ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਘਾਤਾਂਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਧਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਘਾਤਾਂਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਘਾਤਾਂਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਆਸਟ੍ਰੇਲੀਆ ਵਿੱਚ ਜੰਗਲੀ ਖਰਗੋਸ਼। ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਆਸਟ੍ਰੇਲੀਆ ਵਿੱਚ ਇੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧੀ ਕਿ ਇਸ ਘਟਨਾ ਨੂੰ "ਖਰਗੋਸ਼ ਪਲੇਗ" ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਗਿਆ। (ਸਰੋਤ: ਰਿਚਰਡ ਟੇਲਰ, ਫਲਿੱਕਰ)
1859 ਵਿੱਚ, ਥਾਮਸ ਆਸਟਿਨ ਨਾਮ ਦੇ ਇੱਕ ਆਸਟ੍ਰੇਲੀਆਈ ਜ਼ਿਮੀਂਦਾਰ ਨੇ ਸ਼ਿਕਾਰ ਲਈ 24 ਖਰਗੋਸ਼ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ ਛੱਡੇ। ਕਿਉਂਕਿ ਆਸਟ੍ਰੇਲੀਆ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਸ਼ਿਕਾਰੀ ਅਤੇ ਭਰਪੂਰ ਭੋਜਨ ਸੀ, ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਾਧਾ ਹੋਇਆ। ਦਸ ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਵੀ ਘੱਟ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ, ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲੱਖਾਂ ਵਿੱਚ ਸੀ।
ਆਸਟ੍ਰੇਲੀਆ ਵਿੱਚ ਜੰਗਲੀ ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਵਾਂਗ ਬੇਕਾਬੂ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਘਾਤਾਂਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂਕੀ ਵਾਧੇ ਬਾਰੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਅਤੇ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀਆਂ ਕਰਨ ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ।
ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਧਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘਾਤਾਂਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਪਹਿਲੀ ਤਕਨੀਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਧਾਰਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਘਾਤਾਂਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ b, S, ਅਤੇ T ਲਈ, ਜਿੱਥੇ b>0, b≠1, b S = b T ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ S=T।
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਘਾਤਾਂਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਆਧਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਘਾਤਾਂਕ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਘਾਤਾਂਕ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਘਾਤਾਂਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਧਾਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਅਤੇ ਅਣਜਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ 3 4x−7 = 3 2x 3 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਆਮ ਆਧਾਰ, 3, ਹੋਵੇ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਘਾਤਾਂਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘਾਤਾਂਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਸਮੀਕਰਨ S ਅਤੇ T, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ b≠1 ਲਈ,
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
b S = b T ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤਾਂਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ S ਅਤੇ T ਇੱਕ ਅਣਜਾਣ ਦੇ ਨਾਲ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ, ਅਣਜਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ, ਜੇਕਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਜੋ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਸਮੀਕਰਨ b S = b T ਦਾ ਰੂਪ ਹੋਵੇ।
ਘਾਤਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਸਮੀਕਰਨ, S=T, ਨੂੰ ਅਣਜਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਇੱਕ ਆਮ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਘਾਤਾਂਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
2 x−1 = 2 2x−4 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #1
5 2x = 5 3x+2 . 5 2x = 5 3x+2 . ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ ਕਿ ਸਾਰੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਅਧਾਰ ਇੱਕੋ ਹੋਵੇ
ਕਈ ਵਾਰ ਘਾਤਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਸਾਂਝਾ ਅਧਾਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ। ਅਜਿਹੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਂਝੇ ਅਧਾਰ ਦੇ ਘਾਤਾਂ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ 256 = 4 x−5 . 256 = 4 x−5 . 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 2 ਦੇ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 2. ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ, ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੇ ਨਾਲ, x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: x:
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅਧਾਰਾਂ ਵਾਲੇ ਘਾਤਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਂਝੇ ਅਧਾਰ ਦੇ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ, ਤਾਂ ਜੋ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਸਮੀਕਰਨ b S = b T . b S = b T . ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ।
ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਣਜਾਣ ਲਈ, ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਸਮੀਕਰਨ, S=T, S=T, ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਅਧਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
8 x+2 = 16 x+1 . 8 x+2 = 16 x+1 . ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #2
5 2x = 25 3x+2 . 5 2x = 25 3x+2 . ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਜੜ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਅਧਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਭਿੰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
2 5x = 2 . 2 5x = 2 . ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #3
5 x = 5 . 5 x = 5 . ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
Q&A
1. ਕੀ ਸਾਰੀਆਂ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਜੇ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੌਰਾਨ ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਹੱਲ ਮੌਜੂਦ ਹੈ?
2. ਨਹੀਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਘਾਤੀ ਫਲਨ (exponential function) ਦੀ ਰੇਂਜ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਪਦ ਮਿਲ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ (undefined) ਹੋਵੇ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 4
4. ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
5. 3 x+1 =−2 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 3 x+1 =−2।
6. ਹੱਲ
7. ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। x ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਮੁੱਲ (real value) ਨਹੀਂ ਹੈ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੱਚਾ ਬਣਾ ਸਕੇ ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਘਾਤ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
8. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
9. ਚਿੱਤਰ 2 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੇ, ਇਸ ਲਈ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਕਦੇ ਵੀ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
10. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
11. 2 x =−100 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 2 x =−100।
12. ਲਘੂਗਣਕ (Logarithms) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
13. ਕਈ ਵਾਰ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਂਝੇ ਆਧਾਰ (common base) ਨਾਲ ਦੁਬਾਰਾ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਲਘੂਗਣਕ ਲੈ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਕਿਉਂਕਿ log( a )=log( b ) ਦਾ ਮਤਲਬ a=b ਹੈ, ਅਸੀਂ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ 'ਤੇ ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
14. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
15. ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਆਧਾਰ ਨਹੀਂ ਮਿਲ ਸਕਦਾ, ਅਣਜਾਣ (unknown) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
16. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ 'ਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਲਾਗੂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦਾ ਆਧਾਰ 10 ਹੈ, ਤਾਂ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ (common logarithm) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਦਾ ਆਧਾਰ 10 ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ (natural logarithm) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
17. ਅਣਜਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 5
19. ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਧਾਰਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
20. 5 x+2 = 4 x ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 5 x+2 = 4 x।
21. ਹੱਲ
22. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
23. 2 x = 3 x+1 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 2 x = 3 x+1।
Q&A
24. ਕੀ 2 x = 3 x ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਤਰੀਕਾ ਹੈ? 2 x = 3 x?
Yes. The solution is 0. 0.
Equations Containing e
One common type of exponential equations are those with base e. e. This constant occurs again and again in nature, in mathematics, in science, in engineering, and in finance. When we have an equation with a base e e on either side, we can use the natural logarithm to solve it.
How To
Given an equation of the form y=A e kt , y=A e kt , solve for t. t.
Divide both sides of the equation by A. A.
Apply the natural logarithm of both sides of the equation.
Divide both sides of the equation by k. k.
Example 6
Solve an Equation of the Form y = Aekt
Solve 100=20 e 2t . 100=20 e 2t .
Solution
Analysis
Using laws of logs, we can also write this answer in the form t=ln 5 . t=ln 5 . If we want a decimal approximation of the answer, we use a calculator.
Try It #6
Solve 3 e 0.5t =11. 3 e 0.5t =11.
Q&A
Does every equation of the form y=A e kt y=A e kt have a solution?
No. There is a solution when k≠0, k≠0, and when y y and A A are either both 0 or neither 0, and they have the same sign. An example of an equation with this form that has no solution is 2=−3 e t . 2=−3 e t .
Example 7
Solving an Equation That Can Be Simplified to the Form y = Aekt
Solve 4 e 2x +5=12. 4 e 2x +5=12.
Solution
Try It #7
Solve 3+ e 2t =7 e 2t . 3+ e 2t =7 e 2t .
