ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਲਘੂਤਮਕ ਫਲਨ (logarithmic function) ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (domain) ਪਛਾਣੋਗੇ।
ਲਘੂਤਮਕ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓਗੇ।
ਘਾਤਾਂਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਘਾਤਾਂਕੀ ਮਾਡਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਉਣਾ ਭਵਿੱਖ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਵਾਧੂ ਸਮਝ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਲਘੂਤਮਕ ਗ੍ਰਾਫ ਸਾਨੂੰ ਸਥਿਤੀਆਂ ਬਾਰੇ ਸਮਝ ਕਿਵੇਂ ਦਿੰਦੇ ਹਨ? ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਲਘੂਤਮਕ ਫਲਨ ਇੱਕ ਘਾਤਾਂਕੀ ਫਲਨ ਦਾ ਉਲਟਾ ਫਲਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਤਮਕ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਹਰ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਉਲਟ ਘਾਤਾਂਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਲਘੂਤਮ (logarithms) ਪ੍ਰਭਾਵ ਦਾ ਕਾਰਨ ਦੱਸਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $2500 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ 5% ਸਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ, ਨਿਰੰਤਰ ਮਿਸ਼ਰਿਤ (compounded continuously) ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਾਲ t ਲਈ ਸਾਡੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਬਕਾਇਆ A=2500 e^{0.05t} ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪਰ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਕਾਏ ਲਈ ਸਾਲ ਜਾਨਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ? ਸਾਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਨਵਾਂ ਫਲਨ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ; ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਲਘੂਤਮਕ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਮਾਡਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਇਨਪੁਟ (ਖਾਤੇ ਦਾ ਬਕਾਇਆ) ਲਈ ਆਉਟਪੁਟ (ਸਾਲ) ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜਾਨਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਨਿਵੇਸ਼ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਸਾਲ ਲੱਗਣਗੇ? ਚਿੱਤਰ 1 ਲਘੂਤਮਕ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਲਘੂਤਮਕ ਫਲਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਲਘੂਤਮਕ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਾਰ (family) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦੇਵਾਂਗੇ।
ਲਘੂਤਮਕ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭਣਾ
ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ (ਜੋ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹਨ) ਵੱਲ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਲਘੂਤਮਕ ਫਲਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ।
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਘਾਤਾਂਕੀ ਫਲਨ y=b^x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x ਅਤੇ ਸਥਿਰ b>0, b≠1 ਲਈ, ਜਿੱਥੇ
y ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (domain) ( −∞,∞ ) ਹੈ।
y ਦਾ ਪਰਿਸਰ (range) ( 0,∞ ) ਹੈ।
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਕਿ ਲਘੂਤਮਕ ਫਲਨ y=log_b(x) ਘਾਤਾਂਕੀ ਫਲਨ y=b^x ਦਾ ਉਲਟਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਉਲਟ ਫਲਨਾਂ ਵਜੋਂ:
y=log_b(x) ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ y=b^x ਦਾ ਪਰਿਸਰ ਹੈ: ( 0,∞ )।
y=log_b(x) ਦਾ ਪਰਿਸਰ y=b^x ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਹੈ: ( −∞,∞ )।
ਮੂਲ ਫਲਨ y=log_b(x) ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਨ (transformations) ਹੋਰ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਨਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਹੋਰ ਮੂਲ ਫਲਨਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਚਾਰ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਨ—ਖਿਸਕਾਓ (shifts), ਖਿੱਚ (stretches), ਸੰਕੋਚ (compressions), ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ (reflections)—ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਘਾਤਾਂਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਕੁਝ ਰੂਪਾਂਤਰਨ y=b^x ਦੇ ਪਰਿਸਰ ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਮੂਲ ਫਲਨ y=log_b(x) ਉੱਤੇ ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਲਘੂਤਮਕ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭਦੇ ਸਮੇਂ, ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਧਨਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਭਾਵ, ਲਘੂਤਮਕ ਫਲਨ ਦਾ ਆਰਗੂਮੈਂਟ (argument) ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, f(x)=log_4(2x−3) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹ ਫਲਨ x ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਆਰਗੂਮੈਂਟ, ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ 2x−3, ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇ। ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ (inequality) ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ (interval notation) ਵਿੱਚ, f(x)=log_4(2x−3) ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ( 1.5,∞ ) ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਲਘੂਤਮਕ ਫਲਨ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਜੋ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ।
x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
1. ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਡੋਮੇਨ ਲਿਖੋ।
2. ਉਦਾਹਰਨ 1
3. ਲਘੂਗਣਕ ਸ਼ਿਫਟ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਪਛਾਣ
4. f(x)= log 2 (x+3)? ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕੀ ਹੈ?
