ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ:
30° ਜਾਂ (π/6), 45° ਜਾਂ (π/4), 30° ਜਾਂ (π/6), 45° ਜਾਂ (π/4), ਅਤੇ 60° ਜਾਂ (π/3) ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋਗੇ। 60° ਜਾਂ (π/3)।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਹਵਾਲਾ ਕੋਣ ਲੱਭੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਹਵਾਲਾ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਸਿੰਗਾਪੁਰ ਫਲਾਇਰ ਲਾਸ ਵੇਗਾਸ ਦੇ ਹਾਈ ਰੋਲਰ ਅਤੇ ਦੁਬਈ ਦੇ ਏਨ ਦੁਬਈ ਦੁਆਰਾ ਪਛਾੜੇ ਜਾਣ ਤੱਕ ਦੁਨੀਆ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਸੀ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: "ਵਾਈਬਿਨ ਜੇ.ਕੇ."/ਫਲਿੱਕਰ)
ਰੋਮਾਂਚ ਦੀ ਭਾਲ ਵਿੱਚ ਹੋ? ਤਾਂ ਏਨ ਦੁਬਈ, ਦੁਨੀਆ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਦੀ ਸਵਾਰੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਦੁਬਈ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ, ਸੰਯੁਕਤ ਅਰਬ ਅਮੀਰਾਤ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਬਾਦੀ ਵਾਲਾ ਸ਼ਹਿਰ ਅਤੇ ਵਿੱਤੀ ਅਤੇ ਸੈਰ-ਸਪਾਟਾ ਕੇਂਦਰ, ਇਹ ਵ੍ਹੀਲ 820 ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਉੱਡਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਲਗਭਗ 1.5 ਦਸਵੰਧ ਮੀਲ ਹੈ। ਇੱਕ ਨਿਰੀਖਣ ਵ੍ਹੀਲ ਵਜੋਂ ਵਰਣਿਤ, ਸਵਾਰੀਆਂ ਬੁਰਜ ਖਲੀਫਾ (ਦੁਨੀਆ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ) ਅਤੇ ਪਾਮ ਜੁਮੇਰਾਹ (10,000 ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੋਕਾਂ ਅਤੇ 20 ਰਿਜ਼ੋਰਟਾਂ ਦਾ ਘਰ ਇੱਕ ਮਨੁੱਖ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਦੀਪ ਸਮੂਹ) ਦੇ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਦ੍ਰਿਸ਼ਾਂ ਦਾ ਆਨੰਦ ਲੈਂਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਉਹ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਅਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਗਤੀ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਚੱਕਰ ਦੀ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਸ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ 'ਤੇ ਰੱਖਣਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਿਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਚੱਕਰੀ ਗਤੀ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ ਜੋ ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਰੇਡੀਅਸ 1 ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੋਣ (ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ) ਜੋ t ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਲੰਬਾਈ s ਦਾ ਇੱਕ ਚਾਪ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। s. ਫਾਰਮੂਲਾ s=rt, s=rt ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਤੇ ਇਹ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ ਕਿ r=1, r=1, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਲਈ, s=t. s=t.
x- ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਨੂੰ ਚਾਰ ਚੌਥਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਚੌਥਾਈ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਚੌਥਾਈਆਂ ਨੂੰ ਉਸ ਦਿਸ਼ਾ ਦੀ ਨਕਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣ ਫੈਲਦਾ ਹੈ। ਚਾਰ ਚੌਥਾਈਆਂ ਨੂੰ I, II, III, ਅਤੇ IV ਲੇਬਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਣ t, t ਲਈ, ਅਸੀਂ ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ, (x,y) ਦੁਆਰਾ ਲੇਬਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। (x,y)। ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ x ਅਤੇ y ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f(t)=cos t f(t)=cos t ਅਤੇ f(t)=sin t, f(t)=sin t ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੋਣਗੇ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ x=cos t x=cos t ਅਤੇ y=sin t. y=sin t.