ਬੇਲੋੜੇ ਹੱਲ
ਕਈ ਵਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਵਿਧੀਆਂ ਇੱਕ ਬੇਲੋੜਾ ਹੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਹੱਲ ਹੈ ਜੋ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਹੀ ਹੈ ਪਰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਅਜਿਹੀ ਹੀ ਇੱਕ ਸਥਿਤੀ ਉਦੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਲਘੂਗਣਕ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕ ਦਾ ਤਰਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ਧਨ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਜਿਸ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਉਹ ਰਿਣ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਈ ਨਤੀਜਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਘਾਤਾਂਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਵਰਗਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
e 2x − e x =56 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। e 2x − e x =56।
ਹੱਲ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਫ਼ਰ ਦਾ ਵਿਲੱਖਣ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਜ਼ਰੂਰ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ e x =−7 ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਧਨ ਸੰਖਿਆ ਕਦੇ ਵੀ ਰਿਣ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ। ln(−7) ਦਾ ਹੱਲ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਇਸ ਹੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬੇਲੋੜੇ ਹੱਲ ਵਜੋਂ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #8
e 2x = e x +2 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। e 2x = e x +2।
Q&A
ਕੀ ਹਰ ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
ਨਹੀਂ। ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਧਨ ਸੰਖਿਆ 'ਤੇ ਹੀ ਲਘੂਗਣਕ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਮੇਸ਼ਾ ਬੇਲੋੜੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੇਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨ log b ( x )=y, ਘਾਤਾਂਕੀ ਸਮੀਕਰਨ b y =x ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ, ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਤਰਕ ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ log 2 ( 2 )+ log 2 ( 3x−5 )=3 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: x:
ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ S ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ b ਅਤੇ c ਲਈ, ਜਿੱਥੇ b>0, b≠1,
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
2lnx+3=7 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 2lnx+3=7।
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #9
6+lnx=10 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 6+lnx=10।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਪ੍ਰਾਕ੍ਰਿਤਿਕ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਤੇ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
2ln(6x)=7 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 2ln(6x)=7।
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
2ln(x+1)=10 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 2ln(x+1)=10।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
lnx=3 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। lnx=3।
ਹੱਲ
ਚਿੱਤਰ 3 ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ, ਜਿਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਦੋ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਉਸ ਦਾ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ 20 ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ e³ ≈ 20। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ: e³ ≈ 20.0855।
ਚਿੱਤਰ 3: y=lnx ਅਤੇ y=3 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਿੰਦੂ (e³,3), ਜੋ ਕਿ ਲਗਭਗ (20.0855, 3) ਹੈ, 'ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨ 2ˣ = 1000 ਦੇ ਲਗਭਗ ਹੱਲ ਦਾ 2 ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਘਾਤ ਅੰਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x>0, S>0, T>0 ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ b, ਜਿੱਥੇ b≠1, ਲਈ,
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,
ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ x−1=8, ਤਾਂ ਅਸੀਂ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ x=9 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ x=9 ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: log₂(9−1) = log₂(8) = 3। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਅਧਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਰਗੂਮੈਂਟ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਰਗੂਮੈਂਟ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਲਾਗ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਅਰਗੂਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਅਤੇ ਅਣਜਾਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ log(3x−2)−log(2)=log(x+4) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਲਘੂਗਣਕ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, log(3x−2)−log(2)=log(x+4) ਵਿੱਚ x=10 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਸਮੀਕਰਨ S ਅਤੇ T ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ b, ਜਿੱਥੇ b≠1, ਲਈ,
