ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਤੀਰ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਤर्कਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭੋ।
ਲੰਬਵਤ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਖਿਤਿਜੀ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਉਤਪਾਦ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ, x, x, ਪੈਦਾ ਹੋਈਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ C(x)=15,000x−0.1 x 2 +1000. C(x)=15,000x−0.1 x 2 +1000 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ x x ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਲਈ ਔਸਤ ਲਾਗਤ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, x. x. ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਾਂਗੇ।
ਔਸਤ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜੋ x x ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀ ਵਸਤੂ ਔਸਤ ਲਾਗਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਹੈ
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਹੋਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ, ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨੈਗੇਟਿਵ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸ਼ਕਤੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਵੇਗੀ।
ਆਖਰੀ ਕੁਝ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਗੈਰ-ਨੈਗੇਟਿਵ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਤੀਰ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਅਸੀਂ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਆਪਣੇ ਅਧਿਐਨ ਤੋਂ ਬੇਸਿਕ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸਕੁਅਰਡ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇਖੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ f(x)= 1 x . f(x)= 1 x . ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੀਏ ਤਾਂ ਕਈ ਚੀਜ਼ਾਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹਨ।
ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਖੱਬੀ ਸ਼ਾਖਾ 'ਤੇ, ਕਰਵ x-ਐਕਸਿਸ (y=0) ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→–∞. (y=0) ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→–∞.
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਪਾਸਿਓਂ x=0 x=0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਕਰਵ ਹੇਠਾਂ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸਿਓਂ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ, ਕਰਵ ਉੱਪਰ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸੱਜੀ ਸ਼ਾਖਾ 'ਤੇ, ਕਰਵ x-ਐਕਸਿਸ (y=0) ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→∞. (y=0) ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→∞.
ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਤੀਰ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x x ਜਾਂ f(x) f(x) ਇੱਕ ਖਾਸ ਮੁੱਲ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 1 ਦੇਖੋ।
ਸਤਰ: ਪ੍ਰਤੀਕ | ਅਰਥ
ਸਤਰ: x→ a − x→ a − | x x ਖੱਬੇ ਪਾਸਿਓਂ a a ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ( x<a x<a ਪਰ a a ਦੇ ਨੇੜੇ)
ਸਤਰ: x→ a + x→ a + | x x ਸੱਜੇ ਪਾਸਿਓਂ a a ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ( x>a x>a ਪਰ a a ਦੇ ਨੇੜੇ)
ਸਤਰ: x→∞ x→∞ | x x ਅਨੰਤਤਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ( x x ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਧਦਾ ਹੈ)
ਸਤਰ: x→−∞ x→−∞ | x x ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਨੰਤਤਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ( x x ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਘਟਦਾ ਹੈ)
row: f(x)→∞ f(x)→∞ | the output approaches infinity (the output increases without bound)
row: f(x)→−∞ f(x)→−∞ | the output approaches negative infinity (the output decreases without bound)
row: f(x)→a f(x)→a | the output approaches a a
Local Behavior of f(x)= 1 x f(x)= 1 x
Let’s begin by looking at the reciprocal function, f(x)= 1 x . f(x)= 1 x . We cannot divide by zero, which means the function is undefined at x=0; x=0; so zero is not in the domain. As the input values approach zero from the left side (becoming very small, negative values), the function values decrease without bound (in other words, they approach negative infinity). We can see this behavior in Table 2.
row: x x | –0.1 | –0.01 | –0.001 | –0.0001
row: f(x)= 1 x f(x)= 1 x | –10 | –100 | –1000 | –10,000
We write in arrow notation
As the input values approach zero from the right side (becoming very small, positive values), the function values increase without bound (approaching infinity). We can see this behavior in Table 3.
row: x x | 0.1 | 0.01 | 0.001 | 0.0001
row: f(x)= 1 x f(x)= 1 x | 10 | 100 | 1000 | 10,000
We write in arrow notation
See Figure 2.
This behavior creates a vertical asymptote, which is a vertical line that the graph approaches but never crosses. In this case, the graph is approaching the vertical line x=0 x=0 as the input becomes close to zero. See Figure 3.
Vertical Asymptote
A vertical asymptote of a graph is a vertical line x=a x=a where the graph tends toward positive or negative infinity as the input approaches a a from either the left or the right. We write
End Behavior of f(x)= 1 x f(x)= 1 x
As the values of x x approach infinity, the function values approach 0. As the values of x x approach negative infinity, the function values approach 0. See Figure 4. Symbolically, using arrow notation
As x→∞,f(x)→0,and as x→−∞,f(x)→0. As x→∞,f(x)→0,and as x→−∞,f(x)→0.
Based on this overall behavior and the graph, we can see that the function approaches 0 but never actually reaches 0; it seems to level off as the inputs become large. This behavior creates a horizontal asymptote, a horizontal line that the graph approaches as the input increases or decreases without bound. In this case, the graph is approaching the horizontal line y=0. y=0. See Figure 5.