ਚਿੱਤਰ 2: ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਜਿੱਥੇ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ t ਰੇਡੀਅਨ ਹੈ
ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ
ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) (0,0) ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਸ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 1. ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਵਿੱਚ, ਕੱਟੀ ਗਈ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ t, t ਦੇ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ (x,y) (x,y) ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ s, s ਦੇ ਇੱਕ ਚਾਪ ਦੇ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ 'ਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਦੇ (x,y) (x,y) ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਕੋਣ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਤੋਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ t ਨੂੰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਦੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕੋਣ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ, ਇੱਕ ਕੋਣ t ਦਾ ਸਾਈਨ t ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਚਾਪ ਦੇ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ 'ਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੇ y-ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। t. ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ, ਸਾਈਨ y ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। y. ਸਾਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਂਗ, ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਇਨਪੁੱਟ ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਇਨਪੁੱਟ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ; ਇਸਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ 'ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਦਾ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ।
ਇੱਕ ਕੋਣ t ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ t ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਚਾਪ ਦੇ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ 'ਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੇ x-ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। t. ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ, ਕੋਸਾਈਨ x ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। x.
ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਨਾਲ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: sin t sin t, sin(t) sin(t) ਅਤੇ cos t cos t, cos(t) cos(t) ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, cos² t cos² t (cos(t))² (cos(t))² ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਸੰਖੇਪ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਅਤੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਸੰਖੇਪ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਸ਼ੱਕ ਹੋਵੇ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿੱਚ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦਾਖਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਵਾਧੂ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਜੇਕਰ t ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (x,y) (x,y) ਇੱਕ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ t, t ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਕੋਣ t, t ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ P(x,y) (x,y) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲੱਭੋ।
ਪੀ ਬਿੰਦੂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅਨੁਸਾਰ t ਦਾ ਸਾਈਨ, y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ: sin t = y।
ਪੀ ਬਿੰਦੂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅਨੁਸਾਰ t ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ, x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ: cos t = x।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਬਿੰਦੂ P, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, t ਕੋਣ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। cos(t) ਅਤੇ sin(t) ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cos t ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਹੈ ਅਤੇ sin t ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ:
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #1
ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੋਣ t, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (−√2/2, √2/2) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। cos t ਅਤੇ sin t ਲੱਭੋ।
ਧੁਰੀਆਂ 'ਤੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲੱਭਣਾ
ਚਤੁਰਭੁਜੀ ਕੋਣਾਂ ਲਈ, ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ x- ਜਾਂ y-ਧੁਰੀ 'ਤੇ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ x ਅਤੇ y ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਤੋਂ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਦੀ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ
cos(90°) ਅਤੇ sin(90°) ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੀ ਤੋਂ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ 90° ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵੱਲ ਵਧਣ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ (0,1) ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਦੀਆਂ ਆਪਣੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
90° ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ 0 ਹੈ; 90° ਦਾ ਸਾਈਨ 1 ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #2
ਕੋਣ π ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਲੱਭੋ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਅਤੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x² + y² = 1 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ x = cos t ਅਤੇ y = sin t, ਅਸੀਂ x ਅਤੇ y ਲਈ ਬਦਲ ਕੇ cos² t + sin² t = 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ, cos² t + sin² t = 1, ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 7 ਦੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੋ ਹੱਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਸਹੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਲਈ ਕੋਣ ਦੇ ਬਾਰੇ ਵਾਧੂ ਗਿਆਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਣ ਕਿਸ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਹੀ ਹੱਲ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਪਛਾਣ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ t ਲਈ, t,
ਕਿਵੇਂ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕਿਸੇ ਕੋਣ t t ਦਾ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਸਥਾਨ, t ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। t.
