ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਘਾਟ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਓਗੇ।
ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਲੌਗਿਸਟਿਕ-ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਅੰਕੜਿਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਢੁਕਵਾਂ ਮਾਡਲ ਚੁਣੋਗੇ।
ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਅਧਾਰ ee ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਜਾਰਜੀਆ ਇੰਸਟੀਚਿਊਟ ਆਫ਼ ਟੈਕਨਾਲੋਜੀ ਕੈਂਪਸ ਵਿਖੇ ਨੀਲੀ ਨਿਊਕਲੀਅਰ ਰਿਸਰਚ ਸੈਂਟਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮਾਣੂ ਖੋਜ ਰਿਐਕਟਰ (ਸਿਹਰਾ: ਜਾਰਜੀਆ ਟੈਕ ਰਿਸਰਚ ਇੰਸਟੀਚਿਊਟ)
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਘਾਤੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਹੋਰ ਡੂੰਘਾਈ ਨਾਲ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਆਈਸੋਟੋਪ ਅਤੇ ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਯਮ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਘਾਟ ਦਾ ਮਾਡਲਿੰਗ
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਹਾਰ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲਿੰਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਆਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦੇ ਗੁਣ ਇਹ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਇਹ ਉਸ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀ ਘਟਨਾ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਏਗਾ ਜਿਸਦਾ ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਤੇਜ਼ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਜਿੱਥੇ A0A0 ਸਮੇਂ ਜ਼ੀਰੋ 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ee ਯੂਲਰ ਦਾ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਅਤੇ kk ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਹੈ ਜੋ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ (ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੁਗਣੇ ਸਮੇਂ, ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਦੁਗਣੇ ਹੋਣ ਲਈ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਸਮੇਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੰਗਲੀ ਜੀਵ ਆਬਾਦੀ, ਵਿੱਤੀ ਨਿਵੇਸ਼, ਜੀਵ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਨਮੂਨੇ, ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਸਰੋਤਾਂ ਵਰਗੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੁਗਣੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਵਾਧਾ ਦਿਖਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕੁਝ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਲੌਗਿਸਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਲੌਗਿਸਟਿਕ ਮਾਡਲ ਕਈ ਵਾਰ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਨਾਲੋਂ ਬਿਹਤਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਅੰਕੜਿਆਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਮਾਤਰਾ ਜ਼ੀਰੋ ਵੱਲ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਡਿੱਗ ਰਹੀ ਹੈ, ਕਦੇ ਵੀ ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚੇ ਬਿਨਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸ਼ਾਇਦ ਘਾਤੀ ਘਾਟ ਮਾਡਲ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਦੁਬਾਰਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ y=A0ekty=A0ekt ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ ਜਿੱਥੇ A0A0 ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਅਤੇ ee ਯੂਲਰ ਦਾ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਹੁਣ kk ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਹੈ ਜੋ ਘਾਟ ਦੀ ਦਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅੱਧੇ ਜੀਵਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਆਪਣੇ ਮੂਲ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅੱਧੇ ਤੱਕ ਘਾਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘਟਣ ਲਈ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਘਾਤੀ ਘਾਟ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਆਈਸੋਟੋਪਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅੱਧੇ ਜੀਵਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸਾਡੀ ਚੋਣ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਧਿਆਨਪੂਰਵਕ ਨਿਰੀਖਣ ਅਤੇ ਮਾਪ ਦੁਆਰਾ ਇਕੱਠੇ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਬਣਾਏ ਜਾ ਸਕਣ ਅਤੇ ਉਮੀਦ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਸਕੀਏ। ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਘਾਟ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਆਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਦੋ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਹਿੱਸੇ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ, ਉਹ ਅਸਲ ਵਿੱਚ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹੀ ਦੂਰੀ ਉੱਤੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਦਿਖਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ। ਸਮੀਕਰਨ y=2e3x.y=2e3x ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਘਾਤੀ ਘਾਟ ਦਿਖਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ। ਸਮੀਕਰਨ y=3e−2x.y=3e−2x ਹੈ।
ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਘਾਟ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਬਹੁਤ ਵੱਡੀਆਂ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਮੈਗਨੀਚਿਊਡ ਦੇ ਆਰਡਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੈਗਨੀਚਿਊਡ ਦਾ ਆਰਡਰ ਦਸ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਤਾਰੇ, ਪ੍ਰੋਕਸੀਮਾ ਸੈਂਟੌਰੀ, ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ, ਕਿਲੋਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੀ ਗਈ, 40,113,497,200,000 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਹੈ। ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀ ਗਈ, ਇਹ 4.01134972×1013.4.01134972×1013 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਣਨ 1013.1013 ਦੇ ਮੈਗਨੀਚਿਊਡ ਦੇ ਆਰਡਰ ਵਜੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ, y = A 0 e k t y = A 0 e k t
y=A0ekty=A0ekt ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ:
ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ: y=0y=0
ਡੋਮੇਨ: (–∞, ∞)(–∞, ∞)
ਰੇਂਜ: (0,∞)(0,∞)
x ਇੰਟਰਸੈਪਟ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ
y-intercept: (0,A0)(0,A0)
increasing if k>0k>0 (see Figure 4)
decreasing if k<0k<0 (see Figure 4)
Figure 4: An exponential function models exponential growth when k>0k>0 and exponential decay when k<0.k<0.
Example 1
Graphing Exponential Growth
A population of bacteria doubles every hour. If the culture started with 10 bacteria, graph the population as a function of time.
