ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ:
$\pi/3$, $\pi/4$, $\pi/6$ ਦੇ ਸੈਕੰਟ, ਕੋਸੈਕੰਟ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਾਓਗੇ।
ਹਵਾਲਾ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੈਕੰਟ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਮ ਅਤੇ ਟਾਂਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਮੁਢਲੀਆਂ ਪਹਿਚਾਣਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ ਅਤੇ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨਾਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਵ੍ਹੀਲਚੇਅਰ ਰੈਂਪ ਜੋ ਅਮਰੀਕਨ ਵਿਦ ਡਿਸੇਬਿਲਟੀਜ਼ ਐਕਟ ਦੇ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ $1/12$ ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਵੇ, ਭਾਵੇਂ ਇਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕੁਝ ਵੀ ਹੋਵੇ। ਟੈਂਜੈਂਟ ਇੱਕ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਹਰ 1 ਇੰਚ ਚੜ੍ਹਾਈ ਲਈ, ਰੈਂਪ ਵਿੱਚ 12 ਇੰਚ ਦੂਰੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਨੂੰ ਸਹੀ ਮਾਪਾਂ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਅਤੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ, ਚਾਰ ਹੋਰ ਵੀ ਹਨ। ਇਕੱਠੇ ਮਿਲ ਕੇ, ਉਹ ਛੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਾਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਸੈਕੰਟ, ਕੋਸੈਕੰਟ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਬਾਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ (unit circle) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $(x,y)$ ਕੋਣ $t$ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ $(x,y)$ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਹਿਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਾਂਗੇ ਉਹ ਟੈਂਜੈਂਟ ਹੈ। ਇੱਕ ਕੋਣ ਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਦੇ y-ਮੁੱਲ ਅਤੇ x-ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ, ਕੋਣ $t$ ਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ $y/x$, $x \neq 0$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ y-ਮੁੱਲ $t$ ਦੇ ਸਾਈਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਅਤੇ x-ਮੁੱਲ $t$ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਕੋਣ $t$ ਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ ਵੀ $\sin t / \cos t$, $\cos t \neq 0$ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ $\tan$ ਵਜੋਂ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਾਕੀ ਤਿੰਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟੇ (reciprocals) ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ।
ਸੈਕੰਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ, ਕੋਣ $t$ ਦਾ ਸੈਕੰਟ $1/\cos t = 1/x$, $x \neq 0$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਸੈਕੰਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ $\sec$ ਵਜੋਂ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ, ਕੋਣ $t$ ਦਾ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ $\cos t / \sin t = x/y$, $y \neq 0$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ $\cot$ ਵਜੋਂ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕੋਸੈਕੰਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ, ਕੋਣ $t$ ਦਾ ਕੋਸੈਕੰਟ $1/\sin t = 1/y$, $y \neq 0$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਕੋਸੈਕੰਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ $\csc$ ਵਜੋਂ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਟੈਂਜੈਂਟ, ਸੈਕੰਟ, ਕੋਸੈਕੰਟ ਅਤੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਜੇਕਰ $t$ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ $(x,y)$ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ $t$ ਰੇਡੀਅਨ ਦੇ ਕੋਣ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਪਾਸਾ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਬਿੰਦੂ $(-3/2, 1/2)$ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। $\sin t$, $\cos t$, $\tan t$, $\sec t$, $\csc t$, ਅਤੇ $\cot t$ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਕੋਣ $t$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ $(x,y)$ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਛੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #1
ਬਿੰਦੂ $(2/2, -2/2)$ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। $\sin t$, $\cos t$, $\tan t$, $\sec t$, $\csc t$, ਅਤੇ $\cot t$ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਸਾਈਨ ਟੀ, ਕੋਸਾਈਨ ਟੀ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਟੀ, ਸੀਕੈਂਟ ਟੀ, ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਟੀ, ਅਤੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਟੀ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ, ਜਦੋਂ ਟੀ = π/6 ਹੋਵੇ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਕਿ sin π/6 = 1/2 ਅਤੇ cos π/6 = √3/2। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਫਲਨਾਂ ਵਜੋਂ ਟੈਂਜੈਂਟ, ਸੀਕੈਂਟ, ਕੋਸੀਕੈਂਟ, ਅਤੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਦੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਾਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਸਾਈਨ ਟੀ, ਕੋਸਾਈਨ ਟੀ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਟੀ, ਸੀਕੈਂਟ ਟੀ, ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਟੀ, ਅਤੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਟੀ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ, ਜਦੋਂ ਟੀ = π/3 ਹੋਵੇ।
