ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ ਜਾਂ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਆਪਣੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਧੁਰਿਆਂ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਪ੍ਰਤਿਲੋਮਾਤਮਕ ਗਰਮੀ ਪੰਪ ਇੱਕ ਜਲਵਾਯੂ-ਨਿਯੰਤਰਣ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਯੰਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਏਅਰ ਕੰਡੀਸ਼ਨਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਹੀਟਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਠੰਡਾ ਕਰਨ ਲਈ ਘਰ ਤੋਂ ਗਰਮੀ ਬਾਹਰ ਕੱਢਦਾ ਹੈ। ਉਲਟਾ ਚਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਠੰਡੇ ਮੌਸਮ ਵਿੱਚ ਵੀ, ਇਮਾਰਤ ਵਿੱਚ ਬਾਹਰੋਂ ਗਰਮੀ ਪੰਪ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਹੀਟਿੰਗ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਨ ਲਈ। ਹੀਟਰ ਵਜੋਂ, ਗਰਮੀ ਪੰਪ ਰਵਾਇਤੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੀਕਲ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਹੀਟਿੰਗ ਨਾਲੋਂ ਕਈ ਗੁਣਾ ਵਧੇਰੇ ਕੁਸ਼ਲ ਹੈ।
ਜੇ ਕੁਝ ਭੌਤਿਕ ਮਸ਼ੀਨਾਂ ਦੋ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਚੱਲ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨ "ਮਸ਼ੀਨਾਂ" ਵੀ ਪਿੱਛੇ ਚੱਲ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 1 ਇਸ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਮਈ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਉਲਟ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਕੀ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ "ਮਸ਼ੀਨ" ਉਲਟਾ ਕੰਮ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ?
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ
ਬੇਟੀ ਇੱਕ ਫੈਸ਼ਨ ਸ਼ੋਅ ਲਈ ਮਿਲਾਨ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਤਾਪਮਾਨ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ। ਉਹ ਸੈਲਸੀਅਸ ਸਕੇਲ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਬੇਟੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 75 ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀ ਸੈਲਸੀਅਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ
ਅਤੇ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ F F ਲਈ 75 ਨੂੰ ਬਦਲਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਇੱਕ ਆਰਾਮਦਾਇਕ 75 ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਲਗਭਗ 24 ਡਿਗਰੀ ਸੈਲਸੀਅਸ ਹੈ, ਬੇਟੀ ਮਿਲਾਨ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 2 ਤੋਂ ਹਫਤੇ ਦੇ ਮੌਸਮ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਤਾਪਮਾਨਾਂ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਬੇਟੀ ਨੇ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਲੱਭੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਆਖ਼ਰਕਾਰ, ਉਹ ਆਪਣੀ ਅਲਜਬਰਾ ਜਾਣਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ C ਲਈ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਬਦਲਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ F ਲਈ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 26 ਡਿਗਰੀ ਸੈਲਸੀਅਸ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਉਹ ਲਿਖ ਸਕਦੀ ਹੈ
ਇਸ ਵਿਕਲਪ 'ਤੇ ਇੱਕ ਪਲ ਲਈ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਉਹ ਅਹਿਸਾਸ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਤਾਪਮਾਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋਵੇਗਾ। ਉਹ ਅਹਿਸਾਸ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਉਂਕਿ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਆਸਾਨ ਹੈ, ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੋਣਾ ਬਹੁਤ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੋਵੇਗਾ, ਇੱਕ ਜੋ ਸੈਲਸੀਅਸ ਤਾਪਮਾਨ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਾਰਨਹੀਟ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਜਿਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਬੇਟੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ ਉਹ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਲਈ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁੱਟ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁੱਟ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਨੂੰ f −1 (x) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ "f "f ਦਾ ਉਲਟ x" ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰਲਾ −1 −1 ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ। ਇਹ ਕੋਈ ਘਾਤ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਹ −1 −1 ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, f −1 (x) f −1 (x) ਦਾ ਮਤਲਬ 1 f(x) 1 f(x) ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 1 f(x) 1 f(x) f f ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ ਅਤੇ ਉਲਟ ਨਹੀਂ।