Solution
When an amount grows at a fixed percent per unit time, the growth is exponential. To find A0A0 we use the fact that A0A0 is the amount at time zero, so A0=10.A0=10. To find k,k, use the fact that after one hour (t=1)(t=1) the population doubles from 1010 to 20.20. The formula is derived as follows
so k=ln(2).k=ln(2). Thus the equation we want to graph is y=10 e (ln2)t =10 ( e ln2 ) t =10· 2 t . y=10 e (ln2)t =10 ( e ln2 ) t =10· 2 t . The graph is shown in Figure 5.
Figure 5: The graph of y=10e(ln2)ty=10e(ln2)t
Analysis
The population of bacteria after ten hours is 10,240. We could describe this amount is being of the order of magnitude 104.104. The population of bacteria after twenty hours is 10,485,760 which is of the order of magnitude 107,107, so we could say that the population has increased by three orders of magnitude in ten hours.
Half-Life
We now turn to exponential decay. One of the common terms associated with exponential decay, as stated above, is half-life, the length of time it takes an exponentially decaying quantity to decrease to half its original amount. Every radioactive isotope has a half-life, and the process describing the exponential decay of an isotope is called radioactive decay.
To find the half-life of a function describing exponential decay, solve the following equation:
We find that the half-life depends only on the constant kk and not on the starting quantity A0.A0.
The formula is derived as follows
Since t,t, the time, is positive, kk must, as expected, be negative. This gives us the half-life formula
How To
Given the half-life, find the decay rate.
Write A=Aoekt.A=Aoekt.
Replace AA by 12A012A0 and replace tt by the given half-life.
Solve to find k.k. Express kk as an exact value (do not round).
Note: It is also possible to find the decay rate using k=−ln(2)t.k=−ln(2)t.
Example 2
Finding the Function that Describes Radioactive Decay
The half-life of carbon-14 is 5,730 years. Express the amount of carbon-14 remaining as a function of time, t.t.
Solution
This formula is derived as follows.
The function that describes this continuous decay is f(t)=A0e(ln(0.5)5730)t.f(t)=A0e(ln(0.5)5730)t. We observe that the coefficient of t,t, ln(0.5)5730≈−1.2097×10−4ln(0.5)5730≈−1.2097×10−4 is negative, as expected in the case of exponential decay.
Try It #1
The half-life of plutonium-244 is 80,000,000 years. Find a function that gives the amount of plutonium-244 remaining as a function of time, measured in years.
Radiocarbon Dating
The formula for radioactive decay is important in radiocarbon dating, which is used to calculate the approximate date a plant or animal died. Radiocarbon dating was discovered in 1949 by Willard Libby, who won a Nobel Prize for his discovery. It compares the difference between the ratio of two isotopes of carbon in an organic artifact or fossil to the ratio of those two isotopes in the air. It is believed to be accurate to within about 1% error for plants or animals that died within the last 60,000 years.
Carbon-14 is a radioactive isotope of carbon that has a half-life of 5,730 years. It occurs in small quantities in the carbon dioxide in the air we breathe. Most of the carbon on Earth is carbon-12, which has an atomic weight of 12 and is not radioactive. Scientists have determined the ratio of carbon-14 to carbon-12 in the air for the last 60,000 years, using tree rings and other organic samples of known dates—although the ratio has changed slightly over the centuries.
As long as a plant or animal is alive, the ratio of the two isotopes of carbon in its body is close to the ratio in the atmosphere. When it dies, the carbon-14 in its body decays and is not replaced. By comparing the ratio of carbon-14 to carbon-12 in a decaying sample to the known ratio in the atmosphere, the date the plant or animal died can be approximated.
Since the half-life of carbon-14 is 5,730 years, the formula for the amount of carbon-14 remaining after tt years is
where
AA is the amount of carbon-14 remaining
A0A0 is the amount of carbon-14 when the plant or animal began decaying.
This formula is derived as follows:
To find the age of an object, we solve this equation for t:t:
Out of necessity, we neglect here the many details that a scientist takes into consideration when doing carbon-14 dating, and we only look at the basic formula. The ratio of carbon-14 to carbon-12 in the atmosphere is approximately 0.0000000001%. Let rr be the ratio of carbon-14 to carbon-12 in the organic artifact or fossil to be dated, determined by a method called liquid scintillation. From the equation A≈A0e−0.000121tA≈A0e−0.000121t we know the ratio of the percentage of carbon-14 in the object we are dating to the initial amount of carbon-14 in the object when it was formed is r=AA0≈e−0.000121t.r=AA0≈e−0.000121t. We solve this equation for t,t, to get
How To
Given the percentage of carbon-14 in an object, determine its age.
Express the given percentage of carbon-14 as an equivalent decimal, k. k.
Substitute for k in the equation t= ln( r ) −0.000121 t= ln( r ) −0.000121 and solve for the age, t. t.
Example 3
ਹੱਡੀ ਦੀ ਉਮਰ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਹੱਡੀ ਦਾ ਟੁਕੜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਸਦੀ ਅਸਲੀ ਕਾਰਬਨ-14 ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦਾ 20% ਹਿੱਸਾ ਬਚਿਆ ਹੈ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਸਾਲ ਤੱਕ, ਹੱਡੀ ਕਿੰਨੀ ਪੁਰਾਣੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ r ਲਈ 20%=0.20 ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਹੱਡੀ ਦਾ ਟੁਕੜਾ ਲਗਭਗ 13,301 ਸਾਲ ਪੁਰਾਣਾ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਕਾਰਬਨ-14 ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤਤਾ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ ਬਹੁਤ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦੱਸਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਹੋਣ ਲਈ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਫਿਰ ਵੀ, ਕਾਰਬਨ ਡੇਟਿੰਗ ਸਿਰਫ ਲਗਭਗ 1% ਤੱਕ ਹੀ ਸਹੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਉਮਰ 13,301 ਸਾਲ ± 1% ਜਾਂ 13,301 ਸਾਲ ± 133 ਸਾਲ ਵਜੋਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #2
ਸੀਜ਼ੀਅਮ-137 ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਲਗਭਗ 30 ਸਾਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 200 mg ਸੀਜ਼ੀਅਮ-137 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਕੀ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਰਹਿਣ ਤੱਕ 230 ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
ਦੋਹਰਾ ਸਮਾਂ ਗਣਨਾ
ਘਟ ਰਹੀ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਕਿ ਕਿਸੇ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਘਟਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਵੱਧ ਰਹੀ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦੱਸਿਆ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਦੋਹਰਾ ਸਮਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮੁੱਢਲੀ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ A= A 0 e kt , ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਦੋਹਰਾ ਸਮਾਂ ਮੂਲ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਭਾਵ, 2 A 0 = A 0 e kt ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ।
ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ ਦੋਹਰਾ ਸਮਾਂ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਵਾਧੇ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣਾ
ਮੂਰ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਅਨੁਸਾਰ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਚਿੱਪ 'ਤੇ ਲਗਾਏ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਟ੍ਰਾਂਜ਼ਿਸਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਦੋਹਰਾ ਸਮਾਂ ਲਗਭਗ ਦੋ ਸਾਲ ਹੈ। ਇਸ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿਓ।
ਹੱਲ
ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਫੰਕਸ਼ਨ A 0 e ln2 2 t ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #3
ਹਾਲੀਆ ਅੰਕੜੇ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ, 2013 ਤੱਕ, ਮੂਰ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਹੁਣ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦੀ। ਵਾਧਾ ਲਗਭਗ ਤਿੰਨ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਦੋਹਰੇ ਸਮੇਂ ਤੱਕ ਹੌਲੀ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ। ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਉਸ ਲੰਬੇ ਦੋਹਰੇ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਢੇ ਹੋਣ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਕਮੀ ਨੂੰ ਤਾਪਮਾਨ 'ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਗਰਮ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਘੱਟ ਤਾਪਮਾਨ ਵਾਲੀ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਸਤੂ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘਟ ਜਾਵੇਗਾ, ਅਤੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਹਵਾ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਇਹ ਸਥਿਰ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ। ਤਾਪਮਾਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ, ਸਥਿਰ ਹੋਣਾ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਹਵਾ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਮਰੇ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਇਹ ਆਮ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਕਮੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਅਨੁਵਾਦ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਢੇ ਹੋਣ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਤਾਪਮਾਨ ਲਈ ਵਿਗਿਆਨਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਸੂਤਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਯਮ
ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ, T, T, ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਹਵਾ ਜਿਸਦਾ ਤਾਪਮਾਨ T s T s ਹੈ, ਸੂਤਰ ਅਨੁਸਾਰ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰੇਗਾ
ਜਿੱਥੇ
t t ਸਮਾਂ ਹੈ
A A ਵਸਤੂ ਅਤੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਾਪਮਾਨ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਹੈ
k k ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਵਸਤੂ ਦੇ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦੀ ਨਿਰੰਤਰ ਦਰ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
T s T s ਨੂੰ ਹਰੀਜੱਟਲ ਅਸਮਤੋਟ (ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ) ਦੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਪੈਰਾਮੀਟਰ A A ਅਤੇ k. k. ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਕਾਸ ਸੂਤਰ T(t)=A e k t + T s T(t)=A e k t + T s ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਤਾਪਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਜਾਂ ਸਮਾਂ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਚੀਜ਼ਕੇਕ ਨੂੰ ਓਵਨ ਵਿੱਚੋਂ 165°F, 165°F ਦੇ ਆਦਰਸ਼ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਾਪਮਾਨ ਨਾਲ ਬਾਹਰ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ 35°F 35°F ਫਰਿੱਜ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 10 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਚੀਜ਼ਕੇਕ 150°F ਤੱਕ ਠੰਡਾ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ। 150°F। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਖਾਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚੀਜ਼ਕੇਕ ਦੇ 70°F 70°F ਤੱਕ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਤੱਕ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ?
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਫਰਿੱਜ ਵਿੱਚ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਹਵਾ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 35 ਡਿਗਰੀ ਹੈ, ਚੀਜ਼ਕੇਕ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 35 ਵੱਲ ਘਾਤਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟੇਗਾ, ਜੋ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਾਪਮਾਨ 165 ਸੀ, ਇਸ ਲਈ T(0)=165। T(0)=165।
ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਡਾਟਾ ਪੁਆਇੰਟ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, T(10)=150, T(10)=150, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ k. k. ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਚੀਜ਼ਕੇਕ ਦੇ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ: T(t)=130 e –0.0123t +35। T(t)=130 e –0.0123t +35।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ 70 ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚੀਜ਼ਕੇਕ ਨੂੰ 70°F ਤੱਕ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਲਈ ਲਗਭਗ 107 ਮਿੰਟ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਘੰਟਾ ਅਤੇ 47 ਮਿੰਟ ਲੱਗਣਗੇ। 70°F।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
40 ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਪਾਣੀ ਦਾ ਇੱਕ ਘੜਾ 70 ਡਿਗਰੀ ਕਮਰੇ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ, ਤਾਪਮਾਨ 45 ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਵੱਧ ਗਿਆ ਹੈ। ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ 60 ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਵਧਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਘਾਤੀ ਵਿਕਾਸ ਸਦਾ ਲਈ ਜਾਰੀ ਨਹੀਂ ਰਹਿ ਸਕਦਾ। ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ, ਭਾਵੇਂ ਉਹ ਥੋੜ੍ਹੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿੰਨਾ ਲੰਬਾ ਸਮਾਂ ਉਹ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਉੱਨਾ ਹੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਵਿਗੜਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਮਹਾਂ-ਆਕਾਂਖੀ ਲੇਖਕ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਦਿਨ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਲਿਖਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਮਹੀਨੇ ਲਈ ਹਰ ਰੋਜ਼ ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਲਿਖੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਲਾਈਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਮਹੀਨੇ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਉਸਨੂੰ 17 ਅਰਬ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲਾਈਨਾਂ, ਜਾਂ ਅੱਧਾ ਅਰਬ ਪੰਨੇ ਲਿਖਣੇ ਪੈਣਗੇ। ਇੰਨਾ ਥੋੜ੍ਹਾ ਸਮਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਲਈ ਵੀ ਇੰਨਾ ਲਿਖਣਾ ਅਵਿਵਹਾਰਕ, ਜੇ ਅਸੰਭਵ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਹੈ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਹੌਲੀ ਹੋਣ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਨ ਕਰਕੇ, ਘਾਤੀ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਦੀ ਬਜਾਏ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ ਵਾਲਾ ਮਾਡਲ ਵਰਤਣਾ ਅਕਸਰ ਬਿਹਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਘਾਤੀ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਥੋੜ੍ਹੇ ਸਮੇਂ ਲਈ, ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਉਪਯੋਗੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ ਘਾਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਜਿਉਂ-ਜਿਉਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮਾਡਲ ਦੀ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ, ਜਿਸਨੂੰ ਕੈਰੀਇੰਗ ਕੈਪੇਸਿਟੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਇਸਦੀ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਘੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਥਿਰਾਂਕ a, b, ਅਤੇ c ਲਈ, ਸਮਾਂ t ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਸਿਰਫ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਵਧਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਹ ਆਪਣੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੀ, ਜਿਸ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਘੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
c 1+a ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਹੈ
c ਕੈਰੀਇੰਗ ਕੈਪੇਸਿਟੀ, ਜਾਂ ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ ਹੈ
b ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਲੌਜਿਸਟਿਕ-ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਇੱਕ ਇਨਫਲੂਐਂਜ਼ਾ ਮਹਾਂਮਾਰੀ ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਫੈਲਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਦਰ ਤੇ ਜੋ ਦੋ ਕਾਰਕਾਂ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ: ਜਿੰਨੇ ਜ਼ਿਆਦਾ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਫਲੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਓਨੀ ਹੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਇਹ ਫੈਲਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਾਲ ਹੀ ਜਿੰਨੇ ਜ਼ਿਆਦਾ ਅਣ-ਸੰਕਰਮਿਤ ਲੋਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਓਨੀ ਹੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਇਹ ਫੈਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ ਕਾਰਕ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਸੰਚਾਰੀ ਰੋਗਾਂ ਦੇ ਫੈਲਣ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਅਤੇ, ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ, ਸੰਕਰਮਿਤ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ: ਪੂਰੀ ਆਬਾਦੀ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮਾਂ t=0 ਤੇ 1,000 ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਭਾਈਚਾਰੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਫਲੂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਭਾਈਚਾਰੇ ਵਿੱਚ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 1,000 ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਫਲੂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਖੋਜਕਰਤਾਵਾਂ ਨੇ ਪਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ਫਲੂ ਦੇ ਇਸ ਖਾਸ ਸਟ੍ਰੇਨ ਲਈ, ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਸਥਿਰਾਂਕ b=0.6030 ਹੈ। ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ ਕਿ ਦਸ ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਇਸ ਭਾਈਚਾਰੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਇਹ ਫਲੂ ਹੋ ਚੁੱਕਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰੋ ਕਿ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਬਾਅਦ ਇਸ ਭਾਈਚਾਰੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਇਹ ਫਲੂ ਹੋ ਚੁੱਕਾ ਹੋਵੇਗਾ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਕਿਉਂਕਿ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 1,000 ਲੋਕ, ਭਾਈਚਾਰੇ ਦੀ ਪੂਰੀ ਆਬਾਦੀ, ਨੂੰ ਫਲੂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ c=1000 ਹੈ। a ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮਾਂ t=0 ਤੇ ਕੇਸਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ c/(1+a) =1 ਹੈ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ a=999 ਹੈ। ਇਹ ਮਾਡਲ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਦਸ ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ, ਫਲੂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ f(t)=1000/(1+999e^(-0.6030x)) ≈293.8 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸਲ ਗਿਣਤੀ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ (ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਫਲੂ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ) ਅਸੀਂ 294 ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ, ਫਲੂ ਦਾ ਸ਼ਿਕਾਰ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਸੀਮਤ ਮੁੱਲ, c=1000 ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਾਇਰਸ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸੰਕਰਮਿਤ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ ਤੇ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਮਾਡਲ ਸਿਰਫ ਸੰਕਰਮਿਤ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸਹੀ ਜਾਂ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਦੇਵੇਗਾ।
ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ ਮਾਡਲ ਦੇ ਡਾਟਾ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਇਸਦੀ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਤਸਵੀਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7: f(t)=1000/(1+999e^(-0.6030x)) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵਿੱਚ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਦਿਨ 15 ਤੇ ਫਲੂ ਦੇ ਕੇਸਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ।
ਡਾਟਾ ਲਈ ਇੱਕ ਉਚਿਤ ਮਾਡਲ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰ ਲਈ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਕੋਲ ਮੌਜੂਦ ਕੱਚੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਲਈ ਢੁਕਵਾਂ ਮਾਡਲ ਚੁਣਨਾ ਸਿੱਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਕਈ ਕਾਰਕ ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲ ਦੀ ਚੋਣ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਭਵ, ਵਿਗਿਆਨਕ ਕਾਨੂੰਨ, ਅਤੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਪੈਟਰਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਸਾਰੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਐਲੀਮੈਂਟਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਕਈ ਵਾਰ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 1960 ਤੋਂ 2013 ਤੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਖਰੀਦੇ ਗਏ ਘਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 'ਤੇ ਅੰਕੜੇ ਇਕੱਠੇ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ। ਇਹਨਾਂ ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕੈਟਰ ਪਲਾਟ ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 2000 ਤੋਂ 2013 ਤੱਕ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਵਕਰ (logarithmic curve) ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ 2000 ਤੋਂ 2010 ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇੱਕ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ 2015 ਦੇ ਸਾਲ ਲਈ ਘਰ ਖਰੀਦਦਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਤਿੰਨ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ (linear functions), ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ (exponential functions), ਅਤੇ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ (logarithmic functions)। ਜੇਕਰ ਅੰਕੜੇ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਪਏ ਹੋਣ, ਜਾਂ ਲਗਭਗ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ ਪਏ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਮਾਡਲ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅੰਕੜੇ ਗੈਰ-ਰੇਖੀ (non-linear) ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਜਾਂ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਮਾਡਲ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਹੋਰ ਮਾਡਲ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਰਗਾਕਾਰ ਮਾਡਲ (quadratic models), 'ਤੇ ਵੀ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਮਾਡਲ ਅਤੇ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਮਾਡਲ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਚੋਣ ਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਵਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਨੂੰ ਅਵਤਲਤਾ (concavity) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦੋ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਾਰੇ (ਜਾਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ) ਅੰਕੜੇ ਉਸ ਰੇਖਾ ਦੇ ਉੱਪਰ ਪਏ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਕਰ ਅਵਤਲ (concave down) ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਕਟੋਰੀ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਮੁੜਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਪਾਣੀ ਨਹੀਂ ਰੱਖ ਸਕਦੀ। ਜੇਕਰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਾਰੇ (ਜਾਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ) ਅੰਕੜੇ ਰੇਖਾ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਪਏ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਕਰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਅਵਤਲ (concave up) ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕਟੋਰੀ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਮੁੜਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਪਾਣੀ ਰੱਖ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਕਰ, ਭਾਵੇਂ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ, ਭਾਵੇਂ ਵਿਕਾਸ ਜਾਂ ਕਮੀ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ, ਹਮੇਸ਼ਾ ਆਪਣੇ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ (horizontal asymptote) ਤੋਂ ਦੂਰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਅਵਤਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਵਕਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਆਪਣੇ ਲੰਬਵਤ ਐਸਿੰਪਟੋਟ (vertical asymptote) ਤੋਂ ਦੂਰ ਅਵਤਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਜੋ ਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਮਾਮਲਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਕਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਅਵਤਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਵਕਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਅਵਤਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਕਰ ਅਵਤਲਤਾ ਨੂੰ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਅਵਤਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਪਰੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਅਵਤਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਇਨਫਲੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ (point of inflection) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮਾਡਲ ਵਜੋਂ ਵਰਤਣ ਲਈ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਕਿਸਮ ਚੁਣਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਦੂਰ ਚੁਣ ਕੇ ਰਾਉਂਡ-ਆਫ ਗਲਤੀ ਨੂੰ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲ ਦੀ ਚੋਣ
ਕੀ ਇੱਕ ਰੇਖੀ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ, ਲਘੂਰਘਾਤਕ, ਜਾਂ ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਮਾਡਲ ਟੇਬਲ 1 ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਢੰਗ ਨਾਲ ਫਿੱਟ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਮਾਡਲ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਆਪਣੀ ਚੋਣ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
ਸਤਰ: y | 0 | 1.386 | 2.197 | 2.773 | 3.219 | 3.584 | 3.892 | 4.159 | 4.394