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਦੇ ਆਮ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਹੋਰ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਵੀ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ x ਨੂੰ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ y ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਟੈਂਜੈਂਟ, ਸੀਕੈਂਟ, ਕੋਸੀਕੈਂਟ, ਅਤੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਦੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ। ਨਤੀਜੇ ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਸਾਰਣੀ: ਕੋਣ | 0 | π/6, ਜਾਂ 30° | π/4, ਜਾਂ 45° | π/3, ਜਾਂ 60° | π/2, ਜਾਂ 90°
ਸਾਰਣੀ: ਕੋਸਾਈਨ | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0
ਸਾਰਣੀ: ਸਾਈਨ | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1
ਸਾਰਣੀ: ਟੈਂਜੈਂਟ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ
ਸਾਰਣੀ: ਸੀਕੈਂਟ | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ
ਸਾਰਣੀ: ਕੋਸੀਕੈਂਟ | ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ | 2 | √2 | 2/√3 | 1
ਸਾਰਣੀ: ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ | ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ | √3 | 1 | 1/√3 | 0
ਟੈਂਜੈਂਟ, ਸੀਕੈਂਟ, ਕੋਸੀਕੈਂਟ, ਅਤੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਂਗਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਤੋਂ ਬਾਹਰਲੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫਲਨਾਂ ਨਾਲ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਵਿਧੀ ਉਹੀ ਹੈ: ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਦੇ ਟਰਮੀਨਲ ਸਾਈਡ ਅਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਐਕਸਿਸ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਂਗਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਅਸਲ ਕੋਣ ਲਈ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਂਗਲ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੋਣਗੇ, ਸਿਰਫ ਪਲੱਸ ਜਾਂ ਮਾਈਨਸ ਨਿਸ਼ਾਨ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ, ਜੋ ਕਿ ਅਸਲ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y ਮੁੱਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਫਲਨ ਕਿਹੜੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਪਾਜ਼ੇਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਹਰੇਕ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਕਿਹੜੇ ਛੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਪਾਜ਼ੇਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ "ਏ ਸਮਾਰਟ ਟ੍ਰਿਗ ਕਲਾਸ" ਨਾਮਕ ਯਾਦਗਾਰੀ ਵਾਕੰਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਵਾਕੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਸ਼ਬਦ ਚਾਰ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ I ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਚਤੁਰਾਂਸ਼ I ਵਿੱਚ, ਜੋ ਕਿ "ਏ" ਹੈ, ਸਾਰੇ ਛੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਪਾਜ਼ੇਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਤੁਰਾਂਸ਼ II ਵਿੱਚ, "ਸਮਾਰਟ," ਸਿਰਫ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਲਟਾ ਫਲਨ, ਕੋਸੀਕੈਂਟ, ਪਾਜ਼ੇਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਤੁਰਾਂਸ਼ III ਵਿੱਚ, "ਟ੍ਰਿਗ," ਸਿਰਫ ਟੈਂਜੈਂਟ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਲਟਾ ਫਲਨ, ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ, ਪਾਜ਼ੇਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਚਤੁਰਾਂਸ਼ IV ਵਿੱਚ, "ਕਲਾਸ," ਸਿਰਫ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਲਟਾ ਫਲਨ, ਸੀਕੈਂਟ, ਪਾਜ਼ੇਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 4: ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਹਰੇਕ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਹ ਪਾਜ਼ੇਟਿਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਲਈ, ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਾਰੇ ਛੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਂਗਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਦੇ ਟਰਮੀਨਲ ਸਾਈਡ ਅਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਐਕਸਿਸ ਵਿਚਕਾਰ ਬਣੇ ਕੋਣ ਨੂੰ ਮਾਪੋ। ਇਹ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਂਗਲ ਹੈ।
ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਂਗਲ 'ਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਸ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਦਾ ਟਰਮੀਨਲ ਸਾਈਡ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਆਉਟਪੁੱਟ ਪਾਜ਼ੇਟਿਵ ਹੈ ਜਾਂ ਨੈਗੇਟਿਵ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
Using Reference Angles to Find Trigonometric Functions
Use reference angles to find all six trigonometric functions of − 5π 6 . − 5π 6 .
