ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਬੇ-ਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹੇਰੋਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਕਿਸ਼ਤੀ ਬੰਦਰਗਾਹ ਛੱਡਦੀ ਹੈ, 10 ਮੀਲ ਸਫ਼ਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, 20 ਡਿਗਰੀ ਮੁੜਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਹੋਰ 8 ਮੀਲ ਸਫ਼ਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਕਿਸ਼ਤੀ ਬੰਦਰਗਾਹ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹੈ?
ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਸਾਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਬੇ-ਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਨਾਲ ਮਦਦ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਜਿੱਥੇ ਜਾਣਿਆ ਹੋਇਆ ਕੋਣ ਦੋ ਜਾਣੇ ਹੋਏ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ SAS (ਪਾਸਾ-ਕੋਣ-ਪਾਸਾ) ਤ੍ਰਿਭੁਜ, ਜਾਂ ਜਦੋਂ ਤਿੰਨੋਂ ਪਾਸੇ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਕੋਈ ਕੋਣ ਨਹੀਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ, ਇੱਕ SSS (ਪਾਸਾ-ਪਾਸਾ-ਪਾਸਾ) ਤ੍ਰਿਭੁਜ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਆਖਰੀ ਦੋ ਮਾਮਲਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਬੇ-ਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਾਧਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਬੇ-ਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਬੰਦਰਗਾਹ ਤੋਂ ਕਿਸ਼ਤੀ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਜਿਸ ਸਾਧਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਉਹ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਹੈ, ਜੋ ਬੇ-ਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਅਤੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸੂਤਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਪਹਿਲੀ ਨਜ਼ਰੇ, ਸੂਤਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਕਾਰਨ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਲੱਗ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਵਾਰ ਪੈਟਰਨ ਸਮਝ ਆਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਇਸ ਗਣਿਤਿਕ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਸੂਤਰਾਂ ਨਾਲੋਂ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਹੈ।
ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਉਤਪਤੀ ਆਮ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬੇ-ਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਤੱਕ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸਥਾਰ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ: ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਬੇ-ਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ABC ਨੂੰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਵਰਟੈਕਸ A ਨੂੰ ਮੂਲ 'ਤੇ, ਪਾਸਾ c ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੈਕਸ C ਨੂੰ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ (x,y) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਤੇ ਵੀ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਇਸ ਵਿਆਖਿਆ ਲਈ ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕੀਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਰੱਖਾਂਗੇ।
ਅਸੀਂ C ਤੋਂ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਇੱਕ ਲੰਬ ਸੁੱਟ ਸਕਦੇ ਹਾਂ (ਇਹ ਉਚਾਈ ਜਾਂ ਲੰਬਾਈ ਹੈ)। ਬੁਨਿਆਦੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
θ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, x=bcosθ ਅਤੇ y=bsinθ। C 'ਤੇ ਸਥਿਤ (x,y) ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ (bcosθ, bsinθ) ਹਨ। ਪਾਸੇ (x−c) ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਇੱਕ ਲੱਤ ਵਜੋਂ ਅਤੇ y ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਲੱਤ ਵਜੋਂ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਾਰਨ a ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਪੈਦਾ ਹੋਇਆ ਸੂਤਰ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੇ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਕੋਣਾਂ ਜਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਸਲ-ਸੰਸਾਰ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਵਿੱਚ, ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਸਾਹਮਣੇ ਆਉਂਦੀ ਹੈ, ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ ਪੈ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਉਹ ਬਦਲਾਅ ਕਰੋ ਅਤੇ, ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ
ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਰਗ ਦੂਜੇ ਦੋ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਘਟਾਓ ਦੂਜੇ ਦੋ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਸ਼ਾਮਲ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਦੋ ਗੁਣੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਲੇਬਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਲਈ, ਕੋਣ α, β, ਅਤੇ γ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਸੰਬੰਧਿਤ ਪਾਸੇ a, b, ਅਤੇ c, ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਜੋਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇੱਕ ਗੁੰਮ ਹੋਏ ਪਾਸੇ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਉਲਟ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਕੋਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਉਲਟ ਪਾਸੇ ਦਾ ਮਾਪ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕੋਣ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸੰਸਕਰਣ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਕੋਣ (SAS) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਬਾਕੀ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮਾਪ ਲੱਭੋ।
ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ। ਜਾਣੇ ਹੋਏ ਪਾਸਿਆਂ ਅਤੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਅਣਜਾਣ ਪਾਸਿਆਂ ਅਤੇ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਚਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਣਜਾਣ ਪਾਸੇ ਜਾਂ ਕੋਣ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਦੂਜੇ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਬਾਕੀ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਗਿਣੋ।
Example 1
Finding the Unknown Side and Angles of a SAS Triangle
Find the unknown side and angles of the triangle in Figure 4.