"ਘਾਤ-ਵਰਗੀ" ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੰਪੋਜ਼ੀਸ਼ਨ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਮਾਨਤਾ ਤੋਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ: ਜਿਵੇਂ ਕਿ a −1 a=1 a −1 a=1 (1 ਗੁਣਾ ਲਈ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਐਲੀਮੈਂਟ ਹੈ) ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਨੰਬਰ a ਲਈ, ਇਸ ਲਈ f −1 ∘f f −1 ∘f ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਯਾਨੀ,
ਇਹ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ। ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ "ਅਨਡੂ" ਕਰਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜ਼ੀਰੋ ਦਾ ਕੋਈ ਉਲਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) f(x) ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਕਿ ਕੀ g(f(x))=x ਅਤੇ f(g(x))=x ਦੋਵੇਂ ਸੱਚ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, y=4x ਅਤੇ y= 1 4 x ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ।
ਅਤੇ
ਫੰਕਸ਼ਨ y=4x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਕੁਝ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ (−2, −8), (0, 0), ਅਤੇ (2, 8) ਹਨ। ਫੰਕਸ਼ਨ y= 1 4 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਕੁਝ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ (−8, −2), (0, 0), ਅਤੇ (8, 2) ਹਨ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ ਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੇ ਹੋਏ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣਗੇ।
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ
For any one-to-one function f(x)=y, f(x)=y, a function f −1 ( x ) f −1 ( x ) is an inverse function of f f if f −1 (y)=x. f −1 (y)=x. This can also be written as f −1 (f(x))=x f −1 (f(x))=x for all x x in the domain of f. f. It also follows that f( f −1 (x))=x f( f −1 (x))=x for all x x in the domain of f −1 f −1 if f −1 f −1 is the inverse of f. f.
The notation f −1 f −1 is read “ f “ f inverse.” Like any other function, we can use any variable name as the input for f −1 , f −1 , so we will often write f −1 (x), f −1 (x), which we read as “f “f inverse of x.” x.” Keep in mind that
and not all functions have inverses.
Example 1
Identifying an Inverse Function for a Given Input-Output Pair
If for a particular one-to-one function f(2)=4 f(2)=4 and f(5)=12, f(5)=12, what are the corresponding input and output values for the inverse function?
Solution
The inverse function reverses the input and output quantities, so if
Alternatively, if we want to name the inverse function g, g, then g(4)=2 g(4)=2 and g(12)=5. g(12)=5.
Analysis
Notice that if we show the coordinate pairs in a table form, the input and output are clearly reversed. See Table 1.
row: ( x,f(x) ) ( x,f(x) ) | ( x,g(x) ) ( x,g(x) )
row: ( 2,4 ) ( 2,4 ) | ( 4,2 ) ( 4,2 )
row: ( 5,12 ) ( 5,12 ) | ( 12,5 ) ( 12,5 )
Try It #1
Given that h −1 (6)=2, h −1 (6)=2, what are the corresponding input and output values of the original function h? h?
How To
Given two functions f(x) f(x) and g(x), g(x), test whether the functions are inverses of each other.
Determine whether f(g(x))=x f(g(x))=x or g(f(x))=x. g(f(x))=x.
If both statements are true, then g= f −1 g= f −1 and f= g −1 . f= g −1 . If either statement is false, then both are false, and g≠ f −1 g≠ f −1 and f≠ g −1 . f≠ g −1 .
Example 2
Testing Inverse Relationships Algebraically
If f( x )= 1 x+2 f( x )= 1 x+2 and g( x )= 1 x −2, g( x )= 1 x −2, is g= f −1 ? g= f −1 ?