Horizontal Asymptote
A horizontal asymptote of a graph is a horizontal line y=b y=b where the graph approaches the line as the inputs increase or decrease without bound. We write
Example 1
Using Arrow Notation
1. ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਤੀਰ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2. ਹੱਲ
3. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ x=2 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਦਿਖਾ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜੋ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ x=2 'ਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
4. ਅਤੇ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਬੇਅੰਤ ਘੱਟਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਗ੍ਰਾਫ 4 ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਸਮਤਲ ਹੁੰਦਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ y=4 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਬੇਅੰਤ ਵਧਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਗ੍ਰਾਫ 4 'ਤੇ ਸਮਤਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
5. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
6. ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਸਕੁਏਰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਤੀਰ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 2
8. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਟ੍ਰਾਂਸਫਾਰਮੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
9. ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਜੋ ਦੋ ਯੂਨਿਟ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਯੂਨਿਟ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਹੋਵੇ।
10. ਹੱਲ
11. ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖੱਬੇ 2 ਅਤੇ ਉੱਪਰ 3 ਖਿਸਕਾਉਣ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇਗਾ
12. ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ, ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੇ ਕੇ,
13. ਖਿਸਕਾਏ ਹੋਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
14. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ x=−2 'ਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ x=−2 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਵੀ ਦਿਖਾ ਰਿਹਾ ਹੈ।
15. ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਵਧਦੇ ਅਤੇ ਘੱਟਦੇ ਹਨ, ਗ੍ਰਾਫ 3 ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਸਮਤਲ ਹੁੰਦਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ y=3 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
16. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
17. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ ਖੱਬੇ 2 ਅਤੇ ਉੱਪਰ 3 ਖਿਸਕਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
18. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
19. ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਸਕੁਏਰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜੋ ਕਿ ਸੱਜੇ 3 ਯੂਨਿਟ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ 4 ਯੂਨਿਟ ਖਿਸਕਾਏ ਗਏ ਹਨ।
20. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
21. ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖਿਸਕਾਇਆ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 3x+7 x+2 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਇਆ। ਇਹ ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਦੋ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਦਰਾਂ ਅਤੇ ਇਕਾਗਰਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
22. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ
23. ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਦੋ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ P(x) ਅਤੇ Q(x) ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 3
1. ਕਿਸੇ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਵਿਹਾਰਕ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ
2. ਪਹਿਲਾਂ ਤੋਂ ਤਿਆਰ ਸਪਲਾਈ ਖਤਮ ਹੋਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇੱਕ ਸ਼ਰਨਾਰਥੀ ਕੈਂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਰਸ ਕੈਂਪ ਹਸਪਤਾਲ ਵਿੱਚ ਮਰੀਜ਼ਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਨਸ ਵਿੱਚ ਖੰਡ ਦਾ ਘੋਲ ਤਿਆਰ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਮਿਸ਼ਰਣ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਇਸ ਵੇਲੇ 100 ਗੈਲਨ ਨਿਯਤ ਪਾਣੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 5 ਪੌਂਡ ਖੰਡ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਟੂਟੀ ਖੁੱਲ੍ਹੇਗੀ ਜੋ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 10 ਗੈਲਨ ਨਿਯਤ ਪਾਣੀ ਡੋਲ੍ਹੇਗੀ, ਉਸੇ ਸਮੇਂ ਜਦੋਂ ਖੰਡ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 1 ਪੌਂਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਡੋਲਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। 12 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਪੌਂਡ ਵਿੱਚ ਖੰਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਕੀ ਇਹ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਪੌਂਡ ਵਿੱਚ ਖੰਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਵੱਡਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ?
3. ਹੱਲ
4. t t ਨੂੰ ਟੂਟੀ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਮਿੰਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਮੰਨੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਪਾਣੀ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 10 ਗੈਲਨ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਖੰਡ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 1 ਪੌਂਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਇਹ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀਆਂ ਸਥਿਰ ਦਰਾਂ ਹਨ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਰੇਖਾਈ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਖੰਡ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਵੀ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹਰ ਇੱਕ ਲਈ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
5. ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਪੌਂਡ ਵਿੱਚ ਖੰਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ, C C , ਪਾਣੀ ਦੇ ਗੈਲਨਾਂ ਵਿੱਚ ਖੰਡ ਦੇ ਪੌਂਡਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੋਵੇਗਾ
6. 12 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਪੌਂਡ ਵਿੱਚ ਖੰਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ C(t) C(t) ਦਾ t=12 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। t=12.
7. ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਪੌਂਡ ਵਿੱਚ ਖੰਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ 17 ਪੌਂਡ ਖੰਡ ਅਤੇ 220 ਗੈਲਨ ਪਾਣੀ ਹੈ।
8. ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਪੌਂਡ ਵਿੱਚ ਖੰਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ
9. ਕਿਉਂਕਿ 17 220 ≈0.08> 1 20 =0.05, 17 220 ≈0.08> 1 20 =0.05, ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ ਪੌਂਡ ਵਿੱਚ ਖੰਡ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ 12 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵੱਡਾ ਹੈ।
10. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
11. ਦੁਪਹਿਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੈਲੀ ਵਿੱਚ 1,200 ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਦੇ ਅਤੇ 1,500 ਦੂਜੇ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਹਨ। ਦੁਪਹਿਰ 12 ਵਜੇ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਹਰ ਪੰਜ ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ 20 ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਰੈਲੀ ਵਿੱਚ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਕਿ 15 ਦੂਜੇ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਰੈਲੀ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਦੁਪਹਿਰ 1 ਵਜੇ ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਦੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।
12. ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭਣਾ
13. ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੇ ਜੋ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਇਨਪੁਟਸ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣਨਗੇ।
14. ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ
15. ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਸਿਵਾਏ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਜੋ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰਦੇ ਹਨ।
16. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
17. ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਡੋਮੇਨ ਲੱਭੋ।
18. ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
19. ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ x-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
20. ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਹਨ ਸਿਵਾਏ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਜੋ ਕਦਮ 2 ਵਿੱਚ ਮਿਲੇ ਹਨ।
21. ਉਦਾਹਰਨ 4
22. ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭਣਾ
23. f(x)= x+3 x 2 −9 . f(x)= x+3 x 2 −9 . ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭੋ।
24. ਹੱਲ
1. ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
2. ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x=±3। x=±3। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਸਿਵਾਏ x=±3। x=±3।
3. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
4. ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ x=±3 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। x=±3।
5. x=3 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ (vertical asymptote) ਹੈ ਅਤੇ x=−3 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੋਲ (hole) ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਹੋਲ ਬਾਰੇ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।
6. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
7. f(x)= 4x 5(x−1)(x−5) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। f(x)= 4x 5(x−1)(x−5) ।
8. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
9. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਅਸਮਤੋਟ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਵੀ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਵੀ, ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਈ ਅਸਮਤੋਟ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
10. ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ
11. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਨੂੰ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੇ ਫੈਕਟਰਾਂ (factors) ਨਾਲ ਸਾਂਝੇ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੇ ਫੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਅਜਿਹੇ ਫੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ (zeros) 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
12. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
13. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
14. ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਅਤੇ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ।
15. ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਾਬੰਦੀ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
16. ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਅਤੇ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਫੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਕੈਂਸਲ ਕਰਕੇ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਨੂੰ ਘਟਾਓ।
17. ਇਸ ਸਰਲ ਕੀਤੇ ਸੰਸਕਰਣ ਵਿੱਚ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ। ਇੱਥੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
18. ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਾਬੰਦੀ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ ਅਸਮਤੋਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਇਹ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾਵਾਂ (removable discontinuities), ਜਾਂ "ਹੋਲ" ਹਨ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 5
20. ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
21. k(x)= 5+2 x 2 2−x− x 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਪਤਾ ਕਰੋ। k(x)= 5+2 x 2 2−x− x 2 ।
22. ਹੱਲ
23. ਪਹਿਲਾਂ, ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਅਤੇ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ।
24. ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿੱਥੇ ਅਨਡਿਫਾਈਂਡ (undefined) ਹੋਵੇਗਾ, ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ:
x=–2 ਅਤੇ x=1, ਅੰਸ਼ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਮੁੱਲ ਦੋ ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੋ ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾਵਾਂ
ਕਦੇ-ਕਦੇ, ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੋਰੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ: ਇੱਕ ਇਕੱਲਾ ਬਿੰਦੂ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਇੱਕ ਖਾਲੀ ਚੱਕਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੀ ਮੋਰੀ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 2 −1 x 2 −2x−3 ਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ x+1 ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ। ਇਸ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ, x=−1, ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ x–3 ਨਾ ਤਾਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ। ਇਸ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ, x=3, ਲੰਬੀ ਅਸਮਤੋਟ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ। [ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾਵਾਂ ਦਿਖਾਈ ਨਹੀਂ ਦੇ ਸਕਦੀਆਂ, ਇਹ ਚੁਣੇ ਗਏ ਵਿੰਡੋ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।]
ਤर्क ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾਵਾਂ
ਇੱਕ ਤਰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ x=a 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ a ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਵੇ ਜੋ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਾਲ ਸਾਂਝਾ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਕੋਈ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਸੱਚ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਗੁਣਤਾ ਹਰ ਵਿੱਚ ਉਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇਸ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਗੁਣਤਾ ਵੱਧ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਅਸਮਤੋਟ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਅਤੇ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
k(x)= x−2 x 2 −4 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਅਤੇ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ, x–2। ਇਸ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ x=2 ਹੈ। ਇਹ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਜੋ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, x+2। ਇਸ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ x=−2 ਹੈ। ਲੰਬੀ ਅਸਮਤੋਟ x=−2 ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 11 ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ x=−2 'ਤੇ ਲੰਬੀ ਅਸਮਤੋਟ ਰੱਖੇਗਾ, ਪਰ x=2 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੋਰੀ ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