Solution
The angle between this angle’s terminal side and the x-axis is π 6 , π 6 , so that is the reference angle. Since − 5π 6 − 5π 6 is in the third quadrant, where both x x and y y are negative, cosine, sine, secant, and cosecant will be negative, while tangent and cotangent will be positive.
cos( − 5π 6 ) =− 3 2 ,sin( − 5π 6 ) =− 1 2 ,tan( − 5π 6 ) = 3 3 , sec( − 5π 6 ) =− 2 3 3 ,csc( − 5π 6 ) =−2,cot( − 5π 6 ) = 3 cos( − 5π 6 ) =− 3 2 ,sin( − 5π 6 ) =− 1 2 ,tan( − 5π 6 ) = 3 3 , sec( − 5π 6 ) =− 2 3 3 ,csc( − 5π 6 ) =−2,cot( − 5π 6 ) = 3
Try It #3
Use reference angles to find all six trigonometric functions of − 7π 4 . − 7π 4 .
Using Even and Odd Trigonometric Functions
To be able to use our six trigonometric functions freely with both positive and negative angle inputs, we should examine how each function treats a negative input. As it turns out, there is an important difference among the functions in this regard.
Consider the function f(x)= x 2 , f(x)= x 2 , shown in Figure 5. The graph of the function is symmetrical about the y-axis. All along the curve, any two points with opposite x-values have the same function value. This matches the result of calculation: (4) 2 = (−4) 2 , (−5) 2 = (5) 2 , (4) 2 = (−4) 2 , (−5) 2 = (5) 2 , and so on. So f(x)= x 2 f(x)= x 2 is an even function, a function such that two inputs that are opposites have the same output. That means f( −x )=f( x ). f( −x )=f( x ).
Figure 5: The function f(x)= x 2 f(x)= x 2 is an even function.
Now consider the function f(x)= x 3 , f(x)= x 3 , shown in Figure 6. The graph is not symmetrical about the y-axis. All along the graph, any two points with opposite x-values also have opposite y-values. So f(x)= x 3 f(x)= x 3 is an odd function, one such that two inputs that are opposites have outputs that are also opposites. That means f( −x )=−f( x ). f( −x )=−f( x ).
Figure 6: The function f(x)= x 3 f(x)= x 3 is an odd function.
We can test whether a trigonometric function is even or odd by drawing a unit circle with a positive and a negative angle, as in Figure 7. The sine of the positive angle is y. y. The sine of the negative angle is −y. −y. The sine function, then, is an odd function. We can test each of the six trigonometric functions in this fashion. The results are shown in Table 2.
row: sin t = y sin(−t) = −y sin t ≠ sin(−t) sin t = y sin(−t) = −y sin t ≠ sin(−t) | cos t = x cos(−t) = x cos t = cos(−t) cos t = x cos(−t) = x cos t = cos(−t) | tan(t) = y x tan(−t) = − y x tan t ≠ tan(−t) tan(t) = y x tan(−t) = − y x tan t ≠ tan(−t)
row: sec t = 1 x sec(−t) = 1 x sec t = sec(−t) sec t = 1 x sec(−t) = 1 x sec t = sec(−t) | csc t = 1 y csc(−t) = 1 −y csc t ≠ csc(−t) csc t = 1 y csc(−t) = 1 −y csc t ≠ csc(−t) | cot t = x y cot(−t) = x −y cot t ≠ cot(−t) cot t = x y cot(−t) = x −y cot t ≠ cot(−t)
Even and Odd Trigonometric Functions
An even function is one in which f(−x)=f(x). f(−x)=f(x).
An odd function is one in which f(−x)=−f(x). f(−x)=−f(x).
Cosine and secant are even:
Sine, tangent, cosecant, and cotangent are odd:
Example 4
Using Even and Odd Properties of Trigonometric Functions
If the secant of angle t t is 2, what is the secant of −t? −t?
Solution
Secant is an even function. The secant of an angle is the same as the secant of its opposite. So if the secant of angle t t is 2, the secant of −t −t is also 2.
Try It #4
If the cotangent of angle t t is 3 , 3 , what is the cotangent of −t? −t?
Recognizing and Using Fundamental Identities
We have explored a number of properties of trigonometric functions. Now, we can take the relationships a step further, and derive some fundamental identities. Identities are statements that are true for all values of the input on which they are defined. Usually, identities can be derived from definitions and relationships we already know. For example, the Pythagorean Identity we learned earlier was derived from the Pythagorean Theorem and the definitions of sine and cosine.
