ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ:
ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
30°( π 6 ), 45°( π 4 ), ਅਤੇ 60°( π 3 ) ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪੂਰਕ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕੋਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਣ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਮਾਊਂਟ ਐਵਰੈਸਟ, ਜੋ ਚੀਨ ਅਤੇ ਨੇਪਾਲ ਦੀ ਸਰਹੱਦ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਦੁਨੀਆ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਪਹਾੜ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਮਾਪਣਾ ਕੋਈ ਆਸਾਨ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ, ਅਸਲ ਮਾਪ ਸੈਂਕੜੇ ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਵਿਵਾਦ ਦਾ ਸਰੋਤ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਮਾਪਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਗਣਿਤ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ਾਖਾ ਜਿਸਨੂੰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਜੋਂ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਪਤਾ ਲਗਾਵਾਂਗੇ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਪਹਾੜਾਂ ਵਰਗੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਚਿੱਤਰ 1 ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ y ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ x ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ 1 ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਚੱਕਰ ਨੂੰ, ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਸ 1 ਹੋਵੇ, ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕੋਣ t ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਲਾਗਵੀਂ ਭੁਜਾ ਕੋਣ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਹੈ, x। (ਲਾਗਵੀਂ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ "ਨਾਲ ਲੱਗਦਾ")। ਸਨਮੁੱਖ ਭੁਜਾ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਹੈ, y। ਕਾਰਨ ਉਹ ਭੁਜਾ ਹੈ ਜੋ ਸੱਜੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਭੁਜਾ ਹੈ, 1। ਇਹ ਭੁਜਾਵਾਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਕੋਣ t ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ
ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣ t ਦੇ ਨਾਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੂਚੀਬੱਧ ਹਨ।
ਇਹਨਾਂ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਯਾਦ-ਦਾਤਾ SohCahToa ਹੈ, ਜੋ "ਸਾਈਨ ਸਨਮੁੱਖ ਬਟਾ ਕਾਰਨ, ਕੋਸਾਈਨ ਲਾਗਵੀਂ ਬਟਾ ਕਾਰਨ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਸਨਮੁੱਖ ਬਟਾ ਲਾਗਵੀਂ" ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅੱਖਰਾਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਸ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਸਾਈਨ ਨੂੰ ਸਨਮੁੱਖ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਕਾਰਨ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਲਾਗਵੀਂ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਕਾਰਨ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਟੈਂਜੈਂਟ ਨੂੰ ਸਨਮੁੱਖ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਲਾਗਵੀਂ ਭੁਜਾ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, cosα ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
1. ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ 15 ਹੈ, ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਕਰਣ 17 ਹੈ।
2. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
3. ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, sin t ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। sin t।
4. ਪਰਸਪਰ ਫੰਕਸ਼ਨ
5. ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਤਿੰਨ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਇਹ ਵੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
6. ਇਹਨਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦੇਖੋ। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪਰਸਪਰ ਹਨ।
7. ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਇੱਕੋ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਦਰਅਸਲ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੇ ਛੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਦੂਜੇ ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ।
8. ਚਿੱਤਰ 5: ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਦੂਜੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
9. ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਲਈ ਸਾਰੇ ਛੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਬਾਰੇ ਪੁੱਛਦੇ ਹਨ। ਵਰਤੋਂ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਭਵ ਰਣਨੀਤੀ ਪਹਿਲਾਂ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਦੂਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪਰਸਪਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
11. ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੇ ਛੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
12. ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸੱਜਾ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
13. ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਕੋਣ, ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ, ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ, ਅਤੇ ਕਰਣ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
14. ਲੋੜੀਂਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਤਾ ਕਰੋ: ਸਾਈਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਕਰਣ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕੋਸਾਈਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਕਰਣ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਟੈਂਜੈਂਟ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਸੀਕੈਂਟ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕਰਣ ਅਤੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕਰਣ ਅਤੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ
15. ਉਦਾਹਰਨ 2
16. ਸਟੈਂਡਰਡ ਪੋਜੀਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
17. ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, sin α, cos α, tan α, sec α, csc α, ਅਤੇ cot α ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। sin α, cos α, tan α, sec α, csc α, ਅਤੇ cot α।
18. ਹੱਲ
19. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
20. ਇੱਕ ਹੋਰ ਪਹੁੰਚ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਪਹਿਲਾਂ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਸੀ। ਫਿਰ ਦੂਜੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਪਰਸਪਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
21. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
22. ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, sin t, cos t, tan t, sec t, csc t, ਅਤੇ cot t ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। sin t, cos t, tan t, sec t, csc t, ਅਤੇ cot t।
23. ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
24. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ—30°, 60°, 30°, 60°, ਅਤੇ 45° ਦੇ ਗੁਣਜਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ। 45°। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਦੋਂ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਅਸੀਂ 0° ਅਤੇ 90° ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹਾਂ। 0° ਅਤੇ 90°।
Suppose we have a 30°,60°,90° 30°,60°,90° triangle, which can also be described as a π 6 , π 3 , π 2 π 6 , π 3 , π 2 triangle. The sides have lengths in the relation s, 3 s ,2s. s, 3 s ,2s. The sides of a 45°,45°,90° 45°,45°,90° triangle, which can also be described as a π 4 , π 4 , π 2 π 4 , π 4 , π 2 triangle, have lengths in the relation s,s, 2 s. s,s, 2 s. These relations are shown in Figure 8.
Figure 8: Side lengths of special triangles
We can then use the ratios of the side lengths to evaluate trigonometric functions of special angles.
How To
Given trigonometric functions of a special angle, evaluate using side lengths.
Use the side lengths shown in Figure 8 for the special angle you wish to evaluate.
Use the ratio of side lengths appropriate to the function you wish to evaluate.
Example 3
Evaluating Trigonometric Functions of Special Angles Using Side Lengths
Find the exact value of the trigonometric functions of π 3 , π 3 , using side lengths.
Solution
Try It #3
Find the exact value of the trigonometric functions of π 4 , π 4 , using side lengths.
Using Equal Cofunction of Complements
If we look more closely at the relationship between the sine and cosine of the special angles, we notice a pattern. In a right triangle with angles of π 6 π 6 and π 3 , π 3 , we see that the sine of π 3 , π 3 , namely 3 2 , 3 2 , is also the cosine of π 6 , π 6 , while the sine of π 6 , π 6 , namely 1 2 , 1 2 , is also the cosine of π 3 . π 3 .
See Figure 9.
Figure 9: The sine of π 3 π 3 equals the cosine of π 6 π 6 and vice versa.
This result should not be surprising because, as we see from Figure 9, the side opposite the angle of π 3 π 3 is also the side adjacent to π 6 , π 6 , so sin( π 3 ) sin( π 3 ) and cos( π 6 ) cos( π 6 ) are exactly the same ratio of the same two sides, 3 s 3 s and 2s. 2s. Similarly, cos( π 3 ) cos( π 3 ) and sin( π 6 ) sin( π 6 ) are also the same ratio using the same two sides, s s and 2s. 2s.
The interrelationship between the sines and cosines of π 6 π 6 and π 3 π 3 also holds for the two acute angles in any right triangle, since in every case, the ratio of the same two sides would constitute the sine of one angle and the cosine of the other. Since the three angles of a triangle add to π, π, and the right angle is π 2 , π 2 , the remaining two angles must also add up to π 2 . π 2 . That means that a right triangle can be formed with any two angles that add to π 2 π 2 —in other words, any two complementary angles. So we may state a cofunction identity: If any two angles are complementary, the sine of one is the cosine of the other, and vice versa. This identity is illustrated in Figure 10.
Figure 10: Cofunction identity of sine and cosine of complementary angles
Using this identity, we can state without calculating, for instance, that the sine of π 12 π 12 equals the cosine of 5π 12 , 5π 12 , and that the sine of 5π 12 5π 12 equals the cosine of π 12 . π 12 . We can also state that if, for a given angle t,cost= 5 13 , t,cost= 5 13 , then sin( π 2 −t )= 5 13 sin( π 2 −t )= 5 13 as well.