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ sin t sin t ਦੇ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
cos t cos t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਜਿੱਥੇ t t ਸਥਿਤ ਹੈ, ਉੱਥੇ x-ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਢੁਕਵੇਂ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲਾ ਹੱਲ ਚੁਣੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਸਾਈਨ ਤੋਂ ਕੋਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਤੋਂ ਸਾਈਨ ਲੱਭਣਾ
ਜੇ sin(t)= 3 7 sin(t)= 3 7 ਅਤੇ t t ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ cos(t) cos(t) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਜੇ ਅਸੀਂ t t ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਲੰਬ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਪਛਾਣ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਸਰਲ ਮਾਮਲਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ ਲਈ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ,
ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਣ ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x-ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਵੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਜੇ cos(t)= 24 25 cos(t)= 24 25 ਅਤੇ t t ਚੌਥੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ sin(t) sin(t) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲੱਭਣਾ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣਾਂ ਬਾਰੇ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਰੇਡੀਅਨ ਤੋਂ ਡਿਗਰੀ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਪਾਏ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀ ਵੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
45° 45° ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲੱਭਣਾ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ 45° 45° ਜਾਂ π 4 , π 4 ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ 45°–45°–90° 45°–45°–90° ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਇੱਕ ਸਮਦੋਬਾਹੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ x- ਅਤੇ y-ਮੁੱਲ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਮੁੱਲ ਵੀ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਗੇ।
t= π 4 t= π 4 , ਜੋ ਕਿ 45 ਡਿਗਰੀ ਹੈ, ਤੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ੀ ਕੋਣ ਨੂੰ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਰਧ ਵਿਆਸ y=x y=x ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਪਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਇਸ ਲਈ y=x y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਬਣੇ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਵਿੱਚ ਭੁਜਾਵਾਂ x x ਅਤੇ y (y=x), y (y=x), ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ = 1 ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਫਿਰ y=x y=x ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
ਅਤੇ x x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਚੌਥੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, x= 1 2 . x= 1 2 .
ਜਦੋਂ t= π 4 ਜਾਂ 45 ਡਿਗਰੀ,
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਹਰਾਂ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, 45° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ 1 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 2 2 , 2 2 ) ਹਨ। ( 2 2 , 2 2 )।
30° ਅਤੇ 60° ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲੱਭਣਾ
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ 30°, ਜਾਂ π 6 ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਲੱਭਾਂਗੇ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾਵਾਂਗੇ ਜਿਸਦਾ ਇੱਕ ਪਾਸਾ 30° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ, ਅਤੇ ਦੂਜਾ -30° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨਤੀਜੇ ਦੋ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਵੱਡੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤਿੰਨ ਕੋਣ 60° ਹੋਣਗੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰੇ ਕੋਣ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਪਾਸੇ ਵੀ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਖੜ੍ਹੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2y ਹੈ, 2y, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰੇ ਪਾਸੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ r=2y ਜਾਂ y= 1 2 r। ਕਿਉਂਕਿ sint=y, sint=y,
ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ r=1 ਹੈ,
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
30° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ 1 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 3 2 , 1 2 ) ਹਨ। ( 3 2 , 1 2 )। t= π 3 (60°) 'ਤੇ, ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ, 1, 30-60-90 ਡਿਗਰੀ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ, BAD, BAD, ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੋਣ A ਦਾ ਮਾਪ 60° ਹੈ। 60°। ਬਿੰਦੂ B 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੋਣ ABC ABC ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਮਾਪ 60° ਹੈ। 60°। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 180° ਹੁੰਦਾ ਹੈ, 180°, ਇਸ ਲਈ ਕੋਣ C ਦਾ ਮਾਪ ਵੀ 60° ਹੈ। 60°। ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ABC ਦਾ ਹਰ ਪਾਸਾ ਇੱਕੋ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਹੈ, ਸਾਰੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 1 ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਕੋਣ ABD ABD ਦਾ ਮਾਪ 30° ਹੈ। ਕੋਣ ABC ABC ਕੋਣ ABD ABD ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਮਾਪ 60° ਹੈ। BD BD, AC AC ਦਾ ਲੰਬ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ AC AC ਨੂੰ ਅੱਧਾ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ AD AD, ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦਾ 1 2 ਹੈ, ਜਾਂ 1 2 । 1 2 । ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ AD AD, ਬਿੰਦੂ B, B, ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 60° ਕੋਣ ਅਤੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਚੌਕੜੇ 'ਤੇ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ BAD BAD ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕਾਰਨ 1 ਅਤੇ ਪਾਸਾ x x ਦੀ ਲੰਬਾਈ 1 2 ਹੈ। 1 2 ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
x= 1 2 , x= 1 2 , ਨੂੰ ਬਦਲਣ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
y, y, ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ t= π 3 ਦਾ ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸਾ ਚੌਥੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਹੈ ਜਿੱਥੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਅਸੀਂ y= 3 2 , y= 3 2 , ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ।
t= π 3 (60°) 'ਤੇ, 60° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ 1 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 1 2 , 3 2 ), ( 1 2 , 3 2 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚੌਥੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਾਹਮਣਾ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਲਏ ਹਨ। ਸਾਰਣੀ 1 ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਕੋਣ | 0 0 | π 6 , π 6 , ਜਾਂ 30° 30° | π 4 , π 4 , ਜਾਂ 45° 45° | π 3 , π 3 , ਜਾਂ 60° 60° | π 2 , π 2 , ਜਾਂ 90° 90°
ਸਤਰ: ਕੋਸਾਈਨ | 1 | 3 2 3 2 | 2 2 2 2 | 1 2 1 2 | 0
ਸਤਰ: ਸਾਈਨ | 0 | 1 2 1 2 | 2 2 2 2 | 3 2 3 2 | 1
ਚਿੱਤਰ 14 ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਚੌਥੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਮ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ: ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਨੂੰ "ਡਿਗਰੀ" ਜਾਂ "ਰੇਡੀਅਨ" ਮੋਡ ਵਿੱਚ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇਕਾਈਆਂ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ cos(30) cos(30) ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਇਸਨੂੰ 30 ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਵਜੋਂ ਮੁੱਲ ਦੇਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਡਿਗਰੀ ਮੋਡ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਾਂ 30 ਰੇਡੀਅਨ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਵਜੋਂ ਜੇਕਰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਰੇਡੀਅਨ ਮੋਡ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ
Given an angle in radians, use a graphing calculator to find the cosine.
If the calculator has degree mode and radian mode, set it to radian mode.
Press the COS key.
Enter the radian value of the angle and press the close-parentheses key ")".
Press ENTER.
Example 4
Using a Graphing Calculator to Find Sine and Cosine
Evaluate cos( 5π 3 ) cos( 5π 3 ) using a graphing calculator or computer.
Solution
Enter the following keystrokes:
COS( 5 × π ÷ 3 ) ENTER COS( 5 × π ÷ 3 ) ENTER
Analysis
We can find the cosine or sine of an angle in degrees directly on a calculator with degree mode. For calculators or software that use only radian mode, we can find the sine of 20°, 20°, for example, by including the conversion factor to radians as part of the input:
Try It #4
Evaluate sin( π 3 ). sin( π 3 ).
Identifying the Domain and Range of Sine and Cosine Functions
Now that we can find the sine and cosine of an angle, we need to discuss their domains and ranges. What are the domains of the sine and cosine functions? That is, what are the smallest and largest numbers that can be inputs of the functions? Because angles smaller than 0 0 and angles larger than 2π 2π can still be graphed on the unit circle and have real values of x,y, x,y, and r, r, there is no lower or upper limit to the angles that can be inputs to the sine and cosine functions. The input to the sine and cosine functions is the rotation from the positive x-axis, and that may be any real number.
What are the ranges of the sine and cosine functions? What are the least and greatest possible values for their output? We can see the answers by examining the unit circle, as shown in Figure 15. The bounds of the x-coordinate are [−1,1]. [−1,1]. The bounds of the y-coordinate are also [−1,1]. [−1,1]. Therefore, the range of both the sine and cosine functions is [−1,1]. [−1,1].