5. ਹੱਲ
6. ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਿਰਫ ਉਦੋਂ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁਟ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਦੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x+3>0। ਇਸ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ,
7. f(x)= log 2 (x+3) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ( −3,∞ ) ਹੈ।
8. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
9. f(x)= log 5 (x−2)+1? ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕੀ ਹੈ?
10. ਉਦਾਹਰਨ 2
11. ਲਘੂਗਣਕ ਸ਼ਿਫਟ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਪਛਾਣ
12. f(x)=log(5−2x)? ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕੀ ਹੈ?
13. ਹੱਲ
14. ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਿਰਫ ਉਦੋਂ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁਟ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਦੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ 5–2x>0। ਇਸ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ,
15. f(x)=log(5−2x) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ( –∞, 5/2 ) ਹੈ।
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
17. f(x)=log(x−5)+2? ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕੀ ਹੈ?
18. ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
19. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਅਹਿਸਾਸ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਾਂ। ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਾਰ ਵਿੱਚ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਾਰੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ: ਸ਼ਿਫਟ, ਖਿੱਚ, ਸੰਕੁਚਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ।
20. ਅਸੀਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਰੂਪ ਦਾ ਹਰ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ y= b x ਰੂਪ ਦੇ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਹੈ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ y=x ਲਾਈਨ ਦੇ ਪਾਰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੋਣਗੇ। ਇਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ y= 2 x ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਮਾਨ x= log 2 (y) ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਟੇਬਲ 1 ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
21. x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
22. 2 x =y | 1/8 | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8
23. log 2 ( y )=x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
24. ਟੇਬਲ 1 ਤੋਂ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f(x)= 2 x ਅਤੇ g(x)= log 2 (x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਟੇਬਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਟੇਬਲ 2 ਦੇਖੋ।
f(x)= 2 x | ( −3, 1 8 ) | ( −2, 1 4 ) | ( −1, 1 2 ) | ( 0,1 ) | ( 1,2 ) | ( 2,4 ) | ( 3,8 )
g(x)= log 2 ( x ) | ( 1 8 ,−3 ) | ( 1 4 ,−2 ) | ( 1 2 ,−1 ) | ( 1,0 ) | ( 2,1 ) | ( 4,2 ) | ( 8,3 )
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ x- ਅਤੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਉਲਟੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 2 f ਅਤੇ g ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ f( x )= 2 x ਅਤੇ g( x )= log 2 ( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ y=x ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹਨ।
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ:
f(x)= 2 x ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,1) 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ g(x)= log 2 ( x ) ਦਾ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (1,0) 'ਤੇ ਹੈ।
f(x)= 2 x , ( −∞,∞ ), ਦਾ ਡੋਮੇਨ, g(x)= log 2 ( x ) ਦੇ ਰੇਂਜ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
f(x)= 2 x , ( 0,∞ ), ਦਾ ਰੇਂਜ, g(x)= log 2 ( x ) ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ:
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x ਅਤੇ ਸਥਿਰ b>0, b≠1 ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਲੰਬਵਤ ਐਸਿੰਪਟੋਟ: x=0
ਡੋਮੇਨ: (0,∞)
ਰੇਂਜ: ( −∞,∞ )
x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ: (1,0) ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂ (b,1)
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ
ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ b>1
ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ 0<b<1
ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 4, f(x)= log b ( x ) ਵਿੱਚ ਅਧਾਰ b ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਧਾਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। (ਨੋਟ: ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ln( x ) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਧਾਰ e≈2.718 ਹੈ।)
ਚਿੱਤਰ 4: ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅਧਾਰਾਂ ਵਾਲੇ ਤਿੰਨ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ, ਸਾਰੇ 1 ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਲੰਬਵਤ ਐਸਿੰਪਟੋਟ, x=0, ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਬਿੰਦੂ (1,0) ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ। (1,0)।
ਬਿੰਦੂ (b,1) ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ। (b,1)।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ।
ਡੋਮੇਨ (0,∞), (0,∞), ਰੇਂਜ (−∞,∞), (−∞,∞), ਅਤੇ ਲੰਬਵਤ ਅਸਮਤੋਟ x=0, x=0 ਦੱਸੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
f(x) = logb(x) ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ।
f(x)= log 5 ( x ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। f(x)= log 5 ( x )। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਕਿਉਂਕਿ b=5, b=5 ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫਲਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਖੱਬਾ ਸਿਰਾ ਲੰਬਵਤ ਅਸਮਤੋਟ x=0, x=0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚੇਗਾ, ਅਤੇ ਸੱਜਾ ਸਿਰਾ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਸੀਮਾ ਦੇ ਹੌਲੀ-ਹੌਲੀ ਵਧੇਗਾ।
x-ਅੰਤਰਖੰਡ (1,0) ਹੈ। (1,0)।
ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂ (5,1) (5,1) ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਅਸਮਤੋਟ ਬਣਾਉਂਦੇ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ (ਦੇਖੋ ਚਿੱਤਰ 5)।
ਡੋਮੇਨ (0,∞), (0,∞), ਰੇਂਜ (−∞,∞), (−∞,∞), ਅਤੇ ਲੰਬਵਤ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ। x=0।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #3
f(x)= log 1 5 (x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। f(x)= log 1 5 (x)। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਦੱਸੋ।
ਲਘੂਗਣਕ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਲਘੂਗਣਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੂਜੇ ਮੂਲ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫਲਨ y= log b ( x ) y= log b ( x ) ਨੂੰ ਆਕਾਰ ਗੁਆਏ ਬਿਨਾਂ ਖਿੱਚ, ਖਿੱਚ, ਸੰਕੋਚ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
f(x) = logb(x) ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ c c ਨੂੰ ਮੂਲ ਫਲਨ f(x)=lo g b (x) ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, f(x)=lo g b (x), ਨਤੀਜਾ c c ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ c ਉੱਤੇ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। c। ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫਲਨ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਆਮ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ c>0 c>0 ਦੇ ਨਾਲ ਖੱਬੇ ਸ਼ਿਫਟ, g(x)= log b ( x+c ), g(x)= log b ( x+c ), ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਸ਼ਿਫਟ, h(x)= log b ( x−c ) ਨੂੰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। h(x)= log b ( x−c )। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ।
ਮੂਲ ਫਲਨ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸ਼ਿਫਟ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰਾਂਕ c ਲਈ, c, ਫਲਨ f(x)= log b ( x+c ) f(x)= log b ( x+c )
ਜੇਕਰ c>0 ਹੈ, ਤਾਂ ਮੂਲ ਫਲਨ y= log b ( x ) y= log b ( x ) ਨੂੰ c c ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। c>0।
ਜੇਕਰ c<0 ਹੈ, ਤਾਂ ਮੂਲ ਫਲਨ y= log b ( x ) y= log b ( x ) ਨੂੰ c c ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। c<0।
ਦੀ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=−c ਹੈ। x=−c।
ਦਾ ਡੋਮੇਨ ( −c,∞ ) ਹੈ। ( −c,∞ )।
ਦੀ ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ। ( −∞,∞ )।
ਕਿਵੇਂ
ਜੇਕਰ f(x)= log b ( x+c ) ਰੂਪ ਦਾ ਲਘੂਰਿਦਮਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, f(x)= log b ( x+c ), ਤਾਂ ਅਨੁਵਾਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੋਰਿਜੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ: ਜੇਕਰ c>0, c>0, ਤਾਂ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ c c ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ c<0, c<0, ਤਾਂ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ c c ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ।
ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=−c ਬਣਾਓ। x=−c।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਲੱਭੋ, x x ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤੋਂ c c ਘਟਾ ਕੇ।
ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਡੋਮੇਨ ( −c,∞ ) ਹੈ, ( −c,∞ ), ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ, ( −∞,∞ ), ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=−c ਹੈ। x=−c।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y = logb(x) ਦੀ ਹੋਰਿਜੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)= log 3 (x−2) f(x)= log 3 (x−2) ਦੀ ਹੋਰਿਜੋਂਟਲ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਸਕੈਚ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log 3 (x−2) ਹੈ, f(x)= log 3 (x−2), ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x+( −2 )=x–2। x+( −2 )=x–2।
ਇਸ ਲਈ c=−2, c=−2, ਇਸ ਲਈ c<0। c<0। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ f(x)= log 3 (x) f(x)= log 3 (x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਾਂਗੇ।
ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=−(−2) x=−(−2) ਜਾਂ x=2 ਹੈ। x=2।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ( 1 3 ,−1 ), ( 1 3 ,−1 ), ( 1,0 ), ( 1,0 ), ਅਤੇ ( 3,1 )। ( 3,1 )।
ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ x x ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਿੱਚ 2 ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ( 7 3 ,−1 ), ( 7 3 ,−1 ), ( 3,0 ), ( 3,0 ), ਅਤੇ ( 5,1 ) ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ। ( 5,1 )।
ਡੋਮੇਨ ( 2,∞ ) ਹੈ, ( 2,∞ ), ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ, ( −∞,∞ ), ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=2 ਹੈ। x=2।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
f(x)= log 3 (x+4) f(x)= log 3 (x+4) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਸਕੈਚ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਦੱਸੋ।
f(x) = logb(x) ਦੀ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰ d ਨੂੰ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = log b (x) ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ d ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ d > 0, ਅਤੇ d ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ d < 0. ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿੱਚਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = log b (x) ਦੇ ਆਮ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿੱਚ g(x) = log b (x) + d ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖਿੱਚ h(x) = log b (x) - d ਦੇ ਨਾਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y = log b (x) ਦੀਆਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿੱਚਾਂ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰ d ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = log b (x) + d
ਜੇਕਰ d > 0, ਤਾਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y = log b (x) ਨੂੰ d ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ d < 0, ਤਾਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y = log b (x) ਨੂੰ d ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ।