ਨੋਟ ਕਰੋ, ਜਦੋਂ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਜਵਾਬ ਸਹੀ ਹੈ ਜਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਲੋਗਾਰਿਦਮ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਜੇਕਰ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਤਾਂ ਜੋ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ log b S = log b T ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਰਗੂਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਅਣਜਾਣ ਲਈ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨ, S = T, ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਲੋਗਾਰਿਦਮਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ln( x 2 ) = ln(2x+3) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਦੋ ਹੱਲ ਹਨ: 3 ਜਾਂ −1। ਹੱਲ −1 ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਚੈੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਲੌਗਾਰਿਦਮਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਅਜੇ ਵੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #12
ln( x 2 ) = ln1 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਅਤੇ ਲੋਗਾਰਿਦਮਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਅਤੇ ਲੋਗਾਰਿਦਮਿਕ ਦੋਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਗੁਣਾਂ ਅਤੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲੋਗਾਰਿਦਮਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਲੋਗਾਰਿਦਮਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ ਅਤੇ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋਗਾਰਿਦਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਹੁਨਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ, ਭਾਵੇਂ ਅਣਜਾਣ ਘਾਤ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਲੌਗਾਰਿਦਮ ਦੇ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਵਿੱਚ।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ ਅਸਥਿਰ ਸਮੱਗਰੀ ਦੇ ਅੱਧੇ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਸੜਨ ਵਿੱਚ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਜਿਸਨੂੰ ਇਸਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 1 ਕੁਝ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਅੱਧੇ ਜੀਵਨ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਪੰਗਤੀ: ਪਦਾਰਥ | ਵਰਤੋਂ | ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ
ਪੰਗਤੀ: ਗੈਲੀਅਮ-67 | ਨਿਊਕਲੀਅਰ ਮੈਡੀਸਨ | 80 ਘੰਟੇ
ਪੰਗਤੀ: ਕੋਬਾਲਟ-60 | ਨਿਰਮਾਣ | 5.3 ਸਾਲ
ਪੰਗਤੀ: ਟੈਕਨੀਸ਼ੀਅਮ-99m | ਨਿਊਕਲੀਅਰ ਮੈਡੀਸਨ | 6 ਘੰਟੇ
ਪੰਗਤੀ: ਅਮੇਰੀਸ਼ੀਅਮ-241 | ਉਸਾਰੀ | 432 ਸਾਲ
ਪੰਗਤੀ: ਕਾਰਬਨ-14 | ਪੁਰਾਤੱਤਵ ਮਿਤੀ | 5,730 ਸਾਲ
ਪੰਗਤੀ: ਯੂਰੇਨੀਅਮ-235 | ਪਰਮਾਣੂ ਸ਼ਕਤੀ | 703,800,000 ਸਾਲ
ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਅੱਧੇ ਜੀਵਨ ਕਿੰਨੇ ਵਿਆਪਕ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਅੱਧੇ ਜੀਵਨ ਨੂੰ ਜਾਣਨਾ ਸਾਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਬਚੀ ਹੋਈ ਮਾਤਰਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਸੜਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਜਿੱਥੇ
A 0 ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਮਾਤਰਾ ਹੈ
1. ਟੀ ਟੀ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਅਰਧ-ਜੀਵਨ ਹੈ
2. ਟੀ ਟੀ ਉਹ ਸਮਾਂ-ਕਾਲ ਹੈ ਜਿਸ ਦੌਰਾਨ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
3. ਏ(ਟੀ) ਏ(ਟੀ) ਸਮਾਂ ਟੀ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਮੌਜੂਦ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਹੈ
4. ਉਦਾਹਰਨ 13
5. ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਡਿਕੇ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
6. ਯੂਰੇਨੀਅਮ-235 ਦੇ 1000-ਗ੍ਰਾਮ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਦਸ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਖਤਮ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
7. ਹੱਲ
8. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
9. 1000 ਗ੍ਰਾਮ ਦਾ ਦਸ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ 100 ਗ੍ਰਾਮ ਹੈ। ਜੇ 100 ਗ੍ਰਾਮ ਖਤਮ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਯੂਰੇਨੀਅਮ-235 ਦੀ ਬਾਕੀ ਮਾਤਰਾ 900 ਗ੍ਰਾਮ ਹੈ।
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #13
11. ਸਾਡੇ 1000-ਗ੍ਰਾਮ ਯੂਰੇਨੀਅਮ-235 ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਵੀਹ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਖਤਮ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
12. ਮੀਡੀਆ
13. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
14. ਲਘੂਗਣਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
15. ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਨਾਲ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
16. ਸ਼ਬਦਕ
17. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
18. ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ ਕਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ? ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਹੱਲ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
19. ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਦੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ? ਕਦੋਂ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ?
20. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
21. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਾਨ ਆਧਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
22. 4 −3v−2 = 4 −v
23. 64⋅ 4 3x =16
24. 3 2x+1 ⋅ 3 x =243
2 ⋅ 4⁻³ⁿ ⋅ 4 = 2ⁿ⁺²
625 ⋅ 5³ˣ⁺³ = 125
36³ᵇ / 36²ᵇ = 216²⁻ᵇ
(1/64)³ⁿ ⋅ 8 = 2⁶
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
9ˣ⁻¹⁰ = 1
2e⁶ˣ = 13
eʳ⁺¹⁰ - 10 = -42
2 ⋅ 10⁹ᵃ = 29
-8 ⋅ 10ᵖ⁺⁷ - 7 = -24
7e³ⁿ⁻⁵ + 5 = -89
e⁻³ᵏ + 6 = 44
-5e⁹ˣ⁻⁸ - 8 = -62
-6e⁹ˣ⁺⁸ + 2 = -74
2ˣ⁺¹ = 5²ˣ⁻¹
e²ˣ - eˣ - 132 = 0
7e⁸ˣ⁺⁸ - 5 = -95
10e⁸ˣ⁺³ + 2 = 8
4e³ˣ⁺³ - 7 = 53
8e⁻⁵ˣ⁻² - 4 = -90
3²ˣ⁺¹ = 7ˣ⁻²
e²ˣ - eˣ - 6 = 0
3e³⁻³ˣ + 6 = -31
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਲਘੂਰਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. ਲਘੂ ਗਣਕ (1/100) = -2
2. ਲਘੂ ਗਣਕ 324 (18) = 1/2
3. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂ ਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. 5 ਲਘੂ ਗਣਕ 7 n = 10
5. -8 ਲਘੂ ਗਣਕ 9 x = 16
6. 4 + ਲਘੂ ਗਣਕ 2 (9k) = 2
7. 2 ਲਘੂ ਗਣਕ (8n + 4) + 6 = 10
8. 10 - 4 ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (9 - 8x) = 6
9. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂ ਗਣਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (10 - 3x) = ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (-4x)
11. ਲਘੂ ਗਣਕ 13 (5n - 2) = ਲਘੂ ਗਣਕ 13 (8 - 5n)
12. ਲਘੂ ਗਣਕ (x + 3) - ਲਘੂ ਗਣਕ (x) = ਲਘੂ ਗਣਕ (74)
13. ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (-3x) = ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (x^2 - 6x)
14. ਲਘੂ ਗਣਕ 4 (6 - m) = ਲਘੂ ਗਣਕ 4 (3m)
15. ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (x - 2) - ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (x) = ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (54)
16. ਲਘੂ ਗਣਕ 9 (2n^2 - 14n) = ਲਘੂ ਗਣਕ 9 (-45 + n^2)
17. ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (x^2 - 10) + ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (9) = ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (10)
18. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
19. ਲਘੂ ਗਣਕ (x + 12) = ਲਘੂ ਗਣਕ (x) + ਲਘੂ ਗਣਕ (12)
20. ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (x) + ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (x - 3) = ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (7x)
21. ਲਘੂ ਗਣਕ 2 (7x + 6) = 3
22. ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (7) + ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (2 - 4x^2) = ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (14)
23. ਲਘੂ ਗਣਕ 8 (x + 6) - ਲਘੂ ਗਣਕ 8 (x) = ਲਘੂ ਗਣਕ 8 (58)
24. ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (3) - ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (3 - 3x) = ਲਘੂ ਗਣਕ ਕੁਦਰਤੀ (4)
log 3 ( 3x )− log 3 ( 6 )= log 3 ( 77 ) log 3 ( 3x )− log 3 ( 6 )= log 3 ( 77 )
Graphical
For the following exercises, solve the equation for x, x, if there is a solution. Then graph both sides of the equation, and observe the point of intersection (if it exists) to verify the solution.
log 9 ( x )−5=−4 log 9 ( x )−5=−4
log 3 ( x )+3=2 log 3 ( x )+3=2
ln( 3x )=2 ln( 3x )=2
ln( x−5 )=1 ln( x−5 )=1
log( 4 )+log( −5x )=2 log( 4 )+log( −5x )=2
−7+ log 3 ( 4−x )=−6 −7+ log 3 ( 4−x )=−6
ln( 4x−10 )−6=−5 ln( 4x−10 )−6=−5
log( 4−2x )=log( −4x ) log( 4−2x )=log( −4x )
log 11 ( −2 x 2 −7x )= log 11 ( x−2 ) log 11 ( −2 x 2 −7x )= log 11 ( x−2 )
ln( 2x+9 )=ln( −5x ) ln( 2x+9 )=ln( −5x )
log 9 ( 3−x )= log 9 ( 4x−8 ) log 9 ( 3−x )= log 9 ( 4x−8 )
log( x 2 +13 )=log( 7x+3 ) log( x 2 +13 )=log( 7x+3 )
3 log 2 ( 10 ) −log( x−9 )=log( 44 ) 3 log 2 ( 10 ) −log( x−9 )=log( 44 )
ln( x )−ln( x+3 )=ln( 6 ) ln( x )−ln( x+3 )=ln( 6 )
For the following exercises, solve for the indicated value, and graph the situation showing the solution point.
