ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਬਕੀਆ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਤर्कਸ਼ੀਲ ਸਿਫਰ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫਰ ਲੱਭੋ।
ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫਰ ਲੱਭੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਫਰਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਲੱਭਣ ਲਈ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਡੈਸਕਾਰਟੇਸ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਬੇਕਰੀ ਕੁਇਨਸੀਨੇਰਾ ਅਤੇ ਵਿਆਹਾਂ ਦੇ ਜਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਜਾਵਟੀ, ਬਹੁ-ਪੱਧਰੀ ਕੇਕ, ਅਤੇ ਨਾਲ ਹੀ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਮਹਿਮਾਨਾਂ ਦੀ ਸੇਵਾ ਲਈ ਸ਼ੀਟ ਕੇਕ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਬੇਕਰੀ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਸ਼ੀਟ ਕੇਕ ਦਾ ਆਇਤਨ 351 ਘਣ ਇੰਚ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕੇਕ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਠੋਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਉਹ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕੇਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕੇਕ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲੋਂ ਚਾਰ ਇੰਚ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਕੇਕ ਦੀ ਉਚਾਈ ਚੌੜਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਤਿਹਾਈ ਹੋਵੇ। ਕੇਕ ਪੈਨ ਦੇ ਮਾਪ ਕੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ?
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਕੇਕ ਦੇ ਆਇਤਨ ਲਈ ਇੱਕ ਘਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖ ਕੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਘਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਾਧਨਾਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਬਕੀਆ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡਣਾ ਸਿੱਖਿਆ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਬਕੀਆ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਪਦ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ x–k ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਕੀਆ ਨੂੰ k 'ਤੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਕੇ ਜਲਦੀ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, f(k)। ਆਓ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਸਬੂਤ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਡਿਵੀਡੈਂਡ f(x) ਅਤੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਬਹੁਪਦ ਡਿਵਾਈਜ਼ਰ d(x) ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਵਿਲੱਖਣ ਬਹੁਪਦ q(x) ਅਤੇ r(x) ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ
ਅਤੇ ਜਾਂ ਤਾਂ r(x)=0 ਜਾਂ r(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ d(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਡਿਵਾਈਜ਼ਰ, d(x), ਦੀ ਡਿਗਰੀ f(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗੀ। ਜੇਕਰ ਡਿਵਾਈਜ਼ਰ, d(x), x−k ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਰੂਪ ਲੈਂਦਾ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ ਡਿਵਾਈਜ਼ਰ x−k ਰੇਖੀ ਹੈ, ਬਕੀਆ ਇੱਕ ਸਥਿਰ, r, ਹੋਵੇਗਾ। ਅਤੇ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ x=k ਲਈ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, f(k) ਉਹ ਬਕੀਆ ਹੈ ਜੋ f(x) ਨੂੰ x−k ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਬਕੀਆ ਥਿਊਰਮ
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ f(x) ਨੂੰ x−k ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਕੀਆ ਮੁੱਲ f(k) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਬਕੀਆ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x=k 'ਤੇ f(x) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ x−k ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਕੀਆ ਮੁੱਲ f(k) ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ f(x)=6 x 4 − x 3 −15 x 2 +2x−7 ਦਾ ਮੁੱਲ x=2 ਉੱਤੇ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਾਕੀ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ x−2 ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਾਕੀ 25 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, f(2)=25।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ f(2) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਕੇ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ f(x)=2 x 5 −3 x 4 −9 x 3 +8 x 2 +2 ਦਾ ਮੁੱਲ x=−3 ਉੱਤੇ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਇੱਕ ਹੋਰ ਥਿਊਰਮ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਿਫਰ (zeros) ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ k ਇੱਕ ਸਿਫਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਾਕੀ r f(k)=0 ਹੈ ਅਤੇ f(x)=(x−k)q(x)+0 ਜਾਂ f(x)=(x−k)q(x)।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ, ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, x−k, f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ k, f(x) ਦਾ ਸਿਫਰ ਹੈ, ਤਾਂ x−k, f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ x−k, f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ, ਤਾਂ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਐਲਗੋਰਿਦਮ f(x)=(x−k)q(x)+r ਦਾ ਬਾਕੀ 0 ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ k ਇੱਕ ਸਿਫਰ ਹੈ।
ਇਹ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਦੀ ਜੋੜੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਡਿਗਰੀ n ਦੇ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦੇ n ਸਿਫਰ ਹੋਣਗੇ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ n ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਬਹੁਪਦ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਸਿਫਰਾਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ
ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, k, f(x) ਦਾ ਸਿਫਰ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇਕਰ (x−k), f(x) ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਅਤੇ ਤੀਜੀ-ਡਿਗਰੀ ਬਹੁਪਦ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ (x−k) ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਬਾਕੀ 0 ਹੈ।
ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ (x−k) ਅਤੇ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
Example 2
Using the Factor Theorem to Find the Zeros of a Polynomial Expression
Show that (x+2) (x+2) is a factor of x 3 −6 x 2 −x+30. x 3 −6 x 2 −x+30. Find the remaining factors. Use the factors to determine the zeros of the polynomial.
