Learning Objectives
In this section, you will:
Recognize characteristics of graphs of polynomial functions.
Use factoring to find zeros of polynomial functions.
Identify zeros and their multiplicities.
Determine end behavior.
Understand the relationship between degree and turning points.
Graph polynomial functions.
Use the Intermediate Value Theorem.
The revenue in millions of dollars for a fictional cable company from 2006 through 2013 is shown in Table 1.
row: Year | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013
row: Revenues | 52.4 | 52.8 | 51.2 | 49.5 | 48.6 | 48.6 | 48.7 | 47.1
The revenue can be modeled by the polynomial function
where R R represents the revenue in millions of dollars and t t represents the year, with t=6 t=6 corresponding to 2006. Over which intervals is the revenue for the company increasing? Over which intervals is the revenue for the company decreasing? These questions, along with many others, can be answered by examining the graph of the polynomial function. We have already explored the local behavior of quadratics, a special case of polynomials. In this section we will explore the local behavior of polynomials in general.
Recognizing Characteristics of Graphs of Polynomial Functions
Polynomial functions of degree 2 or more have graphs that do not have sharp corners; recall that these types of graphs are called smooth curves. Polynomial functions also display graphs that have no breaks. Curves with no breaks are called continuous. Figure 1 shows a graph that represents a polynomial function and a graph that represents a function that is not a polynomial.
Example 1
Recognizing Polynomial Functions
Which of the graphs in Figure 2 represents a polynomial function?
Solution
The graphs of f f and h h are graphs of polynomial functions. They are smooth and continuous.
The graphs of g g and k k are graphs of functions that are not polynomials. The graph of function g g has a sharp corner. The graph of function k k is not continuous.
Q&A
Do all polynomial functions have as their domain all real numbers?
Yes. Any real number is a valid input for a polynomial function.
Using Factoring to Find Zeros of Polynomial Functions
Recall that if f f is a polynomial function, the values of x x for which f( x )=0 f( x )=0 are called zeros of f. f. If the equation of the polynomial function can be factored, we can set each factor equal to zero and solve for the zeros.
We can use this method to find x- x- intercepts because at the x- x- intercepts we find the input values when the output value is zero. For general polynomials, this can be a challenging prospect. While quadratics can be solved using the relatively simple quadratic formula, the corresponding formulas for cubic and fourth-degree polynomials are not simple enough to remember, and formulas do not exist for general higher-degree polynomials. Consequently, we will limit ourselves to three cases:
The polynomial can be factored using known methods: greatest common factor and trinomial factoring.
The polynomial is given in factored form.
Technology is used to determine the intercepts.
How To
Given a polynomial function f, f, find the x-intercepts by factoring.
Set f( x )=0. f( x )=0.
If the polynomial function is not given in factored form: Factor out any common monomial factors. Factor any factorable binomials or trinomials.
Set each factor equal to zero and solve to find the x- x- intercepts.
Example 2
Finding the x-Intercepts of a Polynomial Function by Factoring
Find the x-intercepts of f(x)= x 6 −3 x 4 +2 x 2 . f(x)= x 6 −3 x 4 +2 x 2 .
Solution
We can attempt to factor this polynomial to find solutions for f( x )=0. f( x )=0.
This gives us five x-intercepts: (0,0),(1,0),(−1,0),( 2 ,0), (0,0),(1,0),(−1,0),( 2 ,0), and (− 2 ,0). (− 2 ,0). See Figure 3. We can see that this is an even function because it is symmetric about the y-axis.
Example 3
Finding the x-Intercepts of a Polynomial Function by Factoring
Find the x-intercepts of f(x)= x 3 −5 x 2 −x+5. f(x)= x 3 −5 x 2 −x+5.
Solution
Find solutions for f(x)=0 f(x)=0 by factoring.
There are three x-intercepts: (−1,0),(1,0), (−1,0),(1,0), and ( 5,0 ). ( 5,0 ). See Figure 4.
Example 4
ਗੁਣਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਹੁਪਦ ਦੇ y- ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣਾ
g(x)= (x−2) 2 (2x+3) ਦੇ y- ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। g(x)= (x−2) 2 (2x+3)
ਹੱਲ
y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ g( 0 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਾ ਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। g( 0 )
ਇਸ ਲਈ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,12) ਹੈ। (0,12)
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ g( x )=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਲੱਭੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। g( x )=0
ਇਸ ਲਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (2,0) ਅਤੇ ( − 3 2 ,0 ) ਹਨ। (2,0) (2,0) ਅਤੇ ( − 3 2 ,0 )
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਜਵਾਬ ਵਾਜਬ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣਾ
h(x)= x 3 +4 x 2 +x−6 ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। h(x)= x 3 +4 x 2 +x−6
ਹੱਲ
ਇਹ ਬਹੁਪਦ ਗੁਣਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਕੋਈ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਕ ਬਣਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਜਾਪਦਾ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਕੁਝ ਮੁੱਲ ਹੱਥੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਨੂੰ ਮੁਸ਼ਕਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਉਪਯੋਗਤਾਵਾਂ ਦਾ ਲਾਭ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਹ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ x=−3,−2, ਅਤੇ 1 'ਤੇ ਹਨ। x=−3,−2, ਅਤੇ 1
ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਸਹੀ ਹਨ, x ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਅਤੇ ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਕੇ ਕਿ
ਕਿਉਂਕਿ h(x)= x 3 +4 x 2 +x−6, h(x)= x 3 +4 x 2 +x−6, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਹਰੇਕ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਸਿਫ਼ਰ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
f(x)= x 4 −19 x 2 +30x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ y- ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। f(x)= x 4 −19 x 2 +30x
ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਗ੍ਰਾਫ ਵੱਖ-ਵੱਖ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਕਈ ਵਾਰ, ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰੇਗਾ। ਹੋਰ ਵਾਰ, ਗ੍ਰਾਫ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂਹੇਗਾ ਅਤੇ "ਬਾਊਂਸ" ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਮੰਨ ਲਓ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ ਕਿ ਹਰੇਕ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7: ਸਿਫ਼ਰ ਦੀ ਗੁਣਕਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ।
x-ਅੰਤਰਖੰਡ x=−3 ਸਮੀਕਰਨ (x+3)=0 ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ x=−3 'ਤੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿੱਧਾ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਾਰਕ ਰੇਖੀ ਹੈ (ਡਿਗਰੀ 1 ਹੈ), ਇਸ ਲਈ ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੇ ਨੇੜੇ ਵਿਵਹਾਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ—ਇਹ ਸਿੱਧਾ ਅੰਤਰਖੰਡ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਸਿਫ਼ਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਫ਼ਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ।
x-ਅੰਤਰਖੰਡ x=2 ਸਮੀਕਰਨ (x−2)^2 =0 ਦਾ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਹੱਲ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੰਤਰਖੰਡ 'ਤੇ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਕਾਰਕ ਦੋਘਾਤੀ (ਡਿਗਰੀ 2) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੇ ਨੇੜੇ ਵਿਵਹਾਰ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ—ਇਹ ਅੰਤਰਖੰਡ 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉਛਲਦਾ ਹੈ।
ਕਾਰਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਭਾਵ, ਕਾਰਕ (x−2) ਦੋ ਵਾਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗੁਣਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਕਾਰਕ ਕਿੰਨੀ ਵਾਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਕਤਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਿਫ਼ਰ, x=2, ਦੀ ਗੁਣਕਤਾ 2 ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕਾਰਕ (x−2) ਦੋ ਵਾਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।
x-ਅੰਤਰਖੰਡ x=−1 ਕਾਰਕ (x+1)^3 =0 ਦਾ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਹੱਲ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੰਤਰਖੰਡ 'ਤੇ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਪਹਿਲਾਂ ਥੋੜਾ ਜਿਹਾ ਸਮਤਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਾਰਕ ਤਿੰਨਘਾਤੀ (ਡਿਗਰੀ 3) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੇ ਨੇੜੇ ਵਿਵਹਾਰ ਇੱਕ ਤਿੰਨਘਾਤੀ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ—ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x^3 ਵਰਗਾ ਹੀ S-ਆਕਾਰ ਅੰਤਰਖੰਡ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਤੀਹਰਾ ਸਿਫ਼ਰ, ਜਾਂ ਗੁਣਕਤਾ 3 ਵਾਲਾ ਸਿਫ਼ਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮ ਗੁਣਕਤਾ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਸਪਰਸ਼ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਵਿਸ਼ਮ ਗੁਣਕਤਾ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। ਗੁਣਕਤਾ 1, 2, ਅਤੇ 3 ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ।
ਉੱਚ ਸਮ ਘਾਤਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 4, 6, ਅਤੇ 8, ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਜੇ ਵੀ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹੇਗਾ ਅਤੇ ਉਛਲੇਗਾ, ਪਰ, ਹਰ ਵਧਦੀ ਸਮ ਘਾਤ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਅਤੇ ਛੱਡਣ ਵੇਲੇ ਵਧੇਰੇ ਸਮਤਲ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ।
ਉੱਚ ਵਿਸ਼ਮ ਘਾਤਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 5, 7, ਅਤੇ 9, ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਜੇ ਵੀ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰੇਗਾ, ਪਰ ਹਰ ਵਧਦੀ ਵਿਸ਼ਮ ਘਾਤ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਅਤੇ ਛੱਡਣ ਵੇਲੇ ਵਧੇਰੇ ਸਮਤਲ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ।
