ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਲਘੂ-ਗਣਿਤ (ਲੌਗਰਿਦਮ) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਲਘੂ-ਗਣਿਤ (ਲੌਗਰਿਦਮ) ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਲਘੂ-ਗਣਿਤ (ਲੌਗਰਿਦਮ) ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਲਘੂ-ਗਣਿਤ (ਲੌਗਰਿਦਮ) ਦੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋਗੇ।
ਲਘੂ-ਗਣਿਤ (ਲੌਗਰਿਦਮ) ਦੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਕਰੋਗੇ।
ਲਘੂ-ਗਣਿਤ (ਲੌਗਰਿਦਮ) ਲਈ ਅਧਾਰ-ਬਦਲੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਲਿਟਮਸ ਪੇਪਰ ਨਾਲ ਹਾਈਡਰੋਕਲੋਰਿਕ ਐਸਿਡ ਦੇ pH ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। (ਸਿਹਰਾ: ਡੇਵਿਡ ਬੇਰਾਰਡਨ)
ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, pH ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਅੰਮਲਤਾ ਜਾਂ ਖਾਰੀਤਾ ਦੇ ਮਾਪ ਵਜੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। pH ਪੈਮਾਨਾ 0 ਤੋਂ 14 ਤੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 7 ਤੋਂ ਘੱਟ pH ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਨੂੰ ਅੰਮਲੀ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ 7 ਤੋਂ ਵੱਧ pH ਵਾਲੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਨੂੰ ਖਾਰੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਸਰੀਰ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਐਨਜ਼ਾਈਮਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ 7.35 ਦੇ ਨੇੜੇ pH ਬਣਾਈ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਆਮ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ pH ਪੱਧਰਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਅੰਮਲੀ ਅਤੇ ਖਾਰੀ ਕੀ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਅਹਿਸਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ:
ਬੈਟਰੀ ਐਸਿਡ: 0.8
ਢਿੱਡ ਦਾ ਐਸਿਡ: 2.7
ਸੰਤਰੇ ਦਾ ਰਸ: 3.3
ਸ਼ੁੱਧ ਪਾਣੀ: 7 (25° C 'ਤੇ)
ਮਨੁੱਖੀ ਖੂਨ: 7.35
ਤਾਜ਼ਾ ਨਾਰੀਅਲ: 7.8
ਸੋਡੀਅਮ ਹਾਈਡ੍ਰੋਕਸਾਈਡ (ਲਾਈ): 14
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੋਈ ਘੋਲ ਅੰਮਲੀ ਹੈ ਜਾਂ ਖਾਰੀ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ pH ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਘੋਲ ਵਿੱਚ ਸਰਗਰਮ ਧਨ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ। pH ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ H+ H+ ਘੋਲ ਵਿੱਚ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨ ਦੀ ਸੰਗਤ ਹੈ।
−log( [ H + ] ) −log( [ H + ] ) ਅਤੇ log( 1 [ H + ] ) log( 1 [ H + ] ) ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ ਲਘੂ-ਗਣਿਤ (ਲੌਗਰਿਦਮ) ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਲਘੂ-ਗਣਿਤ (ਲੌਗਰਿਦਮ) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਲਘੂ-ਗਣਿਤ (ਲੌਗਰਿਦਮ) ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕ (ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ) ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ "ਰੱਦ" ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਲਘੂ-ਗਣਿਤ (ਲੌਗਰਿਦਮ) ਦੇ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ (ਐਕਸਪੋਨੈਂਟਸ) ਵਰਗੇ ਗੁਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਲਘੂ-ਗਣਿਤ (ਲੌਗਰਿਦਮ) ਦੇ ਕੁਝ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗੁਣ ਇੱਥੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਪਹਿਲਾਂ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, log 5 1=0 log 5 1=0 ਕਿਉਂਕਿ 5 0 =1. 5 0 =1. ਅਤੇ log 5 5=1 log 5 5=1 ਕਿਉਂਕਿ 5 1 =5. 5 1 =5.
ਅੱਗੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਉਲਟਾ ਗੁਣ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, log( 100 ) log( 100 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਘੂ-ਗਣਿਤ (ਲੌਗਰਿਦਮ) ਨੂੰ log 10 ( 10 2 ) log 10 ( 10 2 ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਲਟਾ ਗੁਣ log b ( b x )=x log b ( b x )=x ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ log 10 ( 10 2 )=2. log 10 ( 10 2 )=2 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
e ln( 7 ) , e ln( 7 ) , ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ e log e 7 , e log e 7 ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਲਟ ਗੁਣ b log b x =x b log b x =x ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ e log e 7 =7 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। e log e 7 =7।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਹੈ।
ਅਸੀਂ x ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ log 3 ( 3x )= log 3 ( 2x+5 ) log 3 ( 3x )= log 3 ( 2x+5 ) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। x। ਕਿਉਂਕਿ ਆਧਾਰ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਤਰਕਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: x:
ਪਰ ਸਮੀਕਰਨ log 3 ( 3x )+ log 3 ( 2x+5 )=2? log 3 ( 3x )+ log 3 ( 2x+5 )=2? ਬਾਰੇ ਕੀ? ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: x a x b = x a+b . x a x b = x a+b . ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਗੁਣ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਲਘੂਗਣਕ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਲਘੂਗਣਕ ਘਾਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਆਧਾਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉਲਟ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x x ਅਤੇ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ M,N, M,N, ਅਤੇ b, b, ਜਿੱਥੇ b≠1, b≠1, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ
ਮੰਨ ਲਓ m= log b M m= log b M ਅਤੇ n= log b N. n= log b N. ਘਾਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ b m =M b m =M ਅਤੇ b n =N. b n =N ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਸਿੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੇ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, log b (wxyz). log b (wxyz). ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਤਰਕ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਕਾਰਕ ਬਣਾਓ, ਹਰੇਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਅਭਾਜਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
log 3 ( 30x( 3x+4 ) ) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ। log 3 ( 30x( 3x+4 ) )।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ 30 30 ਨੂੰ ਅਭਾਜਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਤਰਕ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਕਾਰਕ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
log b (8k) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ। log b (8k)।
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
ਭਾਗਫਲ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਨਿਯਮ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਘਟਾ ਕੇ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: x a x b = x a−b . x a x b = x a−b . ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਲਘੂਗਣਕ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉਲਟ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
1. ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x x ਅਤੇ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ M, M, N, N, ਅਤੇ b, b, ਜਿੱਥੇ b≠1, b≠1, ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ
1. ਮੰਨ ਲਓ m = log b M ਅਤੇ n = log b N। ਘਾਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ b m =M ਅਤੇ b n =N ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਸਿੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ
1. ਮਿਸਾਲ ਵਜੋਂ, ਲਾਗ ( 2 x 2 +6x 3x+9 ) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਨਿਊਨਤਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਕੇ ਅਤੇ ਕੈਂਸਲ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ,
1. ਅਗਾਂਹ ਅਸੀਂ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਹਰ (numerator) ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ (logarithm) ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ (denominator) ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਗੁਣਫਲ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਲਘੂਰ-ਭਾਗ ਨਿਯਮ
ਲੋਗਾਰਿਥਮ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਲੋਗਾਰਿਥਮ ਜਾਂ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਲੋਗਾਰਿਥਮਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
1. ਕਿਵੇਂ
ਕਿਸੇ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ (ਲੌਗ) ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਕੇ ਦਲੀਲ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਲਘੂਤਕ (logarithm) ਨੂੰ ਅੰਸ਼ (numerator) ਦੇ ਲਘੂਤਕ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ (denominator) ਦੇ ਲਘੂਤਕ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
1. ਇਹ ਵੇਖੋ ਕਿ ਹਰ ਸ਼ਬਦ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਲਘੂ-ਗਣਿਤ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖੋਲ੍ਹੋ।
2. Example 2
ਲਘੂਰਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਲੌਗ 2 ( 15x(x−1) (3x+4)(2−x) ) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ। ਲੌਗ 2 ( 15x(x−1) (3x+4)(2−x) )।
1. ਨਿਬੇੜਾ
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
1. ਵੇਖੋ ਕਿ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਪਦ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਹਨ। ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਗੁਣਨਖੰਡ 15 ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ 3 ਅਤੇ 5 ਹਨ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
1. ਇਸ ਅਤੇ ਬਾਅਦ ਵਾਲੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਚਾਰਨਯੋਗ ਅਪਵਾਦ ਹਨ। ਪਹਿਲਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ (denominators) ਕਦੇ ਵੀ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੇ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ x=− 4 3 ਅਤੇ x=2 ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਲਘੂਰਕ (logarithm) ਦਾ ਆਰਗੂਮੈਂਟ (argument) ਹਮੇਸ਼ਾ ਧਨ (positive) ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x>0, x>1, x>− 4 3 , ਅਤੇ x<2। ਇਹਨਾਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਦਾਇਰੇ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ 'ਤੇ ਨਾ ਤਾਂ ਇੱਥੇ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਬਾਅਦ ਵਾਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ।
1. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਲੌਗ 3 ( 7 x 2 +21x 7x( x−1 )( x−2 ) ) ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ। ਲੌਗ 3 ( 7 x 2 +21x 7x( x−1 )( x−2 ) )।
ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਘਾਤ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x^2, ਦਾ ਲਘੂਗਣਕ ਕਿਵੇਂ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? x^2? ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ:
1. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਘਾਤ ਦਾ ਲਘੂਗਣਕ, ਘਾਤ ਅੰਕ ਗੁਣਾ ਆਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ, ਭਾਵੇਂ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਘਾਤ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,
ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਘਾਤ ਨਿਯਮ
ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਘਾਤ ਨਿਯਮ, ਘਾਤ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕ ਗੁਣਾ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਘਾਤ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਅਤੇ ਲਘੂਰਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਲਿਖੋ।
ਤਰਕ ਨੂੰ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ।
ਬਰਾਬਰ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕ ਗੁਣਾ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ
log 2 x 5 . log 2 x 5 . ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਤਰਕ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਇੱਕ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕ, 5, ਅਤੇ ਅਧਾਰ, x, x, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਬਰਾਬਰ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕ ਗੁਣਾ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ln x 2 . ln x 2 . ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ
log 3 ( 25 ) log 3 ( 25 ) ਦਾ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਤਰਕ ਨੂੰ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ log 3 ( 25 )= log 3 ( 5 2 ). log 3 ( 25 )= log 3 ( 5 2 ). ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕ, 2, ਅਤੇ ਅਧਾਰ, 5, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਬਰਾਬਰ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕ ਗੁਣਾ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਰਕ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ln( 1 x 2 ). ln( 1 x 2 ). ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਰਤੋਂ
4ln(x) 4ln(x) ਨੂੰ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਲਘੂਰਕ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਮੋਹਰੀ ਗੁਣਕ 1 ਹੋਵੇ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਘਾਤ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ, ਆਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਘਾਤ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਸੇ ਘਾਤ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 4ln(x) ਦੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਕ, 4, ਨੂੰ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਅਤੇ ਆਰਗੂਮੈਂਟ, x, ਨੂੰ ਆਧਾਰ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਘਾਤ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ: 4ln(x)=ln( x 4 ).
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
2 log 3 4 ਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਲਘੂਗਣਕ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਜਿਸਦਾ ਮੋਹਰੀ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਹੋਵੇ।
ਲਘੂਗਣਕ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ
ਇਕੱਠੇ, ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ, ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ, ਅਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਅਕਸਰ "ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ" ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:
ਅਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਭਿੰਨ ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲਘੂਗਣਕ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਥੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਕ ਸਬੂਤ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਵੀ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਭਿਆਸ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਮਾਨਸਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅੰਤਿਮ ਉੱਤਰ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿਰਫ ਗੁਣਨਫਲ, ਭਾਗਫਲ, ਘਾਤਾਂ, ਅਤੇ ਜੜ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਹੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ - ਕਦੇ ਵੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਨਾਲ ਨਹੀਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਗੁਣਨਫਲ, ਭਾਗਫਲ, ਅਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ
ln( x 4 y 7 ) ਨੂੰ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਫਿਰ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਪਦ 'ਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
log( x 2 y 3 z 4 ) ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਰੈਡੀਕਲ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
log( x ) ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ln( x 2 3 ) ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
Q&A
Can we expand ln( x 2 + y 2 )? ln( x 2 + y 2 )?
No. There is no way to expand the logarithm of a sum or difference inside the argument of the logarithm.
Example 8
Expanding Complex Logarithmic Expressions
Expand log 6 ( 64 x 3 ( 4x+1 ) ( 2x−1 ) ). log 6 ( 64 x 3 ( 4x+1 ) ( 2x−1 ) ).
Solution
We can expand by applying the Product and Quotient Rules.
Try It #8
Expand ln( (x−1) (2x+1) 2 ( x 2 −9) ). ln( (x−1) (2x+1) 2 ( x 2 −9) ).
Condensing Logarithmic Expressions
We can use the rules of logarithms we just learned to condense sums, differences, and products with the same base as a single logarithm. It is important to remember that the logarithms must have the same base to be combined. We will learn later how to change the base of any logarithm before condensing.