Solution
First, make note of what is given: two sides and the angle between them. This arrangement is classified as SAS and supplies the data needed to apply the Law of Cosines.
Each one of the three laws of cosines begins with the square of an unknown side opposite a known angle. For this example, the first side to solve for is side b, b, as we know the measurement of the opposite angle β. β.
Because we are solving for a length, we use only the positive square root. Now that we know the length b, b, we can use the Law of Sines to fill in the remaining angles of the triangle. Solving for angle α, α, we have
The other possibility for α α would be α=180°–56.3°≈123.7°. α=180°–56.3°≈123.7°. In the original diagram, α α is adjacent to the longest side, so α α is an acute angle and, therefore, 123.7° 123.7° does not make sense. Notice that if we choose to apply the Law of Cosines, we arrive at a unique answer. We do not have to consider the other possibilities, as cosine is unique for angles between 0° 0° and 180°. 180°. Proceeding with α≈56.3°, α≈56.3°, we can then find the third angle of the triangle.
The complete set of angles and sides is
Try It #1
Find the missing side and angles of the given triangle: α=30°, α=30°, b=12,b=12, c=24. c=24.
Example 2
Solving for an Angle of a SSS Triangle
Find the angle α α for the given triangle if side a=20, a=20, side b=25, b=25, and side c=18. c=18.
Solution
For this example, we have no angles. We can solve for any angle using the Law of Cosines. To solve for angle α, α, we have
See Figure 5.
Analysis
Because the inverse cosine can return any angle between 0 and 180 degrees, there will not be any ambiguous cases using this method.
Try It #2
Given a=5,b=7, a=5,b=7, and c=10, c=10, find the missing angles.
Solving Applied Problems Using the Law of Cosines
Just as the Law of Sines provided the appropriate equations to solve a number of applications, the Law of Cosines is applicable to situations in which the given data fits the cosine models. We may see these in the fields of navigation, surveying, astronomy, and geometry, just to name a few.
Example 3
ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਚਾਰ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
GPS ਵਾਲੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸੈੱਲ ਫੋਨਾਂ 'ਤੇ, GPS ਸਿਗਨਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਸਥਾਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਉਣ (triangulation) ਨਾਮਕ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਦੋ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਟਾਵਰ ਹਨ। ਦੋ ਟਾਵਰ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਹਾਈਵੇਅ ਦੇ ਨਾਲ ਪੂਰਬ ਤੋਂ ਪੱਛਮ ਵੱਲ 6000 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਹਾਈਵੇਅ ਦੇ ਉੱਤਰ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਸਿਗਨਲ ਦੇਰੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਿਗਨਲ ਪਹਿਲੇ ਟਾਵਰ ਤੋਂ 5,050 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਟਾਵਰ ਤੋਂ 2,420 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਟਾਵਰ ਦੇ ਪੂਰਬ ਅਤੇ ਉੱਤਰ ਵਿੱਚ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਹਾਈਵੇਅ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਸਾਦਗੀ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇ ਸਮਾਨ ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾ ਕੇ ਅਤੇ ਆਪਣੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਕੋਣ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਕਾਨੂੰਨ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦੇ ਵਰਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿਰੋਧੀ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, a=2,420, b=5,050, ਅਤੇ c=6,000 ਲਓ। ਇਸ ਲਈ, θ ਵਿਰੋਧੀ ਪਾਸਾ a=2,420 ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ।