f(x)= x 2 −25 x 3 −6 x 2 +5x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਅਤੇ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਤर्क ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਕਿ ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਆਊਟਪੁੱਟ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ ਉਸਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗਾ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਤਰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗਾ।
ਲੰਬੀਆਂ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਤਿੰਨ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:
ਕੇਸ 1: ਜੇ ਹਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ > ਅੰਸ਼ ਦੀ ਡਿਗਰੀ, ਤਾਂ y=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਅਸਮਤੋਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ f(x)≈ 4x x 2 = 4 x ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁੱਟ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਵਧਦੇ ਜਾਂ ਘਟਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)= 4 x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰੇਗਾ, ਅਤੇ ਆਊਟਪੁੱਟ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣਗੇ, ਜਿਸ ਨਾਲ y=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਅਸਮਤੋਟ ਬਣੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲੰਬੀ ਅਸਮਤੋਟ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 12: ਲੰਬੀ ਅਸਮਤੋਟ y=0 ਜਦੋਂ f(x)= p(x) q(x) ,q(x)≠0 ਜਿੱਥੇ p ਦੀ ਡਿਗਰੀ < q ਦੀ ਡਿਗਰੀ। f(x)= p(x) q(x) ,q(x)≠0 ਜਿੱਥੇ p ਦੀ ਡਿਗਰੀ < q ਦੀ ਡਿਗਰੀ।
ਕੇਸ 2: ਜੇ ਹਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ < ਅੰਸ਼ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਇੱਕ ਦੁਆਰਾ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਤਿਰਛੀ ਅਸਮਤੋਟ ਮਿਲਦੀ ਹੈ।
ਇਸ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ, ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ f(x)≈ 3 x 2 x =3x ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਬੇਅੰਤ ਵੱਧਦੇ ਜਾਂ ਘਟਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=3x ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਂਗ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰੇਗਾ। ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਆਉਟਪੁਟ ਵਧਣਗੇ ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੋਣਗੇ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਕੋਈ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, g(x)=3x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਤਿਰਛੀ ਰੇਖਾ ਵਰਗਾ ਦਿਸਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ f, g ਵਾਂਗ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰੇਗਾ, ਇਹ y=3x ਦੇ ਨੇੜੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚੇਗਾ। ਇਹ ਰੇਖਾ ਇੱਕ ਤਿਰਛੀ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਹੈ।
ਤਿਰਛੀ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, 3 x 2 −2x+1 ਨੂੰ x−1 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। ਭਾਗਫਲ 3x+1 ਹੈ, ਅਤੇ ਬਾਕੀ 2 ਹੈ। ਤਿਰਛੀ ਅਸਾਈਮਟੋਟ g(x)=3x+1 ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 13 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 13: ਤਿਰਛੀ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਜਦੋਂ f(x)= p(x) q(x) ,q(x)≠0 ਜਿੱਥੇ p ਦੀ ਡਿਗਰੀ q ਤੋਂ 1 ਵੱਧ ਹੈ।
ਕੇਸ 3: ਜੇਕਰ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ y= a n b n 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a n ਅਤੇ b n, f(x)= p(x) q(x) ,q(x)≠0 ਲਈ p(x) ਅਤੇ q(x) ਦੇ ਲੀਡਿੰਗ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟ ਹਨ।
ਇਸ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ, ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ f(x)≈ 3 x 2 x 2 =3 ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=3 ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਂਗ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰੇਗਾ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਲਾਈਨ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ x→±∞, f(x)→3, ਜਿਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ y=3 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 14 ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 14: ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਜਦੋਂ f(x)= p(x) q(x) ,q(x)≠0 ਜਿੱਥੇ p ਦੀ ਡਿਗਰੀ q ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਦੇ ਵੀ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟੇਗਾ, ਗ੍ਰਾਫ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਜਾਂ ਤਿਰਛੀ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਨੂੰ ਕੱਟ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਵੀ ਕੱਟ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਕਈ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ (ਜਾਂ ਤਿਰਛੀ) ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਹ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਜੇਕਰ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੱਡੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਘਟਾਏ ਗਏ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਫਰੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਨਕਲ ਕਰੇਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ
ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨਾਲ
ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਇੱਕ ਪੋਜ਼ੀਟਿਵ ਲੀਡਿੰਗ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਵਰਗਾ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇਗਾ।
ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ
ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਨੂੰ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਅਤੇ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ: y=0 'ਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ।
ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵੱਧ ਹੈ: ਕੋਈ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਨਹੀਂ; ਤਿਰਛੀ ਅਸਾਈਮਟੋਟ।
ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ: ਲੀਡਿੰਗ ਕੋਫੀਸ਼ੀਐਂਟਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ 'ਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਤੇ ਤਿਰਛੀ ਅਸਾਈਮਟੋਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਜਾਂ ਤਿਰਛੀ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ⓐ g(x)= 6 x 3 −10x 2 x 3 +5 x 2
ⓑ h(x)= x 2 −4x+1 x+2
ⓒ k(x)= x 2 +4x x 3 −8
ਹੱਲ
ਇਹਨਾਂ ਹੱਲਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x)= p(x) q(x) , q(x)≠0 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ⓐ g(x)= 6 x 3 −10x 2 x 3 +5 x 2 : p ਦੀ ਡਿਗਰੀ = q ਦੀ ਡਿਗਰੀ = 3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਲੀਡਿੰਗ ਟਰਮਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਲੈ ਕੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। y= 6 2 ਜਾਂ y=3 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਹੈ।
ⓑ h(x)= x 2 −4x+1 x+2 : h(x)= x 2 −4x+1 x+2 : The degree of p=2 p=2 and degree of q=1. q=1. Since p>q p>q by 1, there is a slant asymptote found at x 2 −4x+1 x+2 . x 2 −4x+1 x+2 . The quotient is x–6 x–6 and the remainder is 13. There is a slant asymptote at y=x–6. y=x–6.
ⓒ k(x)= x 2 +4x x 3 −8 : k(x)= x 2 +4x x 3 −8 : The degree of p=2< p=2< degree of q=3, q=3, so there is a horizontal asymptote y=0. y=0.
Example 8
Identifying Horizontal Asymptotes
In the sugar concentration problem earlier, we created the equation C(t)= 5+t 100+10t . C(t)= 5+t 100+10t .
Find the horizontal asymptote and interpret it in context of the problem.
Solution
Both the numerator and denominator are linear (degree 1). Because the degrees are equal, there will be a horizontal asymptote at the ratio of the leading coefficients. In the numerator, the leading term is t, t, with coefficient 1. In the denominator, the leading term is 10t, 10t, with coefficient 10. The horizontal asymptote will be at the ratio of these values:
This function will have a horizontal asymptote at y= 1 10 . y= 1 10 .