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਫਿਗਰ 8 ਵਾਂਗ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ ਲਈ, ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਪਏ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਜਾਂ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਰੇਖਾ ਦੇ ਉੱਪਰ ਪਏ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਅਵਤਲ (concave down) ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਮਾਡਲ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ y=aln(bx) ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ, (1,0) ਨੂੰ ਪਲੱਗ ਕਰਨ ਨਾਲ 0=alnb ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ a=0 ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ (ਜੇਕਰ ਇਹ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਸਾਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟ 0 ਹੁੰਦੇ), ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ln(b)=0। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ b=1 ਅਤੇ y=aln(x)। ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ a ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂ (9, 4.394) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਕਿਉਂਕਿ a = 4.394 ln(9) ≈ 2, ਇਸ ਲਈ ਅੰਕੜਿਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਢੁਕਵਾਂ ਮਾਡਲ y=2ln(x) ਹੈ।
ਮਾਡਲ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਾਲ ਫਿਗਰ 9 ਵਾਂਗ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਫਿਗਰ 9: y=2lnx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮਾਡਲ ਅੰਕੜਿਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਫਿੱਟ ਹੈ।
ਫਿਗਰ 9 ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਫਿਗਰ 10 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ y=ln(x²) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਕਰੋ।
ਫਿਗਰ 10: y=ln(x²) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ
ਗ੍ਰਾਫ ਪਛਾਣਨਯੋਗ ਜਾਪਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ x>0। ਇੱਕ ਤੇਜ਼ ਜਾਂਚ ਇਸ ਸਿੱਟੇ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦੀ ਹੈ: x>0 ਲਈ y=ln(x²)=2ln(x)।
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ x<0, ਤਾਂ y=ln(x²) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ "ਵਾਧੂ" ਸ਼ਾਖਾ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਫਿਗਰ 11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ, ਜਦੋਂ ਕਿ y=2ln(x) ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਰੱਖ ਸਕਦਾ (ਕਿਉਂਕਿ ਅਜਿਹੇ ਮੁੱਲ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਨੂੰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਬਣਾ ਦੇਣਗੇ), ਫੰਕਸ਼ਨ y=ln(x²) ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਡੋਮੇਨ ਮੁੱਲ ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਕੀ ਇੱਕ ਰੇਖੀ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ, ਜਾਂ ਲਘੂਰਘਾਤਕ ਮਾਡਲ ਟੇਬਲ 2 ਵਿੱਚ ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਢੰਗ ਨਾਲ ਫਿੱਟ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਮਾਡਲ ਲੱਭੋ।
ਸਤਰ: x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
1. ਕਤਾਰ: y y | 3.297 | 5.437 | 8.963 | 14.778 | 24.365 | 40.172 | 66.231 | 109.196 | 180.034
2. ਅਧਾਰ 'ਈ' ਵਿੱਚ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਮਾਡਲ ਦਾ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ
3. ਹਾਲਾਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਧਾਰ ਦੇ ਘਾਤ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਮਾਡਲਿੰਗ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਦੋ ਅਧਾਰ 10 ਅਤੇ 'ਈ' ਹਨ। ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਅਧਾਰ 'ਈ' ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਤਰਜੀਹ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਧਾਰ ਨੂੰ ਅਧਾਰ 'ਈ' ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
4. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
5. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮਾਡਲ ਨੂੰ y=a b^x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਸਨੂੰ y=A_0 e^{kx} ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
6. y=a b^x ਨੂੰ y=a e^{\ln(b^x)} ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
7. ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ y ਨੂੰ y=a e^{x\ln(b)} = a e^{\ln(b)x} ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
8. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ y=A_0 e^{kx} ਵਿੱਚ a=A_0 ਅਤੇ k=\ln(b) ਹੈ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 8
10. ਅਧਾਰ 'ਈ' ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
11. ਫੰਕਸ਼ਨ y=2.5 (3.1)^x ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਦਲੋ ਕਿ ਇਹੋ ਫੰਕਸ਼ਨ y=A_0 e^{kx} ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਵੇ।
12. ਹੱਲ
13. ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
14. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #7
15. ਫੰਕਸ਼ਨ y=3 (0.5)^x ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਜਿਸਦਾ ਅਧਾਰ 'ਈ' ਹੋਵੇ।
16. ਮੀਡੀਆ
17. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਮਾਡਲਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
18. ਲਘੂਗਣਕੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ – pH
19. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਮਾਡਲ – ਅੱਧੀ ਉਮਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਮਰ
20. ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਯਮ
21. ਦੁੱਗਣੀ ਹੋਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ
22. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ – ਦੁੱਗਣੀ ਹੋਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮਾਤਰਾ ਲੱਭੋ
23. ਸ਼ਬਦਕ
24. ਅੱਧੀ ਉਮਰ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਮਾਡਲ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੋਵੇਗੀ? ਇਹਨਾਂ ਮਾਡਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅੱਧੀ ਉਮਰ ਦੀ ਕੀ ਭੂਮਿਕਾ ਹੈ?
ਕਾਰਬਨ ਡੇਟਿੰਗ ਕੀ ਹੈ? ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ? ਕਾਰਬਨ ਡੇਟਿੰਗ ਕਿਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ?
ਦੋਗੁਣੀ ਸਮੇਂ ਦਾ ਸੰਬੰਧ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਘਾਤਾਂਕੀ ਮਾਡਲ ਨਾਲ ਹੋਵੇਗਾ? ਇਹਨਾਂ ਮਾਡਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋਗੁਣੀ ਸਮੇਂ ਦੀ ਕੀ ਭੂਮਿਕਾ ਹੈ?
ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਢੇ ਹੋਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਤਿੰਨ ਅਸਲ-ਦੁਨਿਆਵੀ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੇ ਨਾਮ ਦੱਸੋ ਜਿੱਥੇ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਠੰਢੇ ਹੋਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।
ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦਾ ਆਦੇਸ਼ ਕੀ ਹੈ? ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦੇ ਆਦੇਸ਼ ਕਿਉਂ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹਨ? ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ।
ਸੰਖਿਆਤਮਕ
ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਵਿੱਚ t ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਸਮੀਕਰਨ T(t)=68 e −0.0174t +72 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਤੇ ਅੱਧੇ ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ ਵਸਤੂ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ, ਕਿੰਨਾ ਹੈ?