Fundamental Identities
We can derive some useful identities from the six trigonometric functions. The other four trigonometric functions can be related back to the sine and cosine functions using these basic relationships:
Example 5
Using Identities to Evaluate Trigonometric Functions
ⓐ Given sin(45°)= 2 2 ,cos(45°)= 2 2 , sin(45°)= 2 2 ,cos(45°)= 2 2 , evaluate tan(45°). tan(45°).
ⓑ Given sin( 5π 6 )= 1 2 ,cos( 5π 6 )=− 3 2 , sin( 5π 6 )= 1 2 ,cos( 5π 6 )=− 3 2 , evaluate sec( 5π 6 ). sec( 5π 6 ).
Solution
Because we know the sine and cosine values for these angles, we can use identities to evaluate the other functions.
ⓐ tan(45°) = sin(45°) cos(45°) = 2 2 2 2 = 1 tan(45°) = sin(45°) cos(45°) = 2 2 2 2 = 1
ⓑ sec( 5π 6 ) = 1 cos( 5π 6 ) = 1 − 3 2 = −2 3 1 = −2 3 = − 2 3 3 sec( 5π 6 ) = 1 cos( 5π 6 ) = 1 − 3 2 = −2 3 1 = −2 3 = − 2 3 3
Try It #5
Evaluate csc( 7π 6 ). csc( 7π 6 ).
Example 6
Using Identities to Simplify Trigonometric Expressions
Simplify sect tant . sect tant .
Solution
We can simplify this by rewriting both functions in terms of sine and cosine.
By showing that sect tant sect tant can be simplified to csct, csct, we have, in fact, established a new identity.
1. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
2. ਸਰਲ ਕਰੋ (ਤੰਤ)(ਕੀਮਤ). (ਤੰਤ)(ਕੀਮਤ).
3. ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਦੇ ਬਦਲਵੇਂ ਰੂਪ
4. ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ, cos² t + sin² t = 1, ਦੇ ਬਦਲਵੇਂ ਰੂਪਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਰੂਪ cos² t ਨਾਲ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਵੰਡ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
5. ਦੂਜਾ ਰੂਪ sin² t ਨਾਲ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਵੰਡ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
6. ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਦੇ ਬਦਲਵੇਂ ਰੂਪ
7. ਉਦਾਹਰਨ 7
8. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
9. ਜੇਕਰ cos(t) = 12/13 ਅਤੇ t ਚੌਥੇ ਚਰਨ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਹੋਰ ਪੰਜ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
10. ਹੱਲ
11. ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ, cos² t + sin² t = 1, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਈਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਨਾਲ ਜੋੜ ਕੇ।
12. ਸਾਈਨ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਉਸ ਚਰਨ ਵਿੱਚ y-ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਕੋਣ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਣ ਚੌਥੇ ਚਰਨ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ y-ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸਦਾ ਸਾਈਨ ਨਕਾਰਾਤਮਕ, -5/13, ਹੈ।
13. ਬਾਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
14. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
15. ਜੇਕਰ sec(t) = -17/8 ਅਤੇ 0 < t < π, ਤਾਂ ਹੋਰ ਪੰਜ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
16. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਧਿਆਇ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਨਿਯਮਤ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਾਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਅਤੇ ਸੀਕੈਂਟ ਲਈ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਘੁੰਮਣਾ, ਜਾਂ 2π, ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਮਾਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਹੋਵੇਗਾ। ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ, ਸਿਰਫ ਅੱਧਾ ਘੁੰਮਣਾ ਸਮਾਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਹੋਵੇਗਾ।
17. ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮਹੀਨਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹਰ ਚਾਰ ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਦੁਹਰਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ x ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪੀ ਗਈ ਸਮੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ f(x) ਫਰਵਰੀ ਵਿੱਚ ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ f(x+4) = f(x)। ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਵਾਰ-ਵਾਰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਚਾਰ ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ (100 ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ), ਫਰਵਰੀ ਵਿੱਚ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਹੀ ਦਿਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿੰਨੇ 4 ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ ਹੁੰਦੇ ਸਨ। ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ 4 ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਸ਼ਰਤ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪੀਰੀਅਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪੀਰੀਅਡ ਉਹ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਅੰਤਰਾਲ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਚੱਕਰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ—ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਪੀਰੀਅਡ 4 ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਉਸ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਯਕੀਨੀ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫਰਵਰੀ ਵਿੱਚ ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਸਮਾਨ ਹੈ।
18. ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ
19. ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ P ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ x ਮੁੱਲ ਲਈ f(x+P) = f(x) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
20. ਕੋਸਾਈਨ, ਸਾਈਨ, ਸੀਕੈਂਟ, ਅਤੇ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ 2π ਹੈ।
21. ਟੈਂਜੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ π ਹੈ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 8
23. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
24. ਚਿੱਤਰ 9 ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਕੋਣ t ਦੇ ਛੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
Solution
Try It #8
Find the values of the six trigonometric functions of angle t t based on Figure 10.