Cofunction Identities
The cofunction identities in radians are listed in Table 1.
row: cost=sin( π 2 −t ) cost=sin( π 2 −t ) | sint=cos( π 2 −t ) sint=cos( π 2 −t )
ਤਨ(t) = ਕੋਟ( π 2 −t) ਤਨ(t) = ਕੋਟ( π 2 −t)
ਸੇਕ(t) = ਕੋਸੇਕ( π 2 −t) ਸੇਕ(t) = ਕੋਸੇਕ( π 2 −t)
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਿਸੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ, ਉਸਦੇ ਪੂਰਕ ਕੋਣ ਦਾ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪੂਰਕ ਕੋਣ ਦਾ ਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਮੂਲ ਕੋਣ ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪੂਰਕ ਕੋਣ ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਮੂਲ ਕੋਣ ਦਾ ਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਸਹਿ-ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਜੇਕਰ sin(t) = 5/12, sin(t) = 5/12, ਤਾਂ cos(π/2 - t) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। cos(π/2 - t).
ਹੱਲ
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਸਹਿ-ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਛਾਣਾਂ ਅਨੁਸਾਰ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ।
ਇਸ ਲਈ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਜੇਕਰ csc(π/6) = 2, csc(π/6) = 2, ਤਾਂ sec(π/3) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। sec(π/3).
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਪਿਛਲੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਸੀ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤਿੰਨ ਪਾਸੇ ਸਾਨੂੰ ਪਤਾ ਸਨ। ਪਰ ਸੱਜੇ-ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੀ ਅਸਲ ਸ਼ਕਤੀ ਉਦੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੋਣ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਪਰ ਸਾਰੇ ਪਾਸੇ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ, ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਦਿੱਤਾ ਹੋਵੇ, ਬਾਕੀ ਪਾਸੇ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਚੁਣੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਣਜਾਣ ਪਾਸਾ ਜਾਂ ਤਾਂ ਅੰਸ਼ ਜਾਂ ਹਰ ਵਜੋਂ ਹੋਵੇ। ਜਾਣਿਆ ਹੋਇਆ ਪਾਸਾ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਹਰ ਜਾਂ ਅੰਸ਼ ਹੋਵੇਗਾ।
ਜਾਣੇ ਹੋਏ ਕੋਣ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਜਾਣੀ ਹੋਈ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਗੁੰਮ ਹੋਈ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁੰਮ ਹੋਈਆਂ ਪਾਸੇ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਅਣਜਾਣ ਪਾਸੇ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਹੱਲ
2. ਸਾਨੂੰ ਕੋਣ ਅਤੇ ਸਨਮੁਖ ਭੁਜਾ ਪਤਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਨਾਲ ਲੱਗਵੀਂ ਭੁਜਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ (tangent) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
3. ਅਸੀਂ 'a' ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। a.
4. ਅਸੀਂ ਕਾਰਨ (hypotenuse) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਈਨ (sine) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
5. ਮੁੜ, ਅਸੀਂ 'c' ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। c.
6. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
7. ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਇੱਕ ਕੋਣ π/3 ਹੈ ਅਤੇ ਕਾਰਨ 20 ਹੈ। ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਅਣਜਾਣ ਭੁਜਾਵਾਂ ਅਤੇ ਕੋਣ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
8. ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
9. ਸਮਕੋਣ-ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵਿਹਾਰਕ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ, ਕਿਸੇ ਉੱਚੀ ਵਸਤੂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਚੜ੍ਹੇ ਬਿਨਾਂ ਜਾਂ ਉਸਦੀ ਉਚਾਈ ਦੇ ਨਾਲ ਟੇਪ ਮਾਪ ਨੂੰ ਵਧਾਏ ਬਿਨਾਂ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵਸਤੂ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੋਂ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਕੁਝ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਮਾਪ ਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੋਂ ਅਸੀਂ ਉੱਚੀ ਵਸਤੂ ਦੇ ਸਿਖਰ ਵੱਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦਰਸ਼ਕ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਉੱਚਤਾ ਕੋਣ, ਦਰਸ਼ਕ ਦੀ ਅੱਖ ਤੋਂ ਵਸਤੂ ਤੱਕ ਦੀ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਥਿਤੀ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੀ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਵਿੱਚ ਅਣਜਾਣ ਉਚਾਈ, ਅਧਾਰ ਤੋਂ ਮਾਪੀ ਗਈ ਦੂਰੀ, ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਵਸਤੂ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਦੀ ਕੋਣੀ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਵਸਤੂ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੱਕ ਮਾਪੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਕੋਣ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਅਣਜਾਣ ਉਚਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
10. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਉੱਚੀ ਵਸਤੂ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਦੇਖ ਕੇ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦਰਸ਼ਕ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਅਵਨਤੀ ਕੋਣ, ਦਰਸ਼ਕ ਦੀ ਅੱਖ ਤੋਂ ਵਸਤੂ ਤੱਕ ਦੀ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ।
11. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
12. ਇੱਕ ਉੱਚੀ ਵਸਤੂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇਸਦੀ ਉਚਾਈ ਅਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮਾਪੋ।
13. ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਅਤੇ ਅਣਜਾਣੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਾ ਰਿਕਾਰਡ ਰੱਖਣ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਇੱਕ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
14. ਵਸਤੂ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੋਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਇੱਕ ਮਾਪੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਵਿਛਾਓ ਜਿੱਥੋਂ ਵਸਤੂ ਦਾ ਸਿਖਰ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
15. ਮਾਪੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਦੇ ਦੂਜੇ ਸਿਰੇ 'ਤੇ, ਵਸਤੂ ਦੇ ਸਿਖਰ ਵੱਲ ਦੇਖੋ। ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀ ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਨਾਲ ਬਣਾਏ ਗਏ ਕੋਣ ਨੂੰ ਮਾਪੋ।
16. ਅਣਜਾਣ ਉਚਾਈ, ਮਾਪੀ ਗਈ ਦੂਰੀ, ਅਤੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਪਰਸ਼ (tangent) ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
17. ਅਣਜਾਣ ਉਚਾਈ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
18. ਉਦਾਹਰਨ 6
19. ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਅਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮਾਪਣਾ
20. ਇੱਕ ਰੁੱਖ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਰੁੱਖ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੋਂ 30 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਚਲਦਾ ਹੈ। ਉਹ ਰੁੱਖ ਦੇ ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਤੱਕ ਦੀ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ 57° ਦਾ ਕੋਣ ਮਾਪਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਰੁੱਖ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
21. ਹੱਲ
22. ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉੱਚਤਾ ਕੋਣ 57° ਹੈ ਅਤੇ ਨਾਲ ਲੱਗਵੀਂ ਭੁਜਾ 30 ਫੁੱਟ ਲੰਬੀ ਹੈ। ਸਨਮੁਖ ਭੁਜਾ ਅਣਜਾਣ ਉਚਾਈ ਹੈ।
23. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਕਿਸੇ ਕੋਣ ਦੀ ਸਨਮੁਖ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਕੋਣ ਦੀ ਨਾਲ ਲੱਗਵੀਂ ਭੁਜਾ ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਸਪਰਸ਼ (tangent) ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਆਪਣੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ 57° ਦੇ ਸਪਰਸ਼ (tangent) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਵਾਂਗੇ, ਜਿੱਥੇ 'h' ਅਣਜਾਣ ਉਚਾਈ ਹੈ।
24. ਰੁੱਖ ਲਗਭਗ 46 ਫੁੱਟ ਉੱਚਾ ਹੈ।
Try It #6
How long a ladder is needed to reach a windowsill 50 feet above the ground if the ladder rests against the building making an angle of 5π 12 5π 12 with the ground? Round to the nearest foot.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with right triangle trigonometry.
Finding Trig Functions on Calculator
Finding Trig Functions Using a Right Triangle
Relate Trig Functions to Sides of a Right Triangle
Determine Six Trig Functions from a Triangle
Determine Length of Right Triangle Side
Verbal
For the given right triangle, label the adjacent side, opposite side, and hypotenuse for the indicated angle.
When a right triangle with a hypotenuse of 1 is placed in a circle of radius 1, which sides of the triangle correspond to the x- and y-coordinates?