x = 0 ਦੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾ ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ (0, ∞) ਹੈ।
ਰੇਂਜ (−∞, ∞) ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
f(x) = log b (x) + d ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਨੁਵਾਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ: ਜੇਕਰ d > 0, ਤਾਂ f(x) = log b (x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ d ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿੱਚੋ। ਜੇਕਰ d < 0, ਤਾਂ f(x) = log b (x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ d ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖਿੱਚੋ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾ x = 0 ਬਣਾਓ।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਵਿੱਚ d ਜੋੜ ਕੇ ਖਿੱਚੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਲੱਭੋ।
ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਡੋਮੇਨ (0, ∞) ਹੈ, ਰੇਂਜ (−∞, ∞) ਹੈ, ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾ x = 0 ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = logb(x) ਦੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
f(x) = log 3 (x) - 2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸਦੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ ਬਣਾਓ। ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਅਸੀਮਤਾ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸੀਮਤਾ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = log 3 (x) - 2 ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ d = -2 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ d < 0 ਹੈ।
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = log 3 (x) ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖਿੱਚਾਂਗੇ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾ x = 0 ਹੈ।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ, (1/3, -1), (1, 0), ਅਤੇ (3, 1) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਵਿੱਚੋਂ 2 ਘਟਾ ਕੇ ਲੱਭੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
1. ਬਿੰਦੂਆਂ ( 1 3 ,−3 ), ( 1 3 ,−3 ), ( 1,−2 ), ( 1,−2 ), ਅਤੇ ( 3,−1 ) ( 3,−1 ) ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
2. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ), ( 0,∞ ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ। x=0।
3. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ), ( 0,∞ ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ। x=0।
4. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
5. ਆਪਣੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ f(x)= log 2 (x)+2 f(x)= log 2 (x)+2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਦੱਸੋ।
6. f(x) = logb(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਸਟ੍ਰੈਚ ਅਤੇ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ
7. ਜਦੋਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ a>0, a>0 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਅਸਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ ਜਾਂ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਟ੍ਰੈਚ ਅਤੇ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਿਜ਼ੂਅਲਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ a>1 a>1 ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦੇ ਆਮ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ, g(x)=a log b ( x ) g(x)=a log b ( x ) ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ, h(x)= 1 a log b ( x ) ਦੇ ਨਾਲ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। h(x)= 1 a log b ( x )। ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ।
8. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) y= log b ( x ) ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ ਅਤੇ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ
9. ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰਾਂਕ a>1, a>1 ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=a log b ( x ) f(x)=a log b ( x )
10. ਜੇਕਰ a>1 ਹੈ, ਤਾਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) y= log b ( x ) ਨੂੰ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਵਰਟੀਕਲੀ ਸਟ੍ਰੈਚ ਕਰਦਾ ਹੈ। a>1।
11. ਜੇਕਰ 0<a<1 ਹੈ, ਤਾਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) y= log b ( x ) ਨੂੰ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਵਰਟੀਕਲੀ ਕੰਪ੍ਰੈਸ ਕਰਦਾ ਹੈ। 0<a<1।
12. ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ। x=0।
13. x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ( 1,0 ) ਹੈ। ( 1,0 )।
14. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ) ਹੈ। ( 0,∞ )।
15. ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ। ( −∞,∞ )।
16. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
17. f(x)=a log b ( x ), a>0, a>0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਨੁਵਾਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
18. ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ ਜਾਂ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ: ਜੇਕਰ |a|>1, |a|>1, ਤਾਂ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸਟ੍ਰੈਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ |a|<1, |a|<1, ਤਾਂ f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਕੰਪ੍ਰੈਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
19. ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਬਣਾਓ। x=0।
20. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ a ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਨਵੇਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲੱਭੋ। a।
21. ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
22. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ), ( 0,∞ ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ। x=0।
23. ਉਦਾਹਰਨ 6
24. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = logb(x) ਦੇ ਸਟ੍ਰੈਚ ਜਾਂ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
Sketch a graph of f(x)=2 log 4 (x) f(x)=2 log 4 (x) alongside its parent function. Include the key points and asymptote on the graph. State the domain, range, and asymptote.