Solution
ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨੀ ਹੈ।
ਸੋ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਉਲਟ ਕਾਰਜ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਜੇਕਰ f(x) = x³ - 4 ਅਤੇ g(x) = ³√x + 4, ਤਾਂ ਕੀ g = f⁻¹ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਉਲਟ ਸਬੰਧਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਜੇਕਰ f(x) = x³ (ਘਣ ਫੰਕਸ਼ਨ) ਅਤੇ g(x) = ¹/₃x, ਤਾਂ ਕੀ g = f⁻¹ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਨਹੀਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਲਟ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਘਣ ਦਾ ਸਹੀ ਉਲਟ, ਬੇਸ਼ੱਕ, ਘਣ ਮੂਲ ³√x = x¹/₃ ਹੈ, ਭਾਵ, ਇੱਕ-ਤਿਹਾਈ ਇੱਕ ਘਾਤ ਹੈ, ਗੁਣਕ ਨਹੀਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਜੇਕਰ f(x) = (x - 1)³ ਅਤੇ g(x) = ³√x + 1, ਤਾਂ ਕੀ g = f⁻¹ ਹੈ?
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਲੱਭਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ f⁻¹ ਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ f ਦੀ ਰੇਂਜ f⁻¹ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਵੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ f ਦੇ ਇਨਪੁੱਟ f⁻¹ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹਨ, f ਦਾ ਡੋਮੇਨ f⁻¹ ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਕੋਈ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸੀਮਿਤ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x) = √x ਦਾ ਉਲਟ f⁻¹(x) = x² ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਵਰਗ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੂਲ ਨੂੰ "ਅਨਡੂ" ਕਰਦਾ ਹੈ; ਪਰ ਵਰਗ ਸਿਰਫ [0, ∞) ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਵਰਗ ਮੂਲ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ f(x) = √x ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਾਸਿਓਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਵਰਗ (ਟੂਲਕਿੱਟ ਕੁਆਡਰੇਟਿਕ) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = x² ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਆਡਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਦਿੱਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਲਈ, ਦੋ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇਨਪੁੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਸਿਵਾਏ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ)। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕੁਆਡਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ 9 ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਇਨਪੁੱਟ 3 ਅਤੇ -3 ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਪਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਉਸਦੇ ਉਲਟ ਦਾ ਇੱਕ ਇਨਪੁੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਜੇਕਰ ਇਹ ਉਲਟ ਇਨਪੁੱਟ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਲਟ ਆਉਟਪੁੱਟ (ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁੱਟ) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ "ਉਲਟ" ਬਿਲਕੁਲ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ! ਇਸਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਕਹਿਣ ਲਈ, ਕੁਆਡਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਹ ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਕੋਈ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਹੋਣ ਲਈ, ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = x² ਦਾ ਇੱਕ ਸੀਮਿਤ ਸੰਸਕਰਣ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ [0, ∞) ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ (ਇਹ ਹਰੀਜੋਂਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਉਲਟ (ਵਰਗ-ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ) ਹੈ।
ਜੇਕਰ f(x) = (x - 1)² [1, ∞) 'ਤੇ, ਤਾਂ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f⁻¹(x) = √x + 1 ਹੈ।
f ਦਾ ਡੋਮੇਨ = f⁻¹ ਦੀ ਰੇਂਜ = [1, ∞)।
f⁻¹ ਦਾ ਡੋਮੇਨ = f ਦੀ ਰੇਂਜ = [0, ∞)।
Q&A
Is it possible for a function to have more than one inverse?
No. If two supposedly different functions, say, g g and h, h, both meet the definition of being inverses of another function f, f, then you can prove that g=h. g=h. We have just seen that some functions only have inverses if we restrict the domain of the original function. In these cases, there may be more than one way to restrict the domain, leading to different inverses. However, on any one domain, the original function still has only one unique inverse.