This tells us that as the values of t increase, the values of C C will approach 1 10 . 1 10 . In context, this means that, as more time goes by, the concentration of sugar in the tank will approach one-tenth of a pound of sugar per gallon of water or 1 10 1 10 pounds per gallon.
Example 9
Identifying Horizontal and Vertical Asymptotes
Find the horizontal and vertical asymptotes of the function
Solution
First, note that this function has no common factors, so there are no potential removable discontinuities.
The function will have vertical asymptotes when the denominator is zero, causing the function to be undefined. The denominator will be zero at x=1,–2,and 5, x=1,–2,and 5, indicating vertical asymptotes at these values.
The numerator has degree 2, while the denominator has degree 3. Since the degree of the denominator is greater than the degree of the numerator, the denominator will grow faster than the numerator, causing the outputs to tend towards zero as the inputs get large, and so as x→±∞, f(x)→0. x→±∞, f(x)→0. This function will have a horizontal asymptote at y=0. y=0. See Figure 15.
Try It #6
Find the vertical and horizontal asymptotes of the function:
f(x)= (2x−1)(2x+1) (x−2)(x+3) f(x)= (2x−1)(2x+1) (x−2)(x+3)
Intercepts of Rational Functions
A rational function will have a y-intercept at f(0) f(0) , if the function is defined at zero. A rational function will not have a y-intercept if the function is not defined at zero.
Likewise, a rational function will have x-intercepts at the inputs that cause the output to be zero. Since a fraction is only equal to zero when the numerator is zero, x-intercepts can only occur when the numerator of the rational function is equal to zero.
Example 10
1. ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣਾ
2. f(x)= (x−2)(x+3) (x−1)(x+2)(x−5) ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ। f(x)= (x−2)(x+3) (x−1)(x+2)(x−5) ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੋ।
3. ਹੱਲ
4. ਅਸੀਂ ਸਿਫ਼ਰ ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
5. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਨਗੇ ਜਦੋਂ ਫਲਨ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ:
6. y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,–0.6) ਹੈ, x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (2,0) ਅਤੇ (–3,0) ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 16 ਵੇਖੋ।
7. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
8. ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਖਿਸਕਾਏ ਗਏ ਵਰਗ ਉਲਟ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ, x- ਅਤੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਲੱਭੋ।
9. ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
10. ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਹਰ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਪਦਾਂ ਵਾਂਗ, ਅੰਸ਼ ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀਆਂ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਉਹੀ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨਾਲ ਦੇਖਿਆ ਸੀ।
11. ਹਰ ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਦੋ ਟੂਲਕਿੱਟ ਉਲਟ ਫਲਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਗੀਆਂ। ਜਦੋਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਗੁਣਕ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਵਿਸ਼ਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 17 ਵੇਖੋ।
12. ਜਦੋਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਗੁਣਕ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਸਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵੱਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 18 ਵੇਖੋ।
13. ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)= (x+1) 2 (x−3) (x+3) 2 (x−2) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 19 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
14. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ x=−1 ਉੱਤੇ, ਜੋ ਕਿ ਅੰਸ਼ ਦੇ (x+1) 2 ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ "ਉਛਲਦਾ" ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਗੁਣਕ ਦੀ ਵਰਗੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ।
15. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ x=3 ਉੱਤੇ, ਜੋ ਕਿ ਅੰਸ਼ ਦੇ (x−3) ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਤੋਂ ਉਮੀਦ ਅਨੁਸਾਰ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
16. ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾ x=−3 ਉੱਤੇ, ਜੋ ਕਿ ਹਰ ਦੇ (x+3) 2 ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਅਸੀਮਤਾ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵੱਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਫਲਨ f(x)= 1 x 2 ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ।
17. ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾ x=2 ਉੱਤੇ, ਜੋ ਕਿ ਹਰ ਦੇ (x−2) ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਅਸੀਮਤਾ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ।
18. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
19. ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ ਤੇ, ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ।
20. y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ 0 ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
21. ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਗੁਣਨ-ਖੰਡ ਕਰੋ।
22. ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਗੁਣਕਾਂ ਲਈ ਜੋ ਹਰ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਅੰਸ਼ ਦਾ ਹਰ ਗੁਣਕ ਕਿੱਥੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਲੱਭੇ ਜਾ ਸਕਣ।
23. ਉਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਲੱਭੋ।
24. ਹਰ ਵਿੱਚ ਗੁਣਕਾਂ ਲਈ, ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ। ਉਹਨਾਂ ਗੁਣਕਾਂ ਲਈ ਜੋ ਅੰਸ਼ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰਕੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾਵਾਂ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਭਾਜ (denominator) ਦੇ ਗੁਣਕ (factors) ਅੰਸ਼ (numerator) ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨਾਲ ਸਾਂਝੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ (removable discontinuities) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਭਾਜ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ (degrees) ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਖਿਤਿਜੀ (horizontal) ਜਾਂ ਤਿਰਛੀ (slant) ਅਸੀਮਤਾਂ (asymptotes) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ (Rational Function) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)= (x+2)(x−3) / (x+1)^2 (x−2) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। f(x)= (x+2)(x−3) / (x+1)^2 (x−2)
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫਲਨ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਾਡਾ ਇੱਕ ਕਦਮ ਬਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਖੰਡ (intercepts) ਲੱਭਾਂਗੇ। ਫਲਨ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਕੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫਲਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਕਦੋਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ x-ਅੰਤਰਖੰਡ x=–2 ਅਤੇ x=3 'ਤੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਹਰੇਕ 'ਤੇ, ਵਿਵਹਾਰ ਰੇਖੀ (multiplicity 1) ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੰਤਰਖੰਡ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘੇਗਾ।