ਟਾਵਰ ਦੇ ਪੂਰਬ ਅਤੇ ਉੱਤਰ ਵਿੱਚ ਫੋਨ ਦੀ ਸਥਿਤੀ, ਅਤੇ ਹਾਈਵੇਅ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਬਾਰੇ ਸਵਾਲਾਂ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 7 ਵਾਂਗ ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਲੰਬ ਸੁੱਟੋ। ਇਹ ਦੋ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ ਪਹਿਲੇ ਟਾਵਰ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਕੋਣ θ= 23.3° ਅਤੇ ਮੁੱਢਲੀਆਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ
ਸੈੱਲ ਫੋਨ ਪਹਿਲੇ ਟਾਵਰ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 4,638 ਫੁੱਟ ਪੂਰਬ ਅਤੇ 1998 ਫੁੱਟ ਉੱਤਰ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਾਈਵੇਅ ਤੋਂ 1998 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
SAS ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ
ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਕਿਸ਼ਤੀ ਬੰਦਰਗਾਹ ਛੱਡਦੀ ਹੈ, 10 ਮੀਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, 20 ਡਿਗਰੀ ਮੁੜਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਹੋਰ 8 ਮੀਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਕਿਸ਼ਤੀ ਬੰਦਰਗਾਹ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹੈ? ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਚਿੱਤਰ ਦੁਬਾਰਾ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਕਿਸ਼ਤੀ 20 ਡਿਗਰੀ ਮੁੜੀ, ਇਸ ਲਈ ਗੈਰ-ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਅੰਧ ਕੋਣ ਪੂਰਕ ਕੋਣ ਹੈ, 180°−20°=160°। ਇਸ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਅੰਧ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਗੁੰਮ ਹੋਏ ਪਾਸੇ—ਬੰਦਰਗਾਹ ਤੱਕ ਕਿਸ਼ਤੀ ਦੀ ਦੂਰੀ—ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਸ਼ਤੀ ਬੰਦਰਗਾਹ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 17.7 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ।
ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹੇਰੋਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੋਣ ਪਤਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇੱਕ ਤਿਰਛੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਆਧਾਰ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਦਾ ਸੂਤਰ ਵੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਤਿੰਨ ਪਾਸੇ ਪਤਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਉਚਾਈ ਲੱਭਣ ਦੀ ਬਜਾਏ ਹੇਰੋਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹੇਰੋਨ ਆਫ਼ ਅਲੈਗਜ਼ੈਂਡਰੀਆ ਇੱਕ ਭੂਮਿਕਾਵਾਦੀ ਸੀ ਜੋ ਪਹਿਲੀ ਸਦੀ ਈਸਵੀ ਵਿੱਚ ਰਹਿੰਦਾ ਸੀ। ਉਸਨੇ ਤਿੰਨ ਪਾਸੇ ਪਤਾ ਹੋਣ 'ਤੇ ਤਿਰਛੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਖੋਜਿਆ।
ਹੇਰੋਨ ਦਾ ਸੂਤਰ
ਹੇਰੋਨ ਦਾ ਸੂਤਰ ਤਿਰਛੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪਾਸੇ a, b, ਅਤੇ c ਪਤਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਜਿੱਥੇ s= ( a+b+c ) 2 ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਘੇਰੇ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਅਰਧ-ਘੇਰਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹੇਰੋਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੇਰੋਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ s ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਤਦ ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹ ਖੇਤਰ ਲਗਭਗ 29.4 ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #3