An account with an initial deposit of $6,500 $6,500 earns 7.25% 7.25% annual interest, compounded continuously. How much will the account be worth after 20 years?
The formula for measuring sound intensity in decibels D D is defined by the equation D=10log( I I 0 ), D=10log( I I 0 ), where I I is the intensity of the sound in watts per square meter and I 0 = 10 −12 I 0 = 10 −12 is the lowest level of sound that the average person can hear. How many decibels are emitted from a jet plane with a sound intensity of 8.3⋅ 10 2 8.3⋅ 10 2 watts per square meter?
The population of a small town is modeled by the equation P=1650 e 0.5t P=1650 e 0.5t where t t is measured in years. In approximately how many years will the town’s population reach 20,000? 20,000?
Technology
For the following exercises, solve each equation by rewriting the exponential expression using the indicated logarithm. Then use a calculator to approximate the variable to 3 decimal places.
1000 ( 1.03 ) t =5000 1000 ( 1.03 ) t =5000 using the common log.
e 5x = 17, ਜਿੱਥੇ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੈ
3 (1.04) 3t = 8, ਜਿੱਥੇ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੈ
3 4x−5 = 38, ਜਿੱਥੇ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੈ
50 e −0.12t = 10, ਜਿੱਥੇ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੈ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਹੋਰ ਨਾ ਦੱਸਿਆ ਜਾਵੇ, ਸਾਰੇ ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
7 e 3x−5 +7.9=47
ln( 3 )+ln( 4.4x+6.8 )=2
log( −0.7x−9 )=1+5log( 5 )
ਵਾਯੂਮੰਡਲ ਦਾ ਦਬਾਅ P ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਇੰਚ ਵਿੱਚ ਸੂਤਰ P=14.7 e −0.21x ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਸਮੁੰਦਰ ਤਲ ਤੋਂ ਮੀਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਫੁੱਟ ਤੱਕ, 8.369 ਪੌਂਡ ਪ੍ਰਤੀ ਵਰਗ ਇੰਚ ਦੇ ਵਾਯੂਮੰਡਲ ਦਬਾਅ ਵਾਲੇ ਪਹਾੜ ਦੀ ਚੋਟੀ ਕਿੰਨੀ ਉੱਚੀ ਹੈ? (ਸੰਕੇਤ: ਇੱਕ ਮੀਲ ਵਿੱਚ 5280 ਫੁੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ)
ਭੁਚਾਲ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ M ਸਮੀਕਰਨ M= 2 3 log( E E 0 ) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿੱਥੇ E ਭੁਚਾਲ ਦੁਆਰਾ ਜਾਰੀ ਊਰਜਾ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਜੂਲਾਂ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ E 0 = 10 4.4 ਭੁਚਾਲ ਦੁਆਰਾ ਜਾਰੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮਾਪ ਹੈ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਸੌਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ, 1.4⋅ 10 13 ਜੂਲਾਂ ਊਰਜਾ ਜਾਰੀ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਭੁਚਾਲ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?
ਵਿਸਥਾਰ
ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ b log b x =x।
ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ ਲਈ ਸੂਤਰ ਯਾਦ ਕਰੋ, y=A e kt । ਸਮੇਂ t ਲਈ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ t ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ।
ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ ਸੂਤਰ A=a ( 1+ r k ) kt ਯਾਦ ਕਰੋ। ਸਮੇਂ t ਲਈ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਸ਼ੀਤਲਤਾ ਦਾ ਕਾਨੂੰਨ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ T ਸਮੀਕਰਨ T= T s +( T 0 − T s ) e −kt ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ T s ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਵਾਤਾਵਰਣ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਹੈ, T 0 ਵਸਤੂ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਾਪਮਾਨ ਹੈ, ਅਤੇ k ਸ਼ੀਤਲਤਾ ਦਰ ਹੈ। ਸਮੇਂ t ਲਈ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ t ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ।