ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਜੋ ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ।
ਮੁੱਢਲੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਬਹੁ-ਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਮਿਸਰ ਦੇ ਪਿਰਾਮਿਡ ਆਧੁਨਿਕ ਸ਼ਹਿਰ ਦੇ ਨੇੜੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ। (ਸਿਹਰਾ: ਓਇਸਿਨ ਮੁਲਵਿਹਿਲ)
ਥੇਲਸ ਆਫ਼ ਮਾਈਲੇਟਸ (ਲਗਭਗ 625–547 ਈਸਵੀ ਪੂਰਵ) ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਬਾਨੀ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਹਾਣੀ ਹੈ ਕਿ ਉਸਨੇ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੀਜ਼ਾ ਦੇ ਮਹਾਨ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਉਸਨੇ ਆਪਣੀ ਛੜੀ ਦੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਨੂੰ ਮਾਪ ਕੇ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ। ਉਸਨੇ ਇਹ ਤਰਕ ਕੀਤਾ ਕਿ ਜਦੋਂ ਉਸਦੀ ਛੜੀ ਦੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਛੜੀ ਦੀ ਅਸਲ ਉਚਾਈ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੀ, ਤਾਂ ਨੇੜੇ ਦੇ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵੀ ਅਸਲ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਢਾਂਚੇ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਪਾਸਿਆਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾ ਰਹੇ ਸਨ, ਉਹ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਸਨ। ਉਸ ਸਮੇਂ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਮਾਪ ਕੇ, ਉਹ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਸੀ। ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਇਸ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਕਈ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਫਰੈਕਟਲ ਜਿਓਮੈਟਰੀ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਅਤੇ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਅਕਸਰ, ਉਚਾਈ ਦੇ ਕੋਣ ਅਤੇ ਡਿਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਦੇ ਕੋਣ ਨੂੰ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਿਆ। ਪਛਾਣਾਂ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਿਰਾਮਿਡਾਂ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਵਰਗੇ ਅਸਲ-ਸੰਸਾਰ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਆਪਣਾ ਅਧਿਐਨ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਾਮ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ, ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਬਹੁ-ਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਜਾਂ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸਮਾਨ, ਸਿਰਫ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਖਾਸ ਮੁੱਲ ਹੀ ਹੱਲ ਹੋਣਗੇ, ਜੇ ਕੋਈ ਹੱਲ ਹੋਵੇ। ਅਕਸਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਿੰਨੀ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾਵਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਹੱਲ ਹਰੇਕ ਪੀਰੀਅਡ ਦੇ ਅੰਦਰ ਦੁਹਰਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਂਗ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੱਲ ਨੂੰ ਵੈਧ ਮੰਨਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ 2π ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰ 2π ਯੂਨਿਟਾਂ 'ਤੇ, y-ਮੁੱਲ ਦੁਹਰਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜੇ ਸਾਨੂੰ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਹੱਲ ਵਿੱਚ 2πk ਜੋੜਨਾ ਪਵੇਗਾ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੱਸਣ ਲਈ ਫਾਰਮੈਟ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਪੀਰੀਅਡ 2π ਹੈ:
ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸਮਾਨ ਨਿਯਮ ਹਨ। ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾਇਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਾਂਗ ਹੀ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਾਕ ਵਾਂਗ, ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ, ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਪੈਟਰਨਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫੈਕਟਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਆਮ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਸਿੱਧੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੁਝ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦਾ ਫਾਇਦਾ ਵੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ cosθ= 1/2 ਲਈ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਸਹੀ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਹ [0, 2π] ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਹਨ। ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਹੱਲ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ
ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ sin t = 1/2 ਲਈ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਸਹੀ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
t ਦੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਹੱਲਾਂ ਵਿੱਚ 2π ਦੀ ਮਿਆਦ ਤੋਂ ਪਰੇ ਕੋਣ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। 2π। ਚਿੱਤਰ 2 ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹੱਲ t= π 6 t= π 6 ਅਤੇ t= 5π 6 ਹਨ। t= 5π 6 । ਪਰ ਸਮੱਸਿਆ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲਾਂ ਬਾਰੇ ਪੁੱਛ ਰਹੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜਵਾਬ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ k k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ ਜੋ ਅਲਜਬਰਾ ਸੰਪਤੀ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦੀ ਹੋਵੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਜਾਂ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਦਾ ਮੌਕਾ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਵੇਰੀਏਬਲ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x x ਜਾਂ u u ਨਾਲ ਬਦਲੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੱਲ ਕਰੋ ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਅਲਜਬਰਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।
ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਬਦਲੋ।
ਕੋਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਰੇਖੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: 2cosθ−3=−5,0≤θ<2π। 2cosθ−3=−5,0≤θ<2π।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
[0,2π) ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: 2sinx+1=0। [0,2π):2sinx+1=0।
ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਛੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅਲਜਬਰਾ ਤਕਨੀਕਾਂ ਅਤੇ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ (ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਈ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਾਇਮਰੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟੇ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਾ ਪਰਿਪੇਖ ਤੋਂ ਦੇਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਨਾਲ ਹੀ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੀ ਮਿਆਦ π ਹੈ, π, 2π ਨਹੀਂ। 2π। ਹੋਰ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ π/2 ਦੇ ਵਿਸ਼ਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ, π/2, ਜਦੋਂ ਤੱਕ, ਬੇਸ਼ੱਕ, ਕੋਈ ਸਮੱਸਿਆ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਆਪਣੀਆਂ ਖੁਦ ਦੀਆਂ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਨਹੀਂ ਲਗਾਉਂਦੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: 2 sin 2 θ−1=0,0≤θ<2π। 2 sin 2 θ−1=0,0≤θ<2π।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਫੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਮੂਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ sinθ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। sinθ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: cscθ=−2,0≤θ<4π. cscθ=−2,0≤θ<4π.