Domain and Range of Inverse Functions
The range of a function f(x) f(x) is the domain of the inverse function f −1 (x). f −1 (x).
The domain of f(x) f(x) is the range of f −1 (x). f −1 (x).
How To
Given a function, find the domain and range of its inverse.
If the function is one-to-one, write the range of the original function as the domain of the inverse, and write the domain of the original function as the range of the inverse.
If the domain of the original function needs to be restricted to make it one-to-one, then this restricted domain becomes the range of the inverse function.
Example 4
Finding the Inverses of Toolkit Functions
Identify which of the toolkit functions besides the quadratic function are not one-to-one, and find a restricted domain on which each function is one-to-one, if any. The toolkit functions are reviewed in Table 2. We restrict the domain in such a fashion that the function assumes all y-values exactly once.
row: Constant | Identity | Quadratic | Cubic | Reciprocal
row: f(x)=c f(x)=c | f(x)=x f(x)=x | f(x)= x 2 f(x)= x 2 | f(x)= x 3 f(x)= x 3 | f(x)= 1 x f(x)= 1 x
row: Reciprocal squared | Cube root | Square root | Absolute value
row: f(x)= 1 x 2 f(x)= 1 x 2 | f(x)= x 3 f(x)= x 3 | f(x)= x f(x)= x | f(x)=| x | f(x)=| x |
Solution
The constant function is not one-to-one, and there is no domain (except a single point) on which it could be one-to-one, so the constant function has no inverse.
The absolute value function can be restricted to the domain [ 0,∞ ), [ 0,∞ ), where it is equal to the identity function.
The reciprocal-squared function can be restricted to the domain ( 0,∞ ). ( 0,∞ ).
Analysis
We can see that these functions (if unrestricted) are not one-to-one by looking at their graphs, shown in Figure 4. They both would fail the horizontal line test. However, if a function is restricted to a certain domain so that it passes the horizontal line test, then in that restricted domain, it can have an inverse.
Figure 4: (a) Absolute value (b) Reciprocal square
Try It #4
1. ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦਾ ਡੋਮੇਨ (1,∞) (1,∞) ਹੈ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦਾ ਰੇਂਜ (−∞,−2) (−∞,−2) ਹੈ। ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਅਤੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
3. ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਈ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਖਾਸ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਨਪੁਟਸ 'ਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
4. ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਉਲਟਾਉਣਾ
5. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਉਲਟ ਦਾ ਰੇਂਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੇਂਜ ਉਲਟ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
6. ਇਨਪੁਟਸ ਦੀ ਹਰੇਕ ਕਤਾਰ (ਜਾਂ ਕਾਲਮ) ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਆਉਟਪੁਟਸ ਦੀ ਕਤਾਰ (ਜਾਂ ਕਾਲਮ) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਆਉਟਪੁਟਸ ਦੀ ਹਰੇਕ ਕਤਾਰ (ਜਾਂ ਕਾਲਮ) ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇਨਪੁਟਸ ਦੀ ਕਤਾਰ (ਜਾਂ ਕਾਲਮ) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 5
8. ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਉਲਟ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ
9. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(t) f(t) ਟੇਬਲ 3 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੋ t t ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਮੀਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। f −1 (70) f −1 (70) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
10. ਕਤਾਰ: t(ਮਿੰਟ) t(ਮਿੰਟ) | 30 | 50 | 70 | 90
11. ਕਤਾਰ: f( t )(ਮੀਲ) f( t )(ਮੀਲ) | 20 | 40 | 60 | 70
12. ਹੱਲ
13. ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦੇ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ f f ਲਈ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ ਵਾਪਸ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ f −1 (70) f −1 (70) ਦੇ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, 70 ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਜੋ 70 ਮੀਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਲਟ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇਨਪੁਟ, 90 ਮਿੰਟ, ਵਾਪਸ ਕਰੇਗਾ, ਇਸ ਲਈ f −1 (70)=90 f −1 (70)=90। ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਇਹ ਹੈ ਕਿ 70 ਮੀਲ ਚਲਾਉਣ ਲਈ 90 ਮਿੰਟ ਲੱਗੇ।
14. ਬਦਲਵੇਂ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਉਲਟ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ f(a)=b, f(a)=b, ਤਾਂ f −1 (b)=a। f −1 (b)=a। ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ f −1 (70)=a, f −1 (70)=a ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮੁੱਲ a a ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ f(a)=70। f(a)=70। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ t t ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ f(t)=70, f(t)=70, ਜੋ ਕਿ t=90 t=90 ਹੈ।
15. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