x-ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਵਿਵਹਾਰ
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿੱਚ (x−h)^p ਰੂਪ ਦਾ ਕਾਰਕ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ x-ਅੰਤਰਖੰਡ h ਦੇ ਨੇੜੇ ਵਿਵਹਾਰ ਘਾਤ p ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x=h, p ਗੁਣਕਤਾ ਵਾਲਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਮ ਗੁਣਕਤਾ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ 'ਤੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹੇਗਾ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿਸ਼ਮ ਗੁਣਕਤਾ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ 'ਤੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰੇਗਾ।
ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਡਿਗਰੀ n ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਰਖੰਡ 'ਤੇ ਲਗਭਗ ਰੇਖੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉਛਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਮ ਗੁਣਕਤਾ ਵਾਲਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਿਫ਼ਰ 'ਤੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਵਿਸ਼ਮ ਗੁਣਕਤਾ ਵਾਲਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ≤n ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਡਿਗਰੀ 6 ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵੀ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਡਿਗਰੀ 6 ਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 6 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਪਹਿਲਾ ਸਿਫ਼ਰ x=−3 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ ਦੀ ਗੁਣਕਤਾ ਸਮ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। −3 ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਭਾਵਨਾ ਗੁਣਕਤਾ 2 ਹੈ।
ਅਗਲਾ ਸਿਫਰ x=−1 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। x=−1। ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਲਗਭਗ ਰੇਖੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗੁਣਨਖੰਡ 1 ਦਾ ਇੱਕ ਇਕੱਲਾ ਸਿਫਰ ਹੈ।
ਆਖਰੀ ਸਿਫਰ x=4 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। x=4। ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਫਰ ਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡੀਅਤਾ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਨਿਯਮਿਤ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗੁਣਨਖੰਡੀਅਤਾ ਸੰਭਵ ਤੌਰ 'ਤੇ 3 ਹੈ ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 6 ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #2
ਚਿੱਤਰ 10 ਵਿੱਚ 9 ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਨਖੰਡੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਫਾਰਮ ਦੇ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਅਸੀਮਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ x ਅਸੀਮਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਤਾਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਵਧੇਗਾ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਡਿੱਗੇਗਾ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਬਹੁਤ ਵੱਡੇ ਇਨਪੁਟਸ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 100 ਜਾਂ 1,000, ਲਈ, ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਆਕਾਰ 'ਤੇ ਹਾਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਛੋਟੇ ਇਨਪੁਟਸ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ –100 ਜਾਂ –1,000, ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਸੱਚ ਹੈ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਦੱਸਿਆ ਸੀ, ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ, $a_n x^n$, ਦਾ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਇੱਕ ਸਮ ਪਾਵਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਅਸੀਮਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ, $f(x)$ ਅਸੀਮਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਇੱਕ ਅਨਿਯਮਿਤ ਪਾਵਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਅਸੀਮਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟਦਾ ਹੈ, $f(x)$ ਵੀ ਅਸੀਮਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟਦਾ ਹੈ; ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਅਸੀਮਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਧਦਾ ਹੈ, $f(x)$ ਵੀ ਅਸੀਮਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲ ਦੇਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 11 ਸਾਰੀਆਂ ਚਾਰ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ
ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਧਣ ਤੋਂ ਘਟਣ (ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ) ਜਾਂ ਘਟਣ ਤੋਂ ਵਧਣ (ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਉੱਪਰ) ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)=x^4−x^3−4x^2+4x$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਇੱਕ 4ਵੀਂ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ 3 ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹਨ। ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਿਣਤੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ
ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਧਣ ਤੋਂ ਘਟਣ (ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ) ਜਾਂ ਘਟਣ ਤੋਂ ਵਧਣ (ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਉੱਪਰ) ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
n ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ $n-1$ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਹਰੇਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਿਣਤੀ ਲੱਭੋ।
ⓐ $f(x)=−x^3+4x^5−3x^2+1$
ⓑ $f(x)=−(x−1)^2(1+2x^2)$
ਹੱਲ
ⓐ ਪਹਿਲਾਂ, ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਘਟਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ: $f(x)=4x^5−x^3−3x^2+1$ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਇਹ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ 5ਵੀਂ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਹੈ। ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਿਣਤੀ $5-1=4$ ਹੈ।
