ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਇੱਕ ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋਗੇ।
ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰੋ।
ਪਾਰਕ ਰੇਂਜਰ ਅਤੇ ਹੋਰ ਟ੍ਰੇਲ ਪ੍ਰਬੰਧਕ ਪਗਡੰਡੀਆਂ ਜਾਂ ਹੋਰ ਲੈਂਡਮਾਰਕਸ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਚੱਟਾਨਾਂ ਦੇ ਢੇਰ, ਸਟੈਕ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਵਿਵਸਥਾਵਾਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੈਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (ਰੇਂਜਰ ਅਤੇ ਵਾਤਾਵਰਨ ਵਿਗਿਆਨੀ ਹਾਈਕਰਾਂ ਨੂੰ ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਨਿਰਾਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਜੋ ਉਲਝਣ ਤੋਂ ਬਚਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਅਤੇ ਪੌਦਿਆਂ ਅਤੇ ਜਾਨਵਰਾਂ ਦੇ ਨਿਵਾਸ ਸਥਾਨਾਂ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ।) ਬੱਜਰੀ ਦੇ ਢੇਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੈਰਨ ਇੱਕ ਕੋਨ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਵਾਲੀਅਮ ਐਲੀਮੈਂਟਰੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਵਾਲੀਅਮ V ਨੂੰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ r ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਾਲੀਅਮ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ: ਇੱਕ ਗਾਹਕ 100 ਘਣ ਫੁੱਟ ਬੱਜਰੀ ਖਰੀਦਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਕੋਨ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਢੇਰ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋਵੇ। ਨਵੇਂ ਕੋਨ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਕੀ ਹੈ? ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ r ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ V ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੈ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਅਤੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਹਨਾਂ ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਅਤੇ g ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ f ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪੇਅਰ (a,b) ਲਈ, ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ, g ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪੇਅਰ (b,a) ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪੇਅਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਿਰਫ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਸਟੇਨੇਬਿਲਟੀ ਕਲੱਬ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਟ੍ਰਾਫ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਾਣੀ ਦੇ ਵਹਾਅ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਟ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਆਕਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਰੱਖਣਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋਵੇਗਾ, ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਲਗਾਵਾਂਗੇ, ਜਿੱਥੇ x ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਤੇ y ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮਾਪਿਆ ਜਾਵੇਗਾ, ਜਿਸਦਾ ਮੂਲ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਆਕਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਨੂੰ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ y(x)=ax^2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗੀ। ਸਾਡੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (6, 18) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣਾ ਪਵੇਗਾ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਸਟ੍ਰੈਚ ਫੈਕਟਰ a ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਡੇ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਪਾਣੀ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਪਾਣੀ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪਾਣੀ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਚੌੜਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਡੂੰਘਾਈ y ਲਈ, ਚੌੜਾਈ 2x ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਵੇਗੀ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਉਪਰੋਕਤ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਅਤੇ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਦੋ ਇਨਪੁਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕੋ ਆਉਟਪੁੱਟ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ।
ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਕਾਰਾਤਮਕ x ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨਾ ਸਮਝਦਾਰੀ ਵਾਲਾ ਹੈ। ਇਸ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਇਹ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੱਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਲੋੜੀਂਦਾ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ x ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ, ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਕੁੱਲ ਚੌੜਾਈ 2x ਹੋਵੇਗੀ। ਟ੍ਰਾਫ 3 ਫੁੱਟ (36 ਇੰਚ) ਲੰਬਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਫਿਰ ਹੋਵੇਗਾ:
ਇਹ ਉਦਾਹਰਨ ਦੋ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ:
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਕੁਆਡਰੇਟਿਕ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਕੁਆਡਰੇਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਇੱਕ ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਅਤੇ ਪਾਵਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ।
ਰੂਟਾਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲਸ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ f^{-1}(x) ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਚੇਤਾਵਨੀ: f^{-1}(x) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੇ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਦੇ ਸਮਾਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। "-1" ਦੀ ਇਸ ਵਰਤੋਂ ਨੂੰ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਰਾਖਵਾਂ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੇ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ (f(x))^{-1} = \frac{1}{f(x)} ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ।
1. ਉਲਟ ਫਲਨਾਂ (inverse functions) ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸਬੰਧ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ "ਰੱਦ" ਕਰ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ f⁻¹ ਕਿਸੇ ਫਲਨ f ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, ਤਾਂ f ਫਲਨ f⁻¹ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੋ ਕੁਝ ਵੀ ਫਲਨ f, x ਉੱਤੇ ਕਰਦਾ ਹੈ, f⁻¹ ਉਸਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ—ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ।
2. ਅਤੇ
3. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਉਲਟ ਫਲਨ ਮੂਲ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
4. ਦੋ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਾ ਉਲਟ ਹੋਣਾ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ
5. ਦੋ ਫਲਨ, f ਅਤੇ g, ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ f ਅਤੇ g ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ।
6. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
7. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ (polynomial function) ਦਾ, ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੀਮਤ ਕਰਕੇ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਨਵਾਂ ਫਲਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ (one-to-one) ਹੋਵੇ।
8. f(x) ਨੂੰ y ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
9. x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
10. y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਲਨ ਨੂੰ f⁻¹(x) ਨਾਮ ਦਿਓ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 1
12. ਉਲਟ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ
13. ਦਿਖਾਓ ਕਿ f(x) = 1/(x+1) ਅਤੇ f⁻¹(x) = 1/(x-1) ਉਲਟ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ x ≠ 0, -1।
14. ਹੱਲ
15. ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ f⁻¹(f(x)) = x ਅਤੇ f(f⁻¹(x)) = x।
16. ਇਸ ਲਈ, f(x) = 1/(x+1) ਅਤੇ f⁻¹(x) = 1/(x-1) ਉਲਟ ਹਨ।
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
18. ਦਿਖਾਓ ਕਿ f(x) = (x+5)/3 ਅਤੇ f⁻¹(x) = 3x-5 ਉਲਟ ਹਨ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 2
20. ਘਣ ਫਲਨ (cubic function) ਦਾ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
21. ਫਲਨ f(x) = 5x³ + 1 ਦਾ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰੋ।
22. ਹੱਲ
23. ਇਹ ਬੁਨਿਆਦੀ ਘਣ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫਲਨ ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਪਾਂਤਰਨ (transformation) ਹੈ, ਅਤੇ ਉਸ ਫਲਨ ਦੇ ਸਾਡੇ ਗਿਆਨ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ। x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਉਲਟ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ।
24. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
f ਅਤੇ f –1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੂਜੇ ਦਾ y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ। ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਨਾਲ ਹੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਵਿਧੀ ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ (a,b) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਹੈ, ਤਾਂ (b,a) f –1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ (0,1) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਹੈ, ਤਾਂ (1,0) f –1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ (1,6) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਹੈ, ਤਾਂ (6,1) f –1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #2
f(x)= x+4 3 ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਘਣ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਲੱਭਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਏ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਰੇ ਘਣ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਉਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੋ ਜਾਣ, ਪਰ ਸਿਰਫ ਉਸ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ। ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਫਿਰ ਇੱਕ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਵੇਗਾ। ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਸਾਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰਨਾ
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਇਨਵਰਸ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਬਣ ਜਾਵੇ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਇਨਵਰਸ ਹੋਵੇਗਾ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰੋ ਜੋ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰੋ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ।
f(x) ਨੂੰ y ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਨੂੰ f −1 (x) ਨਾਮ ਦਿਓ।
f −1 (x) ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੋਧੋ, ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾ ਕੇ ਕਿ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੋਣ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕਰਨਾ
f: ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ
ⓐ f(x)= (x−4) 2 , x≥4
ⓑ f(x)= (x−4) 2 , x≤4
ਹੱਲ
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= (x−4) 2 ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ x≥4 ਜਾਂ x≤4 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਦੇਖੋ।
ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਧਾਰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ y ਨਾਲ f(x) ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ।
ਇਹ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਇਨਵਰਸ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਮੂਲ f(x) ਲਈ x ਅਤੇ y ਦੀਆਂ ਭੂਮਿਕਾਵਾਂ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਦੇਖਿਆ: x ਦੇ ਮੁੱਲ ਜੋ ਮੰਨੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ x ਅਤੇ y ਦੀਆਂ ਭੂਮਿਕਾਵਾਂ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਦਿੱਤਾ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ y ਦੇ ਮੁੱਲ ਮਿਲੇ ਜੋ ਮੰਨੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, x≥4, ਇਸ ਲਈ ਇਨਵਰਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ y≥4 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਾਡਾ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
1. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ x≥4, x≥4 ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਉਲਟ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਉਹੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, f(x)≥4, f(x)≥4, ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ + ਕੇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ: f⁻¹(x)=4+√x f⁻¹(x)=4+√x
2. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ x≤4, x≤4 ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਉਲਟ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਉਹੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, f(x)≤4, f(x)≤4, ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ – ਕੇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ: f⁻¹(x)=4−√x f⁻¹(x)=4−√x
3. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
4. ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੈੱਟ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਕੱਠੇ ਗ੍ਰਾਫ y=x ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। y=x। ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (4, 0) (4, 0) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (0, 4) (0, 4) f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ। f⁻¹। ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੇ ਲਈ, ਜੇਕਰ (a,b) (a,b) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ, f, ਤਾਂ (b,a) (b,a) f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ। f⁻¹। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਦੇਖੋ ਕਿ f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y=x ਲਾਈਨ 'ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। y=x। f ਅਤੇ f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਪੁਆਇੰਟ ਹਮੇਸ਼ਾ y=x ਲਾਈਨ 'ਤੇ ਹੋਣਗੇ। y=x।
5. ਉਦਾਹਰਨ 4
6. ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ ਜਦੋਂ ਪਾਬੰਦੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ
7. ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ
8. ਹੱਲ
9. ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਵਾਲਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਿਖਰ (2,–3) (2,–3) 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਸਿਖਰ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਘਟਦਾ ਹੋਇਆ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਵਧਦਾ ਹੋਇਆ ਹੋਵੇਗਾ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੋਵੇਗਾ, ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ x≥2 ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਕੇ। x≥2।
10. ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਦੇ ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ f(x) ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ, y, ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। x।
11. ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਕੇਸ ਵਰਤਣਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ x≥2 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, x≥2, ਉਲਟ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਉਹੀ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ + ਕੇਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।
12. ਜੇਕਰ ਵਰਗਾਤਮਕ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲੇ।
13. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
14. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ x≥2 'ਤੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਦਾ ਮਨਮਾਨੇ ਢੰਗ ਨਾਲ ਫੈਸਲਾ ਕੀਤਾ ਹੈ। x≥2। ਅਸੀਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ x≤2 'ਤੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਦਾ ਵਿਕਲਪ ਵੀ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਸੀ, x≤2, ਜਿਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ f⁻¹(x)=2−√x+3। f⁻¹(x)=2−√x+3। ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੈੱਟ 'ਤੇ ਆਪਣੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ y=x ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। y=x। ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (2,–3) (2,–3) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (–3,2) (–3,2) f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ। f⁻¹। ਇੱਕੋ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੈੱਟ 'ਤੇ ਦੋਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਦੇਖੋ ਕਿ