16. ਟੇਬਲ 4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ⓐ f(60), f(60), ਅਤੇ ⓑ f −1 (60) f −1 (60) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
17. ਕਤਾਰ: t(ਮਿੰਟ) t(ਮਿੰਟ) | 30 | 50 | 60 | 70 | 90
18. ਕਤਾਰ: f( t )(ਮੀਲ) f( t )(ਮੀਲ) | 20 | 40 | 50 | 60 | 70
19. ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਉਲਟ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
20. ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਐਕਸਟੈਂਟ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਐਕਸਟੈਂਟ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਐਕਸਟੈਂਟ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਐਕਸਟੈਂਟ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੇਂਜ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਟੀਕਲ ਐਕਸਟੈਂਟ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇਸਦੇ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਐਕਸਿਸ ਦਾ ਸਾਰਾ ਜਾਂ ਕੁਝ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।
21. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
22. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਖਾਸ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
23. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ y-ਐਕਸਿਸ 'ਤੇ ਲੋੜੀਂਦਾ ਇਨਪੁਟ ਲੱਭੋ।
24. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ x-ਐਕਸਿਸ ਤੋਂ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਪੜ੍ਹੋ।
6. ਉਦਾਹਰਨ 6
2. ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਫਲਨ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਉਲਟ (Inverse) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਮੁਲਾਂਕਣ
3. ਇੱਕ ਫਲਨ g(x) ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। g(3) ਅਤੇ g⁻¹(3) ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. g(3) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ 3 ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਨਤੀਜਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਬਿੰਦੂ (3, 1) ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ g(3)=1 ਹੈ।
6. g⁻¹(3) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ g⁻¹(3) ਦਾ ਮਤਲਬ x ਦਾ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ g(x)=3 ਹੈ। ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਨਤੀਜਾ ਮੁੱਲ 3 ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (5, 3) ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ g(5)=3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, g⁻¹(3)=5 ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ।
7. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
8. ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ⓐ g⁻¹(1) ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ⓑ g⁻¹(4) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
9. ਸੂਤਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ (Inverses) ਲੱਭਣਾ
10. ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (domain) ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤਾਂ ਲਈ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ, ਨਾ ਕਿ ਸਿਰਫ਼ ਕੁਝ ਲਈ। ਜੇਕਰ ਮੂਲ ਫਲਨ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਵਜੋਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ—ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, y, x ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ—ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ x ਨੂੰ y ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਉਲਟ ਫਲਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
11. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
12. ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫਲਨ ਲਈ, ਉਲਟ (inverse) ਲੱਭੋ।
13. ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ f ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ (one-to-one) ਫਲਨ ਹੈ।
14. x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
15. x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
16. y ਨੂੰ f⁻¹(x) ਨਾਲ ਬਦਲੋ। (ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਚੱਲ (variables) ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਸਿਧਾਂਤ ਉਹੀ ਹੈ।)
17. ਉਦਾਹਰਨ 7
18. ਫਾਰਨਹੀਟ-ਤੋਂ-ਸੈਲਸੀਅਸ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟਾਉਣਾ (Inverting)
19. ਉਲਟ ਫਲਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਲੱਭੋ ਜੋ ਸੈਲਸੀਅਸ ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਫਾਰਨਹੀਟ ਤਾਪਮਾਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
20. ਹੱਲ
21. ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਫਲਨ ਨੂੰ ਉਜਾਗਰ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ
22. ਤਾਂ
23. ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਫਲਨ h ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਚੱਲ (variables) ਵਰਣਨਾਤਮਕ ਹਨ, ਅਤੇ C⁻¹ ਲਿਖਣਾ ਉਲਝਣ ਵਾਲਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
24. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
y ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰੋ ਜਦੋਂ y = 1/3 (x-5) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 2x - 3 + 4 ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਲਈ f⁻¹(y) = 2y - 4 + 3 ਜਾਂ f⁻¹(x) = 2x - 4 + 3।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
f ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 3 ਅਤੇ 4 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। f ਅਤੇ f⁻¹ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ ਪਰ ਇੱਕੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ 5 ਬਣਾ ਕੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: x | 1 | 2 | 5 | f⁻¹(y)
ਸਤਰ: f(x) | 3 | 2 | 5 | y
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਕਰਨੀਆਂ ਨਾਲ ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 2 + √x - 4 ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਲਈ f⁻¹(x) = (x - 2)² + 4।
f ਦਾ ਡੋਮੇਨ [4,∞) ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ f ਦੀ ਰੇਂਜ [2,∞) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f⁻¹ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਵੀ [2,∞) ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
f⁻¹(x) ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਜੋ ਫਾਰਮੂਲਾ ਮਿਲਿਆ ਹੈ, ਉਹ ਸਾਰੇ ਅਸਲ x ਲਈ ਵੈਧ ਜਾਪਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, f⁻¹ ਦਾ ਖੁਦ ਇੱਕ ਉਲਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ f), ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ f⁻¹ ਨੂੰ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ f⁻¹ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ [2,∞) ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। f⁻¹ ਦਾ ਇਹ ਡੋਮੇਨ ਬਿਲਕੁਲ f ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 2 - √x ਦਾ ਉਲਟ ਕੀ ਹੈ? ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੋਵਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੱਸੋ।
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਲੱਭਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਉਲਟਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਆਓ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = x² 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਈਏ, ਜਿਸਨੂੰ ਡੋਮੇਨ [0,∞) ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈਏ।
ਚਿੱਤਰ 7: ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ [0, ∞) ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ [0,∞) ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹਰੀਜੱਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰੇਗਾ), ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਉਲਟ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟੂਲਕਿੱਟ ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟਾ ਵਰਗ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਭਾਵ, f −1 (x)= x . f −1 (x)= x . ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ f f ਅਤੇ f −1 f −1 ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਅਕਸ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੀਏ, f f ਅਤੇ f −1 f −1 ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ x- x- ਅਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ? f f ਅਤੇ f −1 f −1 ?
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਸਬੰਧ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ: f −1 (x) f −1 (x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f(x) f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਵਿਕਰਣ ਰੇਖਾ y=x, y=x ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਪਛਾਣ ਰੇਖਾ ਕਹਾਂਗੇ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 8: ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਵਰਗ ਅਤੇ ਵਰਗ-ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਇਹ ਸਬੰਧ ਸਾਰੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਦੇਖਿਆ ਜਾਵੇਗਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟਾ ਇਨਪੁਟਸ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟਸ ਨੂੰ ਸਵੈਪ ਕਰਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਇਹ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਕਸ ਦੀਆਂ ਭੂਮਿਕਾਵਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਪਛਾਣ ਰੇਖਾ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟਾ ਲੱਭਣਾ
ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ f(x) f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, f −1 (x) f −1 (x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। f −1 (x) f −1 (x) ।
ਹੱਲ
ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਉਲਟਾ ਬਣਾ ਸਕਾਂਗੇ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੱਖ ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ) ( 0,∞ ) ਅਤੇ ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉਲਟਾ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ) ( −∞,∞ ) ਅਤੇ ਰੇਂਜ ( 0,∞ ) ( 0,∞ ) ਹੋਵੇਗਾ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y=x, y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਬਿੰਦੂ ( 1,0 ) ( 1,0 ) ( 0,1 ) ( 0,1 ) 'ਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ ( 4,2 ) ( 4,2 ) ( 2,4 ) ( 2,4 ) 'ਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸਮਾਨ ਅਕਸ 'ਤੇ ਉਲਟਾ ਬਣਾਉਣ ਨਾਲ ਚਿੱਤਰ 10 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 10: ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਲਟਾ, ਪਛਾਣ ਰੇਖਾ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
ਉਦਾਹਰਨ 8 ਤੋਂ f f ਅਤੇ f −1 f −1 ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
Q&A
ਕੀ ਕੋਈ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਹੀ ਉਲਟਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ?