Solution
Since the function is f(x)=2 log 4 (x), f(x)=2 log 4 (x), we will notice a=2. a=2.
This means we will stretch the function f(x)= log 4 (x) f(x)= log 4 (x) by a factor of 2.
The vertical asymptote is x=0. x=0.
Consider the three key points from the parent function, ( 1 4 ,−1 ), ( 1 4 ,−1 ), ( 1,0 ), ( 1,0 ), and ( 4,1 ). ( 4,1 ).
The new coordinates are found by multiplying the y y coordinates by 2.
Label the points ( 1 4 ,−2 ), ( 1 4 ,−2 ), ( 1,0 ), ( 1,0 ), and ( 4,2 ). ( 4,2 ).
The domain is ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), the range is ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and the vertical asymptote is x=0. x=0. See Figure 11.
The domain is ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), the range is ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and the vertical asymptote is x=0. x=0.
Try It #6
Sketch a graph of f(x)= 1 2 log 4 (x) f(x)= 1 2 log 4 (x) alongside its parent function. Include the key points and asymptote on the graph. State the domain, range, and asymptote.
Example 7
Combining a Shift and a Stretch
Sketch a graph of f(x)=5log(x+2). f(x)=5log(x+2). State the domain, range, and asymptote.
Solution
Remember: what happens inside parentheses happens first. First, we move the graph left 2 units, then stretch the function vertically by a factor of 5, as in Figure 12. The vertical asymptote will be shifted to x=−2. x=−2. The x-intercept will be (−1,0). (−1,0). The domain will be ( −2,∞ ). ( −2,∞ ). Two points will help give the shape of the graph: (−1,0) (−1,0) and (8,5). (8,5). We chose x=8 x=8 as the x-coordinate of one point to graph because when x=8, x=8, x+2=10, x+2=10, the base of the common logarithm.
The domain is ( −2,∞ ), ( −2,∞ ), the range is ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and the vertical asymptote is x=−2. x=−2.
Try It #7
Sketch a graph of the function f(x)=3log(x−2)+1. f(x)=3log(x−2)+1. State the domain, range, and asymptote.
Graphing Reflections of f(x) = logb(x)
When the parent function f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) is multiplied by −1, −1, the result is a reflection about the x-axis. When the input is multiplied by −1, −1, the result is a reflection about the y-axis. To visualize reflections, we restrict b>1, b>1, and observe the general graph of the parent function f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) alongside the reflection about the x-axis, g(x)= −log b ( x ) g(x)= −log b ( x ) and the reflection about the y-axis, h(x)= log b ( −x ). h(x)= log b ( −x ).
Reflections of the Parent Function y= log b ( x ) y= log b ( x )
The function f(x)= −log b ( x ) f(x)= −log b ( x )
reflects the parent function y= log b ( x ) y= log b ( x ) about the x-axis.
has domain, ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), range, ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and vertical asymptote, x=0, x=0, which are unchanged from the parent function.
The function f(x)= log b ( −x ) f(x)= log b ( −x )
reflects the parent function y= log b ( x ) y= log b ( x ) about the y-axis.
has domain ( −∞,0 ). ( −∞,0 ).
has range, ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and vertical asymptote, x=0, x=0, which are unchanged from the parent function.
How To
Given a logarithmic function with the parent function f(x)= log b ( x ), f(x)= log b ( x ), graph a translation.
row: If f(x)=− log b (x) If f(x)=− log b (x) | If f(x)= log b (−x) If f(x)= log b (−x)
row: 1. Draw the vertical asymptote, x=0. x=0. | 1. Draw the vertical asymptote, x=0. x=0.
row: 2. Plot the x-intercept, ( 1,0 ). ( 1,0 ). | 2. Plot the x-intercept, ( 1,0 ). ( 1,0 ).
row: 3. Reflect the graph of the parent function f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) about the x-axis. | 3. Reflect the graph of the parent function f(x)= log b ( x ) f(x)= log b ( x ) about the y-axis.
row: 4. Draw a smooth curve through the points. | 4. Draw a smooth curve through the points.
row: 5. State the domain, (0, ∞), the range, (−∞, ∞), and the vertical asymptote x=0 x=0. | 5. State the domain, (−∞, 0) the range, (−∞, ∞) and the vertical asymptote x=0. x=0.