ⓑ ਪਹਿਲਾਂ, ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਿਸਤਾਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੁੰਦਾ ਤਾਂ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਇਹ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ 4ਵੀਂ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਹੈ। ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਿਣਤੀ $4-1=3$ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡੀਆਂ, ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਬਾਰੇ ਜੋ ਕੁਝ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ, ਉਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਇਸ ਸਭ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕਦਮਾਂ 'ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਓ।
ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਭਾਵ, f( −x )=f( x )। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਭਾਵ, f( −x )=−f( x )।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਬਹੁਪਦੀ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਮੁੱਖ ਪਦ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਓ।
ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਮੁੜਨ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਬਹੁਪਦੀ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਾ ਹੋਵੇ।
ਵਿਕਲਪਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਾਕਾ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)=−2 (x+3) 2 (x−5) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਾਕਾ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਦੋ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਹਨ। x=−3 'ਤੇ, ਗੁਣਕ ਵਰਗ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 2 ਦੀ ਗੁਣਕਤਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇਸ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਉਛਲੇਗਾ। x=5 'ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਗੁਣਕਤਾ ਇੱਕ ਹੈ, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇਸ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰੇਗਾ।
y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ f(0) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,90) ਹੈ।
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਪਦ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਇਸ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ −2 x 3 ਹੋਵੇਗਾ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਘਣ ਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਧਦੇ ਹੋਏ ਇਨਪੁੱਟ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਘਟਦੇ ਹੋਏ ਇਨਪੁੱਟ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 13 ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ:
ਜਿਵੇਂ x→−∞, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)→∞, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵੱਲ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ f( −x )=−2 ( −x+3 ) 2 ( −x–5 ) f( x ) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
( −3,0 ) 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉਛਲਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਧਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ( 0,90 ) 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 14 ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕੁਝ ਬਾਅਦ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਹੇਠਾਂ ਮੁੜਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਵੱਲ ਘਟਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਗਲੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ( 5,0 ) ਤੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 15 ਦੇਖੋ।
ਜਿਵੇਂ x→∞, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)→−∞, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਘਟਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਚੌਥੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਬੰਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਤਸਦੀਕ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਤੀਜਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 15 ਵਿੱਚ ਸਾਡੇ ਖਾਕੇ ਵਰਗਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 16: ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=−2 (x+3) 2 (x−5) f(x)=−2 (x+3) 2 (x−5) ਦਾ ਸੰਪੂਰਨ ਗ੍ਰਾਫ਼
2. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
3. f(x)= 1 4 x (x−1) 4 (x+3) 3 . f(x)= 1 4 x (x−1) 4 (x+3) 3 . ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
4. ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
5. ਕੁਝ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਜਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਪਰ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਦੋ ਬਿੰਦੂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉਲਟ ਪਾਸੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f f 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਿਰਵਿਘਨ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a a ਅਤੇ b b ਲਈ, ਜੇਕਰ a<b a<b ਅਤੇ f( a )≠f( b ), f( a )≠f( b ), ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f f, f( a ) f( a ) ਅਤੇ f( b ) f( b ) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹਰ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਹਿਣ ਕਰਦਾ ਹੈ। (ਜਦੋਂ ਕਿ ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਭਵੀ ਹੈ, ਸਬੂਤ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕਾਫ਼ੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਉੱਚ ਗਣਿਤ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।) ਅਸੀਂ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਵਿੱਚ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ। ਜੇਕਰ x=a x=a 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਹੋਵੇ ਅਤੇ x=b x=b 'ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ x=a x=a ਅਤੇ x=b x=b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਤੀਜਾ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ( c,f( c ) ) ਕਹੋ। ( c,f( c ) )। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਹੱਲ c c ਦੀ ਗਰੰਟੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ f( c )=0। f( c )=0।
6. ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 17 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ a a ਅਤੇ b b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। b।
7. ਚਿੱਤਰ 17: ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਅਸਤਿਤਵ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ।
8. ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ
9. ਮੰਨ ਲਓ f f ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ f( a ) f( a ) ਅਤੇ f( b ) f( b ) ਦੇ ਉਲਟ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੋਣ, ਤਾਂ a a ਅਤੇ b b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਮੁੱਲ c c ਦਾ ਅਸਤਿਤਵ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f( c )=0। f( c )=0।
10. ਉਦਾਹਰਨ 9
11. ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
12. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 3 −5 x 2 +3x+6 f(x)= x 3 −5 x 2 +3x+6 ਕੋਲ x=1 x=1 ਅਤੇ x=4. x=4. ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ।
13. ਹੱਲ
14. ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਜੋਂ, ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਮੁੱਲਾਂ x=1,2,3, x=1,2,3, ਅਤੇ 4. 4. 'ਤੇ f(x) f(x) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸਾਰਣੀ 2 ਦੇਖੋ।
15. ਕਤਾਰ: x x | 1 | 2 | 3 | 4
16. ਕਤਾਰ: f(x) f(x) | 5 | 0 | –3 | 2
17. ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ x=2. x=2. 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਕਿਉਂਕਿ f(3) f(3) ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ f(4) f(4) ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਮੱਧਵਰਤੀ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, 3 ਅਤੇ 4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
18. ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ x=1 x=1 ਅਤੇ x=4. x=4. ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ।
19. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
20. ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 18 ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x=1 x=1 ਅਤੇ x=4. x=4. ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੋ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ।
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
22. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=7 x 5 −9 x 4 − x 2 f(x)=7 x 5 −9 x 4 − x 2 ਕੋਲ x=1 x=1 ਅਤੇ x=2. x=2. ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
23. ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਿਖਣਾ
24. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣੇ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਿਖਣ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਹੋਵੇਗਾ ਜਿੱਥੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘੇਗਾ, ਜਿਸ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸੈੱਟ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।
ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ
ਜੇਕਰ ਡਿਗਰੀ p p ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ x= x 1 , x 2 ,…, x n , x= x 1 , x 2 ,…, x n ਤੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: f(x)=a (x− x 1 ) p 1 (x− x 2 ) p 2 ⋯ (x− x n ) p n f(x)=a (x− x 1 ) p 1 (x− x 2 ) p 2 ⋯ (x− x n ) p n ਜਿੱਥੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਉੱਤੇ ਘਾਤ p i p i ਅਨੁਸਾਰੀ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਹਾਰ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਖਿੱਚਣ ਵਾਲਾ ਗੁਣਕ a a ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕਿਸੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਗੁਣਨਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਹਾਰ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਪੜਾਅ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੀ ਬਹੁਪਦੀ ਲੱਭੋ।
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ (y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ) ਵਰਤੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਲਿਖਣਾ
ਚਿੱਤਰ 19 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਤਿੰਨ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਹਨ: x=−3,2, x=−3,2, ਅਤੇ 5. 5. y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,−2). (0,−2) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। x=−3 x=−3 ਅਤੇ x=5, x=5 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਕਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਰੇਖੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਹੁਪਦੀ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੇਖੀ ਹੋਣਗੇ। x=2, x=2 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ 'ਤੇ ਉਛਾਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਹੁਪਦੀ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੂਜੀ ਡਿਗਰੀ (ਦੋਘਾਤੀ) ਹੋਣਗੇ। ਇਹ ਸਭ ਮਿਲ ਕੇ ਸਾਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ a. a. ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ y- y- ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,–2), (0,–2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 1 30 (x+3) (x−2) 2 (x−5). f(x)= 1 30 (x+3) (x−2) 2 (x−5) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਚਿੱਤਰ 20 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਦੋਘਾਤੀਆਂ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ ਲੱਭ ਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਸੀ। ਆਮ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਲਈ, ਇਹਨਾਂ ਮੋੜਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਕੈਲਕੂਲਸ ਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਉੱਨਤ ਤਕਨੀਕਾਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਫਿਰ ਵੀ, ਇਹ ਲੱਭਣਾ ਕਿ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਕਿੱਥੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ, ਅਲਜਬਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਿਲਹਾਲ, ਅਸੀਂ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤਿਆਰ ਕਰਕੇ ਮੋੜਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਥਾਨਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਵਾਂਗੇ।