ਸਾਡੇ ਕੋਲ (0,3) 'ਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਅਤੇ (–2,0) ਅਤੇ (3,0) 'ਤੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਹਨ।
ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾਂ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਭਾਜ ਕਦੋਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x+1=0 ਅਤੇ ਜਦੋਂ x–2=0, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ x=–1 ਅਤੇ x=2 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾਂ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ।
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਭਾਜ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਭਾਜ ਦੀ ਘਾਤ ਅੰਸ਼ ਦੀ ਘਾਤ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ y=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ ਹੈ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫਲਨ ਨੂੰ ਅਸੀਮਤਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਭਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 20 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
x=−1 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਕ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਮਤਾ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਿਵਹਾਰ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇਗਾ। ਜਦੋਂ ਇਨਪੁਟ ਅਸੀਮਤਾ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧੇਗਾ।
x=2 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ ਲਈ, ਗੁਣਕ ਦਾ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਅਸੀਮਤਾ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਿਰੋਧੀ ਵਿਵਹਾਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 21 ਦੇਖੋ। x-ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਫਿਰ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਵੱਲ ਸਥਿਰ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #8
ਫਲਨ f(x)= (x+2)^2 (x−2)^2 / (x−1)^2 (x−3) ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇਸਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਬਹੁਪਦ (polynomials) ਅਤੇ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨਾਂ (rational functions) ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਲਿਖਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਾਲ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਫਲਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਗੁਣਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਗਏ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ ਗੁਣਕ ਲਈ ਇੱਕ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਹੋਵੇਗਾ। (ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਪਵਾਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।) ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘੇਗਾ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਕਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਫਲਨ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਭਾਜ ਗੁਣਕ ਲਈ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ ਹੋਵੇਗੀ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਭਾਜ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕਰਕੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾਂ ਪੈਦਾ ਕਰੇਗਾ।
ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ ਅਤੇ ਅਸੀਮਤਾਂ ਤੋਂ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਲਿਖਣਾ
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਵਿੱਚ x= x 1, x 2,..., x n 'ਤੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ, x= v 1, v 2,…, v m 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾਂ, ਅਤੇ ਕੋਈ x i = ਕੋਈ v j ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਜਿੱਥੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਕ 'ਤੇ ਘਾਤ p i ਜਾਂ q i ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਅੰਤਰਖੰਡ ਜਾਂ ਅਸੀਮਤਾ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਖਿੱਚਣ ਵਾਲਾ ਗੁਣਕ a, x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਮੁੱਲ ਦੇ ਫਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੁਆਰਾ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨ (rational function) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ, ਫਲਨ ਲਿਖੋ।
ਅੰਸ਼ (numerator) ਦੇ ਗੁਣਕ (factors) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ (x-intercepts) 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਕੇ ਸਿਫ਼ਰ (zeroes) ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ (multiplicities) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। (ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ "ਸਰਲ" ਫਲਨ ਲੱਭਣ ਵੇਲੇ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਛੋਟੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ—ਜਿਵੇਂ ਕਿ 1 ਜਾਂ 3—ਪਰ ਵੱਡੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ—ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 5 ਜਾਂ 7—ਲਈ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।)
ਹਰ (denominator) ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸਮਤੋਟ (vertical asymptote) ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਕੇ ਗੁਣਕ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ (powers) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲੇ ਗੁਣਕ (stretch factor) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਸਪੱਸ਼ਟ ਬਿੰਦੂ (clear point) ਵਰਤੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨ ਲਿਖਣਾ
ਚਿੱਤਰ 22 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫ਼ x=–2 ਅਤੇ x=3 'ਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਦੋਵਾਂ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕਾਂ (linear factors) ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਦੋ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸਮਤੋਟ ਹਨ। x=–1 'ਤੇ ਇੱਕ, 1/x ਵਰਗਾ ਮੁੱਢਲਾ ਵਿਵਹਾਰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ (positive infinity) ਵੱਲ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ (negative infinity) ਵੱਲ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। x=2 'ਤੇ ਅਸਮਤੋਟ 1/x² ਵਰਗਾ ਵਿਵਹਾਰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਸਮਤੋਟ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 23 ਦੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸ ਰੂਪ ਦੇ ਫਲਨ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਬਿੰਦੂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,–2), ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ f(x)= 4(x+2)(x−3) / 3(x+1)(x−2)² ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਫਲਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ, ਅਸਮਤੋਟ, ਅਤੇ ਹੋਲ (hole) ਲੱਭਣਾ
ਸ਼ਬਦਕ
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ (polynomial function) ਅਤੇ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨ ਦੇ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ (algebraic representation) ਵਿੱਚ ਕੀ ਮੌਲਿਕ ਅੰਤਰ ਹੈ?
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨਾਂ ਅਤੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਮੌਲਿਕ ਅੰਤਰ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਤਾ (removable discontinuity) ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਨਿਯਮ (functional rule) ਬਾਰੇ ਕੀ ਸੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਕੀ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸਮਤੋਟ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਕਿਵੇਂ?