a=29.7ft, b=42.3ft, ਅਤੇ c=38.4ft ਲੰਬਾਈਆਂ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਹੈਰਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਹੈਰਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਸ਼ਿਕਾਗੋ ਸ਼ਹਿਰ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਕਾਸਕਾਰ ਕਲਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਲੋਫਟਾਂ ਵਾਲੀ ਇਮਾਰਤ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਰਸ਼ ਸਟਰੀਟ, ਵਾਬਾਸ਼ ਐਵੇਨਿਊ ਅਤੇ ਪੀਅਰਸਨ ਸਟਰੀਟ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣੀ ਪਲਾਟ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਰਸ਼ ਸਟਰੀਟ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਲਗਭਗ 62.4 ਮੀਟਰ, ਵਾਬਾਸ਼ ਐਵੇਨਿਊ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਲਗਭਗ 43.5 ਮੀਟਰ, ਅਤੇ ਪੀਅਰਸਨ ਸਟਰੀਟ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਲਗਭਗ 34.1 ਮੀਟਰ ਹੈ। ਵਿਕਾਸਕਾਰ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਵਰਗ ਮੀਟਰ ਉਪਲਬਧ ਹਨ? ਸ਼ਹਿਰ ਦੀ ਜਾਇਦਾਦ ਦਾ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦੇਖਣ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ।
ਹੱਲ
s, ਜੋ ਕਿ ਪੈਰੀਮੀਟਰ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ, ਲਈ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੈਰਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਵਿਕਾਸਕਾਰ ਕੋਲ ਲਗਭਗ 711.4 ਵਰਗ ਮੀਟਰ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #4
a=4.38ft, b=3.79ft, ਅਤੇ c=5.22ft ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਕਾਨੂੰਨ
ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਕਾਨੂੰਨ: ਅਰਜ਼ੀਆਂ
ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਕਾਨੂੰਨ: ਅਰਜ਼ੀਆਂ 2
ਮੌਖਿਕ
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀ ਇੱਕ ਗੁੰਮ ਹੋਈ ਭੁਜਾ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੀ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁੰਮ ਹੋਇਆ ਕੋਣ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੀ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ?
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਹੈਰਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ s ਕੀ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਬਜਾਏ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਦੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ?
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ α ਸਾਈਡ a ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਹੈ, β ਸਾਈਡ b ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਹੈ, ਅਤੇ γ ਸਾਈਡ c ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਨੂੰ ਅਣਜਾਣ ਸਾਈਡ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
γ=41.2°,a=2.49,b=3.13
α=120°,b=6,c=7
β=58.7°,a=10.6,c=15.7
γ=115°,a=18,b=23
α=119°,a=26,b=14
γ=113°,b=10,c=32
β=67°,a=49,b=38
α=43.1°,a=184.2,b=242.8
α=36.6°,a=186.2,b=242.2
β= 50° ,a=105,b=45
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਅਣਜਾਣ ਕੋਣ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
a=42,b=19,c=30; ਕੋਣ A ਪਤਾ ਕਰੋ।
a=14,b=13,c=20; ਕੋਣ C ਪਤਾ ਕਰੋ।
a=16,b=31,c=20; ਕੋਣ B ਪਤਾ ਕਰੋ।
a=13,b=22,c=28; ਕੋਣ A ਪਤਾ ਕਰੋ।
a=108,b=132,c=160; ਕੋਣ C ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
A=35°,b=8,c=11
B=88°,a=4.4,c=5.2
C=121°,a=21,b=37
a=13,b=11,c=15
a=3.1,b=3.5,c=5
a=51,b=25,c=29 a=51,b=25,c=29
For the following exercises, use Heron’s formula to find the area of the triangle. Round to the nearest hundredth.
Find the area of a triangle with sides of length 18 in, 21 in, and 32 in. Round to the nearest tenth.
Find the area of a triangle with sides of length 20 cm, 26 cm, and 37 cm. Round to the nearest tenth.
a= 1 2 m,b= 1 3 m,c= 1 4 m a= 1 2 m,b= 1 3 m,c= 1 4 m
a=12.4 ft,b=13.7 ft,c=20.2 ft a=12.4 ft,b=13.7 ft,c=20.2 ft
a=1.6 yd,b=2.6 yd,c=4.1 yd a=1.6 yd,b=2.6 yd,c=4.1 yd
Graphical
For the following exercises, find the length of side x. x. Round to the nearest tenth.
For the following exercises, find the measurement of angle A. A.
Find the measure of each angle in the triangle shown in Figure 11. Round to the nearest tenth.
For the following exercises, solve for the unknown side. Round to the nearest tenth.
For the following exercises, find the area of the triangle. Round to the nearest hundredth.
Extensions
A parallelogram has sides of length 16 units and 10 units. The shorter diagonal is 12 units. Find the measure of the longer diagonal.
The sides of a parallelogram are 11 feet and 17 feet. The longer diagonal is 22 feet. Find the length of the shorter diagonal.
The sides of a parallelogram are 28 centimeters and 40 centimeters. The measure of the larger angle is 100°. Find the length of the shorter diagonal.
A regular octagon is inscribed in a circle with a radius of 8 inches. (See Figure 12.) Find the perimeter of the octagon.
A regular pentagon is inscribed in a circle of radius 12 cm. (See Figure 13.) Find the perimeter of the pentagon. Round to the nearest tenth of a centimeter.
For the following exercises, suppose that x 2 =25+36−60cos( 52 ) x 2 =25+36−60cos( 52 ) represents the relationship of three sides of a triangle and the cosine of an angle.
Draw the triangle.
Find the length of the third side.
For the following exercises, find the area of the triangle.
Real-World Applications
ਇਕ ਸਰਵੇਖਣਕਾਰ ਨੇ ਚਿੱਤਰ 14 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਨਾਪ ਲਏ ਹਨ। ਝੀਲ ਦੇ ਪਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨੇੜਲੇ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਉਪਗ੍ਰਹਿ ਚਿੱਤਰ 15 (ਸਕੇਲ ਅਨੁਸਾਰ ਨਹੀਂ) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਅਤੇ ਕੋਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਸ਼ਹਿਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨੇੜਲੇ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ 40° ਦੇ ਹੈਡਿੰਗ ਨਾਲ 220 ਮੀਲ ਉੱਡਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ 170° ਦੇ ਹੈਡਿੰਗ ਨਾਲ 180 ਮੀਲ ਉੱਡਦਾ ਹੈ। ਜਹਾਜ਼ ਆਪਣੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਸ ਹੈਡਿੰਗ 'ਤੇ ਹੈ? ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨੇੜਲੇ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ 113-ਫੁੱਟ ਟਾਵਰ ਇੱਕ ਪਹਾੜੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਤੋਂ 34° ਝੁਕੀ ਹੋਈ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਟਾਵਰ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਗਾਈ-ਵਾਇਰ ਲਗਾਇਆ ਜਾਣਾ ਹੈ ਅਤੇ ਟਾਵਰ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੋਂ ਪਹਾੜੀ ਉੱਪਰ 98 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਐਂਕਰ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਲੋੜੀਂਦੀ ਤਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦੋ ਜਹਾਜ਼ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਬੰਦਰਗਾਹ ਤੋਂ ਰਵਾਨਾ ਹੋਏ। ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ 320° ਦੇ ਹੈਡਿੰਗ 'ਤੇ 18 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਗਿਆ। ਦੂਜਾ ਜਹਾਜ਼ 194° ਦੇ ਹੈਡਿੰਗ 'ਤੇ 22 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਗਿਆ। 10 ਘੰਟੇ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੋ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 17 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਇੱਕੋ ਡੌਕ ਤੋਂ ਰਵਾਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਦੋ ਕਿਸ਼ਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲੀ ਕਿਸ਼ਤੀ 327° ਦੇ ਹੈਡਿੰਗ 'ਤੇ 18 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਕਿਸ਼ਤੀ 60° ਦੇ ਹੈਡਿੰਗ 'ਤੇ 4 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ। 2 ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ ਦੋ ਕਿਸ਼ਤੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਤਿਕੋਣੀ ਤੈਰਾਕੀ ਪੂਲ ਇੱਕ ਪਾਸੇ 40 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ 65 ਫੁੱਟ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪਾਸੇ 50° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਤੀਜਾ ਪਾਸਾ ਕਿੰਨਾ ਲੰਬਾ ਹੈ (ਨੇੜਲੇ ਦਸਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ)?
ਇੱਕ ਪਾਇਲਟ 1 ਘੰਟਾ 30 ਮਿੰਟ ਤੱਕ ਸਿੱਧੀ ਪਥ 'ਤੇ ਉੱਡਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਉਹ ਆਪਣੇ ਅਸਲ ਪਥ ਤੋਂ 10° ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਮੋੜ ਲੈਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਵੀਂ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ 2 ਘੰਟੇ ਉੱਡਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਹ 680 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਲਗਾਤਾਰ ਰਫ਼ਤਾਰ ਬਣਾਈ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਆਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹੈ?
ਲੌਸ ਏਂਜਲਸ ਸ਼ਿਕਾਗੋ ਤੋਂ 1,744 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ, ਸ਼ਿਕਾਗੋ ਨਿਊਯਾਰਕ ਤੋਂ 714 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਿਊਯਾਰਕ ਲੌਸ ਏਂਜਲਸ ਤੋਂ 2,451 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਤਿੰਨ ਸ਼ਹਿਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਫਿਲਡੇਲਫੀਆ ਵਾਸ਼ਿੰਗਟਨ, ਡੀ.ਸੀ. ਤੋਂ 140 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ, ਵਾਸ਼ਿੰਗਟਨ, ਡੀ.ਸੀ. ਬੋਸਟਨ ਤੋਂ 442 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਬੋਸਟਨ ਫਿਲਡੇਲਫੀਆ ਤੋਂ 315 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਤਿੰਨ ਸ਼ਹਿਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦੋ ਜਹਾਜ਼ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਇੱਕੋ ਹਵਾਈ ਅੱਡੇ ਤੋਂ ਉਡਾਣ ਭਰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਉੱਤਰ ਤੋਂ 20° ਪੂਰਬ ਵੱਲ 500 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਡਦਾ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਦੱਖਣ ਤੋਂ 30° ਪੂਰਬ ਵੱਲ 600 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਡਦਾ ਹੈ। 2 ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ ਜਹਾਜ਼ ਕਿੰਨੇ ਦੂਰ ਹਨ?
ਦੋ ਜਹਾਜ਼ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਉਡਾਣ ਭਰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਪੱਛਮ ਵੱਲ 300 mph ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਪੱਛਮ ਤੋਂ 25° ਉੱਤਰ ਵੱਲ 420 mph ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 90 ਮਿੰਟ ਬਾਅਦ, ਉਹ ਕਿੰਨੇ ਦੂਰ ਹਨ, ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਉਹ ਇੱਕੋ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਉੱਡ ਰਹੇ ਹਨ?
ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 15.4 ਇਕਾਈਆਂ ਅਤੇ 9.8 ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 72.9 ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ। ਲੰਬੇ ਵਿਕਰਨ ਦਾ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਚਾਰ ਲਗਾਤਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 4.5 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ, 7.9 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ, 9.4 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ, ਅਤੇ 12.9 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੈ। ਦੋ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਕੋਣ 117° ਹੈ। ਇਸ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿੰਨਾ ਹੈ?
ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਚਾਰ ਲਗਾਤਾਰ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 5.7 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ, 7.2 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ, 9.4 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ, ਅਤੇ 12.8 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੈ। ਦੋ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਕੋਣ 106° ਹੈ। ਇਸ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿੰਨਾ ਹੈ?
ਇੱਕ ਤਿਕੋਣੀ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਇੱਕ ਪਾਸੇ 30 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ 42 ਫੁੱਟ ਮਾਪਦਾ ਹੈ; ਸ਼ਾਮਲ ਕੋਣ 132° ਹੈ। ਨੇੜਲੇ ਪੂਰੇ ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਤਿਕੋਣੀ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਇੱਕ ਪਾਸੇ 110 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ 250 ਫੁੱਟ ਮਾਪਦਾ ਹੈ; ਸ਼ਾਮਲ ਕੋਣ 85° ਹੈ। ਨੇੜਲੇ ਪੂਰੇ ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।