15. ਅਤੇ
16. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਦੇਖੋ ਕਿ f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f⁻¹ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y=x ਲਾਈਨ ਦੇ ਨਾਲ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। y=x।
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
18. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x²+1, f(x)=x²+1, ਦਾ ਉਲਟ ਡੋਮੇਨ x≥0 'ਤੇ ਲੱਭੋ। x≥0।
19. ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
20. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਿਛਲੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਰੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਨ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਜਵਾਬ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ ਕਿਉਂਕਿ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਸੀਮਿਤ ਹੈ।
21. ਕਿਵੇਂ
22. ਇੱਕ ਰੇਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
23. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
24. f(x) ਨੂੰ y ਨਾਲ ਬਦਲੋ, y, ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। x।
1. ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਤੱਕ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰੋ।
2. ਉਦਾਹਰਨ 5
3. ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ
4. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x−4 f(x)= x−4 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ।
5. ਹੱਲ
6. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ f(x)≥0 ਹੈ। f(x)≥0। f(x) ਨੂੰ y ਨਾਲ ਬਦਲੋ, ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
7. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
8. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
9. ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦੇਖੋ ਕਿ ਇਨਵਰਸ y=x ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਰਫ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹਨ, ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਰਫ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਇਨਪੁੱਟ ਹਨ।
10. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
11. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 2x+3 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ।
12. ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
13. ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਭੌਤਿਕ ਮਾਡਲਾਂ ਵਿੱਚ ਆਮ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸੈਕਸ਼ਨ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਸੀ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੁਣ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਸਾਧਨ ਹਨ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 6
15. ਕਿਊਬਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
16. ਪਾਰਕ ਰੇਂਜਰ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਰੇਤ ਦਾ ਢੇਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੇ ਦੁੱਗਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
17. ਫੰਕਸ਼ਨ V= 2 3 π r 3 ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭੋ ਜੋ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਇਤਨ V ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਫਿਰ 100 ਘਣ ਫੁੱਟ ਮਾਪਣ ਵਾਲੇ ਰੇਤ ਦੇ ਢੇਰ ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। π=3.14 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
18. ਹੱਲ
19. V ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਅਰਥਪੂਰਨ ਡੋਮੇਨ r>0 ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਸਮਝਦਾਰ ਨਹੀਂ ਹੋਣਗੇ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ 0 ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ। ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ (ਇਸ ਲਈ, ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ) V>0 ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ V ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ r ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣ ਵੇਲੇ ਵੇਰੀਏਬਲਸ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦੇ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
20. ਇਹ ਸੈਕਸ਼ਨ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਇਸਨੂੰ V=100 ਅਤੇ π=3.14 ਲਈ ਮੁੱਲ ਦਿਓ।
21. ਇਸ ਲਈ, ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਲਗਭਗ 3.63 ਫੁੱਟ ਹੈ।
22. ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕੰਪੋਜ਼ਿਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
23. ਜਦੋਂ ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਪੋਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਡੋਮੇਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 7
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ 1. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
2. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= (x+2)(x−3) (x−1) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। f(x)= (x+2)(x−3) (x−1)
3. ਹੱਲ
4. ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗਮੂਲ ਸਿਰਫ ਉਦੋਂ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਰੈਡੀਕਲ ਦੇ ਅਧੀਨ ਮਾਤਰਾ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ (x+2)(x−3) (x−1) ≥0 ਕਿੱਥੇ ਹੈ। (x+2)(x−3) (x−1) ≥0। ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਾਈਮਪਟੋਟਸ 'ਤੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਧਨ ਤੋਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਉਲਟ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ)। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ x=–2, 1, ਅਤੇ 3 'ਤੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ। x=–2, 1, ਅਤੇ 3।
5. ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਰੈਸ਼ਨਲ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਪਹੁੰਚਾਂ ਬਰਾਬਰ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
6. ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਦੋ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦੋਵੇਂ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦੇ ਨੇੜੇ ਰੇਖੀ ਵਿਵਹਾਰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਾਈਮਪਟੋਟ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ; ਇਹ ਵਿਵਹਾਰ ਬੇਸਿਕ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਪਟੋਟ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੈ। (0,6) 'ਤੇ ਇੱਕ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ। (0,6)।
7. y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਅਤੇ x=−2 'ਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਤੋਂ, x=−2, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸਾਈਮਪਟੋਟ 'ਤੇ ਵਿਵਹਾਰ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
8. ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਗੇ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾ ਸਕੀਏ ਕਿ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f( x ) f( x ) ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਵੇਗਾ। f( x ) f( x ) ਦਾ ਡੋਮੇਨ −2≤x<1 ਜਾਂ x≥3 ਹੈ, −2≤x<1 ਜਾਂ x≥3 ਹੈ, ਜਾਂ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, [−2,1)∪[3,∞)। [−2,1)∪[3,∞)।
9. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ
10. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣੇ, ਕਈ ਵਾਰ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਇੱਛਾਯੋਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਜੋ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਕਾਗਰਤਾ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 8
12. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਲੱਭਣਾ
13. ਫੰਕਸ਼ਨ C= 20+0.4n 100+n C= 20+0.4n 100+n 100 mL 20% ਘੋਲ ਵਿੱਚ 40% ਘੋਲ ਦੇ n n mL ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਐਸਿਡ ਘੋਲ ਦੀ ਇਕਾਗਰਤਾ C C ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਪਤਾ ਕਰੋ; ਯਾਨੀ, C C ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ n n ਲਈ ਇੱਕ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਲੱਭੋ। ਫਿਰ ਅੰਤਿਮ ਮਿਸ਼ਰਣ 35% ਘੋਲ ਹੋਵੇ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਕਿੰਨਾ 40% ਘੋਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
14. ਹੱਲ
15. ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਇਕਾਗਰਤਾ ਲਈ ਕਿੰਨੇ mL ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਨਵਰਸ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ C C ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ n n ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ।
16. ਹੁਣ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ 35% 'ਤੇ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ C=0.35 ਹੈ। C=0.35।
17. ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 300 mL 40% ਘੋਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
18. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
19. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x+3 x−2 ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਪਤਾ ਕਰੋ। f(x)= x+3 x−2
20. ਮੀਡੀਆ
21. ਇਨਵਰਸ ਅਤੇ ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
22. ਬੇਸਿਕ ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
23. ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਪਤਾ ਕਰੋ
24. ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਪਤਾ ਕਰੋ
1. ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟ ਅਤੇ ਉਲਟ ਫਲਨ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ
2. ਉਲਟ ਫਲਨ
3. ਸ਼ਬਦਿਕ
4. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਉਲਟ ਫਲਨ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ।
5. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਉਸਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਿਉਂ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ?
6. ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਕਰਣੀ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਿਹੜੀ ਸੀਮਾ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ?
7. ਕਿਸੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟ ਹਮੇਸ਼ਾ ਕਿਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ?
8. ਅੰਕਗਣਿਤਕ
9. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
10. f( x )= ( x−4 ) 2 , [4,∞)
11. f( x )= ( x+2 ) 2 , [−2,∞)
12. f(x)= ( x+1 ) 2 −3, [−1,∞)
13. f(x)=3 x 2 +5,( ∞,0 ]
14. f( x )=12− x 2 , [0,∞)
15. f( x )=9− x 2 , [0,∞)
16. f(x)=2 x 2 +4, [0,∞)
17. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
18. f(x)= x 3 +5
19. f( x )=3 x 3 +1
20. f(x)=4− x 3
21. f( x )=4−2 x 3
22. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ।
23. f(x)= 2x+1
24. f(x)= 3−4x
f(x) = 9 + 4x - 4
f(x) = 6x - 8 + 5
f(x) = 9 + 2x³