ਹਰੇਕ ਮੋੜਵਾਂ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ, ਇੱਕ ਮੋੜਵਾਂ ਬਿੰਦੂ ਪੂਰੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵਾਂ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮੋੜਵਾਂ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ
x=a x=a 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ (ਕਈ ਵਾਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਬੰਧਤ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) x=a x=a ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ a, a 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ, ਤਾਂ a x=a ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x x ਲਈ f(a)≥f(x) f(a)≥f(x) ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ a, a 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ a x=a ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x x ਲਈ f(a)≤f(x) f(a)≤f(x) ਹੈ।
ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ a, a 'ਤੇ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਰੇ x x ਲਈ f(a)≥f(x) f(a)≥f(x) ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ a, a 'ਤੇ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਰੇ x x ਲਈ f(a)≤f(x) f(a)≤f(x) ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 21 ਵਿੱਚ ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਵਵਿਆਪੀ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
Q&A
1. ਕੀ ਸਾਰੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
2. ਨਹੀਂ। ਕੇਵਲ ਸਮ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)=x ਦਾ ਨਾ ਤਾਂ ਕੋਈ ਗਲੋਬਲ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਕੋਈ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 11
4. ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
5. ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ-ਸਿਖਰ ਵਾਲੇ ਬਾਕਸ ਨੂੰ ਪਲਾਸਟਿਕ ਦੀ 14 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਬਾਈ 20 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਸ਼ੀਟ ਦੇ ਹਰ ਕੋਨੇ ਤੋਂ ਵਰਗ ਕੱਟ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਮੋੜ ਕੇ ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ। ਬਾਕਸ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੀ ਗਈ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਵਰਗ ਕੱਟੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
6. ਹੱਲ
7. ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 22 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੱਟੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਵਰਗਾਂ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ, w, ਨਾਲ ਲੇਬਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
8. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਸਿਰੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵਰਗ ਕੱਟਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਬਾਕਸ ਦੇ ਅਧਾਰ ਲਈ (14−2w) ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਬਾਈ (20−2w) ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦਾ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਚਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਾਕਸ w ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਉੱਚਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਮਾਤਰਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
9. ਨੋਟ ਕਰੋ, ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਣਕ w, 20–2w ਅਤੇ 14–2w ਹਨ, ਤਿੰਨ ਜ਼ੀਰੋ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 10, 7, ਅਤੇ 0 ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ 0 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵਾਜਬ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕੇਵਲ ਜ਼ੀਰੋ 10 ਅਤੇ 7 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਭੁਜਾ 14 ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੋ ਵਰਗ ਕੱਟ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ w ਦੇ ਮੁੱਲ ਸਿਫ਼ਰ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ 7 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ 0<w<7 ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਸ ਵਾਜਬ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ V(w) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 23 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਵਾਜਬ ਮੁੱਲਾਂ—0 ਤੋਂ 7 ਤੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ—ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਮਾਤਰਾ ਲਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
10. ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਵਾਜਬ ਡੋਮੇਨ, [0,7] 'ਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਹਿੱਸੇ ਵੱਲ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਮੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਭਗ 340 ਘਣ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਵਰਗ ਲਗਭਗ 2.75 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਬਿਹਤਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੀ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀਆਂ ਉੱਨਤ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਉਪਲਬਧ ਹੋਵੇ, ਜਾਂ ਚਿੱਤਰ 24 ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਜ਼ੂਮ ਇਨ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੀ ਵਿੰਡੋ ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
11. ਇਸ ਜ਼ੂਮ-ਇਨ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਭਗ 339 ਘਣ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਸੁਧਾਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਵਰਗ ਲਗਭਗ 2.7 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
12. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
13. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=−0.2 (x−2) 3 (x+1) 2 (x−4) ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ [−1,4] 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
14. ਮੀਡੀਆ
15. ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
16. ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ
17. ਸ਼ਬਦਿਕ
18. ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਅਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?
19. ਜੇਕਰ ਡਿਗਰੀ n ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ n ਵੱਖ-ਵੱਖ ਜ਼ੀਰੋ ਹਨ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਕੀ ਜਾਣਦੇ ਹੋ?
20. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਜ਼ੀਰੋ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਕਿਵੇਂ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।
21. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਬਹੁਪਦੀ ਦਾ ਫੈਕਟਰਡ ਰੂਪ ਇਸਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ।
22. ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀ ਦੇ ਫੈਕਟਰਡ ਰੂਪ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
23. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ x- ਜਾਂ t-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ।
C(t)=2(t−4)(t+1)(t−6)
C(t)=3(t+2)(t−3)(t+5)
C(t)=4t(t−2)²(t+1)
C(t)=2t(t−3)(t+1)²
C(t)=2t⁴−8t³+6t²
C(t)=4t⁴+12t³−40t²
f(x)=x⁴−x²
f(x)=x³+x²−20x
f(x)=x³+6x²−7x
f(x)=x³+x²−4x−4
f(x)=x³+2x²−9x−18
f(x)=2x³−x²−8x+4
f(x)=x⁶−7x³−8
f(x)=2x⁴+6x²−8
f(x)=x³−3x²−x+3
f(x)=x⁶−2x⁴−3x²
f(x)=x⁶−3x⁴−4x²
f(x)=x⁵−5x³+4x
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਅੰਤਰ-ਮੱਧਵਰਤੀ ਥਿਊਰਮ (Intermediate Value Theorem) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦ (polynomial) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ (interval) ਦੇ ਅੰਦਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ (zero) ਹੈ।
f(x)=x³−9x, x=−4 ਅਤੇ x=−2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x)=x³−9x, x=2 ਅਤੇ x=4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x)=x⁵−2x, x=1 ਅਤੇ x=2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x)=−x⁴+4, x=1 ਅਤੇ x=3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x)=−2x³−x, x=–1 ਅਤੇ x=1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
f(x) = x³ - 100x + 2, 0.01 ≤ x ≤ 0.1
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡਤਾ ਦੱਸੋ।
f(x) = (x + 2)³ (x - 3)²
f(x) = x² (2x + 3)⁵ (x - 4)²
f(x) = x³ (x - 1)³ (x + 2)
f(x) = x² (x² + 4x + 4)
f(x) = (2x + 1)³ (9x² - 6x + 1)
f(x) = (3x + 2)⁵ (x² - 10x + 25)
f(x) = x(4x² - 12x + 9)(x² + 8x + 16)
f(x) = x⁶ - x⁵ - 2x⁴
f(x) = 3x⁴ + 6x³ + 3x²
f(x) = 4x⁵ - 12x⁴ + 9x³
f(x) = 2x⁴ (x³ - 4x² + 4x)
f(x) = 4x⁴ (9x⁴ - 12x³ + 4x²)
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। x-x- ਅਤੇ y-y- ਅੰਤਰ-ਖੰਡ, ਗੁਣਨਖੰਡਤਾ, ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
f(x) = (x + 3)² (x - 2)
g(x) = (x + 4) (x - 1)²
h(x) = (x - 1)³ (x + 3)²
k(x) = (x - 3)³ (x - 2)²
m(x) = -2x (x - 1) (x + 3)
n(x) = -3x (x + 2) (x - 4)
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਗੁਣਨਖੰਡਤਾ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਹੁਪਦੀ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
2. ਡਿਗਰੀ 3। ਸਿਫ਼ਰ x=–2, x=–2, x=1, x=1, ਅਤੇ x=3। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,–4) ਤੇ।
3. ਡਿਗਰੀ 3। ਸਿਫ਼ਰ x=–5, x=–5, x=–2, x=–2, ਅਤੇ x=1। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,6) ਤੇ।
4. ਡਿਗਰੀ 5। ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 2 ਦੇ ਰੂਟ x=3 ਅਤੇ x=1 ਤੇ, ਅਤੇ ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 1 ਦਾ ਰੂਟ x=–3 ਤੇ। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,9) ਤੇ।