Example 8
Graphing a Reflection of a Logarithmic Function
Sketch a graph of f(x)=log(−x) f(x)=log(−x) alongside its parent function. Include the key points and asymptote on the graph. State the domain, range, and asymptote.
Solution
Before graphing f(x)=log(−x), f(x)=log(−x), identify the behavior and key points for the graph.
Since b=10 b=10 is greater than one, we know that the parent function is increasing. Since the input value is multiplied by −1, −1, f f is a reflection of the parent graph about the y-axis. Thus, f(x)=log(−x) f(x)=log(−x) will be decreasing as x x moves from negative infinity to zero, and the right tail of the graph will approach the vertical asymptote x=0. x=0.
The x-intercept is ( −1,0 ). ( −1,0 ).
We draw and label the asymptote, plot and label the points, and draw a smooth curve through the points.
The domain is ( −∞,0 ), ( −∞,0 ), the range is ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), and the vertical asymptote is x=0. x=0.
Try It #8
f(x)=−log(−x) ਦਾ ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ ਦੱਸੋ।
ਕਿਵੇਂ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ, ਹੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
[Y=] ਦਬਾਓ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨ ਜਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ Y1= ਵਜੋਂ ਅਤੇ, ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, Y2= ਵਜੋਂ ਦਰਜ ਕਰੋ।
[GRAPH] ਦਬਾ ਕੇ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇਖੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਢੁਕਵੇਂ ਦ੍ਰਿਸ਼, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂ(ਆਂ) ਸਮੇਤ, ਲੱਭਣ ਲਈ [WINDOW] ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
x ਦਾ ਮੁੱਲ, x, ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। [2ND] ਫਿਰ [CALC] ਦਬਾਓ। "intersect" ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵਾਰ [ENTER] ਦਬਾਓ। ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂ, ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂ(ਆਂ) ਲਈ x ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ
4ln( x )+1=−2ln( x−1 ) 4ln( x )+1=−2ln( x−1 ) ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
[Y=] ਦਬਾਓ ਅਤੇ Y1= ਦੇ ਅੱਗੇ 4ln( x )+1 4ln( x )+1 ਦਰਜ ਕਰੋ। ਫਿਰ Y2= ਦੇ ਅੱਗੇ −2ln( x−1 ) −2ln( x−1 ) ਦਰਜ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਵਿੰਡੋ ਲਈ, x ਲਈ 0 ਤੋਂ 5 ਅਤੇ y ਲਈ –10 ਤੋਂ 10 ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। [GRAPH] ਦਬਾਓ। ਗ੍ਰਾਫ x=1 ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਕਿਤੇ ਕੱਟਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ, [2ND] ਫਿਰ [CALC] ਦਬਾਓ। [5: intersect] ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵਾਰ [ENTER] ਦਬਾਓ। ਕੱਟਣ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ 1.3385297 ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਵੱਖਰੀ ਵਿੰਡੋ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ ਜਾਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਵੱਖਰਾ ਮੁੱਲ ਵਰਤਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਤੁਹਾਡਾ ਜਵਾਬ ਵੱਖਰਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ?) ਇਸ ਲਈ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਤੱਕ, x≈1.339।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
5log( x+2 )=4−log( x ) 5log( x+2 )=4−log( x ) ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਵਾਦਾਂ ਦਾ ਸਾਰ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਅਨੁਵਾਦ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਟੇਬਲ 4 ਵਿੱਚ ਸਾਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਨੁਵਾਦ ਲਈ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
row: ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y= log b ( x ) y= log b ( x ) ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰ
row: ਰੂਪਾਂਤਰ | ਰੂਪ
row: ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ c c ਇਕਾਈਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਉੱਪਰ d d ਇਕਾਈਆਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ | y= log b ( x+c )+d y= log b ( x+c )+d
row: ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰੋ ਜੇ | a |>1 | a |>1 ਤਾਂ ਖਿੱਚੋ ਜੇ | a |<1 | a |<1 ਤਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰੋ | y=a log b ( x ) y=a log b ( x )
row: x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ | y=− log b ( x ) y=− log b ( x )
row: y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ | y= log b ( −x ) y= log b ( −x )
row: ਸਾਰੇ ਅਨੁਵਾਦਾਂ ਲਈ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ | y=a log b (x+c)+d y=a log b (x+c)+d
ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰ
y = log b ( x ) ਦੇ ਸਾਰੇ ਰੂਪਾਂਤਰ, y = log b ( x ), ਦਾ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ, y = log b ( x ), b>1, y = log b ( x ), b>1, ਹੈ
d ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
c ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
| a | > 0 ਹੋਣ 'ਤੇ | a | ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। | a | > 0।
0 < | a | < 1 ਹੋਣ 'ਤੇ | a | ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। 0 < | a | < 1।
a < 0 ਹੋਣ 'ਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। a < 0।
f( x ) = log( −x ) ਲਈ, f( x ) = log( −x ), ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਲਘੂਰਘਾਤ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਲੰਬਵਤ ਅਸੀਮਤਾ ਲੱਭਣਾ
f(x)=−2 log 3 (x+4)+5? f(x)=−2 log 3 (x+4)+5? ਦੀ ਲੰਬਵਤ ਅਸੀਮਤਾ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਲੰਬਵਤ ਅਸੀਮਤਾ x=−4 'ਤੇ ਹੈ। x=−4।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਗੁਣਾਂਕ, ਆਧਾਰ, ਅਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸਥਾਨਾਂਤਰਨ ਅਸੀਮਤਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਵਕਰ ਦਾ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸਥਾਨਾਂਤਰਨ ਲੰਬਵਤ ਅਸੀਮਤਾ ਨੂੰ x=−4 ਤੱਕ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। x=−4।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
f(x)=3+ln(x−1)? f(x)=3+ln(x−1)? ਦੀ ਲੰਬਵਤ ਅਸੀਮਤਾ ਕੀ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ
ਚਿੱਤਰ 15 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਆਮ ਲਘੂਰਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਵ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਲੰਬਵਤ ਅਸੀਮਤਾ x=–2 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਅਜੇ ਤੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸਥਾਨਾਂਤਰਨ ਜਾਂ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚ ਦਾ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਹੁਣ ਤੱਕ ਪਤਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ ਹੋਵੇਗਾ:
ਇਹ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਬਿੰਦੂਆਂ ( –1,1 ) ( –1,1 ) ਅਤੇ ( 2,–1 ) ( 2,–1 ) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ( –1,1 ) ( –1,1 ) ਨੂੰ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕਰਕੇ,
ਅੱਗੇ, ( 2,–1 ) ( 2,–1 ) ਵਿੱਚ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕਰਕੇ,
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=– 2 log(4) log(x+2)+1 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। f(x)=– 2 log(4) log(x+2)+1।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 5 ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਚਿੱਤਰ 15 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲ ਕਰਕੇ ਇਸ ਜਵਾਬ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: x x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਤਰ: f(x) f(x) | 1 | 0 | −0.58496 | −1 | −1.3219
ਸਤਰ: x x | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
ਸਤਰ: f(x) f(x) | −1.5850 | −1.8074 | −2 | −2.1699 | −2.3219
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #11
ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿਓ।
Q&A
ਕੀ ਸਿਰਫ਼ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਬਾਰੇ ਦੱਸਣਾ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ?
ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਗ੍ਰਾਫ x=−3 x=−3 (ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਆਸਪਾਸ) ਦੇ ਹੋਰ ਅਤੇ ਹੋਰ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ x=−3 x=−3 ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੈ, ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹੈ। ਇਹ ਸੱਜੇ ਪਾਸਿਓਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ, {x|x>−3}। {x|x>−3}। ਰੇਂਜ, ਸਾਰੇ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਂਗ, ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂਦੇ ਹੋਏ ਹੇਠਾਂ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂਦੇ ਹੋਏ ਉੱਪਰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ x→− 3 + ,f(x)→−∞ x→− 3 + ,f(x)→−∞ ਅਤੇ ਜਿਵੇਂ x→∞,f(x)→∞। x→∞,f(x)→∞।
ਮੀਡੀਆ
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਮੇਲ ਕਰੋ
ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭੋ
ਮੌਖਿਕ
ਹਰ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ?
ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦਾ ਟ੍ਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨ, ਜੇ ਕੋਈ ਹੋਵੇ, ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ?
ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦਾ ਟ੍ਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨ, ਜੇ ਕੋਈ ਹੋਵੇ, ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ?
ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= log b ( x ) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। f(x)= log b ( x )। x x ਸਿਫ਼ਰ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ?