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ f(x)= 150 1+8 e −2x ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
f(0) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
f(4) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਸੰਭਾਲਣ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਲੱਭੋ।
ਮਾਡਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਡਾਟਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਢੰਗ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਰੇਖੀ, ਘਾਤਾਂਕੀ, ਜਾਂ ਲਘੂਗਣਕੀ ਹੈ। ਫਿਰ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ ਜੋ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: xx | f(x)
ਸਤਰ: –2 | 0.694
ਸਤਰ: –1 | 0.833
ਸਤਰ: 0 | 1
ਸਤਰ: 1 | 1.2
ਸਤਰ: 2 | 1.44
ਸਤਰ: 3 | 1.728
ਸਤਰ: 4 | 2.074
ਸਤਰ: 5 | 2.488
f(x)=1.68 ( 0.65 ) x ਨੂੰ ਬੇਸ e ਵਾਲੇ ਘਾਤਾਂਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਤਕਨਾਲੋਜੀ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਕੇਟਰ ਪਲਾਟ ਬਣਾਓ। ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਡਾਟਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਰੇਖੀ, ਘਾਤਾਂਕੀ, ਜਾਂ ਲਘੂਗਣਕੀ ਹੈ।
row: xx | f(x)f(x)
row: 1 | 2
row: 2 | 4.079
row: 3 | 5.296
row: 4 | 6.159
row: 5 | 6.828
row: 6 | 7.375
row: 7 | 7.838
row: 8 | 8.238
row: 9 | 8.592
row: 10 | 8.908
row: x x | f(x) f(x)
row: 1 | 2.4
row: 2 | 2.88
row: 3 | 3.456
row: 4 | 4.147
row: 5 | 4.977
row: 6 | 5.972
row: 7 | 7.166
row: 8 | 8.6
row: 9 | 10.32
row: 10 | 12.383
row: x x | f(x) f(x)
row: 4 | 9.429
row: 5 | 9.972
row: 6 | 10.415
row: 7 | 10.79
row: 8 | 11.115
row: 9 | 11.401
row: 10 | 11.657
row: 11 | 11.889
row: 12 | 12.101
row: 13 | 12.295
row: xx | f(x)f(x)
row: 1.25 | 5.75
row: 2.25 | 8.75
row: 3.56 | 12.68
row: 4.2 | 14.6
row: 5.65 | 18.95
row: 6.75 | 22.25
row: 7.25 | 23.75
row: 8.6 | 27.8
row: 9.25 | 29.75
row: 10.5 | 33.5
For the following exercises, use a graphing calculator and this scenario: the population of a fish farm in t t years is modeled by the equation P( t )= 1000 1+9 e −0.6t . P( t )= 1000 1+9 e −0.6t .
Graph the function.
What is the initial population of fish?
To the nearest tenth, what is the doubling time for the fish population?
2 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਮੱਛੀ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਕਿੰਨੀ ਹੋਵੇਗੀ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਵਿੱਚ?
ਆਬਾਦੀ 900 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ?
ਮੱਛੀ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਕੈਰੀਅਿੰਗ ਸਮਰੱਥਾ ਕੀ ਹੈ? P. P. ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।
ਵਿਸਤਾਰ
ਇੱਕ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 2.045 ਮਿੰਟ ਹੈ। ਜੇ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮਾਤਰਾ 132.8 ਗ੍ਰਾਮ ਸੀ, ਤਾਂ ਪਦਾਰਥ 8.3 ਗ੍ਰਾਮ ਤੱਕ ਘਟਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿੰਨੇ ਅੱਧੇ ਜੀਵਨ ਬੀਤ ਜਾਣਗੇ? ਘਟਣ ਦਾ ਕੁੱਲ ਸਮਾਂ ਕਿੰਨਾ ਹੈ?
ਵਧ ਰਹੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ P(t)= P 0 e rt ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ P 0 ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਹੈ ਅਤੇ r>0। ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ M ਗੁਣਾ ਵਧਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸਮੇਂ t ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਫਾਰਮੂਲਾ ਤਿਆਰ ਕਰੋ।
ਭੁਚਾਲ ਦੇ ਮਾਪ M= 2 3 log( S S 0 ) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਯਾਦ ਕਰੋ। ਭੂਚਾਲੀ ਮੋਮੈਂਟ S ਲਈ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ।
ਲੌਜਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ y= c 1+a e −rx ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਕੀ ਹੈ? ਗਣਨਾ ਲਈ ਕਦਮ ਦਿਖਾਓ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਸਾਨੂੰ ਆਬਾਦੀ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ?
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ b x = e xln( b ) ਸਕਾਰਾਤਮਕ b≠1 ਲਈ।
ਰੀਅਲ-ਵਰਲਡ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਇੱਕ ਡਾਕਟਰ 125 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਇੱਕ ਇਲਾਜ ਸੰਬੰਧੀ ਦਵਾਈ ਲਿਖਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹਰ ਘੰਟੇ ਲਗਭਗ 30% ਘਟਦੀ ਹੈ।
ਦਵਾਈ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਕਿੰਨਾ ਹੈ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ?
t ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਮਰੀਜ਼ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਦਵਾਈ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ 3 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਮਰੀਜ਼ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਦਵਾਈ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, f( 10 ) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਸੌਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਇੱਕ ਟਿਊਮਰ ਨੂੰ 0.5 ਗ੍ਰਾਮ ਆਇਓਡੀਨ-125 ਨਾਲ ਟੀਕਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਰੋਜ਼ਾਨਾ 1.15% ਦਾ ਘਟਣ ਦਰ ਹੈ।
ਆਇਓਡੀਨ-125 ਦਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਘਟਣ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਿਨ ਵਿੱਚ?
t ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਟਿਊਮਰ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਆਇਓਡੀਨ-125 ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ 60 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਟਿਊਮਰ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਆਇਓਡੀਨ-125 ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਮ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਵਿਗਿਆਨੀ 250 ਗ੍ਰਾਮ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਪਦਾਰਥ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। 250 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਨਮੂਨਾ 32 ਗ੍ਰਾਮ ਤੱਕ ਘੱਟ ਗਿਆ ਹੈ। ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਮਿੰਟ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਕੀ ਹੈ?