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ θ ਦੇ ਉਹ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ 0≤θ<4π ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ cscθ=−2 ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ sinθ=− 1 2 , sinθ=− 1 2 , ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਹੱਲ ਤੀਜੇ ਅਤੇ ਚੌਥੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਟੈਨਜੈਂਟ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: tan( θ− π 2 )=1,0≤θ<2π. tan( θ− π 2 )=1,0≤θ<2π.
ਹੱਲ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ π ਹੈ। π. [ 0,π ) ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ, [ 0,π ), ਅਤੇ π 4 ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ, π 4 , ਟੈਨਜੈਂਟ ਦਾ ਮੁੱਲ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਿਹੜਾ ਕੋਣ ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ( θ− π 2 ) ਹੈ। ( θ− π 2 ). ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ tan( π 4 )=1, tan( π 4 )=1, ਤਾਂ
[ 0,2π ) ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ, [ 0,2π ), ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਹੱਲ ਹਨ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
tanx= 3 ਲਈ ਸਾਰੇ ਹੱਲ ਲੱਭੋ। tanx= 3 .
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਟੈਨਜੈਂਟ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ
ਸਮੀਕਰਨ 2( tanx+3 )=5+tanx,0≤x<2π ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਹੀ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। 2( tanx+3 )=5+tanx,0≤x<2π.
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। tanx tanx ਦੇ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵੱਖ ਕਰੋ।
ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ 'ਤੇ ਦੋ ਕੋਣ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਟੈਨਜੈਂਟ ਮੁੱਲ −1 ਹੈ: θ= 3π 4 −1: θ= 3π 4 ਅਤੇ θ= 7π 4 . θ= 7π 4 .
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਸਾਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿਲਕੁਲ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਕੋਣ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਇਹ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੇ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਡਿਗਰੀ ਜਾਂ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚੋਂ ਸਹੀ ਮੋਡ 'ਤੇ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਈਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ sinθ=0.8, ਜਿੱਥੇ θ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਮੋਡ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਸੈੱਟ ਹੈ। θ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਉਲਟਾ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ 'ਤੇ, ਤੁਹਾਨੂੰ sin⁻¹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲਿਆਉਣ ਲਈ 2ND ਬਟਨ ਅਤੇ ਫਿਰ SIN ਬਟਨ ਦਬਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਸਕ੍ਰੀਨ 'ਤੇ ਜੋ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਉਹ sin⁻¹( ਹੈ। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇਨਪੁਟ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ, ਅਸੀਂ sin⁻¹(0.8) ਦਾਖਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ENTER ਦਬਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ,
ਹੱਲ ਹੈ
ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਚਤੁਰਭੁਜ I ਜਾਂ IV ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ ਵਾਪਸ ਕਰੇਗਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਉਲਟਾ ਸਾਈਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਕੋਣ π−θ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਵਾਧੂ ਹੱਲ ≈2.2143±2πk ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੀਕੈਂਟ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ secθ=−4, ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਦਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਅਲਜਬਰਾ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚੈੱਕ ਕਰੋ ਕਿ ਮੋਡ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਹੁਣ ਉਲਟਾ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਿਉਂਕਿ π/2 ≈1.57 ਅਤੇ π≈3.14, 1.8235 ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ θ≈1.8235 ਚਤੁਰਭੁਜ II ਵਿੱਚ ਹੈ। ਕੋਸਾਈਨ ਚਤੁਰਭੁਜ III ਵਿੱਚ ਵੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਚਤੁਰਭੁਜ I ਜਾਂ II ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ ਵਾਪਸ ਕਰੇਗਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਉਲਟਾ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਚਤੁਰਭੁਜ III ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਵੀ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਚਤੁਰਭੁਜ II ਵਿੱਚ, ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ θ' ≈ π−1.8235 ≈ 1.3181 ਹੈ। ਚਤੁਰਭੁਜ III ਵਿੱਚ ਦੂਜਾ ਹੱਲ θ' ≈ π+1.3181 ≈ 4.4597 ਹੈ।
ਹੱਲ θ≈1.8235±2πk ਅਤੇ θ≈4.4597±2πk ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
cosθ=−0.2 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਹੈ? ਕਿਹੜਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਸ਼ਰਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਰਗ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ। ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਜਾਂ u ਨਾਲ ਬਦਲੋ। ਜੇਕਰ ਬਦਲਾਅ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਰਗਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਉਹੀ ਤਰੀਕੇ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: cos²θ+3cosθ−1=0, 0≤θ<2π।
1. ਹੱਲ
2. ਅਸੀਂ ਸਥਾਨਾਂਤਰਨ (substitution) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਤੇ cos θ ਨੂੰ x ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। x। ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਥਾਨਾਂਤਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਬਣਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ cosθ=x। cosθ=x। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
3. ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ x= −b± b 2 −4ac 2a । x= −b± b 2 −4ac 2a । ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
4. x ਨੂੰ cosθ, cosθ, ਨਾਲ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
5. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਿਰਫ + ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ θ= cos −1 ( −3− 13 2 ) θ= cos −1 ( −3− 13 2 ) ਨੂੰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਗਲਤੀ ਮਿਲਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ [ −1,1 ] ਹੈ। [ −1,1 ]। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਦੂਜਾ ਹੱਲ ਹੈ:
6. ਕੋਣ ਦਾ ਇਹ ਅੰਤਿਮ ਪਾਸਾ ਪਹਿਲੇ ਚੌਥਾਈ (quadrant I) ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਚੌਥੇ ਚੌਥਾਈ (quadrant IV) ਵਿੱਚ ਵੀ ਧਨ (positive) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਦੂਜਾ ਹੱਲ ਹੈ
7. ਉਦਾਹਰਨ 11
8. ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੁਆਰਾ ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
9. ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: 2 sin 2 θ−5sinθ+3=0,0≤θ≤2π। 2 sin 2 θ−5sinθ+3=0,0≤θ≤2π।
10. ਹੱਲ
11. ਸਮੂਹੀਕਰਨ (grouping) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇਸ ਦੋ ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਾਂ ਤਾਂ ਅਸਲ ਸਥਾਨਾਂਤਰਨ ਕਰੋ, sinθ=u, sinθ=u, ਜਾਂ ਇਸਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ, ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
12. ਹੁਣ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ।
13. ਅੱਗੇ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ: sinθ≠ 3 2 , θ:sinθ≠ 3 2 , ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ [ −1,1 ] ਹੈ। [ −1,1 ]। ਹਾਲਾਂਕਿ, sinθ=1, sinθ=1, ਜਿਸ ਨਾਲ ਹੱਲ θ= π 2 । θ= π 2 । ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
14. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
15. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਸਾਰੇ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਝ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
17. sin 2 θ=2cosθ+2,0≤θ≤2π। sin 2 θ=2cosθ+2,0≤θ≤2π। ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। [ਸੰਕੇਤ: ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਥਾਨਾਂਤਰਨ ਕਰੋ।]
18. ਉਦਾਹਰਨ 12
19. ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
20. ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ:
21. ਹੱਲ
22. ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਤੁਹਾਨੂੰ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਲੱਗਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ (quadratic) ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ sinθ=x। sinθ=x। ਸਮੀਕਰਨ 2 x 2 +x=0 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 2 x 2 +x=0। ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
23. ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿਫਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ।
24. ਫਿਰ, ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x ਲਈ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ sinθ sinθ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। x। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
0≤θ<2π 0≤θ<2π ਦੇ ਘੇਰੇ ਵਿੱਚ ਹੱਲ θ=0,π, 7π 6 , 11π 6 ਹਨ। θ=0,π, 7π 6 , 11π 6 ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਬਦਲਣ ਤੋਂ ਪਰਹੇਜ਼ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਦੇ ਉਸੇ ਤਰੀਕੇ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਹੱਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 0≤θ<2π, 0≤θ<2π ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਚਾਰ ਵਾਰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹੱਲਾਂ ਉੱਤੇ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਦੀ ਉਮੀਦ ਦੇ ਬਜਾਏ ਚਾਰ ਤੱਕ ਹੱਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੋ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਹੱਲ (ਕੋਣ) ਜੋ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਾਈਨ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਦੋ ਕੋਣ ਪੈਦਾ ਕਰੇਗਾ ਜੋ ਉਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਗੇ।
ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਵੀ ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਦੋ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: 2 sin 2 θ−3sinθ+1=0,0≤θ<2π। 2 sin 2 θ−3sinθ+1=0,0≤θ<2π।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। θ θ ਦੇ ਹੱਲ ਮੁੱਲ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਲੱਭੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ 2 cos 2 θ+cosθ=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। 2 cos 2 θ+cosθ=0।
ਮੂਲ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਲਜਬਰਾ ਕਈ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਜੋ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ, ਉਹ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਅਲਜਬਰਾ ਦੇ ਮੂਲ ਨਿਯਮ ਇੱਥੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਨਾਲ ਮੇਲਣ ਲਈ ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਦੇ ਉਲਟ। ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਦੋ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 14
ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
0≤x<2π ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। 0≤x<2π।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਅੰਤਰ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cosx= 3 2 cosx= 3 2 ਜਦੋਂ x= π 6 , 11π 6 । x= π 6 , 11π 6 ।
ਉਦਾਹਰਨ 15
ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: cos( 2θ )=cosθ। cos( 2θ )=cosθ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਲਈ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਚੋਣਾਂ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਵਾਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਰਲ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਕੋਸਾਈਨ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਦੋਹਰੇ ਕੋਣ ਦੀ ਪਛਾਣ ਚੁਣਾਂਗੇ:
ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ cosθ=− 1 2 , ਤਾਂ θ= 2π 3 ±2πk ਅਤੇ θ= 4π 3 ±2πk; ਜੇਕਰ cosθ=1, ਤਾਂ θ=0±2πk।
ਉਦਾਹਰਨ 16
ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: 3cosθ+3=2 sin 2 θ,0≤θ<2π।
ਹੱਲ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਸਾਡੇ ਹੱਲ ਹਨ θ= 2π 3 , 4π 3 ,π।
ਬਹੁ-ਕੋਣਾਂ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਕਈ ਵਾਰ ਪਛਾਣਾਂ ਨਾਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁ-ਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ sin( 2x ) ਜਾਂ cos( 3x )। ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ y=sin( 2x ) ਫੰਕਸ਼ਨ y=sinx ਦਾ 2 ਦੇ ਕਾਰਕ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੈ। 2π ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ y=sin( 2x ) ਦੇ ਦੋ ਪੀਰੀਅਡ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਕਿ y=sinx ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ। ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇਹ ਸੰਕੁਚਨ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਸੋਚਣ ਲਈ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ sin( 2x )=0 ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਵਿੱਚ sinx=0 ਦੇ ਦੁੱਗਣੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਜਾਂ ਹੱਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਜਾਣਕਾਰੀ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰੇਗੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 17
ਬਹੁ-ਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਬਿਲਕੁਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: cos( 2x )= 1 2 [ 0,2π ) 'ਤੇ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਜੇਕਰ cos( α )= 1 2 , ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ α ਚੌਥੇ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਚੌਥਾਈ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ θ= cos −1 1 2 ਸਿਰਫ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਚੌਥਾਈ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਦੇਵੇਗਾ, ਅਸੀਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ cosθ= 1 2 ਦੇ ਹੱਲ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਚੌਥੇ ਚੌਥਾਈ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਹੋਣਗੇ।
ਇਸ ਲਈ, ਸੰਭਵ ਕੋਣ ਹਨ θ= π 3 ਅਤੇ θ= 5π 3 । ਇਸ ਲਈ, 2x= π 3 ਜਾਂ 2x= 5π 3 , ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ x= π 6 ਜਾਂ x= 5π 6 । ਕੀ ਇਹ ਸਮਝ ਆਉਂਦਾ ਹੈ? ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ cos( 2( π 6 ) )=cos( π 3 )= 1 2 ।
ਕੀ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸੰਭਵ ਜਵਾਬ ਹਨ? ਆਓ ਆਪਾਂ ਆਪਣੇ ਪਹਿਲੇ ਕਦਮ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਚੱਲੀਏ।
ਪਹਿਲੇ ਚੌਥਾਈ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ, 2x= π 3 , ਇਸ ਲਈ x= π 6 ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਆਓ ਆਪਾਂ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਦੁਬਾਰਾ ਘੁੰਮੀਏ:
ਇਸ ਲਈ x= 7π 6 ।
ਇੱਕ ਹੋਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦਿੰਦੀ ਹੈ
x= 13π 6 >2π, ਇਸ ਲਈ x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ 2π ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ [ 0,2π ) 'ਤੇ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਚੌਥੇ ਚੌਥਾਈ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ, 2x= 5π 3 , ਇਸ ਲਈ x= 5π 6 ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਆਓ ਆਪਾਂ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਦੁਬਾਰਾ ਘੁੰਮੀਏ:
