੋ ਦੋਘਾਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਬਾਰੇ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਉਹੀ ਬੁਨਿਆਦੀ ਅਲਜਬ੍ਰਿਕ ਨਿਯਮ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਨਵੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਹ ਕੁਝ ਸਮੀਕਰਨਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਅਲਜਬਰਾ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ।
ਕਰਨੀ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਕਰਨੀ ਘਾਤਾਂ ਉਹ ਘਾਤਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਭਿੰਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਅੰਸ਼ ਇੱਕ ਘਾਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਇੱਕ ਮੂਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 16^{1/2} 16^{1/2} 16 ਦਾ ਦੂਜਾ ਮੂਲ ਲਿਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ; 8^{1/3} 8^{1/3} 8 ਦਾ ਤੀਜਾ ਮੂਲ ਲਿਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਕਰਨੀ ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਇੱਕ ਉਪਯੋਗੀ ਹੁਨਰ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਕੈਲਕੂਲਸ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਲ ਨੂੰ ਕਰਨੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਘਾਤ ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਵਧਾ ਕੇ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਘਾਤ ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਕਿਉਂ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚੱਲ ਪਦ 'ਤੇ ਘਾਤ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਜੋ ਉਸਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 2/3 * (3/2) = 1, 3 * (1/3) = 1, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ।
ਕਰਨੀ ਘਾਤਾਂ
ਇੱਕ ਕਰਨੀ ਘਾਤ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੂਲ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਕਰਨੀ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ, ਇੱਕ ਚੱਲ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹਨ:
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਕਰਨੀ ਘਾਤ ਵਾਲੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
8^{2/3} 8^{2/3} ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਮੂਲ ਲਈਏ ਜਾਂ ਘਾਤ, ਇਹ ਸੰਖਿਆ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। 8 ਦਾ ਘਣ ਮੂਲ ਲੱਭਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 8^{2/3} 8^{2/3} ਨੂੰ (8^{1/3})^2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
64^{-1/3} 64^{-1/3} ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਕਰਨੀ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਚੱਲ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਉਹ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਲ ਨੂੰ ਕਰਨੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ: x^{5/4} = 32।
ਹੱਲ
x ਦੇ ਘਾਤ ਅੰਕ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 5 4 , 5 4 ਦੇ ਉਲਟ, ਜੋ ਕਿ 4 5 ਹੈ, ਦੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਵੇ। 4 5 .
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #2
ਸਮੀਕਰਨ x 3 2 =125 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। x 3 2 =125।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਰੈਸ਼ਨਲ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਅਤੇ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
3 x 3 4 = x 1 2 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 3 x 3 4 = x 1 2।
ਹੱਲ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਰੈਸ਼ਨਲ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਰੈਸ਼ਨਲ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਆਓ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਕਰਕੇ ਕਰੀਏ। ਪਹਿਲਾਂ, ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਰੱਖੋ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਹੁਣ, ਇਹ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਕੀ ਫੈਕਟਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਘਾਤ ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। x 1 2 x 1 2 ਨੂੰ x 2 4 . x 2 4 . ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ, ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੋਵਾਂ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ x 2 4 x 2 4 ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ।
x 1 4 x 1 4 ਕਿੱਥੋਂ ਆਇਆ? ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਅਧਾਰ ਵਾਲੀਆਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x 2 4 x 2 4 ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਲਾ ਪਦ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ 2 4 2 4 ਵਿੱਚ ਜੋੜਨ 'ਤੇ 3 4 . 3 4 . ਮਿਲੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ x ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ 1 4 ਹੈ। 1 4।
ਆਓ ਜਾਰੀ ਰੱਖੀਏ। ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਫੈਕਟਰ ਹਨ ਅਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਫੈਕਟਰ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋ ਹੱਲ 0 0 ਅਤੇ 1 81 ਹਨ। 1 81।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #3
ਹੱਲ ਕਰੋ: ( x+5 ) 3 2 =8। ( x+5 ) 3 2 =8।
ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਤਕਨੀਕ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁ-ਪਦ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਗੁਣਾਂਕ ਅਤੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ 2 ਤੋਂ ਵੱਧ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਬਹੁ-ਪਦ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਬਹੁ-ਪਦ ਸਮੀਕਰਨ
ਡਿਗਰੀ n ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁ-ਪਦ ਇੱਕ ਪਦ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ n ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ ਅਤੇ a n ,…, a 0 a n ,…, a 0 ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ a n ≠0। a n ≠0।