ਰੇਡੀਅਮ-226 ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 1590 ਸਾਲ ਹੈ। ਸਾਲਾਨਾ ਘਟਣ ਦਰ ਕੀ ਹੈ? ਦਸ਼ਮਲਵ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਇਰਬੀਅਮ-165 ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 10.4 ਘੰਟੇ ਹੈ। ਘੰਟੇਵਾਰ ਘਟਣ ਦਰ ਕੀ ਹੈ? ਦਸ਼ਮਲਵ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨੂੰ ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਪੁਰਾਤੱਤਵ ਖੁਦਾਈ ਤੋਂ ਇੱਕ ਲੱਕੜੀ ਦੀ ਕਲਾਕ੍ਰਿਤੀ ਵਿੱਚ ਜੀਵਤ ਰੁੱਖਾਂ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਕਾਰਬਨ-14 ਦਾ 60 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਸਾਲ ਵਿੱਚ, ਕਲਾਕ੍ਰਿਤੀ ਲਗਭਗ ਕਿੰਨੇ ਸਾਲ ਪੁਰਾਣੀ ਹੈ? (ਕਾਰਬਨ-14 ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 5730 ਸਾਲ ਹੈ।)
ਇੱਕ ਖੋਜ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੇ ਇੱਕ ਕਲਚਰ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੋ ਹਰ ਵੀਹ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਗਿਣਤੀ 1350 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਸੀ। ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। 3 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਆਕਾਰ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਵਿੱਚ?
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਇੱਕ ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨੀ ਨੇ 5 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਕਲਚਰ ਵਿੱਚ 360 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਅਤੇ 20 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ 1000 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਰਜ ਕੀਤੀ।
ਕਲਚਰ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਕਿੰਨੀ ਸੀ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਵਿੱਚ?
ਛੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਕੇ, ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਾ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਮਿੰਟ ਤੱਕ?
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: 100° ਫਾਰਨਹੀਟ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਾਪਮਾਨ ਵਾਲਾ ਗਰਮ ਸੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਘੜਾ 69° F ਦੇ ਕਮਰੇ ਵਿੱਚ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਲਈ ਸਟੋਵ ਤੋਂ ਉਤਾਰਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਪੰਦਰਾਂ ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਸੂਪ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਾਪਮਾਨ 95° F ਸੀ।
ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਕੂਲਿੰਗ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸੂਪ ਨੂੰ 80° F ਤੱਕ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਮਿੰਟ ਤੱਕ?
ਢਾਈ ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਤਾਪਮਾਨ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ?
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਇੱਕ ਤੁਰਕੀ ਨੂੰ 165°F ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਾਪਮਾਨ ਨਾਲ ਓਵਨ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 75°F ਦੇ ਕਮਰੇ ਵਿੱਚ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੱਧੇ ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ, ਤੁਰਕੀ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਾਪਮਾਨ 145°F ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
50 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਤਾਪਮਾਨ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ?
ਤੁਰਕੀ ਨੂੰ 110° F ਤੱਕ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਮਿੰਟ ਤੱਕ?
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਲਘੂਗਣਕ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ। ਸਾਰੇ ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਲਘੂਗਣਕ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਆਵਾਜ਼ਾਂ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਦੇ ਲਗਭਗ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ: ਫੁਸਫੁਸਾਹਟ: 10 −10 W m 2 , ਵੈਕਿਊਮ: 10 −4 W m 2 , ਜੈੱਟ: 10 2 W m 2
ਭੁਚਾਲ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਯਾਦ ਕਰੋ, M= 2 3 log( S S 0 )। ਇੱਕ ਭੁਚਾਲ ਦੀ MMS ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਤੀਬਰਤਾ 3.9 ਹੈ। ਜੇਕਰ ਦੂਜੇ ਭੁਚਾਲ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਨਾਲੋਂ 750 ਗੁਣਾ ਜ਼ਿਆਦਾ ਊਰਜਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਦੂਜੇ ਭੁਚਾਲ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਲੱਭੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਸੌਵੇਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਸਮੀਕਰਨ N( t )= 500 1+49 e −0.7t t ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਕਸਬੇ ਵਿੱਚ ਅਫਵਾਹ ਸੁਣਨ ਵਾਲੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਅਫਵਾਹ ਕਿਸਨੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤੀ?
3 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਕਿੰਨੇ ਲੋਕਾਂ ਨੇ ਅਫਵਾਹ ਸੁਣੀ ਹੋਵੇਗੀ, ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ?
ਜਿਵੇਂ t ਅਸੀਮਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ, N( t ) ਕਿਸ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ? ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਅਗਲੀ ਕਸਰਤ ਲਈ, ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਵਿਕਲਪ ਚੁਣੋ।
ਇੱਕ ਡਾਕਟਰ ਇੱਕ ਮਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਡਾਈ ਦੇ 13 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਟੀਕਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟਦਾ ਹੈ। 12 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਮਰੀਜ਼ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ 4.75 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਡਾਈ ਬਾਕੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਮਾਡਲ ਢੁਕਵਾਂ ਹੈ?
ⓐ f( t )=13 ( 0.0805 ) t
ⓑ f( t )=13 e 0.9195t
ⓒ f(t)=13 e (−0.0839t)
ⓓ f( t )= 4.75 1+13 e −0.83925t