Example 9
Finding the Value of Trigonometric Functions
If sin(t)=− 3 2 andcos(t)= 1 2 ,findsec(t),csc(t),tan(t),cot(t). sin(t)=− 3 2 andcos(t)= 1 2 ,findsec(t),csc(t),tan(t),cot(t).
Solution
Try It #9
sin(t)= 2 2 andcos(t)= 2 2 ,findsec(t),csc(t),tan(t),andcot(t) sin(t)= 2 2 andcos(t)= 2 2 ,findsec(t),csc(t),tan(t),andcot(t)
Evaluating Trigonometric Functions with a Calculator
We have learned how to evaluate the six trigonometric functions for the common first-quadrant angles and to use them as reference angles for angles in other quadrants. To evaluate trigonometric functions of other angles, we use a scientific or graphing calculator or computer software. If the calculator has a degree mode and a radian mode, confirm the correct mode is chosen before making a calculation.
Evaluating a tangent function with a scientific calculator as opposed to a graphing calculator or computer algebra system is like evaluating a sine or cosine: Enter the value and press the TAN key. For the reciprocal functions, there may not be any dedicated keys that say CSC, SEC, or COT. In that case, the function must be evaluated as the reciprocal of a sine, cosine, or tangent.
If we need to work with degrees and our calculator or software does not have a degree mode, we can enter the degrees multiplied by the conversion factor π 180 π 180 to convert the degrees to radians. To find the secant of 30°, 30°, we could press
How To
Given an angle measure in radians, use a scientific calculator to find the cosecant.
If the calculator has degree mode and radian mode, set it to radian mode.
Enter: 1/ 1/
Enter the value of the angle inside parentheses.
Press the SIN key.
Press the = key.
How To
Given an angle measure in radians, use a graphing utility/calculator to find the cosecant.
If the graphing utility has degree mode and radian mode, set it to radian mode.
Enter: 1/ 1/
Press the SIN key.
Enter the value of the angle inside parentheses.
Press the ENTER key.
Example 10
Evaluating the Cosecant Using Technology
Evaluate the cosecant of 5π 7 . 5π 7 .
Solution
For a scientific calculator, enter information as follows:
Try It #10
Evaluate the cotangent of − π 8 . − π 8 .
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with other trigonometric functions.
Determing Trig Function Values
More Examples of Determining Trig Functions
Pythagorean Identities
Trig Functions on a Calculator
Verbal
On an interval of [ 0,2π ), [ 0,2π ), can the sine and cosine values of a radian measure ever be equal? If so, where?
What would you estimate the cosine of π π degrees to be? Explain your reasoning.
For any angle in quadrant II, if you knew the sine of the angle, how could you determine the cosine of the angle?
Describe the secant function.
Tangent and cotangent have a period of π. π. What does this tell us about the output of these functions?
Algebraic
For the following exercises, find the exact value of each expression.
tan π 6 tan π 6
sec π 6 sec π 6
csc π 6 csc π 6
cot π 6 cot π 6
tan π 4 tan π 4
sec π 4 sec π 4
csc π 4 csc π 4
cot π 4 cot π 4
tan π 3 tan π 3
sec π 3 sec π 3
csc π 3 csc π 3
cot π 3 cot π 3
For the following exercises, use reference angles to evaluate the expression.
tan 5π 6 tan 5π 6
sec 7π 6 sec 7π 6
csc 11π 6 csc 11π 6
cot 13π 6 cot 13π 6
tan 7π 4 tan 7π 4
sec 3π 4 sec 3π 4
csc 5π 4 csc 5π 4
cot 11π 4 cot 11π 4
tan 8π 3 tan 8π 3
sec 4π 3 sec 4π 3
csc 2π 3 csc 2π 3
cot 5π 3 cot 5π 3
tan225° tan225°
sec300° sec300°
csc150° csc150°
cot240° cot240°
tan330° tan330°
sec120° sec120°
csc210° csc210°
cot315° cot315°
If sint= 3 4 , sint= 3 4 , and t t is in quadrant II, find cost,sect,csct,tant, cost,sect,csct,tant, and cott. cott.