Solution
We can use synthetic division to show that (x+2) (x+2) is a factor of the polynomial.
The remainder is zero, so (x+2) (x+2) is a factor of the polynomial. We can use the Division Algorithm to write the polynomial as the product of the divisor and the quotient:
We can factor the quadratic factor to write the polynomial as
By the Factor Theorem, the zeros of x 3 −6 x 2 −x+30 x 3 −6 x 2 −x+30 are –2, 3, and 5.
Try It #2
Use the Factor Theorem to find the zeros of f(x)= x 3 +4 x 2 −4x−16 f(x)= x 3 +4 x 2 −4x−16 given that (x−2) (x−2) is a factor of the polynomial.
Using the Rational Zero Theorem to Find Rational Zeros
Another use for the Remainder Theorem is to test whether a rational number is a zero for a given polynomial. But first we need a pool of rational numbers to test. The Rational Zero Theorem helps us to narrow down the number of possible rational zeros using the ratio of the factors of the constant term and factors of the leading coefficient of the polynomial
Consider a quadratic function with two zeros, x= 2 5 x= 2 5 and x= 3 4 . x= 3 4 . By the Factor Theorem, these zeros have factors associated with them. Let us set each factor equal to 0, and then construct the original quadratic function absent its stretching factor.
Notice that two of the factors of the constant term, 6, are the two numerators from the original rational roots: 2 and 3. Similarly, two of the factors from the leading coefficient, 20, are the two denominators from the original rational roots: 5 and 4.
We can infer that the numerators of the rational roots will always be factors of the constant term and the denominators will be factors of the leading coefficient. This is the essence of the Rational Zero Theorem; it is a means to give us a pool of possible rational zeros.
The Rational Zero Theorem
The Rational Zero Theorem states that, if the polynomial f(x)= a n x n + a n−1 x n−1 +...+ a 1 x+ a 0 f(x)= a n x n + a n−1 x n−1 +...+ a 1 x+ a 0 has integer coefficients an≠0an≠0, then every rational zero of f(x) f(x) has the form p q p q where p p is a factor of the constant term a 0 a 0 and q q is a factor of the leading coefficient a n . a n .
When the leading coefficient is 1, the possible rational zeros are the factors of the constant term.
How To
Given a polynomial function f(x), f(x), use the Rational Zero Theorem to find rational zeros.
Determine all factors of the constant term and all factors of the leading coefficient.
Determine all possible values of p q , p q , where p p is a factor of the constant term and q q is a factor of the leading coefficient. Be sure to include both positive and negative candidates.
Determine which possible zeros are actual zeros by evaluating each case of f( p q ). f( p q ).
Example 3
ਸੰਭਾਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)=2 x 4 −5 x 3 + x 2 −4 ਦੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਉ।
ਹੱਲ
f(x) ਦੇ ਕੇਵਲ ਸੰਭਾਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਅੰਤਿਮ ਪਦ, –4, ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ, 2, ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਹਨ।
ਸਥਿਰ ਪਦ –4 ਹੈ; –4 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ p=±1,±2,±4 ਹਨ।
ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ 2 ਹੈ; 2 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ q=±1,±2 ਹਨ।
ਜੇਕਰ ਚਾਰ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਹ –4 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ 2 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਸੰਭਾਵੀ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੋਵੇਗਾ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ 2/2=1 ਅਤੇ 4/2=2, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਚੁੱਕਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਆਪਣੀ ਸੂਚੀ ਨੂੰ ਛੋਟਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣਾ
f(x)=2 x 3 + x 2 −4x+1 ਦੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਮੇਯ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ p/q, f(x) ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਤਾਂ p, 1 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਅਤੇ q, 2 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।
1 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ±1 ਹਨ ਅਤੇ 2 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ±1 ਅਤੇ ±2 ਹਨ। p/q ਦੇ ਸੰਭਾਵੀ ਮੁੱਲ ±1 ਅਤੇ ±1/2 ਹਨ। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸੰਭਾਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਸੰਭਾਵੀ ਸਿਫ਼ਰ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ, ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ f(x) ਵਿੱਚ x ਲਈ ਬਦਲ ਕੇ।
ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, −1, −1/2, ਅਤੇ 1/2, f(x) ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹਨ। 1, f(x) ਦਾ ਇਕਲੌਤਾ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
f(x)= x 3 −5 x 2 +2x+1 ਦੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣਾ
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਮੇਯ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸੰਭਾਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਨੂੰ ਸੰਕੀਰਨ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਰ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ, ਇਸਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਮੀਦਵਾਰ ਨੂੰ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਸੰਭਾਵੀ ਸਿਫ਼ਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਬਾਕੀ 0 ਹੈ, ਤਾਂ ਉਮੀਦਵਾਰ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬਾਕੀ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਮੀਦਵਾਰ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰੋ।
ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਭਾਗਫਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਦਮ ਦੋ ਦੁਹਰਾਓ। ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਭਾਗਫਲ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਨਾ ਹੋ ਜਾਵੇ, ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ।
ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੋ। ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਸੰਭਵ ਤਰੀਕੇ ਹਨ: ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਅਤੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣਾ
f(x)=4 x 3 −3x−1 ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੋ। f(x)=4 x 3 −3x−1।
ਹੱਲ
ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਮੇਯ (Rational Zero Theorem) ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ p q, f(x) ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਤਾਂ p, –1 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਅਤੇ q, 4 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।
–1 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ±1 ਹਨ ਅਤੇ 4 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ±1, ±2, ਅਤੇ ±4 ਹਨ। p q ਦੇ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲ ±1, ±1/2, ±1/4 ਹਨ। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸੰਭਵ ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਸੰਭਵ ਸਿਫ਼ਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਨੂੰ 0 ਬਾਕੀ ਨਾ ਮਿਲ ਜਾਵੇ। ਆਓ 1 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
(x−1) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ 'ਤੇ 0 ਬਾਕੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 1 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਦੋ ਘਾਤੀ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ। f(x) ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 1 ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਸਿਫ਼ਰ 2 ਦੀ ਗੁਣਨਤਾ (multiplicity) ਵਾਲਾ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ 1 ਅਤੇ −1/2 ਹਨ, ਜਿਸਦੀ ਗੁਣਨਤਾ 2 ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ, x=−0.5 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉਛਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਫ਼ਰ −0.5 ਦੀ ਸਮ ਗੁਣਨਤਾ (2,4,6…) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। x=1 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਫ਼ਰ x=1 ਦੀ ਵਿਸ਼ਮ ਗੁਣਨਤਾ (1,3,5…) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੇ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ (Fundamental Theorem of Algebra) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜੋ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸੰਪੂਰਨ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਬੀਜਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪ੍ਰਮੇਯ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਨੀਂਹ ਬਣਦਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ f ਚੌਥੀ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ f(x)=0। ਬੀਜਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਹੱਲ, ਜਿਸਨੂੰ c 1 ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਗੁਣਨਖੰਡ ਪ੍ਰਮੇਯ (Factor Theorem) ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ f(x) ਨੂੰ x− c 1 ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਭਾਗਫਲ (quotient) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ x− c 1 ਰੇਖੀ ਹੈ, ਬਹੁਪਦੀ ਭਾਗਫਲ ਤੀਜੀ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਤੀਜੀ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਹੁਪਦੀ ਭਾਗਫਲ 'ਤੇ ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੇ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਸਨੂੰ c 2 ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ x− c 2 ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਬਹੁਪਦੀ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੇ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੇ ਨਾ ਜਾਣ। ਚਾਰ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਗੇ ਅਤੇ ਹਰ ਇੱਕ f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੇਵੇਗਾ।
ਬੀਜਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ
ਬੀਜਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਜੇਕਰ f(x) n > 0 ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ f(x) ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਦਲੀਲ ਦੇਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਜੇਕਰ f(x) n>0 ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ a ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ f(x) ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ n ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਜਿੱਥੇ c 1 , c 2 ,..., c n ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੀਏ ਤਾਂ f(x) ਦੇ n ਮੂਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
Q&A
ਕੀ ਹਰ ਬਹੁਪਦੀ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
ਨਹੀਂ। ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਹਨ, ਪਰ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਨਹੀਂ। ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵੀ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਸੰਪੂਰਨ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣਾ
1. f(x)=3 x 3 +9 x 2 +x+3 ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੋ। f(x)=3 x 3 +9 x 2 +x+3।
2. ਹੱਲ
3. ਰੈਸ਼ਨਲ ਜ਼ੀਰੋ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ p q p q, f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, f(x), ਤਾਂ p p, 3 ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਅਤੇ q q, 3 ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।
4. 3 ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ±1 ±1 ਅਤੇ ±3 ਹਨ। ±3। p q , p q , ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸੰਭਾਵੀ ਰੈਸ਼ਨਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੇ ਸੰਭਾਵੀ ਮੁੱਲ ±3,±1, ਅਤੇ ± 1 3 ਹਨ। ±3,±1, ਅਤੇ ± 1 3 । ਅਸੀਂ 0 ਦਾ ਬਾਕੀ ਬਚਣ ਤੱਕ ਹਰੇਕ ਸੰਭਾਵੀ ਸਿਫ਼ਰ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਆਓ –3 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
5. (x+3) (x+3) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ 'ਤੇ 0 ਦਾ ਬਾਕੀ ਬਚਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ –3 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
6. ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਦੂਜੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
7. f(x) f(x) ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ –3 ਅਤੇ ± i 3 3 ਹਨ। ± i 3 3 ।
8. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
9. ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ, x=−3, x=−3 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ x-ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਿਫ਼ਰ x=–3 ਲਈ ਇੱਕ ਅਜੀਬ ਗੁਣਨਤਾ (1) ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। x=–3। ਦੋ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਨੂੰ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ 3ਵੀਂ ਡਿਗਰੀ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਿਣਤੀ ਦੇਖ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਬੇਅੰਤ ਵਧਣ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਬੇਅੰਤ ਘਟਣ ਦਾ ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ ਜਾਰੀ ਰਹੇਗਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਾਰੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਜਾਂ ਤਾਂ x=−3 x=−3 ਦੀ ਗੁਣਨਤਾ 1 ਹੈ ਅਤੇ ਦੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਹੱਲ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਲੱਭਿਆ ਹੈ, ਜਾਂ x=−3 x=−3 'ਤੇ ਗੁਣਨਤਾ ਤਿੰਨ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡਾ ਨਤੀਜਾ ਸਹੀ ਹੈ।
10. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
11. f(x)=2 x 3 +5 x 2 −11x+4 ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭੋ। f(x)=2 x 3 +5 x 2 −11x+4।
12. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਨਾਲ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲੀਨੀਅਰ ਫੈਕਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
13. ਅਲਜਬਰਾ ਦੇ ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗੱਲ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦੱਸਿਆ ਹੈ, ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਡਿਗਰੀ n n ਵਾਲੇ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ n n ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਗੇ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਤਾਵਾਂ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ n n ਕਾਰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਫੈਕਟਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਲੀਨੀਅਰ ਫੈਕਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਜਿੰਨੇ ਕਾਰਕ ਹੋਣਗੇ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ (x−c), (x−c) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿੱਥੇ c c ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹੈ।
14. ਮੰਨ ਲਓ f f ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ a+bi, b≠0, a+bi, b≠0, f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। f(x)। ਫਿਰ, ਫੈਕਟਰ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, x−(a+bi) x−(a+bi) f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਰਕ ਹੈ। f(x)। f f ਦੇ ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕ ਹੋਣ ਲਈ, x−(a−bi) x−(a−bi) ਵੀ f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਰਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। f(x)। ਇਹ ਸੱਚ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ x−(a−bi), x−(a−bi) ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਵੀ ਕਾਰਕ, ਜਦੋਂ x−(a+bi), x−(a+bi) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਛੱਡ ਦੇਵੇਗਾ। ਸਿਰਫ਼ ਸੰਯੁਗਮ ਜੋੜਿਆਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਖਤਮ ਹੋ ਜਾਣਗੇ ਅਤੇ ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣਗੇ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦਾ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਸਿਫ਼ਰ a+bi, a+bi ਹੈ, ਤਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ ਸੰਯੁਗਮ a−bi a−bi ਵੀ f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। f(x)। ਇਸਨੂੰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਥਿਊਰਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
15. ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਥਿਊਰਮ
16. ਲੀਨੀਅਰ ਫੈਕਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਜਿੰਨੇ ਕਾਰਕ ਹੋਣਗੇ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ (x−c) (x−c) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿੱਥੇ c c ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹੈ।
17. ਜੇਕਰ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦੇ ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕ ਹਨ ਅਤੇ a+bi, a+bi ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਦਾ ਕੰਪਲੈਕਸ ਸੰਯੁਗਮ, a−bi, a−bi, ਵੀ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
18. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
19. ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਦੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ (c, f(c)) 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, f, ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲੀਨੀਅਰ ਫੈਕਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
20. ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਲੀਨੀਅਰ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
21. ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਲੀਨੀਅਰ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
22. ਲੀਡਿੰਗ ਗੁਣਾਂਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ( c,f( c ) ) ( c,f( c ) ) ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ।
23. ਸਰਲ ਕਰੋ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 7
ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਵਾਲਾ ਬਹੁਪਦ ਲੱਭਣਾ
ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲਾ ਚੌਥੇ ਦਰਜੇ ਦਾ ਬਹੁਪਦ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਸਿਫ਼ਰ –3, 2, i, i ਹੋਣ, ਜਿਸ ਨਾਲ f(−2)=100 ਹੋਵੇ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ x=i ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਸਾਰ x=–i ਵੀ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ (x+3), (x−2), (x−i), ਅਤੇ (x+i) ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ 4ਵੇਂ ਦਰਜੇ ਦਾ ਬਹੁਪਦ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਚਾਰ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹਨ। ਆਓ ਇਨ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਸਾਨੂੰ a ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ f(–2)=100 ਯਕੀਨੀ ਬਣ ਸਕੇ। f(x) ਵਿੱਚ x=–2 ਅਤੇ f(2)=100 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਇਸ ਲਈ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ
ਜਾਂ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ i ਅਤੇ −i ਦੋਵੇਂ ਸਿਫ਼ਰ ਸਨ, ਪਰ ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਸੀ। ਜੇਕਰ i ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਤਾਂ −i ਵੀ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ −i, i ਦਾ ਜਟਿਲ ਸੰਯੁਗਮ ਹੈ।
Q&A
ਜੇਕਰ 2+3i ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਕੀ 2−3i ਵੀ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਵਾਲੀ ਕੋਈ ਵੀ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਯੁਗਮ ਵੀ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲਾ ਤੀਜੇ ਦਰਜੇ ਦਾ ਬਹੁਪਦ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਸਿਫ਼ਰ 5 ਅਤੇ −2i ਹੋਣ, ਜਿਸ ਨਾਲ f(1)=10 ਹੋਵੇ।
ਡੈਸਕਾਰਟੇਸ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸੰਭਾਵਿਤ ਧਨ ਅਤੇ ਰਿਣ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿੱਧਾ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਘਟਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਡੈਸਕਾਰਟੇਸ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਨਿਯਮ ਸਾਨੂੰ f(x) ਵਿੱਚ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਧਨ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਬੰਧ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਾਵ ਹੈ।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ 1 ਧਨ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
f(−x) ਵਿੱਚ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਰਿਣ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਬੰਧ ਹੈ।
ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, f(−x) ਵਿੱਚ 3 ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਾਵ ਹਨ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ f(x) ਵਿੱਚ 3 ਜਾਂ 1 ਰਿਣ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਡੈਸਕਾਰਟੇਸ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਨਿਯਮ
ਡੈਸਕਾਰਟੇਸ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ f(x)= a n x n + a n−1 x n−1 +...+ a 1 x+ a 0 ਨੂੰ ਅਸਲ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲਾ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੰਨੀਏ:
ਧਨ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਾਂ ਤਾਂ f(x) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਰਿਣ ਅਸਲ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਾਂ ਤਾਂ f(−x) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਡੈਸਕਾਰਟੇਸ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਡੈਸਕਾਰਟਿਸ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਅਤੇ ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ f(x)=− x 4 −3 x 3 +6 x 2 −4x−12। f(x)=− x 4 −3 x 3 +6 x 2 −4x−12।
ਹੱਲ
ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਦੋ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ 2 ਜਾਂ 0 ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਅਸਲ ਰੂਟ ਹਨ। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਸਲ ਰੂਟਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ f(−x) f(−x) ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਦੁਬਾਰਾ, ਦੋ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ 2 ਜਾਂ 0 ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਸਲ ਰੂਟ ਹਨ।
ਚਾਰ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ | ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ | ਕੰਪਲੈਕਸ ਜ਼ੀਰੋ | ਕੁੱਲ ਜ਼ੀਰੋ
2 | 2 | 0 | 4
2 | 0 | 2 | 4
0 | 2 | 2 | 4
0 | 0 | 4 | 4