How To
Given a sum, difference, or product of logarithms with the same base, write an equivalent expression as a single logarithm.
Apply the power property first. Identify terms that are products of factors and a logarithm, and rewrite each as the logarithm of a power.
Next apply the product property. Rewrite sums of logarithms as the logarithm of a product.
Apply the quotient property last. Rewrite differences of logarithms as the logarithm of a quotient.
Example 9
Using the Product and Quotient Rules to Combine Logarithms
Write log 3 ( 5 )+ log 3 ( 8 )− log 3 ( 2 ) log 3 ( 5 )+ log 3 ( 8 )− log 3 ( 2 ) as a single logarithm.
Solution
Using the product and quotient rules
This reduces our original expression to
Then, using the quotient rule
Try It #9
ਲਘੂਤਕ3−ਲਘੂਤਕ4+ਲਘੂਤਕ5−ਲਘੂਤਕ6 ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ। ਲਘੂਤਕ3−ਲਘੂਤਕ4+ਲਘੂਤਕ5−ਲਘੂਤਕ6।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਜਟਿਲ ਲਘੂਤਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ
ਲਘੂਤਕ 2 ( x 2 )+ 1 2 ਲਘੂਤਕ 2 ( x−1 )−3 ਲਘੂਤਕ 2 ( ( x+3 ) 2 ) ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ। ਲਘੂਤਕ 2 ( x 2 )+ 1 2 ਲਘੂਤਕ 2 ( x−1 )−3 ਲਘੂਤਕ 2 ( ( x+3 ) 2 )।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਉੱਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਾਟ ਉੱਤੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #10
ਲਘੂਤਕ( 5 )+0.5ਲਘੂਤਕ( x )−ਲਘੂਤਕ( 7x−1 )+3ਲਘੂਤਕ( x−1 ) ਨੂੰ ਇੱਕਲੇ ਲਘੂਤਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ਲਘੂਤਕ( 5 )+0.5ਲਘੂਤਕ( x )−ਲਘੂਤਕ( 7x−1 )+3ਲਘੂਤਕ( x−1 )
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਇੱਕਲੇ ਲਘੂਤਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ
2ਲਘੂਤਕx−4ਲਘੂਤਕ(x+5)+ 1 x ਲਘੂਤਕ( 3x+5 ) ਨੂੰ ਇੱਕਲੇ ਲਘੂਤਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। 2ਲਘੂਤਕx−4ਲਘੂਤਕ(x+5)+ 1 x ਲਘੂਤਕ( 3x+5 )
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਪੁਨਰ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਜੋੜ ਉੱਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਾਟ ਉੱਤੇ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #11
4( 3ਲਘੂਤਕ( x )+ਲਘੂਤਕ( x+5 )−ਲਘੂਤਕ( 2x+3 ) ) ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ। 4( 3ਲਘੂਤਕ( x )+ਲਘੂਤਕ( x+5 )−ਲਘੂਤਕ( 2x+3 ) )।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਲਘੂਤਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦਾ ਲਾਗੂਕਰਨ
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ, ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, pH=−ਲਘੂਤਕ[ H + ]। pH=−ਲਘੂਤਕ[ H + ]। ਜੇਕਰ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਇਕਾਗਰਤਾ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ pH ਉੱਤੇ ਕੀ ਪ੍ਰਭਾਵ ਪੈਂਦਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ C C ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਮੂਲ ਇਕਾਗਰਤਾ ਹੈ, ਅਤੇ P P ਤਰਲ ਦਾ ਮੂਲ pH ਹੈ। ਤਾਂ P=–ਲਘੂਤਕ(C)। P=–ਲਘੂਤਕ(C)। ਜੇਕਰ ਇਕਾਗਰਤਾ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਨਵੀਂ ਇਕਾਗਰਤਾ 2C ਹੈ। 2C। ਤਾਂ ਨਵੇਂ ਤਰਲ ਦਾ pH ਹੈ
ਲਘੂਰਕ (logarithm) ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਕਿਉਂਕਿ P=–log(C), P=–log(C), ਨਵਾਂ pH ਹੈ
ਜਦੋਂ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਸਾંદ્રਤਾ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ pH ਲਗਭਗ 0.301 ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #12
pH ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਧਨ ਹਾਈਡਰੋਜਨ ਆਇਨਾਂ ਦੀ ਸਾંદ્રਤਾ ਅੱਧੀ ਘਟਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ?