Finding Reference Angles
We have discussed finding the sine and cosine for angles in the first quadrant, but what if our angle is in another quadrant? For any given angle in the first quadrant, there is an angle in the second quadrant with the same sine value. Because the sine value is the y-coordinate on the unit circle, the other angle with the same sine will share the same y-value, but have the opposite x-value. Therefore, its cosine value will be the opposite of the first angle’s cosine value.
Likewise, there will be an angle in the fourth quadrant with the same cosine as the original angle. The angle with the same cosine will share the same x-value but will have the opposite y-value. Therefore, its sine value will be the opposite of the original angle’s sine value.
As shown in Figure 16, angle α α has the same sine value as angle t; t; the cosine values are opposites. Angle β β has the same cosine value as angle t; t; the sine values are opposites.
Recall that an angle’s reference angle is the acute angle, t, t, formed by the terminal side of the angle t t and the horizontal axis. A reference angle is always an angle between 0 0 and 90°, 90°, or 0 0 and π 2 π 2 radians. As we can see from Figure 17, for any angle in quadrants II, III, or IV, there is a reference angle in quadrant I.
How To
Given an angle between 0 0 and 2π, 2π, find its reference angle.
An angle in the first quadrant is its own reference angle.
For an angle in the second or third quadrant, the reference angle is | π−t | | π−t | or | 180°−t |. | 180°−t |.
ਚੌਥੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ ਲਈ, ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ 2π−t ਜਾਂ 360°−t ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਕੋਣ 0 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ 2π ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ 0 ਅਤੇ 2π ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ ਕੋਣ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ 2π ਜੋੜੋ ਜਾਂ ਘਟਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਲੱਭਣਾ
225° ਦਾ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਲੱਭੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 18 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ 225° ਤੀਜੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਹੈ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
5π/3 ਦਾ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਲੱਭੋ।
ਸੰਦਰਭ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਹੁਣ ਆਓ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਪਲ ਲਈ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸਵਾਰ ਜ਼ਮੀਨੀ ਪੱਧਰ ਤੋਂ ਵੀਹ ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਰੁਕਣ ਵੇਲੇ ਇੱਕ ਫੋਟੋ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਸਵਾਰ ਚੱਕਰ ਦੇ ਤਿੰਨ-ਚੌਥਾਈ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਸਵਾਰ ਦੀ ਨਵੀਂ ਉਚਾਈ ਕੀ ਹੈ? ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ 90 ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੋਣਾਂ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣਾਂ 'ਤੇ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਤੋਂ ਬਾਹਰਲੇ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਹਨਾਂ ਕੋਣਾਂ ਲਈ (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਕੋਣ ਦੇ ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸੇ ਦੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਪਿਆ ਹੈ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਸਦੇ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਜਾਂ ਸਾਈਨ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਉਸੇ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੰਨ੍ਹ ਅਸਲ ਕੋਣ ਦੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕੋਸਾਈਨ ਉਸ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ x-ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗਾ। ਸਾਈਨ y-ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗਾ।
ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੰਨ੍ਹ (ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ) ਕੋਣ ਦੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਤੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਲਈ, ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ, ਅਤੇ ਅਸਲ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਦੇ ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਨੂੰ ਮਾਪੋ। ਇਹ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਹੈ।
ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਉਸੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਦਿਓ ਜੋ ਅਸਲ ਕੋਣ ਦੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ x-ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨ ਨੂੰ ਉਸੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਦਿਓ ਜੋ ਅਸਲ ਕੋਣ ਦੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ y-ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ⓐ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, cos(150°) ਅਤੇ sin(150°) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ⓑ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, cos 5π/4 ਅਤੇ sin 5π/4 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ⓐ 150° ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ। x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਇਸਦਾ ਬਣਿਆ ਕੋਣ 180°−150°=30° ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ 30° ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ 150° ਦਾ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਮੁੱਲ 30° ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ। cos(30°)=√3/2 ਅਤੇ sin(30°)=1/2। ਕਿਉਂਕਿ 150° ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਈਨ ਮੁੱਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। cos(150°)=−√3/2 ਅਤੇ sin(150°)=1/2
ⓑ 5π/4 ਤੀਜੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ 5π/4 −π = π/4 ਹੈ। π/4 ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਦੋਵੇਂ √2/2 ਹਨ। ਤੀਜੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ, x ਅਤੇ y ਦੋਵੇਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ: cos 5π/4 =−√2/2 ਅਤੇ sin 5π/4 =−√2/2
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #6
ⓐ 315° ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ cos(315°) ਅਤੇ sin(315°) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓑ −π/6 ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ cos(−π/6) ਅਤੇ sin(−π/6) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖ ਲਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਕੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਮੁੱਲ ਭਰਨ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਅਤੇ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਹ ਚਿੱਤਰ 19 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਕੋਣਾਂ ਦੇ (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਿੱਖਣ ਲਈ ਸਮਾਂ ਲਓ।
ਚਿੱਤਰ 19: ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ
ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਮੁੱਲ ਸਿੱਖਣ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਦੇ (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਪਛਾਣਾਂ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਉਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ।
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਨੂੰ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਦੇ y- ਅਤੇ x-ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਕੋਣ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਬਿੰਦੂ ਦੇ (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਕੋਣ ਮਾਪ ਕੇ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y ਲਈ ਉਚਿਤ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
7π/6 ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 7π/6 ਕੋਣ ਤੀਜੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਕੋਣ ਨੂੰ ਮਾਪ ਕੇ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੀਏ। ਤੀਜੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਟਰਮੀਨਲ ਸਾਈਡ ਵਾਲੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕੋਣ ਅਤੇ π ਦਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰਾਂਗੇ।
We must determine the appropriate signs for x and y in the given quadrant. Because our original angle is in the third quadrant, where both x x and y y are negative, both cosine and sine are negative.
Now we can calculate the ( x,y ) ( x,y ) coordinates using the identities x=cosθ x=cosθ and y=sinθ. y=sinθ.
The coordinates of the point are ( − 3 2 ,− 1 2 ) ( − 3 2 ,− 1 2 ) on the unit circle.
Try It #7
Find the coordinates of the point on the unit circle at an angle of 5π 3 . 5π 3 .
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with sine and cosine functions.
Trigonometric Functions Using the Unit Circle
Sine and Cosine from the Unit
Sine and Cosine from the Unit Circle and Multiples of Pi Divided by Six
Sine and Cosine from the Unit Circle and Multiples of Pi Divided by Four
Trigonometric Functions Using Reference Angles
Verbal
Describe the unit circle.
What do the x- and y-coordinates of the points on the unit circle represent?
Discuss the difference between a coterminal angle and a reference angle.
Explain how the cosine of an angle in the second quadrant differs from the cosine of its reference angle in the unit circle.
Explain how the sine of an angle in the second quadrant differs from the sine of its reference angle in the unit circle.
Algebraic
For the following exercises, use the given sign of the sine and cosine functions to find the quadrant in which the terminal point determined by t t lies.