If cost=− 1 3 , cost=− 1 3 , and t t is in quadrant III, find sint,sect,csct,tant, sint,sect,csct,tant, and cott. cott.
If tant= 12 5 tant= 12 5, and 0≤t< π 2 0≤t< π 2, find sint,cost,sect,csct,andcott. sint,cost,sect,csct,andcott.
If sint= 3 2 sint= 3 2 and cost= 1 2 , cost= 1 2 , find sect,csct,tant, sect,csct,tant, and cott. cott.
If sin40°≈0.643 sin40°≈0.643 and cos40°≈0.766, cos40°≈0.766, find sec40°,csc40°,tan40°, sec40°,csc40°,tan40°, and cot40°. cot40°.
If sint= 2 2 , sint= 2 2 , what is the sin(−t)? sin(−t)?
If cost= 1 2 , cost= 1 2 , what is the cos(−t)? cos(−t)?
If sect=3.1, sect=3.1, what is the sec(−t)? sec(−t)?
If csct=0.34, csct=0.34, what is the csc(−t)? csc(−t)?
If tant=−1.4, tant=−1.4, what is the tan(−t)? tan(−t)?
If cott=9.23, cott=9.23, what is the cot(−t)? cot(−t)?
Graphical
For the following exercises, use the angle in the unit circle to find the value of the each of the six trigonometric functions.
Technology
For the following exercises, use a graphing calculator to evaluate to three decimal places.
csc 5π 9 csc 5π 9
cot 4π 7 cot 4π 7
sec π 10 sec π 10
tan 5π 8 tan 5π 8
sec 3π 4 sec 3π 4
csc π 4 csc π 4
tan98° tan98°
cot33° cot33°
cot140° cot140°
sec310° sec310°
Extensions
For the following exercises, use identities to evaluate the expression.
If tan( t )≈2.7, tan( t )≈2.7, and sin( t )≈0.94, sin( t )≈0.94, find cos( t ). cos( t ).
If tan( t )≈1.3, tan( t )≈1.3, and cos( t )≈0.61, cos( t )≈0.61, find sin( t ). sin( t ).
If csc( t )≈3.2, csc( t )≈3.2, and cos( t )≈0.95, cos( t )≈0.95, find tan( t ). tan( t ).
If cot( t )≈0.58, cot( t )≈0.58, and cos( t )≈0.5, cos( t )≈0.5, find csc( t ). csc( t ).
Determine whether the function f(x)=2sinxcosx f(x)=2sinxcosx is even, odd, or neither.
Determine whether the function f(x)=3 sin 2 xcosx+secx f(x)=3 sin 2 xcosx+secx is even, odd, or neither.
Determine whether the function f(x)=sinx−2 cos 2 x f(x)=sinx−2 cos 2 x is even, odd, or neither.
Determine whether the function f(x)= csc 2 x+secx f(x)= csc 2 x+secx is even, odd, or neither.
For the following exercises, use identities to simplify the expression.
cscttant cscttant
sect csct sect csct
Real-World Applications
The amount of sunlight in a certain city can be modeled by the function h=15cos( 1 600 d ), h=15cos( 1 600 d ), where h h represents the hours of sunlight, and d d is the day of the year. Use the equation to find how many hours of sunlight there are on February 11, the 42nd day of the year. State the period of the function.
The amount of sunlight in a certain city can be modeled by the function h=16cos( 1 500 d ), h=16cos( 1 500 d ), where h h represents the hours of sunlight, and d d is the day of the year. Use the equation to find how many hours of sunlight there are on September 24, the 267th day of the year. State the period of the function.
The equation P=20sin( 2πt )+100 P=20sin( 2πt )+100 models the blood pressure, P, P, where t t represents time in seconds. (a) Find the blood pressure after 15 seconds. (b) What are the maximum and minimum blood pressures?
The height of a piston, h, h, in inches, can be modeled by the equation y=3sinx+1, y=3sinx+1, where x x represents the crank angle. Find the height of the piston when the crank angle is 55°. 55°.
The height of a piston, h, h, in inches, can be modeled by the equation y=2cosx+5, y=2cosx+5, where x x represents the crank angle. Find the height of the piston when the crank angle is 55°. 55°.