f(x) = 3 - x³
f(x) = 2 / (x + 8)
f(x) = 3 / (x - 4)
f(x) = (x + 3) / (x + 7)
f(x) = (x - 2) / (x + 7)
f(x) = (3x + 4) / (5 - 4x)
f(x) = (5x + 1) / (2 - 5x)
f(x) = x² + 2x, [−1, ∞)
f(x) = x² + 4x + 1, [−2, ∞)
f(x) = x² - 6x + 3, [3, ∞)
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
f(x) = x² + 2, x ≥ 0
f(x) = 4 - x², x ≥ 0
f(x) = (x + 3)², x ≥ -3
f(x) = (x - 4)², x ≥ 4
f(x) = x³ + 3
f(x) = 1 - x³
f(x) = x² + 4x, x ≥ -2
f(x) = x² - 6x + 1, x ≥ 3
f(x) = 2 / x
f(x)= 1 x 2 ,x≥0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
f(x)= (x+1)(x−1) x
f(x)= (x+2)(x−3) x−1
f(x)= x(x+3) x−4
f(x)= x 2 −x−20 x−2
f(x)= 9− x 2 x+4
ਤਕਨਾਲੋਜੀ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਉਲਟ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਦਿਓ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
f(x)= x 3 −x−2,y=1,2,3
f(x)= x 3 +x−2,y=0,1,2
f(x)= x 3 +3x−4,y=0,1,2
f(x)= x 3 +8x−4,y=−1,0,1
f(x)= x 4 +5x+1,y=−1,0,1
ਵਿਸਤਾਰ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, a,b,c ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰੋ।
f(x)=a x 3 +b
f(x)= x 2 +bx
f(x)= a x 2 -b
f(x)= ax+b 3
f(x)= ax+b x+c
ਵਾਸਤਵਿਕ-ਸੰਸਾਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਣਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਲਈ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
200 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਸੁੱਟੀ ਗਈ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦਾ t ਸਕਿੰਟ ਬੀਤਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, h( t ), ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਚਾਈ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ h(t)=200−4.9 t 2 । t ਨੂੰ ਉਚਾਈ, h, ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ 50 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
600 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਸੁੱਟੀ ਗਈ ਵਸਤੂ ਦੀ ਉਚਾਈ, h(t), t ਸਕਿੰਟ ਬੀਤਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ ਕਿ h(t)=600−16 t 2 । h(t)=600−16 t 2 । t ਨੂੰ ਉਚਾਈ h ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ 400 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ, V, ਉਸਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, V(r)= 4 3 π r 3 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। V(r)= 4 3 π r 3 । r ਨੂੰ V ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ 200 ਘਣ ਫੁੱਟ ਆਇਤਨ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ, A, ਉਸਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, A(r)=4π r 2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। A(r)=4π r 2 । r ਨੂੰ A ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ 1000 ਵਰਗ ਇੰਚ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਕੰਟੇਨਰ ਵਿੱਚ 100 mL ਘੋਲ ਹੈ ਜੋ 25 mL ਐਸਿਡ ਹੈ। ਜੇ 60% ਐਸਿਡ ਵਾਲੇ ਘੋਲ ਦੇ n mL ਜੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਫਲਨ C(n)= 25+.6n 100+n ਜੋੜੇ ਗਏ mL ਦੀ ਸੰਖਿਆ, n, ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਸੰਗਤ੍ਰਤਾ, C, ਦਿੰਦਾ ਹੈ। C ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ n ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ 50% ਐਸਿਡ ਵਾਲਾ ਘੋਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ mL ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦਾ ਸਮਾਂ-ਕਾਲ T, ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਸਦੀ ਲੰਬਾਈ l, ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ, T(l)=2π l 32.2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। T ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ l ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ 2 ਸਕਿੰਟ ਦੇ ਸਮਾਂ-ਕਾਲ ਵਾਲੇ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਆਇਤਨ, V, ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਅਤੇ ਉਚਾਈ, h, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, V=π r 2 h ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਉਚਾਈ 6 ਮੀਟਰ ਹੈ, ਤਾਂ V ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ 300 ਘਣ ਮੀਟਰ ਆਇਤਨ ਵਾਲੇ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ, A, ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਅਤੇ ਉਚਾਈ, h, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, A=2π r 2 +2πrh ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਉਚਾਈ 4 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ A ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ 200 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਹੋਣ 'ਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਨ ਦਾ ਆਇਤਨ, V, ਉਸਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਉਚਾਈ, h, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, V= 1 3 π r 2 h ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਕੋਨ ਦੀ ਉਚਾਈ 12 ਫੁੱਟ ਹੈ ਤਾਂ V ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ r ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ 50 ਘਣ ਇੰਚ ਆਇਤਨ ਵਾਲੇ ਕੋਨ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
30 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਕੋਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। V, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, r, ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ 1000 ਘਣ ਫੁੱਟ ਆਇਤਨ ਵਾਲੇ ਕੋਨ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।