ਕੀ ਕਿਸੇ ਤਰਕਪੂਰਨ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਕੋਈ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਕਿਵੇਂ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਤਰਕਪੂਰਨ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭੋ।
f(x)= x−1 x+2
f(x)= x+1 x 2 −1
f(x)= x 2 +4 x 2 −2x−8
f(x)= x 2 +4x−3 x 4 −5 x 2 +4
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਡੋਮੇਨ, ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟਸ, ਅਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟਸ ਲੱਭੋ।
f(x)= 4 x−1
f( x )= 2 5x+2
f(x)= x x 2 −9
f(x)= x x 2 +5x−36
f( x )= 3+x x 3 −27
f(x)= 3x−4 x 3 −16x
f(x)= x 2 −1 x 3 +9 x 2 +14x
f(x)= x+5 x 2 −25
f(x)= x−4 x−6
f( x )= 4−2x 3x−1
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫਲਨਾਂ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭੋ।
f(x)= x+5 x 2 +4
f(x)= x x 2 −x
f(x)= x 2 +8x+7 x 2 +11x+30
f(x)= x 2 +x+6 x 2 −10x+24
f(x)= 94−2 x 2 3 x 2 −12
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
2. f(x) = x / (2x+1)
3. f(x) = 2x / (x-6)
4. f(x) = -2x / (x-6)
5. f(x) = (x^2 - 4x + 3) / (x^2 - 4x - 5)
6. f(x) = (2x^2 - 32) / (6x^2 + 13x - 5)
7. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਢਲਾਣ ਵਾਲੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ (slant asymptote) ਲੱਭੋ।
8. f(x) = (24x^2 + 6x) / (2x+1)
9. f(x) = (4x^2 - 10) / (2x-4)
10. f(x) = (81x^2 - 18) / (3x-2)
11. f(x) = (6x^3 - 5x) / (3x^2 + 4)
12. f(x) = (x^2 + 5x + 4) / (x-1)
13. ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
14. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਰਿਵਰਤਨ (transformation) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਲੰਬਵਤ (vertical) ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ (horizontal) ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ (asymptotes) ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ।
15. ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ (reciprocal function) ਨੂੰ ਦੋ ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
16. ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
17. ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਸਕੁਏਰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ (reciprocal squared function) ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
18. ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਸਕੁਏਰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ 1 ਇਕਾਈ ਸੱਜੇ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
19. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ (horizontal intercepts), ਲੰਬਵਤ ਇੰਟਰਸੈਪਟ (vertical intercept), ਲੰਬਵਤ ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ (vertical asymptotes), ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਢਲਾਣ ਵਾਲੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ (horizontal or slant asymptote) ਲੱਭੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
20. p(x) = (2x-3) / (x+4)
21. q(x) = (x-5) / (3x-1)
22. s(x) = 4 / (x-2)^2
23. r(x) = 5 / (x+1)^2
24. f(x) = (3x^2 - 14x - 5) / (3x^2 + 8x - 16)
g( x )= 2 x 2 +7x−15 3 x 2 −14x+15 g( x )= 2 x 2 +7x−15 3 x 2 −14x+15
a( x )= x 2 +2x−3 x 2 −1 a( x )= x 2 +2x−3 x 2 −1
b( x )= x 2 −x−6 x 2 −4 b( x )= x 2 −x−6 x 2 −4
h( x )= 2 x 2 + x−1 x−4 h( x )= 2 x 2 + x−1 x−4
k( x )= 2 x 2 −3x−20 x−5 k( x )= 2 x 2 −3x−20 x−5
w( x )= ( x−1 )( x+3 )( x−5 ) ( x+2 ) 2 (x−4) w( x )= ( x−1 )( x+3 )( x−5 ) ( x+2 ) 2 (x−4)
z( x )= ( x+2 ) 2 ( x−5 ) ( x−3 )( x+1 )( x+4 ) z( x )= ( x+2 ) 2 ( x−5 ) ( x−3 )( x+1 )( x+4 )
For the following exercises, write an equation for a rational function with the given characteristics.
Vertical asymptotes at x=5 x=5 and x=−5, x=−5, x-intercepts at (2,0) (2,0) and (−1,0), (−1,0), y-intercept at ( 0,4 ) ( 0,4 )
Vertical asymptotes at x=−4 x=−4 and x=−1, x=−1, x-intercepts at ( 1,0 ) ( 1,0 ) and ( 5,0 ), ( 5,0 ), y-intercept at (0,7) (0,7)
Vertical asymptotes at x=−4 x=−4 and x=−5, x=−5, x-intercepts at ( 4,0 ) ( 4,0 ) and ( −6,0 ), ( −6,0 ), Horizontal asymptote at y=7 y=7
Vertical asymptotes at x=−3 x=−3 and x=6, x=6, x-intercepts at ( −2,0 ) ( −2,0 ) and ( 1,0 ), ( 1,0 ), Horizontal asymptote at y=−2 y=−2
Vertical asymptote at x=−1, x=−1, Double zero at x=2, x=2, y-intercept at (0,2) (0,2)
Vertical asymptote at x=3, x=3, Double zero at x=1, x=1, y-intercept at (0,4) (0,4)
For the following exercises, use the graphs to write an equation for the function.
Use 0,-120,-12 as the additional point.