ਇਸ ਲਈ x= 11π 6 ।
ਇੱਕ ਹੋਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦਿੰਦੀ ਹੈ
x= 17π 6 >2π, x= 17π 6 >2π, ਇਸ ਲਈ x ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ [ 0,2π ) ਉੱਤੇ 2π, 2π ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ [ 0,2π ) ਉੱਤੇ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਸਾਡੇ ਹੱਲ ਹਨ x= π 6 , 5π 6 , 7π 6 ,ਅਤੇ 11π 6 x= π 6 , 5π 6 , 7π 6 ,ਅਤੇ 11π 6। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਵੀ ਅਸੀਂ sin( nx )=c, sin( nx )=c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ n n ਵਾਰ ਯੂਨਿਟ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਜਾਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ।
ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਅਤੇ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ, a 2 + b 2 = c 2 , a 2 + b 2 = c 2 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਸਥਿਤੀ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਮਾਡਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 18
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਅਤੇ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜੋ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਹੋਵੇ।
ਲੰਡਨ ਆਈ ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀਆਂ ਕੇਬਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 69.5 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਉੱਤੇ ਦੂਜਾ ਐਂਕਰ ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੋਂ 23 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਹੈ। ਲਗਭਗ ਕੇਬਲ ਕਿੰਨੀ ਲੰਬੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਦਾ ਕੋਣ (ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੱਕ) ਕੀ ਹੈ? ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
ਹੱਲ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਨਾਲ ਕੇਬਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਚਾਈ ਦਾ ਕੋਣ θ, θ ਹੈ, ਜੋ ਜ਼ਮੀਨ ਉੱਤੇ ਦੂਜੇ ਐਂਕਰ ਅਤੇ ਵ੍ਹੀਲ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੀ ਕੇਬਲ ਦੁਆਰਾ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਉਚਾਈ ਦਾ ਕੋਣ ਲਗਭਗ 71.7°, 71.7° ਹੈ, ਅਤੇ ਕੇਬਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 73.2 ਮੀਟਰ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 19
ਅਮੂਰਤ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
OSHA ਸੁਰੱਖਿਆ ਨਿਯਮਾਂ ਅਨੁਸਾਰ ਪੌੜੀ ਦੇ ਅਧਾਰ ਨੂੰ ਕੰਧ ਤੋਂ 1 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਰੱਖਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ, ਹਰ 4 ਫੁੱਟ ਪੌੜੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲਈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਪੌੜੀ ਦੁਆਰਾ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਬਣਨ ਵਾਲੇ ਕੋਣ ਅਤੇ ਉਸ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਜਿਸ 'ਤੇ ਪੌੜੀ ਕੰਧ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦੀ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਪੌੜੀ ਲਈ, ਅਧਾਰ ਨੂੰ ਕੰਧ ਤੋਂ ਪੌੜੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਰੱਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਬਰਾਬਰ, ਜੇ ਪੌੜੀ ਦਾ ਅਧਾਰ ਕੰਧ ਤੋਂ "a" ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੌੜੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 4a ਫੁੱਟ ਹੋਵੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 5 ਦੇਖੋ।
θ θ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਵਾਂ ਪਾਸਾ a ਹੈ ਅਤੇ ਕਾਰਨ 4a ਹੈ। 4a। ਇਸ ਲਈ,
ਪੌੜੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ 75.5° 75.5° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਜਿਸ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਪੌੜੀ ਕੰਧ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦੀ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ, ਪੌੜੀ ਕੰਧ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 15 a 15 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਛੂੰਹਦੀ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ I
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ II
Solving Trigonometric Equations III
Solving Trigonometric Equations IV
Solving Trigonometric Equations V
Solving Trigonometric Equations VI
Verbal
Will there always be solutions to trigonometric function equations? If not, describe an equation that would not have a solution. Explain why or why not.
When solving a trigonometric equation involving more than one trig function, do we always want to try to rewrite the equation so it is expressed in terms of one trigonometric function? Why or why not?
When solving linear trig equations in terms of only sine or cosine, how do we know whether there will be solutions?
Algebraic
For the following exercises, find all solutions exactly on the interval 0≤θ<2π. 0≤θ<2π.
2sinθ=− 2 2sinθ=− 2
2sinθ= 3 2sinθ= 3
2cosθ=1 2cosθ=1
2cosθ=− 2 2cosθ=− 2
tanθ=−1 tanθ=−1
tanx=1 tanx=1
cotx+1=0 cotx+1=0
4 sin 2 x−2=0 4 sin 2 x−2=0
csc 2 x−4=0 csc 2 x−4=0
For the following exercises, solve exactly on [0,2π). [0,2π).