ਹਾਂ। ਜੇਕਰ f= f −1 , f= f −1 , ਤਾਂ f( f( x ) )=x, f( f( x ) )=x, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਕਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਗੁਣ ਹੈ। ਪਛਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਪਰੀਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ
ਕੋਈ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f( x )=c−x, f( x )=c−x, ਜਿੱਥੇ c c ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਆਪਣੇ ਹੀ ਉਲਟਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ
ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਉਲਟਾ ਲੱਭਣਾ
ਜ਼ਬਾਨੀ
ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਟੈਸਟ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਤਰੀਕਾ ਕਿਉਂ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ?
Why do we restrict the domain of the function f(x)= x 2 f(x)= x 2 to find the function’s inverse?
Can a function be its own inverse? Explain.
Are one-to-one functions either always increasing or always decreasing? Why or why not?
How do you find the inverse of a function algebraically?
Algebraic
Show that the function f(x)=a−x f(x)=a−x is its own inverse for all real numbers a. a.
For the following exercises, find f −1 (x) f −1 (x) for each function.
f(x)=x+3 f(x)=x+3
f(x)=x+5 f(x)=x+5
f(x)=2−x f(x)=2−x
f(x)=3−x f(x)=3−x
f(x)= x x+2 f(x)= x x+2
f(x)= 2x+3 5x+4 f(x)= 2x+3 5x+4
For the following exercises, find a domain on which each function f f is one-to-one and non-decreasing. Write the domain in interval notation. Then find the inverse of f f restricted to that domain.
f(x)= (x+7) 2 f(x)= (x+7) 2
f(x)= (x−6) 2 f(x)= (x−6) 2
f(x)= x 2 −5 f(x)= x 2 −5
Given f( x )= x 2+x f( x )= x 2+x and g(x)= 2x 1−x : g(x)= 2x 1−x :
ⓐFind f(g(x)) f(g(x)) and g(f(x)). g(f(x)).
ⓑWhat does the answer tell us about the relationship between f(x) f(x) and g(x)? g(x)?
For the following exercises, use function composition to verify that f(x) f(x) and g(x) g(x) are inverse functions.