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਅਤੇ ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਸਲ ਰੂਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 5 ਦੇਖੋ। ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ 0 ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਅਸਲ ਰੂਟ ਅਤੇ 2 ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਸਲ ਰੂਟ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਡੈਸਕਾਰਟਿਸ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x)=2 x 4 −10 x 3 +11 x 2 −15x+12 ਲਈ ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਅਤੇ ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਭਾਵਿਤ ਸੰਖਿਆ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। f(x)=2 x 4 −10 x 3 +11 x 2 −15x+12। ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਅਤੇ ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਸਲ ਜ਼ੀਰੋ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਾਧਨ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਹਨ। ਆਓ ਇਹਨਾਂ ਸਾਧਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਤੋਂ ਬੇਕਰੀ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਬੇਕਰੀ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨੀ ਅਤੇ ਕਵਿਨਸੀਨੇਰਾ ਅਤੇ ਵਿਆਹ ਦੇ ਜਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਜਾਏ, ਮਲਟੀ-ਟਾਇਰਡ ਕੇਕ, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਮਹਿਮਾਨਾਂ ਦੀ ਸੇਵਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੀਟ ਕੇਕ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਬੇਕਰੀ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਸ਼ੀਟ ਕੇਕ ਦਾ ਆਇਤਨ 351 ਘਣ ਇੰਚ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕੇਕ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਠੋਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਉਹ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕੇਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕੇਕ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ ਚਾਰ ਇੰਚ ਵੱਧ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਕੇਕ ਦੀ ਉਚਾਈ ਚੌੜਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਤਿਹਾਈ ਹੋਵੇ। ਕੇਕ ਪੈਨ ਦੇ ਮਾਪ ਕੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਕੇਕ ਦੇ ਆਇਤਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ V=lwh ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। V=lwh। ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸੀ ਕਿ ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ ਚਾਰ ਇੰਚ ਵੱਧ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕੇਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ l=w+4 ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। l=w+4। ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸੀ ਕਿ ਕੇਕ ਦੀ ਉਚਾਈ ਚੌੜਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਤਿਹਾਈ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕੇਕ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ h= 1 3 w ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। h= 1 3 w। ਆਓ ਕੇਕ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਕੇਕ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਏ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਡੈਸਕਾਰਟਿਸ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਹੱਲ ਹੈ। ਰੈਸ਼ਨਲ ਜ਼ੀਰੋ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਭਾਵਿਤ ਰੈਸ਼ਨਲ ਜ਼ੀਰੋ ±1,±3,±9,±13,±27,±39,±81,±117,±351, ±1,±3,±9,±13,±27,±39,±81,±117,±351, ਅਤੇ ±1053 ਹਨ। ±1053। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸੰਭਾਵਿਤ ਜ਼ੀਰੋ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਿਰਫ ਪੌਜ਼ੀਟਿਵ ਨੰਬਰ ਕੇਕ ਲਈ ਮਾਪ ਵਜੋਂ ਸਮਝਦਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਨੈਗੇਟਿਵ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਆਓ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਸ਼ੀਟ ਕੇਕ ਲਈ ਮਾਪ ਵਜੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮਝਦਾਰੀ ਵਾਲੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। x=1 ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿੰਥੈਟਿਕ ਡਿਵੀਜ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। x=1।
Since 1 is not a solution, we will check x=3. x=3.
Since 3 is not a solution either, we will test x=9. x=9.
Synthetic division gives a remainder of 0, so 9 is a solution to the equation. We can use the relationships between the width and the other dimensions to determine the length and height of the sheet cake pan.
The sheet cake pan should have dimensions 13 inches by 9 inches by 3 inches.
Try It #7
A shipping container in the shape of a rectangular solid must have a volume of 84 cubic meters. The client tells the manufacturer that, because of the contents, the length of the container must be one meter longer than the width, and the height must be one meter greater than twice the width. What should the dimensions of the container be?
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with zeros of polynomial functions.
Real Zeros, Factors, and Graphs of Polynomial Functions
Complex Factorization Theorem
Find the Zeros of a Polynomial Function
Find the Zeros of a Polynomial Function 2
Find the Zeros of a Polynomial Function 3
Verbal
Describe a use for the Remainder Theorem.
Explain why the Rational Zero Theorem does not guarantee finding zeros of a polynomial function.
What is the difference between rational and real zeros?
If Descartes’ Rule of Signs reveals a no change of signs or one sign of changes, what specific conclusion can be drawn?
If synthetic division reveals a zero, why should we try that value again as a possible solution?
Algebraic
For the following exercises, use the Remainder Theorem to find the remainder.
( x 4 −9 x 2 +14 )÷( x−2 ) ( x 4 −9 x 2 +14 )÷( x−2 )
( 3 x 3 −2 x 2 +x−4 )÷( x+3 ) ( 3 x 3 −2 x 2 +x−4 )÷( x+3 )
( x 4 +5 x 3 −4x−17 )÷( x+1 ) ( x 4 +5 x 3 −4x−17 )÷( x+1 )
( −3 x 2 +6x+24 )÷( x−4 ) ( −3 x 2 +6x+24 )÷( x−4 )
( 5 x 5 −4 x 4 +3 x 3 −2 x 2 +x−1 )÷( x+6 ) ( 5 x 5 −4 x 4 +3 x 3 −2 x 2 +x−1 )÷( x+6 )
( x 4 −1 )÷( x−4 ) ( x 4 −1 )÷( x−4 )
( 3 x 3 +4 x 2 −8x+2 )÷( x−3 ) ( 3 x 3 +4 x 2 −8x+2 )÷( x−3 )
( 4 x 3 +5 x 2 −2x+7 )÷( x+2 ) ( 4 x 3 +5 x 2 −2x+7 )÷( x+2 )
For the following exercises, use the given factor and the Factor Theorem to find all real zeros for the given polynomial function.
f(x)=2 x 3 −9 x 2 +13x−6;x−1 f(x)=2 x 3 −9 x 2 +13x−6;x−1
f(x)=2 x 3 + x 2 −5x+2;x+2 f(x)=2 x 3 + x 2 −5x+2;x+2
f(x)=3 x 3 + x 2 −20x+12;x+3 f(x)=3 x 3 + x 2 −20x+12;x+3
f(x)=2 x 3 +3 x 2 +x+6;x+2 f(x)=2 x 3 +3 x 2 +x+6;x+2
f(x)=−5 x 3 +16 x 2 −9;x−3 f(x)=−5 x 3 +16 x 2 −9;x−3
x 3 +3 x 2 +4x+12;x+3 x 3 +3 x 2 +4x+12;x+3
4 x 3 −7x+3;x−1 4 x 3 −7x+3;x−1
2 x 3 +5 x 2 −12x−30,2x+5 2 x 3 +5 x 2 −12x−30,2x+5
For the following exercises, use the Rational Zero Theorem to find the real solution(s) to each equation.
x 3 −3 x 2 −10x+24=0 x 3 −3 x 2 −10x+24=0
2 x 3 +7 x 2 −10x−24=0 2 x 3 +7 x 2 −10x−24=0
x 3 +2 x 2 −9x−18=0 x 3 +2 x 2 −9x−18=0
x 3 +5 x 2 −16x−80=0 x 3 +5 x 2 −16x−80=0
x 3 −3 x 2 −25x+75=0 x 3 −3 x 2 −25x+75=0
2 x 3 −3 x 2 −32x−15=0 2 x 3 −3 x 2 −32x−15=0
2 x 3 + x 2 −7x−6=0 2 x 3 + x 2 −7x−6=0
2 x 3 −3 x 2 −x+1=0 2 x 3 −3 x 2 −x+1=0
3 x 3 − x 2 −11x−6=0 3 x 3 − x 2 −11x−6=0
2 x 3 −5 x 2 +9x−9=0 2 x 3 −5 x 2 +9x−9=0
2 x 3 −3 x 2 +4x+3=0 2 x 3 −3 x 2 +4x+3=0
x 4 −2 x 3 −7 x 2 +8x+12=0 x 4 −2 x 3 −7 x 2 +8x+12=0
x 4 +2 x 3 −9 x 2 −2x+8=0 x 4 +2 x 3 −9 x 2 −2x+8=0
4 x 4 +4 x 3 −25 x 2 −x+6=0 4 x 4 +4 x 3 −25 x 2 −x+6=0
2 x 4 −3 x 3 −15 x 2 +32x−12=0 2 x 4 −3 x 3 −15 x 2 +32x−12=0
x 4 +2 x 3 −4 x 2 −10x−5=0 x 4 +2 x 3 −4 x 2 −10x−5=0
4 x 3 −3x+1=0 4 x 3 −3x+1=0
8 x 4 +26 x 3 +39 x 2 +26x+6 8 x 4 +26 x 3 +39 x 2 +26x+6
For the following exercises, find all complex solutions (real and non-real).
x 3 + x 2 +x+1=0 x 3 + x 2 +x+1=0
x 3 −8 x 2 +25x−26=0 x 3 −8 x 2 +25x−26=0
x 3 +13 x 2 +57x+85=0 x 3 +13 x 2 +57x+85=0
3 x 3 −4 x 2 +11x+10=0 3 x 3 −4 x 2 +11x+10=0
x 4 +2 x 3 +22 x 2 +50x−75=0 x 4 +2 x 3 +22 x 2 +50x−75=0
2 x 3 −3 x 2 +32x+17=0 2 x 3 −3 x 2 +32x+17=0
Graphical
For the following exercises, use Descartes’ Rule to determine the possible number of positive and negative solutions. Confirm with the given graph.