ਕੀ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ।
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦੱਸੋ।
f(x)= ਲਾਗ 3 ( x+4 )
h(x)=ln( 1 2 −x )
g(x)= ਲਾਗ 5 ( 2x+9 )−2
h(x)=ln( 4x+17 )−5
f(x)= ਲਾਗ 2 ( 12−3x )−3
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸੈਂਪਟੋਟ ਦੱਸੋ।
f(x)= ਲਾਗ b (x−5)
g(x)=ln(3−x)
f(x)=ਲਾਗ(3x+1)
f(x)=3ਲਾਗ(−x)+2
g(x)=−ln(3x+9)−7
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ, ਵਰਟੀਕਲ ਅਸੈਂਪਟੋਟ, ਅਤੇ ਅੰਤਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦੱਸੋ।
f(x)=ln( 2−x )
f(x)=ਲਾਗ( x− 3 7 )
h(x)=−ਲਾਗ( 3x−4 )+3
g(x)=ln( 2x+6 )−5
f(x)= ਲਾਗ 3 ( 15−5x )+6
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ, ਅਤੇ x- ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟਸ, ਜੇਕਰ ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਦੱਸੋ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਤਾਂ DNE ਲਿਖੋ।
h(x)= ਲਾਗ 4 ( x−1 )+1
f(x)=ਲਾਗ( 5x+10 )+3
g(x)=ln( −x )−2
f(x)= ਲਾਗ 2 ( x+2 )−5
h(x)=3ln( x )−9
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
For the following exercises, match each function in Figure 17 with the letter corresponding to its graph.
d(x)=log( x ) d(x)=log( x )
f(x)=ln(x) f(x)=ln(x)
g(x)= log 2 ( x ) g(x)= log 2 ( x )
h(x)= log 5 ( x ) h(x)= log 5 ( x )
j(x)= log 25 ( x ) j(x)= log 25 ( x )
For the following exercises, match each function in Figure 18 with the letter corresponding to its graph.
f(x)= log 1 3 ( x ) f(x)= log 1 3 ( x )
g(x)= log 2 ( x ) g(x)= log 2 ( x )
h(x)= log 3 4 ( x ) h(x)= log 3 4 ( x )
For the following exercises, sketch the graphs of each pair of functions on the same axis.
f(x)=log(x) f(x)=log(x) and g(x)= 10 x g(x)= 10 x
f(x)=log(x) f(x)=log(x) and g(x)= log 1 2 (x) g(x)= log 1 2 (x)
f(x)= log 4 (x) f(x)= log 4 (x) and g(x)=ln(x) g(x)=ln(x)
f(x)= e x f(x)= e x and g(x)=ln(x) g(x)=ln(x)
For the following exercises, match each function in Figure 19 with the letter corresponding to its graph.
f(x)= log 4 ( −x+2 ) f(x)= log 4 ( −x+2 )
g(x)=− log 4 ( x+2 ) g(x)=− log 4 ( x+2 )
h(x)= log 4 ( x+2 ) h(x)= log 4 ( x+2 )
For the following exercises, sketch the graph of the indicated function.
f(x)= log 2 (x+2) f(x)= log 2 (x+2)
f(x)=2log(x) f(x)=2log(x)
f(x)=ln(−x) f(x)=ln(−x)
g(x)=log( 4x+16 )+4 g(x)=log( 4x+16 )+4
g(x)=log( 6−3x )+1 g(x)=log( 6−3x )+1
h(x)=− 1 2 ln( x+1 )−3 h(x)=− 1 2 ln( x+1 )−3
For the following exercises, write a logarithmic equation corresponding to the graph shown.
Use y= log 2 (x) y= log 2 (x) as the parent function.
Use f(x)= log 3 (x) f(x)= log 3 (x) as the parent function.
Use f(x)= log 4 (x) f(x)= log 4 (x) as the parent function.
Use f(x)= log 5 (x) f(x)= log 5 (x) as the parent function.
Technology
For the following exercises, use a graphing calculator to find approximate solutions to each equation.
log( x−1 )+2=ln( x−1 )+2 log( x−1 )+2=ln( x−1 )+2
log( 2x−3 )+2=−log( 2x−3 )+5 log( 2x−3 )+2=−log( 2x−3 )+5
ln( x−2 )=−ln( x+1 ) ln( x−2 )=−ln( x+1 )
2ln( 5x+1 )= 1 2 ln( −5x )+1 2ln( 5x+1 )= 1 2 ln( −5x )+1
1 3 log( 1−x )=log( x+1 )+ 1 3 1 3 log( 1−x )=log( x+1 )+ 1 3
Extensions
Let b b be any positive real number such that b≠1. b≠1. What must log b 1 log b 1 be equal to? Verify the result.
Explore and discuss the graphs of f(x)= log 1 2 ( x ) f(x)= log 1 2 ( x ) and g(x)=− log 2 ( x ). g(x)=− log 2 ( x ). Make a conjecture based on the result.
Prove the conjecture made in the previous exercise.
What is the domain of the function f(x)=ln( x+2 x−4 )? f(x)=ln( x+2 x−4 )? Discuss the result.
Use properties of exponents to find the x-intercepts of the function f(x)=log( x 2 +4x+4 ) f(x)=log( x 2 +4x+4 ) algebraically. Show the steps for solving, and then verify the result by graphing the function.