f(x)= x−1 3 f(x)= x−1 3 and g(x)= x 3 +1 g(x)= x 3 +1
f(x)=−3x+5 f(x)=−3x+5 and g(x)= x−5 −3 g(x)= x−5 −3
Graphical
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2. f(x)= x f(x)= x
3. f(x)= 3x+1 3 f(x)= 3x+1 3
4. f(x)=−5x+1 f(x)=−5x+1
5. f(x)= x 3 −27 f(x)= x 3 −27
6. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
7. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, Figure 11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
8. f( 0 ) ਪਤਾ ਕਰੋ। f( 0 ) ਪਤਾ ਕਰੋ।
9. f(x)=0 ਹੱਲ ਕਰੋ। f(x)=0 ਹੱਲ ਕਰੋ।
10. f −1 ( 0 ) ਪਤਾ ਕਰੋ। f −1 ( 0 ) ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. f −1 ( x )=0 ਹੱਲ ਕਰੋ। f −1 ( x )=0 ਹੱਲ ਕਰੋ।
12. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, Figure 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
13. f −1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। f −1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
14. f(6) ਅਤੇ f −1 (2) ਪਤਾ ਕਰੋ। f(6) ਅਤੇ f −1 (2) ਪਤਾ ਕਰੋ।
15. ਜੇਕਰ f ਦਾ ਪੂਰਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ f ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। f ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. ਜੇਕਰ f ਦਾ ਪੂਰਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ f ਦਾ ਰੇਂਜ ਪਤਾ ਕਰੋ। f ਦਾ ਰੇਂਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
17. ਸੰਖਿਆਤਮਕ
18. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, f ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਾਂ ਹੱਲ ਕਰੋ।
19. ਜੇਕਰ f(6)=7, f(6)=7, ਤਾਂ f −1 (7) ਪਤਾ ਕਰੋ। f −1 (7) ਪਤਾ ਕਰੋ।
20. ਜੇਕਰ f(3)=2, f(3)=2, ਤਾਂ f −1 (2) ਪਤਾ ਕਰੋ। f −1 (2) ਪਤਾ ਕਰੋ।
21. ਜੇਕਰ f −1 ( −4 )=−8, f −1 ( −4 )=−8, ਤਾਂ f(−8) ਪਤਾ ਕਰੋ। f(−8) ਪਤਾ ਕਰੋ।
22. ਜੇਕਰ f −1 ( −2 )=−1, f −1 ( −2 )=−1, ਤਾਂ f(−1) ਪਤਾ ਕਰੋ। f(−1) ਪਤਾ ਕਰੋ।
23. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਜਾਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ Table 6 ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
24. ਕਤਾਰ: x x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
1. ਕਤਾਰ: f(x) f(x) | 8 | 0 | 7 | 4 | 2 | 6 | 5 | 3 | 9 | 1
2. f(1) ਲੱਭੋ। f(1)।
3. f(x)=3 ਹੱਲ ਕਰੋ। f(x)=3।
4. f⁻¹(0) ਲੱਭੋ। f⁻¹(0)।
5. f⁻¹(x)=7 ਹੱਲ ਕਰੋ। f⁻¹(x)=7।
6. ਟੇਬਲ 7 ਵਿੱਚ f f ਦੇ ਟੈਬੂਲਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f⁻¹(x) ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ। f⁻¹(x)।
7. ਕਤਾਰ: x x | 3 | 6 | 9 | 13 | 14
8. ਕਤਾਰ: f(x) f(x) | 1 | 4 | 7 | 12 | 16
9. ਤਕਨਾਲੋਜੀ
10. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ। ਫਿਰ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
11. f(x) = 3x - 2 f(x) = 3x - 2
12. f(x) = x³ - 1 f(x) = x³ - 1
13. f(x) = 1/(x-1) ਦਾ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ। f(x) = 1/(x-1)। ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਇੰਟਰਵਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
14. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
15. x ਡਿਗਰੀ ਸੈਲਸੀਅਸ ਤੋਂ y ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲਾ f(x) = (9/5)x + 32 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। f(x) = (9/5)x + 32। ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
16. ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ C C ਇਸਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ C(r) = 2πr ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। C(r) = 2πr। ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਘੇਰੇ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ r(C) ਕਹੋ। r(C)। r(36π) ਲੱਭੋ r(36π) ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
17. ਇੱਕ ਕਾਰ 50 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਲਗਾਤਾਰ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਚੱਲਦੀ ਹੈ। ਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਮੀਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਸਮੇਂ, t, t, ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ d(t) = 50t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। d(t) = 50t। ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਯਾਤਰਾ ਦੇ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ t(d) ਕਹੋ। t(d)। t(180) ਲੱਭੋ t(180) ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।