The tangent of an angle compares which sides of the right triangle?
What is the relationship between the two acute angles in a right triangle?
Explain the cofunction identity.
Algebraic
For the following exercises, use cofunctions of complementary angles.
cos( 34° )=sin( ___° ) cos( 34° )=sin( ___° )
cos( π 3 )=sin( ___ ) cos( π 3 )=sin( ___ )
csc( 21° )=sec( ___° ) csc( 21° )=sec( ___° )
tan( π 4 )=cot( ___ ) tan( π 4 )=cot( ___ )
For the following exercises, find the lengths of the missing sides if side a a is opposite angle A, A, side b b is opposite angle B, B, and side c c is the hypotenuse.
cosB= 4 5 ,a=10 cosB= 4 5 ,a=10
sinB= 1 2 ,a=20 sinB= 1 2 ,a=20
tanA= 5 12 ,b=6 tanA= 5 12 ,b=6
tanA=100,b=100 tanA=100,b=100
sinB= 1 3 ,a=2 sinB= 1 3 ,a=2
a=5,∡A=60° a=5,∡A=60°
c=12,∡A=45° c=12,∡A=45°
Graphical
For the following exercises, use Figure 14 to evaluate each trigonometric function of angle A. A.
sinA sinA
cosA cosA
tanA tanA
cscA cscA
secA secA
cotA cotA
For the following exercises, use Figure 15 to evaluate each trigonometric function of angle A. A.
sinA sinA
cosA cosA
tanA tanA
cscA cscA
secA secA
cotA cotA
For the following exercises, solve for the unknown sides of the given triangle.
Technology
For the following exercises, use a calculator to find the length of each side to four decimal places.
b=15,∡B=15° b=15,∡B=15°
c=200,∡B=5° c=200,∡B=5°
c=50,∡B=21° c=50,∡B=21°
a=30,∡A=27° a=30,∡A=27°
b=3.5,∡A=78° b=3.5,∡A=78°
Extensions
Find x. x.
Find x. x.
Find x. x.
Find x. x.
A radio tower is located 400 feet from a building. From a window in the building, a person determines that the angle of elevation to the top of the tower is 36°, 36°, and that the angle of depression to the bottom of the tower is 23°. 23°. How tall is the tower?
A radio tower is located 325 feet from a building. From a window in the building, a person determines that the angle of elevation to the top of the tower is 43°, 43°, and that the angle of depression to the bottom of the tower is 31°. 31°. How tall is the tower?
A 200-foot tall monument is located in the distance. From a window in a building, a person determines that the angle of elevation to the top of the monument is 15°, 15°, and that the angle of depression to the bottom of the monument is 2°. 2°. How far is the person from the monument?
A 400-foot tall monument is located in the distance. From a window in a building, a person determines that the angle of elevation to the top of the monument is 18°, 18°, and that the angle of depression to the bottom of the monument is 3°. 3°. How far is the person from the monument?
There is an antenna on the top of a building. From a location 300 feet from the base of the building, the angle of elevation to the top of the building is measured to be 40°. 40°. From the same location, the angle of elevation to the top of the antenna is measured to be 43°. 43°. Find the height of the antenna.
There is lightning rod on the top of a building. From a location 500 feet from the base of the building, the angle of elevation to the top of the building is measured to be 36°. 36°. From the same location, the angle of elevation to the top of the lightning rod is measured to be 38°. 38°. Find the height of the lightning rod.
Real-World Applications
A 33-ft ladder leans against a building so that the angle between the ground and the ladder is 80°. 80°. How high does the ladder reach up the side of the building?
A 23-ft ladder leans against a building so that the angle between the ground and the ladder is 80°. 80°. How high does the ladder reach up the side of the building?
The angle of elevation to the top of a building in Charlotte is found to be 9 degrees from the ground at a distance of 1 mile from the base of the building. Using this information, find the height of the building.
The angle of elevation to the top of a building in Seattle is found to be 2 degrees from the ground at a distance of 2 miles from the base of the building. Using this information, find the height of the building.
Assuming that a 370-foot tall giant redwood grows vertically, if I walk a certain distance from the tree and measure the angle of elevation to the top of the tree to be 60°, 60°, how far from the base of the tree am I?