Numeric
For the following exercises, make tables to show the behavior of the function near the vertical asymptote and reflecting the horizontal asymptote
f(x)= 1 x−2 f(x)= 1 x−2
f(x)= x x−3 f(x)= x x−3
f(x)= 2x x+4 f(x)= 2x x+4
f(x)= 2x (x−3) 2 f(x)= 2x (x−3) 2
f(x)= x 2 x 2 +2x+1 f(x)= x 2 x 2 +2x+1
Technology
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਰਤ ਕੇ f(x)>0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
2. f(x)= 2x+1
3. f(x)= 4/(2x−3)
4. f(x)= 2(x−1)(x+2)
5. f(x)= (x+2)/((x−1)(x−4))
6. f(x)= (x+3)²(x−1)²/(x+1)
7. ਵਿਸਤਾਰ
8. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
9. f(x)= (x²−4)/(x−2)
10. f(x)= (x³+1)/(x+1)
11. f(x)= (x²+x−6)/(x−2)
12. f(x)= (2x²+5x−3)/(x+3)
13. f(x)= (x³+x²)/(x+1)
14. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
15. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੱਸੋ ਜੋ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
16. ਸ਼ਰਨਾਰਥੀ ਕੈਂਪ ਹਸਪਤਾਲ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਮਿਸ਼ਰਣ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ 200 ਗੈਲਨ ਪਾਣੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 10 ਪੌਂਡ ਖੰਡ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਟੂਟੀ ਖੁੱਲ੍ਹੇਗੀ, ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 10 ਗੈਲਨ ਪਾਣੀ ਡੋਲ੍ਹੇਗੀ, ਉਸੇ ਸਮੇਂ ਜਦੋਂ ਖੰਡ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 3 ਪੌਂਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਡੋਲ੍ਹਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। t ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਖੰਡ ਦੀ ਇਕਾਗਰਤਾ (ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ) ਪਤਾ ਕਰੋ।
17. ਸ਼ਰਨਾਰਥੀ ਕੈਂਪ ਹਸਪਤਾਲ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਮਿਸ਼ਰਣ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ 300 ਗੈਲਨ ਪਾਣੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 8 ਪੌਂਡ ਖੰਡ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਟੂਟੀ ਖੁੱਲ੍ਹੇਗੀ, ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 20 ਗੈਲਨ ਪਾਣੀ ਡੋਲ੍ਹੇਗੀ, ਉਸੇ ਸਮੇਂ ਜਦੋਂ ਖੰਡ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 2 ਪੌਂਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਡੋਲ੍ਹਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। t ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਖੰਡ ਦੀ ਇਕਾਗਰਤਾ (ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਗੈਲਨ) ਪਤਾ ਕਰੋ।
18. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿਓ।
19. ਟੀਕਾਕਰਨ ਤੋਂ t ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਮਰੀਜ਼ ਦੇ ਖੂਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਵਾਈ ਦੀ ਇਕਾਗਰਤਾ C(t) = (2t³+t²)/(t+1) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ t ਵਧਦਾ ਹੈ, ਦਵਾਈ ਦੀ ਇਕਾਗਰਤਾ ਦਾ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
20. ਟੀਕਾਕਰਨ ਤੋਂ t ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਮਰੀਜ਼ ਦੇ ਖੂਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਵਾਈ ਦੀ ਇਕਾਗਰਤਾ C(t) = 100t²/(t²+75) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਸ ਸਮੇਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ ਜਦੋਂ ਇਕਾਗਰਤਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
21. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਓ ਜੋ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰੇ। ਫਿਰ, ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
22. 108 ਘਣ ਇੰਚ ਦਾ ਆਇਤਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਬਾਕਸ ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ ਵਰਗਾਕਾਰ ਹੈ, ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ। ਬਾਕਸ ਦੇ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੋਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ x ਆਧਾਰ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ।
23. 20 ਘਣ ਫੁੱਟ ਦਾ ਆਇਤਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਆਧਾਰ ਵਾਲਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ। ਆਧਾਰ ਲਈ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਕੀਮਤ 30 ਸੈਂਟ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਪਾਸਿਆਂ ਲਈ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਕੀਮਤ 10 ਸੈਂਟ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਉੱਪਰ ਲਈ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਕੀਮਤ 20 ਸੈਂਟ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਉਹ ਮਾਪ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜੋ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਲਾਗਤ ਦੇਣਗੇ। ਮੰਨ ਲਓ x ਆਧਾਰ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ।
24. 100 ਘਣ ਇੰਚ ਦਾ ਆਇਤਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸਿਲੰਡਰ ਹੈ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਘੇਰੇ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਮੰਨ ਲਓ x ਘੇਰਾ ਹੈ।
1. ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਸਿਲੰਡਰ ਜਿਸਦਾ ਕੋਈ ਢੱਕਣ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਦਾ ਆਇਤਨ 50 ਘਣ ਮੀਟਰ ਹੈ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ x x = ਅਰਧ ਵਿਆਸ।
2. ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਆਇਤਨ 40 ਘਣ ਇੰਚ ਹੋਣਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਅਤੇ ਹੇਠਲੇ ਹਿੱਸੇ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਖਰਚਾ 4 ਸੈਂਟ/ਵਰਗ ਇੰਚ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਸਿਲੰਡਰ ਬਣਾਉਣ ਦਾ ਖਰਚਾ 1 ਸੈਂਟ/ਵਰਗ ਇੰਚ ਹੈ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਖਰਚਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ x x = ਅਰਧ ਵਿਆਸ।