5. ਡਿਗਰੀ 4। ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 2 ਦਾ ਰੂਟ x=4 ਤੇ, ਅਤੇ ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 1 ਦੇ ਰੂਟ x=1 ਅਤੇ x=–2 ਤੇ। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,–3) ਤੇ।
6. ਡਿਗਰੀ 5। ਡਬਲ ਜ਼ੀਰੋ x=1 ਤੇ, ਅਤੇ ਟ੍ਰਿਪਲ ਜ਼ੀਰੋ x=3 ਤੇ। ਬਿੰਦੂ (2,15) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
7. ਡਿਗਰੀ 3। ਸਿਫ਼ਰ x=4, x=4, x=3, x=3, ਅਤੇ x=2। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,−24) ਤੇ।
8. ਡਿਗਰੀ 3। ਸਿਫ਼ਰ x=−3, x=−3, x=−2 ਅਤੇ x=1। y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,12) ਤੇ।
9. ਡਿਗਰੀ 5। ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 2 ਦੇ ਰੂਟ x=−3 ਅਤੇ x=2 ਤੇ, ਅਤੇ ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 1 ਦਾ ਰੂਟ x=−2 ਤੇ।
10. y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0, 4) ਤੇ।
11. ਡਿਗਰੀ 4। ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 2 ਦੇ ਰੂਟ x= 1/2 ਤੇ, ਅਤੇ ਮਲਟੀਪਲਿਸਿਟੀ 1 ਦੇ ਰੂਟ x=6 ਅਤੇ x=−2 ਤੇ।
12. y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,18) ਤੇ।
13. ਡਬਲ ਜ਼ੀਰੋ x=−3 ਤੇ ਅਤੇ ਟ੍ਰਿਪਲ ਜ਼ੀਰੋ x=0 ਤੇ। ਬਿੰਦੂ (1,32) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
14. ਤਕਨਾਲੋਜੀ
15. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਗਲੋਬਲ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
16. f(x)= x^3 −x−1
17. f(x)=2x^3 −3x−1
18. f(x)= x^4 +x
19. f(x)=− x^4 +3x−2
20. f(x)= x^4 − x^3 +1
21. ਵਿਸਤਾਰ
22. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
24. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖੋ।
1. ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 10 ਇਕਾਈਆਂ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ 8 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। ਹਰ ਕੋਨੇ ਵਿੱਚੋਂ x x ਗੁਣਾ x x ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਵਰਗ ਕੱਢੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਡੱਬੇ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਪਾਸੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਮੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਡੱਬੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
2. ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਉਸੇ ਆਇਤ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਹਰ ਕੋਨੇ ਵਿੱਚੋਂ 2x 2x ਗੁਣਾ 2x 2x ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਵਰਗ ਕੱਢੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਡੱਬੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
3. ਇੱਕ ਵਰਗ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ 12 ਇਕਾਈਆਂ ਹਨ। ਹਰ ਕੋਨੇ ਵਿੱਚੋਂ x+1 x+1 ਗੁਣਾ x+1 x+1 ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਵਰਗ ਕੱਢੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਡੱਬੇ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਪਾਸੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਮੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਡੱਬੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
4. ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ x+2 x+2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
5. ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਕੋਨ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 3x+6 3x+6 ਹੈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਘੱਟ ਹੈ। ਕੋਨ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। ਕੋਨ ਦਾ ਆਇਤਨ V= 1 3 π r 2 h V= 1 3 π r 2 h ਹੈ, ਜਿੱਥੇ r ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ h ਉਚਾਈ ਹੈ।