ਬਹੁ-ਪਦ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਬਹੁ-ਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਬਹੁ-ਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ (ਅਸਲ ਅਤੇ ਕੰਪਲੈਕਸ) ਦੀ ਕੁੱਲ ਸੰਖਿਆ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ n ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਬਹੁ-ਪਦ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਬਹੁ-ਪਦ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 5 x 4 =80 x 2। 5 x 4 =80 x 2।
ਹੱਲ
1. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ। ਫਿਰ ਦੋਨਾਂ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਂਝਾ, ਜੀ.ਸੀ.ਐਫ. (GCF) ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
2. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ x² − 16, x² − 16 ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਅੱਗੇ ਵੰਡ ਕੇ ਦੋ ਹੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਪਹਿਲਾ ਪਦ, 5x², 5x², ਤਕਨੀਕੀ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਦੋ ਹੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਘਾਤ 2 ਹੈ, ਪਰ ਉਹ ਇੱਕੋ ਹੱਲ ਹਨ।
3. ਹੱਲ ਹਨ 0 (ਦੋਹਰਾ ਹੱਲ), 0 (ਦੋਹਰਾ ਹੱਲ), 4, 4, ਅਤੇ −4, −4।
4. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
5. ਅਸੀਂ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਉਸ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ x-ਸੰਯੋਜਕ ਹੱਲ ਹਨ—x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ। ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹੱਲ 0, 0 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਵਾਪਸ ਮੁੜ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੋਹਰੇ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਆਮ ਲੱਛਣ ਹੈ।
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
7. ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: 12x⁴ = 3x²।
8. ਉਦਾਹਰਨ 5
9. ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਬਹੁਪਦੀ ਹੱਲ ਕਰੋ
10. ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਹੱਲ ਕਰੋ: x³ + x² − 9x − 9 = 0।
11. ਹੱਲ
12. ਇਸ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿੱਚ 4 ਪਦ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣਾ ਅਤੇ ਫਿਰ ਆਖਰੀ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਾਰੀ ਰੱਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਹੋਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਨਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ।
13. ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਇੱਥੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x² − 9, x² − 9 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
14. ਹੱਲ 3, 3, −3, −3, ਅਤੇ −1, −1 ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ 3 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ 3 ਹੱਲ ਮਿਲੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹੱਲਾਂ, x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
16. ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੁਆਰਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਦੇਖਿਆ ਜਦੋਂ ਮੁੱਖ ਗੁਣਕ 1 ਸੀ। ਜਦੋਂ ਮੁੱਖ ਗੁਣਕ 1 ਨਹੀਂ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕੀਤਾ। ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਲਈ ਚਾਰ ਪਦਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਰੇਖੀ ਪਦ ਨੂੰ ਵੰਡ ਕੇ ਮਿਲੇ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਘਾਤ ਵਾਲੀਆਂ ਕੁਝ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਲਈ ਵੀ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਦੇਖਿਆ, ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਚਾਰ ਪਦ ਸਨ।
17. ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
18. ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨ ਉਹ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰਣੀ (ਕਰਣੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਪਦ) ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ
19. ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਣੀ ਪਦ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਕਰਕੇ ਖਤਮ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ, ਜੜ੍ਹਾਂ ਜੋ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਲੱਭਣਾ ਅਸਾਧਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਹੱਲ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਕਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਬਲਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਨਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹਰੇਕ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਚੈੱਕ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸੱਚੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ।
20. ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨ
21. ਕਰਣੀ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
22. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
23. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕਰਣੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
24. ਕਰਣੀ ਪਦ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਇਕੱਲਾ ਕਰੋ। ਬਾਕੀ ਸਾਰੇ ਪਦ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਰੱਖੋ।
If the radical is a square root, then square both sides of the equation. If it is a cube root, then raise both sides of the equation to the third power. In other words, for an nth root radical, raise both sides to the nth power. Doing so eliminates the radical symbol.
Solve the remaining equation.
If a radical term still remains, repeat steps 1–2.
Confirm solutions by substituting them into the original equation.
Example 6
Solving an Equation with One Radical
Solve 15−2x =x. 15−2x =x.