f(x)= x 3 −1 f(x)= x 3 −1
f(x)= x 4 − x 2 −1 f(x)= x 4 − x 2 −1
f(x)= x 3 −2 x 2 −5x+6 f(x)= x 3 −2 x 2 −5x+6
f(x)= x 3 −2 x 2 +x−1 f(x)= x 3 −2 x 2 +x−1
f(x)= x 4 +2 x 3 −12 x 2 +14x−5 f(x)= x 4 +2 x 3 −12 x 2 +14x−5
f(x)=2 x 3 +37 x 2 +200x+300 f(x)=2 x 3 +37 x 2 +200x+300
f(x)= x 3 −2 x 2 −16x+32 f(x)= x 3 −2 x 2 −16x+32
f(x)=2 x 4 −5 x 3 −5 x 2 +5x+3 f(x)=2 x 4 −5 x 3 −5 x 2 +5x+3
f(x)=2 x 4 −5 x 3 −14 x 2 +20x+8 f(x)=2 x 4 −5 x 3 −14 x 2 +20x+8
f(x)=10 x 4 −21 x 2 +11 f(x)=10 x 4 −21 x 2 +11
Numeric
For the following exercises, list all possible rational zeros for the functions.
f(x)= x 4 +3 x 3 −4x+4 f(x)= x 4 +3 x 3 −4x+4
f(x)=2 x 3 +3 x 2 −8x+5 f(x)=2 x 3 +3 x 2 −8x+5
f(x)=3 x 3 +5 x 2 −5x+4 f(x)=3 x 3 +5 x 2 −5x+4
f(x)=6 x 4 −10 x 2 +13x+1 f(x)=6 x 4 −10 x 2 +13x+1
f(x)=4 x 5 −10 x 4 +8 x 3 + x 2 −8 f(x)=4 x 5 −10 x 4 +8 x 3 + x 2 −8
Technology
For the following exercises, use your calculator to graph the polynomial function. Based on the graph, find the rational zeros. All real solutions are rational.
f(x)=6 x 3 −7 x 2 +1 f(x)=6 x 3 −7 x 2 +1
f(x)=4 x 3 −4 x 2 −13x−5 f(x)=4 x 3 −4 x 2 −13x−5
f(x)=8 x 3 −6 x 2 −23x+6 f(x)=8 x 3 −6 x 2 −23x+6
f(x)=12 x 4 +55 x 3 +12 x 2 −117x+54 f(x)=12 x 4 +55 x 3 +12 x 2 −117x+54
f(x)=16 x 4 −24 x 3 + x 2 −15x+25 f(x)=16 x 4 −24 x 3 + x 2 −15x+25
Extensions
For the following exercises, construct a polynomial function of least degree possible using the given information.
Real roots: –1, 1, 3 and ( 2,f( 2 ) )=( 2,4 ) ( 2,f( 2 ) )=( 2,4 )
Real roots: –1, 1 (with multiplicity 2 and 1) and ( 2,f( 2 ) )=( 2,4 ) ( 2,f( 2 ) )=( 2,4 )
Real roots: –2, 1 2 1 2 (with multiplicity 2) and ( −3,f( −3 ) )=( −3,5 ) ( −3,f( −3 ) )=( −3,5 )
Real roots: − 1 2 − 1 2 , 0, 1 2 1 2 and ( −2,f( −2 ) )=( −2,6 ) ( −2,f( −2 ) )=( −2,6 )
Real roots: –4, –1, 1, 4 and ( −2,f( −2 ) )=( −2,10 ) ( −2,f( −2 ) )=( −2,10 )
Real-World Applications
For the following exercises, find the dimensions of the box described.
The length is twice as long as the width. The height is 2 inches greater than the width. The volume is 192 cubic inches.
The length, width, and height are consecutive whole numbers. The volume is 120 cubic inches.
The length is one inch more than the width, which is one inch more than the height. The volume is 86.625 cubic inches.
The length is three times the height and the height is one inch less than the width. The volume is 108 cubic inches.
The length is 3 inches more than the width. The width is 2 inches more than the height. The volume is 120 cubic inches.
For the following exercises, find the dimensions of the right circular cylinder described.
The radius is 3 inches more than the height. The volume is 16π 16π cubic meters.
The height is one less than one half the radius. The volume is 72π 72π cubic meters.
The radius and height differ by one meter. The radius is larger and the volume is 48π 48π cubic meters.
The radius and height differ by two meters. The height is greater and the volume is 28.125π 28.125π cubic meters.
The radius is 1 3 1 3 meter greater than the height. The volume is 98 9 π 98 9 π cubic meters.