ਲਘੂਰਕਾਂ (logarithms) ਲਈ ਬੇਸ ਬਦਲਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਸਿਰਫ ਆਮ (common) ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ (natural) ਲਘੂਰਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ। 10 ਜਾਂ e ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬੇਸ ਵਾਲੇ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬੇਸ ਬਦਲਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬੇਸ ਦੇ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ (quotient) ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ; ਜਦੋਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਜਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਬੇਸ ਬਦਲਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਰਕਾਂ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ (one-to-one property) ਅਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ (power rule) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ M, b, ਅਤੇ n, ਜਿੱਥੇ n≠1 ਅਤੇ b≠1, ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ
ਮੰਨ ਲਓ y= log b M. ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਬੇਸ b ਨਾਲ ਘਾਤਾਂਕ (exponentiating) ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਰੂਪ (exponential form) ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ, ਭਾਵ b y =M. ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ log 5 36 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਆਮ ਜਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਆਮ ਲਘੂਰਕ (common log) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਬੇਸ ਬਦਲਣ ਦਾ ਸੂਤਰ
ਬੇਸ ਬਦਲਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬੇਸ ਵਾਲੇ ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ M, b, ਅਤੇ n, ਜਿੱਥੇ n≠1 ਅਤੇ b≠1, ਲਈ,
ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਬੇਸ ਬਦਲਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬੇਸ ਵਾਲੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਆਮ ਜਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਅਤੇ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
log b M ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲਾ ਲਘੂਰਕ ਦਿੱਤਾ ਹੋਣ ਤੇ, ਇਸਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨ ਬੇਸ n, ਜਿੱਥੇ n≠1, ਦੇ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਬੇਸ ਬਦਲਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਨਵੇਂ ਬੇਸ n ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ, ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਮ ਲਘੂਰਕ, log(x), ਦਾ ਬੇਸ 10 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕ, ln(x), ਦਾ ਬੇਸ e ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਬੇਸ ਬਦਲਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਅੰਸ਼ (numerator) ਬੇਸ n ਅਤੇ ਅਰਗੂਮੈਂਟ M ਵਾਲਾ ਲਘੂਰਕ ਹੋਵੇਗਾ। ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਹਰ (denominator) ਬੇਸ n ਅਤੇ ਅਰਗੂਮੈਂਟ b ਵਾਲਾ ਲਘੂਰਕ ਹੋਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਲਘੂਰਕੀ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
log 5 3 ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਲੌਗ 5 3 ਲੌਗ 5 3 ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਾਂਗੇ, ਨਵਾਂ ਅਧਾਰ, n=e ਹੈ। n=e ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਤਬਦੀਲੀ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੌਗ ਨੂੰ ਇੱਕ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਅੰਸ਼ 3 ਅਰਗੂਮੈਂਟ ਵਾਲਾ ਕੁਦਰਤੀ ਲੌਗ ਹੋਵੇਗਾ। ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਹਰ 5 ਅਰਗੂਮੈਂਟ ਵਾਲਾ ਕੁਦਰਤੀ ਲੌਗ ਹੋਵੇਗਾ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #13
ਲੌਗ 0.5 8 ਲੌਗ 0.5 8 ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
Q&A
ਕੀ ਅਸੀਂ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਲੌਗ9 ਲੌਗ9 ਦਾ ਮਤਲਬ ਲੌਗ 10 9 ਹੈ। ਲੌਗ 10 9। ਇਸ ਲਈ, ਲੌਗ9 = ln9 ln10। ਲੌਗ9 = ln9 ln10।
ਉਦਾਹਰਨ 14
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨਾਲ ਤਬਦੀਲੀ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨਾਲ ਤਬਦੀਲੀ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੌਗ 2 (10) ਲੌਗ 2 (10) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਤਬਦੀਲੀ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਅਸੀਂ ਅਧਾਰ 2 ਦੇ ਲੌਗ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਕੁਦਰਤੀ ਲੌਗ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ, ਜੋ ਕਿ ਅਧਾਰ e ਦਾ ਲੌਗ ਹੈ, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। e।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #14
ਤਬਦੀਲੀ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੌਗ 5 (100) ਲੌਗ 5 (100) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣ
ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ
ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਸ਼ਬਦਕ
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਲਈ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਲੌਗ ਬੀ ( x n )? ਲੌਗ ਬੀ ( x n ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਕਿਵੇਂ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ?