2cosθ= 2 2cosθ= 2
2cosθ=−1 2cosθ=−1
2sinθ=−1 2sinθ=−1
2sinθ=− 3 2sinθ=− 3
2ਸਾਈਨ(3θ)=1
2ਸਾਈਨ(2θ)=3
2ਕੋਸ(3θ)=−2
ਕੋਸ(2θ)=−3/2
2ਸਾਈਨ(πθ)=1
2ਕੋਸ(π/5 θ)=√3
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, [0,2π) 'ਤੇ ਸਾਰੇ ਸਹੀ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।
ਸੈਕ(x)ਸਾਈਨ(x)−2ਸਾਈਨ(x)=0
ਟੈਨ(x)−2ਸਾਈਨ(x)ਟੈਨ(x)=0
2 ਕੋਸ² t+ਕੋਸ(t)=1
2 ਟੈਨ²(t)=3ਸੈਕ(t)
2ਸਾਈਨ(x)ਕੋਸ(x)−ਸਾਈਨ(x)+2ਕੋਸ(x)−1=0
ਕੋਸ² θ=1/2
ਸੈਕ² x=1
ਟੈਨ²(x)=−1+2ਟੈਨ(−x)
8 ਸਾਈਨ²(x)+6ਸਾਈਨ(x)+1=0
ਟੈਨ⁵(x)=ਟੈਨ(x)
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ [0,2π) ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸਾਈਨ(3x)ਕੋਸ(6x)−ਕੋਸ(3x)ਸਾਈਨ(6x)=−0.9
ਸਾਈਨ(6x)ਕੋਸ(11x)−ਕੋਸ(6x)ਸਾਈਨ(11x)=−0.1
ਕੋਸ(2x)ਕੋਸx+ਸਾਈਨ(2x)ਸਾਈਨx=1
6ਸਾਈਨ(2t)+9ਸਾਈਨt=0
9ਕੋਸ(2θ)=9 ਕੋਸ² θ−4
ਸਾਈਨ(2t)=ਕੋਸt
cos( 2t )=sint cos( 2t )=sint
cos(6x)−cos(3x)=0 cos(6x)−cos(3x)=0
For the following exercises, solve exactly on the interval [ 0,2π ). [ 0,2π ). Use the quadratic formula if the equations do not factor.
tan 2 x− 3 tanx=0 tan 2 x− 3 tanx=0
sin 2 x+sinx−2=0 sin 2 x+sinx−2=0
sin 2 x−2sinx−4=0 sin 2 x−2sinx−4=0
5 cos 2 x+3cosx−1=0 5 cos 2 x+3cosx−1=0
3 cos 2 x−2cosx−2=0 3 cos 2 x−2cosx−2=0
5 sin 2 x+2sinx−1=0 5 sin 2 x+2sinx−1=0
tan 2 x+5tanx−1=0 tan 2 x+5tanx−1=0
cot 2 x=−cotx cot 2 x=−cotx
− tan 2 x−tanx−2=0 − tan 2 x−tanx−2=0
For the following exercises, find exact solutions on the interval [0,2π). [0,2π). Look for opportunities to use trigonometric identities.
sin 2 x− cos 2 x−sinx=0 sin 2 x− cos 2 x−sinx=0
sin 2 x+ cos 2 x=0 sin 2 x+ cos 2 x=0
sin( 2x )−sinx=0 sin( 2x )−sinx=0
cos( 2x )−cosx=0 cos( 2x )−cosx=0
2tanx 2− sec 2 x − sin 2 x= cos 2 x 2tanx 2− sec 2 x − sin 2 x= cos 2 x
1−cos(2x)=1+cos(2x) 1−cos(2x)=1+cos(2x)
sec 2 x=7 sec 2 x=7
10sinxcosx=6cosx 10sinxcosx=6cosx
−3sint=15costsint −3sint=15costsint
4 cos 2 x−4=15cosx 4 cos 2 x−4=15cosx
8 sin 2 x+6sinx+1=0 8 sin 2 x+6sinx+1=0
8 cos 2 θ=3−2cosθ 8 cos 2 θ=3−2cosθ
6 cos 2 x+7sinx−8=0 6 cos 2 x+7sinx−8=0
12 sin 2 t+cost−6=0 12 sin 2 t+cost−6=0
tanx=3sinx tanx=3sinx
cos 3 t=cost cos 3 t=cost
Graphical
For the following exercises, algebraically determine all solutions of the trigonometric equation exactly, then verify the results by graphing the equation and finding the zeros. Use an interval of [0,2π)[0,2π)
6 sin 2 x−5sinx+1=0 6 sin 2 x−5sinx+1=0
8 cos 2 x−2cosx−1=0 8 cos 2 x−2cosx−1=0
100 tan 2 x+20tanx−3=0 100 tan 2 x+20tanx−3=0
2 cos 2 x−cosx+15=0 2 cos 2 x−cosx+15=0
20 sin 2 x−27sinx+7=0 20 sin 2 x−27sinx+7=0
2 tan 2 x+7tanx+6=0 2 tan 2 x+7tanx+6=0
130 tan 2 x+69tanx−130=0 130 tan 2 x+69tanx−130=0
Technology
For the following exercises, use a calculator to find all solutions to four decimal places.
sinx=0.27 sinx=0.27
sinx=−0.55 sinx=−0.55
tanx=−0.34 tanx=−0.34
cosx=0.71 cosx=0.71
For the following exercises, solve the equations algebraically, and then use a calculator to find the values on the interval [0,2π). [0,2π). Round to four decimal places.
tan 2 x+3tanx−3=0 tan 2 x+3tanx−3=0
6 tan 2 x+13tanx=−6 6 tan 2 x+13tanx=−6
tan 2 x−secx=1 tan 2 x−secx=1
ਸਾਈਨ ਵਰਗ x - 2 ਕੋਸ ਵਰਗ x = 0
2 ਟੈਨ ਵਰਗ x + 9 ਟੈਨ x - 6 = 0
4 ਸਾਈਨ ਵਰਗ x + ਸਾਈਨ(2x) ਸਕੈਨਟ x - 3 = 0
ਵਿਸਥਾਰ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅੰਤਰਾਲ [0, 2π) ਤੇ ਸਾਰੇ ਹੱਲ ਬਿਲਕੁਲ ਲੱਭੋ।
ਕੋਸੀਕੈਨਟ ਵਰਗ x - 3 ਕੋਸੀਕੈਨਟ x - 4 = 0
ਸਾਈਨ ਵਰਗ x - ਕੋਸ ਵਰਗ x - 1 = 0
ਸਾਈਨ ਵਰਗ x (1 - ਸਾਈਨ ਵਰਗ x) + ਕੋਸ ਵਰਗ x (1 - ਸਾਈਨ ਵਰਗ x) = 0
3 ਸਕੈਨਟ ਵਰਗ x + 2 + ਸਾਈਨ ਵਰਗ x - ਟੈਨ ਵਰਗ x + ਕੋਸ ਵਰਗ x = 0
ਸਾਈਨ ਵਰਗ x - 1 + 2 ਕੋਸ(2x) - ਕੋਸ ਵਰਗ x = 1
ਟੈਨ ਵਰਗ x - 1 - ਸਕੈਨਟ ਘਣ x ਕੋਸ x = 0
ਸਾਈਨ(2x) ਸਕੈਨਟ ਵਰਗ x = 0
ਸਾਈਨ(2x) 2 ਕੋਸੀਕੈਨਟ ਵਰਗ x = 0
2 ਕੋਸ ਵਰਗ x - ਸਾਈਨ ਵਰਗ x - ਕੋਸ x - 5 = 0
1 ਸਕੈਨਟ ਵਰਗ x + 2 + ਸਾਈਨ ਵਰਗ x + 4 ਕੋਸ ਵਰਗ x = 4
ਸੱਚੀ-ਦੁਨੀਆ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ
ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ ਕੋਲ ਸਿਰਫ਼ ਇੰਨਾ ਗੈਸ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਆਪਣੇ ਮੌਜੂਦਾ ਸਥਾਨ ਤੋਂ 200 ਮੀਲ ਉੱਤਰ-ਪੂਰਬ ਵੱਲ ਇੱਕ ਸ਼ਹਿਰ ਤੱਕ ਉੱਡ ਸਕੇ। ਜੇ ਪਾਇਲਟ ਜਾਣਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸ਼ਹਿਰ 25 ਮੀਲ ਉੱਤਰ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਜਹਾਜ਼ ਨੂੰ ਪੂਰਬ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਡਿਗਰੀ ਉੱਤਰ ਵੱਲ ਉੱਡਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਲੋਡਿੰਗ ਰੈਂਪ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟਰੱਕ ਦੇ ਕੋਲ, 4 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਰੈਂਪ 15 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਰੈਂਪ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਕਿੰਨਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਲੋਡਿੰਗ ਰੈਂਪ ਨੂੰ ਇੱਕ ਟਰੱਕ ਦੇ ਕੋਲ, 2 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਰੈਂਪ 20 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਰੈਂਪ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਕਿੰਨਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ?
ਇੱਕ ਔਰਤ ਇੱਕ ਲਾਂਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਰਾਕੇਟ ਨੂੰ ਦੇਖ ਰਹੀ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਸਮੇਂ 11 ਮੀਲ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਹੈ। ਜੇ ਉਹ ਲਾਂਚ ਪੈਡ ਤੋਂ 4 ਮੀਲ ਦੂਰ ਖੜ੍ਹੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਕਿੰਨੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਦੇਖ ਰਹੀ ਹੈ?
ਇੱਕ ਲਾਂਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਰਾਕੇਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੁਲਾੜ ਯਾਤਰੀ ਇਸ ਸਮੇਂ 15 ਮੀਲ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਹੈ। ਜੇ ਇੱਕ ਆਦਮੀ ਲਾਂਚ ਪੈਡ ਤੋਂ 2 ਮੀਲ ਦੂਰ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੁਲਾੜ ਯਾਤਰੀ ਉਸ ਵੱਲ ਕਿੰਨੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦੇਖ ਰਿਹਾ ਹੈ? (ਸੰਕੇਤ: ਇਸਨੂੰ ਡਿਪਰੈਸ਼ਨ ਦਾ ਕੋਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।)
ਇੱਕ ਔਰਤ 8 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਇੱਕ 10-ਮੀਟਰ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਤੋਂ ਖੜ੍ਹੀ ਹੈ। ਉਹ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਚੋਟੀ ਵੱਲ ਕਿੰਨੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਦੇਖ ਰਹੀ ਹੈ?
ਇਸਾ ਇੱਕ 6-ਮੀਟਰ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਤੋਂ 10 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਟ੍ਰੈਵਿਸ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਚੋਟੀ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹਾ ਇਸਾ ਵੱਲ ਦੇਖ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਟ੍ਰੈਵਿਸ ਕਿੰਨੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਇਸਾ ਵੱਲ ਦੇਖ ਰਿਹਾ ਹੈ?
ਇੱਕ 20-ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਦਾ 55 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਪਰਛਾਵਾਂ ਹੈ। ਸੂਰਜ ਦਾ ਉੱਚਾਈ ਦਾ ਕੋਣ ਕੀ ਹੈ?
1. ਇੱਕ 90 ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਦਾ ਪਰਛਾਵਾਂ 2 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹੈ। ਸੂਰਜ ਦਾ ਉਚਾਈ ਕੋਣ ਕਿੰਨਾ ਹੈ?
2. ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਇੱਕ 2 ਮੀਟਰ ਉੱਚੇ ਆਦਮੀ ਤੋਂ 3 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਇੱਕ ਸਪਾਟਲਾਈਟ, ਆਦਮੀ ਤੋਂ 6 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਇੱਕ ਕੰਧ 'ਤੇ 6 ਮੀਟਰ ਦਾ ਪਰਛਾਵਾਂ ਪਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਰੋਸ਼ਨੀ ਕਿਸ ਕੋਣ 'ਤੇ ਹੈ?
3. ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਇੱਕ 5 ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਔਰਤ ਤੋਂ 3 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਇੱਕ ਸਪਾਟਲਾਈਟ, ਔਰਤ ਤੋਂ 6 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਇੱਕ ਕੰਧ 'ਤੇ 15 ਫੁੱਟ ਉੱਚਾ ਪਰਛਾਵਾਂ ਪਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਰੋਸ਼ਨੀ ਕਿਸ ਕੋਣ 'ਤੇ ਹੈ?
4. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸ਼ਬਦ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭੋ। ਫਿਰ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
5. ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਕੰਧ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦੇ ਹੋਏ ਪੈਰਾਂ ਨਾਲ ਹੈਂਡਸਟੈਂਡ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਹੱਥ ਕੰਧ ਤੋਂ 1.5 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਵਿਅਕਤੀ 6 ਫੁੱਟ ਉੱਚਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਦੇ ਪੈਰ ਕੰਧ ਨਾਲ ਕਿੰਨਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ?
6. ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਕੰਧ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦੇ ਹੋਏ ਪੈਰਾਂ ਨਾਲ ਹੈਂਡਸਟੈਂਡ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਹੱਥ ਕੰਧ ਤੋਂ 3 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਵਿਅਕਤੀ 5 ਫੁੱਟ ਉੱਚਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਦੇ ਪੈਰ ਕੰਧ ਨਾਲ ਕਿੰਨਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ?
7. ਇੱਕ 23-ਫੁੱਟ ਦੀ ਪੌੜੀ ਇੱਕ ਘਰ ਦੇ ਕੋਲ ਖੜ੍ਹੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਪੌੜੀ ਘਰ ਤੋਂ 7 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਾਫ਼ੀ ਖਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਤਾਂ ਖਿਸਕਣ ਤੋਂ ਬਚਣ ਲਈ ਪੌੜੀ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਕਿੰਨਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?