Solution
The radical is already isolated on the left side of the equal side, so proceed to square both sides.
We see that the remaining equation is a quadratic. Set it equal to zero and solve.
The proposed solutions are −5 −5 and 3. 3. Let us check each solution back in the original equation. First, check x=−5. x=−5.
This is an extraneous solution. While no mistake was made solving the equation, we found a solution that does not satisfy the original equation.
Check x=3. x=3.
The solution is 3. 3.
Try It #5
Solve the radical equation: x+3 =3x−1 x+3 =3x−1
Example 7
Solving a Radical Equation Containing Two Radicals
Solve 2x+3 + x−2 =4. 2x+3 + x−2 =4.
Solution
As this equation contains two radicals, we isolate one radical, eliminate it, and then isolate the second radical.
Use the perfect square formula to expand the right side: ( a−b ) 2 = a 2 −2ab+ b 2 . ( a−b ) 2 = a 2 −2ab+ b 2 .
Now that both radicals have been eliminated, set the quadratic equal to zero and solve.
The proposed solutions are 3 3 and 83. 83. Check each solution in the original equation.
ਇੱਕ ਹੱਲ 3 ਹੈ। 3।
x=83 ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। x=83।
ਇੱਕੋ ਹੱਲ 3 ਹੈ। 3। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 83 83 ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਹੱਲ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਦੋ ਰੇਡੀਕਲ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 3x+7 + x+2 =1। 3x+7 + x+2 =1।
ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ। | 2x−6 |=8, | 2x−6 |=8 ਵਰਗੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ 8 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਬਾਰਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ 8 8 ਜਾਂ −8 ਹੈ। −8। ਇਹ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਜਾਣਨਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਇੱਕ ਲਾਈਨ 'ਤੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ
x ਦਾ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ | x | ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। | x |। ਇਸਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣ ਹਨ:
A A ਅਤੇ B B ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ, B B, | A |=B, | A |=B ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ, ਜਿੱਥੇ B≥0, B≥0, ਹੱਲ ਉਦੋਂ ਹੋਣਗੇ ਜਦੋਂ A=B A=B ਜਾਂ A=−B। A=−B। ਜੇਕਰ B<0, B<0, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ | A |=B | A |=B ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
| ax+b |=c | ax+b |=c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣ ਹਨ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਵੱਖ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ c>0, c>0, ਤਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: ax+b=c ax+b=c ਅਤੇ ax+b=−c। ax+b=−c।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ:
ⓐ | 6x+4 |=8 | 6x+4 |=8
ⓑ | 3x+4 |=−9 | 3x+4 |=−9
ⓒ | 3x−5 |−4=6 | 3x−5 |−4=6
ⓓ | −5x+10 |=0 | −5x+10 |=0
ਹੱਲ
6x+4 = 8 ਅਤੇ 6x+4 = −8 ਦੋ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 6x = 4 6x = −12 x = 2/3 x = −2। ਦੋ ਹੱਲ 2/3 ਅਤੇ −2 ਹਨ।
3x+4 = −9 ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।
|3x−5|−4=6 |3x−5| = 10 3x−5 = 10 3x−5 = −10 3x = 15 3x = −5 x = 5 x = −5/3 ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਦੋ ਹੱਲ ਹਨ: 5 ਅਤੇ −5/3।
−5x+10 = 0 −5x = −10 x = 2 ਸਮੀਕਰਨ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣੀ ਪਵੇਗੀ। ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ: 2।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #7
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: |1−4x|+8=13।
ਹੋਰ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਜਿੰਨ੍ਹਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਤੱਕ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਵੀ ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪਾਠ ਦੌਰਾਨ ਹੋਰ ਵੀ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਅਤੇ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਜੋ ਦੋ ਘਾਤੀ ਬਣ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਉਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੀ ਘਾਤ 2 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਦਰਮਿਆਨੇ ਪਦ ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੇ ਘਾਤ ਅੰਕ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਤੀਜਾ ਪਦ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਹ ਦੋ ਘਾਤੀ ਹੋਣ। ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚ x⁴−5x²+4=0, x⁶+7x³−8=0, ਅਤੇ x²/³+4x¹/³+2=0 ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ, ਦਰਮਿਆਨੇ ਪਦ ਦੇ ਘਾਤ ਅੰਕ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦਰਮਿਆਨੇ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ (variable) ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ
ਜੇਕਰ ਦਰਮਿਆਨੇ ਪਦ ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੇ ਘਾਤ ਅੰਕ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਹ ਦੋ ਘਾਤੀ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦਰਮਿਆਨੇ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ (variable) ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੇ ਘਾਤ ਅੰਕ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਦਰਮਿਆਨੇ ਪਦ ਦੇ ਘਾਤ ਅੰਕ ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਇਹ ਹੈ, ਤਾਂ ਦਰਮਿਆਨੇ ਪਦ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ (variable) ਹਿੱਸੇ ਲਈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ u, ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ (variable) ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਕਿ ਇਹ ਦੋ ਘਾਤੀ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲੈ ਲਵੇ।
ਦੋ ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਆਮ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਬਦਲਵੇਂ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ (substitution variable) ਨੂੰ ਅਸਲ ਪਦ ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
ਬਾਕੀ ਰਹਿੰਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਣ 9
ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਚੌਥੀ-ਘਾਤ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਇਸ ਚੌਥੀ-ਘਾਤ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: 3x⁴−2x²−1=0।
ਹੱਲ
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮੁੱਖ ਮਾਪਦੰਡਾਂ 'ਤੇ ਖਰਾ ਉਤਰਦਾ ਹੈ, ਕਿ ਅਗਲੇ ਪਦ ਦੀ ਘਾਤ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਦੀ ਘਾਤ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਹੈ। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਪਦ ਲਈ ਇੱਕ ਬਦਲ ਬਣਾਵਾਂਗੇ। ਮੰਨ ਲਓ u = x². u = x². ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ u ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਹੁਣ ਦੋਘਾਤੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ u ਲਈ ਮੂਲ ਪਦ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਹੱਲ ±i√1/3 ±i√1/3 ਅਤੇ ±1 ਹਨ। ±1।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
ਬਦਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: x⁴ −8x² −9=0। x⁴ −8x² −9=0।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਦੋਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਦੋਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: (x+2)² +11(x+2)−12=0। (x+2)² +11(x+2)−12=0।
ਹੱਲ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਦੋਪਦੀ ਹੈ। ਰੁਝਾਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਜੋ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਉਸਨੂੰ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਪਛਾਣਨਾ ਕਿ ਇਹ ਦੋਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਦੇ ਮਾਪਦੰਡਾਂ 'ਤੇ ਖਰਾ ਉਤਰਦਾ ਹੈ, ਹੱਲ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਸਾਰਾ ਫਰਕ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਇੱਕ ਬਦਲ ਬਣਾਓ, ਮੰਨ ਲਓ u=x+2। u=x+2। ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ u ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਜ਼ੀਰੋ-ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ u ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
ਦੂਜਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਹੱਲ ਹਨ: −14, −14, ਅਤੇ −1। −1।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
ਹੱਲ ਕਰੋ: (x−5)² −4(x−5)−21=0। (x−5)² −4(x−5)−21=0।
ਦੋਘਾਤੀ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਾ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ, ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਾਡੀਆਂ ਦੇਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਵਿਧੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੁਆਰਾ ਸਰਲ ਬਣਾ ਕੇ ਹੱਲ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਦੇ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਦੋਘਾਤੀ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ: −4x/(x−1) + 4/(x+1) = −8/(x²−1)। −4x/(x−1) + 4/(x+1) = −8/(x²−1)।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ LCD ਲੱਭਣ ਲਈ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਦੋ ਹਰ ਹੋਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, x²−1=(x+1)(x−1)। x²−1=(x+1)(x−1)। ਫਿਰ, LCD (x+1)(x−1) ਹੈ। (x+1)(x−1)। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਪੂਰੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ LCD ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਕੋਈ ਵੀ ਹੱਲ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਹਰ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #10
2. 3x+2 x−2 + 1 x = −2 x 2 −2x ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
3. ਮੀਡੀਆ
4. ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
5. ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਰੈਸ਼ਨਲ ਸਮੀਕਰਨ
6. ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਪਾਵਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਐਕਸਪੋਨੈਂਟ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
7. ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਭਾਗ 1/2
8. ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਭਾਗ 2/2
9. ਸ਼ਬਦਕ
10. ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ ਹੈ ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਕੀ ਅਰਥ ਹੈ?
11. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸੰਭਾਵੀ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਿਉਂ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
12. ਤੁਹਾਡਾ ਦੋਸਤ − 9 3 2 − 9 3 2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਗਿਣਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲਗਾਤਾਰ ਇੱਕ ERROR ਸੰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਹ ਸ਼ਾਇਦ ਕੀ ਗਲਤੀ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ?
13. ਸਮਝਾਓ ਕਿ | 2x+5 |=−7 | 2x+5 |=−7 ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
14. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਰੈਸ਼ਨਲ ਐਕਸਪੋਨੈਂਟ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੈਡੀਕਲ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਿਆ ਜਾਵੇ।
15. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
16. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਰੈਸ਼ਨਲ ਐਕਸਪੋਨੈਂਟ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਜਿੱਥੇ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋਵੇ ਉੱਥੇ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
17. x 2 3 =16
18. x 3 4 =27
19. 2 x 1 2 − x 1 4 =0
20. ( x−1 ) 3 4 =8
21. ( x+1 ) 2 3 =4
22. x 2 3 −5 x 1 3 +6=0
23. x 7 3 −3 x 4 3 −4 x 1 3 =0
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਅਤੇ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
x³ + 2x² − x − 2 = 0
3x³ − 6x² − 27x + 54 = 0
4y³ − 9y = 0
x³ + 3x² − 25x − 75 = 0
m³ + m² − m − 1 = 0
2x⁵ − 14x³ = 0
5x³ + 45x = 2x² + 18
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੱਢੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਬਾਹਰੀ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਰੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ।
3x−1 − 2 = 0
x−7 = 5
x−1 = x−7
3t+5 = 7
t+1 + 9 = 7
12−x = x
2x+3 − x+2 = 2
3x+7 + x+2 = 1
2x+3 − x+1 = 1
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
| 3x−4 | = 8
| 2x−3 | = −2
| 1−4x | − 1 = 5
| 4x+1 | − 3 = 6
| 2x−1 | − 7 = −2
| 2x+1 | − 2 = −3
1. | x+5 |=0
2. −| 2x+1 |=−3
3. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਗ ਰੂਪ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਬਦਲਵੇਂ ਚਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
4. x 4 −10 x 2 +9=0
5. 4 ( t−1 ) 2 −9( t−1 )=−2
6. ( x 2 −1 ) 2 +( x 2 −1 )−12=0
7. ( x+1 ) 2 −8( x+1 )−9=0
8. ( x−3 ) 2 −4=0
9. ਵਿਸਥਾਰ
10. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਣਜਾਣ ਚਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
11. x −2 − x −1 −12=0
12. | x | 2 =x
13. t 10 −2 t 5 +1=0
14. | x 2 +2x−36 |=12
15. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
16. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਲੋਲਕ ਦੇ ਸਮੇਂ, T, T, ਲਈ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ T=2π L g , T=2π L g , ਜਿੱਥੇ ਲੋਲਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ L ਹੈ ਅਤੇ ਗੁਰੂਤਾ ਕਾਰਨ ਪ੍ਰਵੇਗ g ਹੈ। g.
17. ਜੇਕਰ ਗੁਰੂਤਾ ਕਾਰਨ ਪ੍ਰਵੇਗ 9.8 m/s2 ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਾਂ 1 s ਹੈ, ਤਾਂ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕੀ (100 cm = 1 m) ਲੰਬਾਈ ਲੱਭੋ।
18. ਜੇਕਰ ਗੁਰੂਤਾ 32 ft/s2 ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਾਂ 1 s ਹੈ, ਤਾਂ ਇੰਚ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕੀ (12 in. = 1 ft) ਲੰਬਾਈ ਲੱਭੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਇੰਚ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਗੋਲ ਕਰੋ।
19. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਰੀਰ ਦੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰ, BSA, ਲਈ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ BSA= wh 3600 , BSA= wh 3600 , ਜਿੱਥੇ w = ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਵਿੱਚ ਭਾਰ ਅਤੇ h = ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਵਿੱਚ ਉਚਾਈ ਹੈ।
20. 72-ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਔਰਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦਾ BSA=1.8 ਹੈ। BSA=1.8.
21. 177-ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਪੁਰਸ਼ ਦਾ ਭਾਰ ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦਾ BSA=2.1 ਹੈ। BSA=2.1.