sin(t)<0 sin(t)<0 and cos(t)<0 cos(t)<0
sin(t)>0 sin(t)>0 and cos(t)>0 cos(t)>0
sin(t)>0 sin(t)>0 and cos(t)<0 cos(t)<0
sin(t)<0 sin(t)<0 and cos(t)>0 cos(t)>0
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. sin π 2 sin π 2
3. sin π 3 sin π 3
4. cos π 2 cos π 2
5. cos π 3 cos π 3
6. sin π 4 sin π 4
7. cos π 4 cos π 4
8. sin π 6 sin π 6
9. sinπ sinπ
10. sin 3π 2 sin 3π 2
11. cosπ cosπ
12. cos0 cos0
13. cos π 6 cos π 6
14. sin0 sin0
15. ਸੰਖਿਆਤਮਕ
16. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਲਈ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ ਦੱਸੋ।
17. 240° 240°
18. −170° −170°
19. 100° 100°
20. −315° −315°
21. 135° 135°
22. 5π 4 5π 4
23. 2π 3 2π 3
24. 5π 6 5π 6
1. −11π 3 −11π 3
2. −7π 4 −7π 4
3. −π 8 −π 8
4. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ, ਅੰਤਿਮ ਭੁਜਾ ਦਾ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਜੇਕਰ ਕੋਣ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
5. 225° 225°
6. 300° 300°
7. 320° 320°
8. 135° 135°
9. 210° 210°
10. 120° 120°
11. 250° 250°
12. 150° 150°
13. 5π 4 5π 4
14. 7π 6 7π 6
15. 5π 3 5π 3
16. 3π 4 3π 4
17. 4π 3 4π 3
18. 2π 3 2π 3
19. 5π 6 5π 6
20. 7π 4 7π 4
21. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬੇਨਤੀ ਕੀਤੀ ਗਈ ਕੀਮਤ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
22. ਜੇਕਰ cos( t )= 1 7 ਅਤੇ t ਚੌਥੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ sin(t) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
23. ਜੇਕਰ cos( t )= 2 9 ਅਤੇ t ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ sin(t) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
24. ਜੇਕਰ sin( t )= 3 8 ਅਤੇ t ਦੂਜੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ cos(t) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਜੇਕਰ sin(t) = -1/4 ਅਤੇ t ਤੀਜੇ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ cos(t) ਪਤਾ ਕਰੋ।
15 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ 220° ਕੋਣ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
20 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ 120° ਕੋਣ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ 7π/4 ਕੋਣ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ 5π/9 ਕੋਣ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਦੱਸੋ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰੇਂਜ ਦੱਸੋ।
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ t ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
sin 5π/9
cos 5π/9
sin π/10
cos π/10
sin 3π/4
cos 3π/4
sin 98°
cos 98°
cos 310°
sin 310°
ਵਿਸਥਾਰ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
sin(11π/3)cos(-5π/6)
sin( 3π 4 )cos( 5π 3 )
sin( − 4π 3 )cos( π 2 )
sin( −9π 4 )cos( −π 6 )
sin( π 6 )cos( −π 3 )
sin( 7π 4 )cos( −2π 3 )
cos( 5π 6 )cos( 2π 3 )
cos( −π 3 )cos( π 4 )
sin( −5π 4 )sin( 11π 6 )
sin( π )sin( π 6 )
ਵਾਸਤਵਿਕ-ਦੁਨਿਆਵੀ ਉਪਯੋਗ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਇੱਕ ਬੱਚਾ ਇੱਕ ਕੈਰੋਸੇਲ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਰ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਬੱਚਾ ਬਿੰਦੂ (0,1) 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਭਾਵ, ਬਿਲਕੁਲ ਉੱਤਰੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੈਰੋਸੇਲ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ।
45 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਬੱਚੇ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਕੀ ਹੋਣਗੇ?
90 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਬੱਚੇ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਕੀ ਹੋਣਗੇ?
125 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਬੱਚੇ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਕੀ ਹੋਣਗੇ?
ਬੱਚੇ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (0.707,–0.707) ਕਦੋਂ ਹੋਣਗੇ ਜੇ ਸਵਾਰੀ 6 ਮਿੰਟ ਤੱਕ ਚੱਲਦੀ ਹੈ? (ਇੱਥੇ ਕਈ ਜਵਾਬ ਹਨ।)
ਬੱਚੇ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ( –0.866,–0.5 ) ਕਦੋਂ ਹੋਣਗੇ ਜੇ ਸਵਾਰੀ 6 ਮਿੰਟ ਤੱਕ ਚੱਲਦੀ ਹੈ?