ਤਬਦੀਲੀ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕੀ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਇਹ ਕਿਉਂ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਲੌਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਜਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਲੌਗ ਬੀ ( 7x⋅2y ) ਲੌਗ ਬੀ ( 7x⋅2y )
ln( 3ab⋅5c ) ln( 3ab⋅5c )
log b ( 13 17 ) log b ( 13 17 )
log 4 ( x z w ) log 4 ( x z w )
ln( 1 4 k ) ln( 1 4 k )
log 2 ( y x ) log 2 ( y x )
For the following exercises, condense to a single logarithm if possible.
ln( 7 )+ln( x )+ln( y ) ln( 7 )+ln( x )+ln( y )
log 3 (2)+ log 3 (a)+ log 3 (11)+ log 3 (b) log 3 (2)+ log 3 (a)+ log 3 (11)+ log 3 (b)
log b (28)− log b (7) log b (28)− log b (7)
ln( a )−ln( d )−ln( c ) ln( a )−ln( d )−ln( c )
− log b ( 1 7 ) − log b ( 1 7 )
1 3 ln( 8 ) 1 3 ln( 8 )
For the following exercises, use the properties of logarithms to expand each logarithm as much as possible. Rewrite each expression as a sum, difference, or product of logs.
log( x 15 y 13 z 19 ) log( x 15 y 13 z 19 )
ln( a −2 b −4 c 5 ) ln( a −2 b −4 c 5 )
log( x 3 y −4 ) log( x 3 y −4 )
ln( y y 1−y ) ln( y y 1−y )
log( x 2 y 3 x 2 y 5 3 ) log( x 2 y 3 x 2 y 5 3 )
For the following exercises, condense each expression to a single logarithm using the properties of logarithms.
log( 2 x 4 )+log( 3 x 5 ) log( 2 x 4 )+log( 3 x 5 )
ln(6 x 9 )−ln(3 x 2 ) ln(6 x 9 )−ln(3 x 2 )
2log(x)+3log(x+1) 2log(x)+3log(x+1)
log(x)− 1 2 log(y)+3log(z) log(x)− 1 2 log(y)+3log(z)
4 log 7 ( c )+ log 7 ( a ) 3 + log 7 ( b ) 3 4 log 7 ( c )+ log 7 ( a ) 3 + log 7 ( b ) 3
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅਧਾਰ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
2. ਲਘੂਗਣਕ 7 (15) ਨੂੰ ਅਧਾਰ e ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
3. ਲਘੂਗਣਕ 14 (55.875) ਨੂੰ ਅਧਾਰ 10 ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
4. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕ 5 (6) = a ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ 5 (11) = b ਹੈ। ਬਦਲਾਅ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ a ਅਤੇ b ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ। ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ।
5. ਲਘੂਗਣਕ 11 (5)
6. ਲਘੂਗਣਕ 6 (55)
7. ਲਘੂਗਣਕ 11 (611)
8. ਸੰਖਿਆਤਮਕ
9. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ਲਘੂਗਣਕ 3 (1/9) - 3 ਲਘੂਗਣਕ 3 (3)
11. 6 ਲਘੂਗਣਕ 8 (2) + ਲਘੂਗਣਕ 8 (64) / 3 ਲਘੂਗਣਕ 8 (4)
12. 2 ਲਘੂਗਣਕ 9 (3) - 4 ਲਘੂਗਣਕ 9 (3) + ਲਘੂਗਣਕ 9 (1/729)
13. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਬਦਲਾਅ-ਦੇ-ਅਧਾਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਦਾ ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
14. ਲਘੂਗਣਕ 3 (22)
15. ਲਘੂਗਣਕ 8 (65)
16. ਲਘੂਗਣਕ 6 (5.38)
17. ਲਘੂਗਣਕ 4 (15/2)
18. ਲਘੂਗਣਕ 1/2 (4.7)
19. ਵਿਸਥਾਰ
20. ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਰੇ x ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕ 12 (2x+6) + ਲਘੂਗਣਕ 12 (x+2) = 2। ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ।
21. ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਰੇ x ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕ 6 (x+2) - ਲਘੂਗਣਕ 6 (x-3) = 1। ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ।
22. ਕੀ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੀ ਘਾਤ ਗੁਣ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਗੁਣ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨ b^x = m ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਜੇ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ। ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਉਤਪਤੀ ਦਿਖਾਓ।
23. ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕ b (n) = 1 / ਲਘੂਗਣਕ n (b) ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ b>1 ਅਤੇ n>1 ਲਈ।
24. ਕੀ ਲਘੂਗਣਕ 81 (2401) = ਲਘੂਗਣਕ 3 (7)? ਦਾਅਵੇ ਨੂੰ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਕਰੋ।