ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: UCLA ਮਾਰਚਿੰਗ ਬੈਂਡ (ਸਿਹਰਾ: Eric Chan, Flickr)।
ਇੱਕ ਬੈਂਡ ਮੈਦਾਨ ਵਿੱਚ ਮਾਰਚ ਕਰਦਾ ਹੋਇਆ ਇੱਕ ਅਦਭੁਤ ਆਵਾਜ਼ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਭੀੜ ਨੂੰ ਉਤਸ਼ਾਹਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਹ ਆਵਾਜ਼ ਇੱਕ ਤਰੰਗ ਵਜੋਂ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 2 ਸੰਗੀਤਕ ਨੋਟ A ਲਈ ਇੱਕ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਵਰਤਾਰਿਆਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਨੀਂਹ ਹਨ।
ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਜਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਕਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਸਿੱਖੇ ਹਨ, ਪਰ ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਪਛਾਣ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਾਈਨ ਪਛਾਣ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ।
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਪਛਾਣਾਂ ਤੋਂ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਲਈ 2 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ
ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ: 2cos( 7x 2 )cos 3x 2 . 2cos( 7x 2 )cos 3x 2 .
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਅੰਤਰ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: cos( 2θ )cos( 4θ ). cos( 2θ )cos( 4θ ).
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਅਗਲਾ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਤੋਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਲਈ 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ:
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਵਾਲੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਵਾਲੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕੋਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਾ ਹੋਵੇ: sin( 4θ )cos( 2θ ). sin( 4θ )cos( 2θ ).
ਹੱਲ
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ: sin( x+y )cos( x−y ). sin( x+y )cos( x−y ).
ਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ ਵੀ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੋ ਕੋਸਾਈਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਘਟਾਵਾਂਗੇ:
ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਲਈ 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਹੋਰ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ
ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ:
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ
cos(3θ)cos(5θ) cos(3θ)cos(5θ) ਨੂੰ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
cos 11π 12 cos π 12 . cos 11π 12 cos π 12 . ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ।
ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ
ਕੁਝ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ ਉਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਉਲਟਾ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਵਰਤੀ ਹੈ। ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਗੁਣਨਫਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਸਾਨੂੰ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਫਾਰਮੂਲੇ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਪਛਾਣਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕੁਝ ਬਦਲਾਵਾਂ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਗੁਣਨਫਲ ਪਛਾਣ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ u+v 2 =α u+v 2 =α ਅਤੇ u−v 2 =β। u−v 2 =β।
ਤਾਂ,
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਉਤਪਾਦ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ α α ਅਤੇ β β ਨੂੰ ਬਦਲਵੇਂ ਪਦਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਉਤਪਾਦ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਪਛਾਣਾਂ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਉਤਪਾਦ ਫਾਰਮੂਲੇ
ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਉਤਪਾਦ ਫਾਰਮੂਲੇ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹਨ:
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਸਾਈਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਉਤਪਾਦ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਾਈਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਪਦ ਨੂੰ ਉਤਪਾਦ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ: sin( 4θ )−sin( 2θ ). sin( 4θ )−sin( 2θ ).
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਾਈਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਜੋੜ ਨੂੰ ਉਤਪਾਦ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣ ਲਈ ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਉਤਪਾਦ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: sin( 3θ )+sin( θ ). sin( 3θ )+sin( θ ).
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਉਤਪਾਦ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
cos(15°)−cos(75°). cos(15°)−cos(75°). ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨਾਲ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਇੱਕ ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ
ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੋ:
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਪਾਸੇ, ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਪਦ ਨੂੰ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਾਂਗੇ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਹ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨਾਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦਾ।
Analysis
Recall that verifying trigonometric identities has its own set of rules. The procedures for solving an equation are not the same as the procedures for verifying an identity. When we prove an identity, we pick one side to work on and make substitutions until that side is transformed into the other side.
Example 7
Verifying the Identity Using Double-Angle Formulas and Reciprocal Identities
Verify the identity csc 2 θ−2= cos(2θ) sin 2 θ . csc 2 θ−2= cos(2θ) sin 2 θ .
Solution
For verifying this equation, we are bringing together several of the identities. We will use the double-angle formula and the reciprocal identities. We will work with the right side of the equation and rewrite it until it matches the left side.
Try It #5
Verify the identity tanθcotθ− cos 2 θ= sin 2 θ. tanθcotθ− cos 2 θ= sin 2 θ.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with the product-to-sum and sum-to-product identities.
Sum to Product Identities
Sum to Product and Product to Sum Identities
Verbal
Starting with the product to sum formula sinαcosβ= 1 2 [sin(α+β)+sin(α−β)], sinαcosβ= 1 2 [sin(α+β)+sin(α−β)], explain how to determine the formula for cosαsinβ. cosαsinβ.
Provide two different methods of calculating cos(195°)cos(105°), cos(195°)cos(105°), one of which uses the product to sum. Which method is easier?
Describe a situation where we would convert an equation from a sum to a product and give an example.
Describe a situation where we would convert an equation from a product to a sum, and give an example.
Algebraic
For the following exercises, rewrite the product as a sum or difference.
16sin(16x)sin(11x) 16sin(16x)sin(11x)
20cos( 36t )cos( 6t ) 20cos( 36t )cos( 6t )
2sin( 5x )cos( 3x ) 2sin( 5x )cos( 3x )
10cos( 5x )sin( 10x ) 10cos( 5x )sin( 10x )
sin( −x )sin( 5x ) sin( −x )sin( 5x )
sin( 3x )cos( 5x ) sin( 3x )cos( 5x )
For the following exercises, rewrite the sum or difference as a product.
cos( 6t )+cos( 4t ) cos( 6t )+cos( 4t )
sin( 3x )+sin( 7x ) sin( 3x )+sin( 7x )
cos( 7x )+cos( −7x ) cos( 7x )+cos( −7x )
sin( 3x )−sin( −3x ) sin( 3x )−sin( −3x )
cos( 3x )+cos( 9x ) cos( 3x )+cos( 9x )
sinh−sin( 3h ) sinh−sin( 3h )
For the following exercises, evaluate the product for the following using a sum or difference of two functions. Evaluate exactly.
cos( 45° )cos( 15° ) cos( 45° )cos( 15° )
cos( 45° )sin( 15° ) cos( 45° )sin( 15° )
sin( −345° )sin( −15° ) sin( −345° )sin( −15° )
sin( 195° )cos( 15° ) sin( 195° )cos( 15° )
sin( −45° )sin( −15° ) sin( −45° )sin( −15° )
For the following exercises, evaluate the product using a sum or difference of two functions. Leave in terms of sine and cosine.
cos( 23° )sin( 17° ) cos( 23° )sin( 17° )
2sin( 100° )sin( 20° ) 2sin( 100° )sin( 20° )
2sin(−100°)sin(−20°) 2sin(−100°)sin(−20°)
sin( 213° )cos( 8° ) sin( 213° )cos( 8° )
2cos(56°)cos(47°) 2cos(56°)cos(47°)
For the following exercises, rewrite the sum as a product of two functions. Leave in terms of sine and cosine.
sin(76°)+sin(14°) sin(76°)+sin(14°)
cos( 58° )−cos( 12° ) cos( 58° )−cos( 12° )
sin(101°)−sin(32°) sin(101°)−sin(32°)
cos( 100° )+cos( 200° ) cos( 100° )+cos( 200° )
sin(−1°)+sin(−2°) sin(−1°)+sin(−2°)
For the following exercises, prove the identity.
cos(a+b) cos(a−b) = 1−tanatanb 1+tanatanb cos(a+b) cos(a−b) = 1−tanatanb 1+tanatanb
4sin( 3x )cos( 4x )=2sin( 7x )−2sinx 4sin( 3x )cos( 4x )=2sin( 7x )−2sinx
6cos( 8x )sin( 2x ) sin( −6x ) =−3sin( 10x )csc( 6x )+3 6cos( 8x )sin( 2x ) sin( −6x ) =−3sin( 10x )csc( 6x )+3
sinx+sin( 3x )=4sinx cos 2 x sinx+sin( 3x )=4sinx cos 2 x
2( cos 3 x−cosx sin 2 x )=cos( 3x )+cosx 2( cos 3 x−cosx sin 2 x )=cos( 3x )+cosx
2tanxcos( 3x )=secx( sin( 4x )−sin( 2x ) ) 2tanxcos( 3x )=secx( sin( 4x )−sin( 2x ) )
cos( a+b )+cos( a−b )=2cosacosb cos( a+b )+cos( a−b )=2cosacosb
Numeric
For the following exercises, rewrite the sum as a product of two functions or the product as a sum of two functions. Give your answer in terms of sines and cosines. Then evaluate the final answer numerically, rounded to four decimal places.
cos(58°)+cos(12°) cos(58°)+cos(12°)
sin(2°)−sin(3°) sin(2°)−sin(3°)
cos(44°)−cos(22°) cos(44°)−cos(22°)
cos(176°)sin(9°) cos(176°)sin(9°)
sin(−14°)sin(85°) sin(−14°)sin(85°)
Technology
For the following exercises, algebraically determine whether each of the given equation is an identity. If it is not an identity, replace the right-hand side with an expression equivalent to the left side. Verify the results by graphing both expressions on a calculator.
2sin(2x)sin(3x)=cosx−cos(5x) 2sin(2x)sin(3x)=cosx−cos(5x)
cos( 10θ )+cos( 6θ ) cos( 6θ )−cos( 10θ ) =cot( 2θ )cot( 8θ ) cos( 10θ )+cos( 6θ ) cos( 6θ )−cos( 10θ ) =cot( 2θ )cot( 8θ )
sin( 3x )−sin( 5x ) cos( 3x )+cos( 5x ) =tanx sin( 3x )−sin( 5x ) cos( 3x )+cos( 5x ) =tanx
2cos(2x)cosx+sin(2x)sinx=2sinx 2cos(2x)cosx+sin(2x)sinx=2sinx
sin( 2x )+sin( 4x ) sin( 2x )−sin( 4x ) =−tan( 3x )cotx sin( 2x )+sin( 4x ) sin( 2x )−sin( 4x ) =−tan( 3x )cotx
For the following exercises, simplify the expression to one term, then graph the original function and your simplified version to verify they are identical.
sin( 9t )−sin( 3t ) cos( 9t )+cos( 3t ) sin( 9t )−sin( 3t ) cos( 9t )+cos( 3t )
2sin( 8x )cos( 6x )−sin( 2x ) 2sin( 8x )cos( 6x )−sin( 2x )
sin( 3x )−sinx sinx sin( 3x )−sinx sinx
cos( 5x )+cos( 3x ) sin( 5x )+sin( 3x ) cos( 5x )+cos( 3x ) sin( 5x )+sin( 3x )
sinxcos( 15x )−cosxsin( 15x ) sinxcos( 15x )−cosxsin( 15x )
Extensions
For the following exercises, prove the following sum-to-product formulas.
sinx−siny=2sin( x−y 2 )cos( x+y 2 ) sinx−siny=2sin( x−y 2 )cos( x+y 2 )
cosx+cosy=2cos( x+y 2 )cos( x−y 2 ) cosx+cosy=2cos( x+y 2 )cos( x−y 2 )
For the following exercises, prove the identity.
sin(6x)+sin(4x) sin(6x)−sin(4x) =tan(5x)cotx sin(6x)+sin(4x) sin(6x)−sin(4x) =tan(5x)cotx
cos(3x)+cosx cos(3x)−cosx =−cot(2x)cotx cos(3x)+cosx cos(3x)−cosx =−cot(2x)cotx
cos(6y)+cos(8y) sin(6y)−sin(4y) =cotycos(7y)sec(5y) cos(6y)+cos(8y) sin(6y)−sin(4y) =cotycos(7y)sec(5y)
cos( 2y )−cos( 4y ) sin( 2y )+sin( 4y ) =tany cos( 2y )−cos( 4y ) sin( 2y )+sin( 4y ) =tany
sin( 10x )−sin( 2x ) cos( 10x )+cos( 2x ) =tan( 4x ) sin( 10x )−sin( 2x ) cos( 10x )+cos( 2x ) =tan( 4x )
cosx−cos(3x)=4 sin 2 xcosx cosx−cos(3x)=4 sin 2 xcosx
(cos(2x)−cos(4x)) 2 + (sin(4x)+sin(2x)) 2 =4 sin 2 (3x) (cos(2x)−cos(4x)) 2 + (sin(4x)+sin(2x)) 2 =4 sin 2 (3x)
tan( π 4 −t )= 1−tant 1+tant tan( π 4 −t )= 1−tant 1+tant